工程力学-能量法

12 能量法

1、外力的功、应变能、比能等的有关概念，

外力的功

应变能

比能

2、基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算对于线弹范围内的等直拉压杆的应变能

梁横力弯曲的剪切应变能为（常忽略）

当扭矩Mt沿杆轴变化时，圆轴的扭转应变能

横力弯曲时，不计剪切能，，弯矩沿截面变化，梁的应变能为

3、功能原理、功的互等定理和位移互等定理

4、余能概念

5、卡氏第一和第二定理

解题范例

12.1具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图12.1（a）所示，两端梁的弯曲刚度均为EI。用莫尔法确定中间铰两侧界面的相对转角有下列四种分段方法，使判断哪一种是正确的。

（A）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；

（B）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；

（C）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；

（D）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；

图12.1

答案：（A）

12.2图12.2示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为，应变能为；中点只承受集中力偶M时,最大挠度是、梁的应变能为。当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A）+；

（B）++M；

（C）++F；

（D）++（ M+F）；

图12.2

[解] 因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为：

=F f F

在加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍是f F，所以梁内应变能将增加：

M=

当同时施加F和M时的应变能，等于先加F再加M时的应变能，即

+

故答案（A）正确。

12.3 用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A截面的位移和B截面的转角。略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知.

L

L

Ⅰ

2Ⅰ

图 12.3

[解] （1）A截面的位移

AB段弯矩：M(x)=-Px （0x）

∂M(x) /∂P=-x

在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC段弯矩：M(y)=-2P- Q+(P+Q)y

∂M(y) /∂P=-2+y ∂M(y) /∂ Q=-+y

A截面的竖直位移:

A截面的水平位移:

积分，令Q=0得

(2)B截面的转角

在B处虚加一力偶M B,

AB段弯矩：M(x)=-Px （0x<）

BC段弯矩：

M(y)=-2P-+P y （0

∂M(x) /∂M B=0 ∂M(y) /∂M B =-1

习题解析

12.1用卡氏第二定理求图12.4示的A截面的位移和B截面的转角。略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知。

Ⅰ

Ⅰ

2Ⅰ

图12.4

[解] （1）A截面的位移

在A点虚加一向下的力F，支反力

（L为AB和AD的长度）

AB段弯矩： M1=0

∂ M1 /∂F=0

AD段弯矩：M2(x)=

∂M2(x) /∂F=x

CD段弯矩：M3(y)=P y

∂M3(y) /∂F=0

A截面的竖直位移:

积分，令F=0得

求A截面的水平位移时， 在A 处虚加一水平力向右的力Q, 再令其为0.那么, 支反力

（L为AB和AD的长度）

AB段弯矩： M1=0

∂ M1 /∂Q=0

AD段弯矩：M2(x)=

∂M2(x) /∂Q=x

CD段弯矩：M3(y)=（P+Q）y

∂M3(y) /∂Q=y

A截面的水平位移

积分，令Q=0得

(2) B截面的转角

在B处虚加一顺时针的力偶M B,积分，并令其为零。支反力

（L为AB和AD的长度）

AB段弯矩： M1=M B

∂ M1 /∂M B=1

AD段弯矩：M2(x)=

∂M2(x) /∂M B =x/L

CD段弯矩：M3(y)=P y

∂M3(y) /∂M B =0

B截面的转角

积分，令M B =0得

12.2用卡氏第二定理求图12.5 示C点两侧的相对角位移。各杆EI相同，且为已知。

图12.5

[解]

（1）在C处虚加两个力偶M图12.6 示（其后并令其为0），由刚架的

整体平衡条件确定支反力。由∑M A=0和∑M B=0得: V B =P, V A =-

P，P = H A+H B

M

H A

V B

H B

V A

图12.6

再取C以左的部分为研究对象， 由∑M C=0得: H B=p/2－M/L，H A=P/2

+M/L

（2）各段的弯矩

AD段: M1(y)=(p/2+M/L)y ∂M1(x) /∂M=y/L

DC段: M2(x)= -px+(p/2+M/L)L ∂M2(x) ∂M=1 (0≤x≤L/2)

CE段: M3(x)=- (p/2－M/L)L +px ∂M3(x)∂ M=1 (0≤x≤L/2)

BE段: M4(y)= (p/2－M/L)y ，∂M(y)/ ∂M=-y/L

（3）C点两侧的相对角位移

积分，令M =0得：

10.3用卡氏第二定理求解图10.6示的超静定刚架,已知各杆EI相同。

不计剪力和轴力的影响。