考点42 圆锥曲线中的综合性问题-2018版典型高考数学试

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点42 圆锥曲线中的综合性问题 【考纲要求】

应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【命题规律】

圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】

（一）探究直线与曲线的公共点

例1.【2016新课标卷】在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：2

2(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （1）求

OH ON

；

（2）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.

【解析】（1）由已知得),0(t M ,),2(2

t p

t P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2

t p

t N ,ON 的方程为x t p y =,

代入px y 22

=整理得022

2

=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(

2

t p

t H . 所以N 为OH 的中点,即

2|

||

|=ON OH .

（2）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=

-,即)(2t y p

t

x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y , 解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点M 到定点()1,0F 和定直线4x =的距离之比为1

2

，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）过点F 作斜率不为0的任意一条直线与曲线C 交于两点,A B ，试问在x 轴上是否存在一点P （与点F 不重合），使得APF BPF ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

（2）存在.

设直线()()()()1122:10,1,,1,,,0l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则()2

222

1{

314123412

x ty ty y x y =+⇒++=+=，即()2234690t y ty ++-=， 1212

2269

,3434

t y y y y t t --+=

=++， 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即

12

12011y y ty m ty m

+=+-+-，

整理得()()1212210ty y m y y +-+=， ∴()22

962103434

t

t

m t t --+-=++，解得4m =， 综上知, 在x 轴上是存在点()4,0P 满足题意.

【变式2】【2017湖南省常德市一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为2

，过左焦点F 且

垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交，所得弦长为1，斜率为k (0k ≠)的直线l 过点()1,0，且与椭圆C 相交于不同的两点A B ，． （1）求椭圆C 的方程；

（2）在x 轴上是否存在点M ，使得无论k 取何值， 2

2

14k MA MB k

⋅-+为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由题意可知椭圆C 过点1,2c ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，则222114c a b +=，

又

2

22c e a b c a =

=

=+， 解得2,1,a b c ==()()()2

1111'a x x ax a x a f x x x

⎛

⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-.

（2）设在x 轴上存在点M （t ，0）满足题意,

直线l 过点（1， 0）且斜率为k ，则直线l 的方程可设为()1y k x =-，

由()2

21{41x y y k x +==-，可知 ()222

414x k x +-=，

()

2222148440k x k x k ∴+-+-=，

易知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，则 2

122

2

122

814{44

14k x x k

k x x k +=+-⋅=

+，

由题可设()2

214k MA MB m m k ⋅-

=+为常数， ()

22224844k t t t m mk ∴-+-=+对任意实数()0k k ≠恒成立；

22

484{4t t m

t m

-=∴-= ，解得 2,0t m ==， 存在点M （2，0）满足题意，且常数为0. （二）探求参数值

例2.【2016年高考四川卷】已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角

形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

（2）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2

PT

PA PB λ=⋅，并求λ的值.

【分析】（1）

由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得a =

，

从而可得a =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线'l 方程为1

2

y x m =

+，由两直线方程求出点P 坐标，得2

PT ，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把'l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，再计算PA PB ⋅，比较可得λ值.

【解析】（1）由已知，2

2

2

(2)a a c +=

，即a =

，所以a =，则椭圆E 的方程为22

2212x y b b

+=.

由方程组22

221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩

得22

312(182)0x x b -+-=.①

方程①的判别式为2

=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，

所以椭圆E 的方程为22

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x y +=，点T 坐标为（2,1）.