工程力学-能量法
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学13能量法
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
工程力学课件(动能定理)全
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
得
几种常见力的功
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
弹性力的功为
因
式中
得
即
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
则
若 常量
由
得
从角 转动到角 过程中力 的功为
§13-2 质点和质点系的动能
2、质点系的动能
由
得
取杆平衡位置为零势能位置:
即
3. 机械能守恒定律
由
即:质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统
及
得
质点系在势力场中运动,有势力功为
M0
M1
M2
例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35× N/m .
求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力
解:
得
例 均质杆AB,l, m,初始铅直静止,无摩擦
求：1.B端未脱离墙时,摆至θ角位 置时的 , ,FBx ,FBy
2. B端脱离瞬间的θ１
3.杆着地时的vC及 2
解:(1)
(2) 脱离瞬间时
(3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时
例:已知 轮I :r, m1; 轮III :r,m3; 轮II :R=2r, m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度,物块:m;摩擦力不计.
求:O1 O2处的约束力.
其中
解:
利用
其中
研究 I 轮
压力角为
研究物块A
研究II轮
例9：已知,m,R, k, CA=2R为弹簧原长,M为常力偶.
1、质点的动能
能量法——精选推荐
(Δ cosθ
)2
=
EAΔ2 2l
cos3 θ
△
对杆2,有:
V2
=
EA 2l
Δ2
∴有
V
= V1
+ V2
+ V3
=
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
外力的力函数为PΔ，故结构的总位能为:
∏
=V
−U
=
⎛ ⎜ ⎝
EAΔ2 l
cos3 θ
+
EAΔ2 2l
−
pΔ
⎞ ⎟
⎠
Pre
Next Exit
∵根据题意,Δ是未知的，现变化Δ满足δΠ= 0条件,故得:
δ
∏
=
∂Π ∂Δ
δΔ
=
⎛ ⎜⎝
2EAΔ l
cos3 θ
+
2EAΔ 2l
−
P
⎞ ⎟⎠
δΔ
=
0
从而得到: ( ) EAΔ 1+ 2 cos3 θ − P = 0 l
( ) 所以得:
Δ=
Pl
EA 1+ 2 cos3 θ
Δ求得后，即可求出各杆的力，可见用位能驻值原理的计算方法
是“位移法”，并且所得的就是力的平衡方程式。若以Π为纵坐标，
2 能量法
能量法是从能量的角度出发去描述结构的平
衡和连续,使力的平衡和变形连续同时满足,出发
点更高,是进一步研究结构的重要理论基础
§6-1 应变能与余能 (知识回顾)
普遍 弹性体的外载 的 与变形间的关 情况 ： 系为非线性的
①可能由于材料本身的 应力—应变间的非线性关系而引起
工程力学 第14章 材料力学中的能量法 习题及解析
B F P CF P(a)工程力学（静力学与材料力学）习题解答第14章 材料力学中的能量法14－1 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于偏导数P ε/F V ∂∂的含义，有下列四种论述，试判断哪一个是正确的。
（A ）C w ； （B ）C w 2； （C ）B w +C w ； （D ）C w 21。
知识点：应变能，卡氏定理 难度：难 解答：正确答案是 C 。
解：线性结构的外力功，由克拉贝依隆原理C C B B w F w F W P P 2121+=而 C C B B w F w F W V P P ε2121+==而卡氏第二定理B B w F V =∂∂P ε，C C w F V =∂∂P εC B C B C C B B w w F F F V F F F V F F F V F F F V F V +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂PPP εP P P εP P P εP P P εP ε 14－2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，其中P PF F ='，εV 为梁的总应变能，AB V ε和BC V ε分别为AB 和BC 段梁的应变能，B w 、C w 分别为点B 、C 的挠度。
关于这些量之间的关系有下列四个等式，试判断哪一个是正确的。
（A ）C B w w F V +=∂∂P ε； （B ）C B w w F V-=∂∂P ε；（C ）B AB w F V =∂∂P ε，C BC w F V =∂∂P ε； （D ）B AB w F V =∂∂P ε，C w F V=∂∂Pε。
知识点：应变能，卡氏定理 难度：难 解答：正确答案是 A 。
解：沿各自力方向的线位移为正：EIl F EI l F EI l F l EI l F EI l F EI l F w C 48114853)2(2)2(3)2(33P 3P 3P 2P 3P 3P =-'=⋅--'=（↓）习题14-1图习题14-2图C'P F 1x 2x AB2l 2l xPF w(a)EIl F EI l F EI l F EI ll F EI l F EI l F w B 16485242)2)(2(3)2(3)2(3P 3P 3P 2P 3P 3P ='+-='+'+-=（↓） 1P1)(x F x M BC '-=，2P 2P 2)2()(x F x lF x M AB ++'-= EIl F EI x x F EI x M V ll BC BC 48)(2d )(2d 32P 20121P2012ε'='-==⎰⎰EIl F EI l F F EI l F x EI x F x lF EI x M V l l AB AB 4848548)(7d 2])2([2d 32P 3P P 32P 20222P 2P2022ε+'-'=⋅++'-==⎰⎰EI l F EI l F F EI l F V V V AB BC 484856)(32P 3P P 32Pεεε+'-'=+= C B w w EIl F EI l F EI l F EI l F F V F V F F F V F F F V F V +='-+-'=∂∂+'∂∂=∂∂⋅∂∂+∂'∂⋅'∂∂=∂∂4852448533P 3P 3P 3PP εP εP P P εP P P εP ε14－3 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV 为梁的总应变能。
工程力学 能量法
§9-3 单位力法（莫尔积分）
1．在原始载荷F1、F2、F3……单独作用下，梁
内变形能U
U M 2xdx
l 2EIZ
—— (a)
F1 F2 F3
C EI2
F
C
EI 2
l
x
l
2．在 F 1单独作用下，梁内变形能 U
U M 2xdx L 2EIZ
—— (b)
F1 F2 F3
能量法
§9-1 概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等 有关问题的方法，称为能量法。
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——载荷做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
T
Mx
M1
d
Mx
L
O
对于线弹性材料，变形能为：
φ1 φ
U W 1 Md 1 M xdx——用外力功表示
0
2 GIP
1 M x2l 2 GIP
——用“内力”表示
1
GI
2
P1
2l
——用“变形”表示
同样，对于一般情况，有：
U 1 M 2 (x)dx
2 l GIP (x)
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立载荷与变形间关系的方法
称为能量方法。
§9-2 杆件的应变能
一、轴向拉伸与压缩应变能
静载：
缓慢
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。
能量法(0509)
•由拉压杆件组成的杆系的变形能：
2 1 5 4 3 P
n 2 n 2 Ni
Pi Li F Li U =∑ =∑ i =1 2 Ei Ai i =1 2 Ei Ai
•受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x dx
q
2009-2-10 材料力学
L
FN ( x ) dx U = ∫ dU = ∫ L L 2 EA
n
n
W =
∫∑
1 0 i =1
n
1 Pi δ iα d α = ( P1δ 1 + P2 δ 2 + 2
+ Pn δ n ) = U
此式称为克拉贝依隆原理。
2009-2-10 材料力学 13
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点
Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
L
(a)
29
能量法与超静定系统/莫尔积分法
由于这一组载荷的作用，在C点发生的挠度即为所求 的 δ c 。而单位力 P0 = 1 在 P1 , P2 , , Pn 作用的过程中， 在相应的位移上所作的功为
∂U ∂M ( s ) M ( s ) ds δi = =∫ s ∂P ∂Pi EI i
式中s —沿曲杆轴线的曲线长度。
2009-2-10 材料力学 22
能量法与超静定系统/卡氏定理
(3) 桁架
∂U = δi = ∂ Pi
∑
i =1
n
F Ni L i ∂ F Ni EA i ∂ Pi
(4) 产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆
•受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)
M ( x ) dx U = ∫ dU = ∫ L L 2GI p
工程力学-能量方法
x2
工程力学
第十五章 能量方法
二、卡氏定理的应用
1、直接求位移
解：
F
x1
C
x2
b
A
a
B
c
b 0
M (x1) EI
M (x1) F
dx1
a 0
T (x2 ) GIp
T (x2 F
)
dx2
a 0
M (x2 EI
)
M (x2 F
)
dx2
b 0
Fx1 EI
x1dx1
a Fb 0 GIp
bdx2
作用有大小为q的匀布载荷，试计算支座反力。已知杆的抗弯刚度
为EI，且不计剪切和轴力的影响。 q
l x2
B
A
B
l
x1 A
FAy
C (a)
FCx C MC FCy (b)
工程力学
第十五章 能量方法
一、解除多余约束法
该刚架是一次静不定，所以需要解除一个多余约束，不妨将A支座 解除掉，并代之以A的支座反力，如图(b)。根据变形比较，A点实
工程力学
第十五章 能量方法
二、三类冲击问题
1、自由落体冲击
Q h
Kd 1
1 2h
st
( a)
d Kdst
d
Fd A
KdQ A
Kd st
Fd d
Q st
( b)
( c)
工程力学
第十五章 能量方法
二、三类冲击问题 v
2、水平冲击
Q
(a)Kd v2Fra bibliotekg st
Fd ( b)
静载荷是指将冲击物的重量当做静载荷沿冲击方 向作用在冲击点处。而静位移位是指在静载荷作 用下，冲击点处沿冲击方向的位移。
工程力学-能量法
② 纯剪切：
v
1
2
应力应变 线性关系
v
O
v
1
2
＝斜线下的面积
11
③ 复杂应力状态下的应变能密度：
v
1 2
(
11
2 2
33 )
由广义胡克定律上式可写为
v
1 2E
2 1
2 2
2 3
2
(
1
2
2 3 31)
(15.7)
④ 用应变能密度表示应变能：
V dV V v dV
12
)
1 2
6E
(1
2
3)2
(15.8)
14
② 畸变能密度：
任意三向应力状态下的畸变能密度为
vd
(15.7)
1 2E
(1 m )2 (2 m )2 (3 m )2
2
(1 ( 2
m )(2 m )(3
m) m)
(
3
m
)(1
m
)1 2E122 22 12
2 3
3
2 m
虚位移原理（虚功原理） (principle of virtual displacement)
虚位移原理是分析力学的一个基本原理，适用于任意质 点系。
虚位移原理应用于变形固体时，外力在虚位移上作功 （外力虚功 ），内力在相应的变形虚位移上也作功（内 力虚功 ）。
变形固体的虚位移原理（虚功原理）
变形固体平衡的充分必要条件：作用于变形固体上的外 力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，即
(15.14)
29
用图乘法计算位移的注意事项
(1) 和 均有 之分。
当 图与 图在同一侧时，
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12 能量法
1、外力的功、应变能、比能等的有关概念，
外力的功
应变能
比能
2、基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算对于线弹范围内的等直拉压杆的应变能
梁横力弯曲的剪切应变能为（常忽略）
当扭矩Mt沿杆轴变化时，圆轴的扭转应变能
横力弯曲时，不计剪切能，，弯矩沿截面变化，梁的应变能为
3、功能原理、功的互等定理和位移互等定理
4、余能概念
5、卡氏第一和第二定理
解题范例
12.1具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图12.1（a）所示，两端梁的弯曲刚度均为EI。
用莫尔法确定中间铰两侧界面的相对转角有下列四种分段方法，使判断哪一种是正确的。
（A）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；
（B）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；
（C）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段；
（D）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段；
图12.1
答案：（A）
12.2图12.2示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为，应变能为；中点只承受集中力偶M时,最大挠度是、梁的应变能为。
当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）+；
（B）++M；
（C）++F；
（D）++（ M+F）；
图12.2
[解] 因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为：
=F f F
在加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍是f F，所以梁内应变能将增加：
M=
当同时施加F和M时的应变能，等于先加F再加M时的应变能，即
+
故答案（A）正确。
12.3 用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A截面的位移和B截面的转角。
略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知.
L
L
Ⅰ
2Ⅰ
图 12.3
[解] （1）A截面的位移
AB段弯矩：M(x)=-Px （0x）
∂M(x) /∂P=-x
在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC段弯矩：M(y)=-2P- Q+(P+Q)y
∂M(y) /∂P=-2+y ∂M(y) /∂ Q=-+y
A截面的竖直位移:
A截面的水平位移:
积分，令Q=0得
(2)B截面的转角
在B处虚加一力偶M B,
AB段弯矩：M(x)=-Px （0x<）
BC段弯矩：
M(y)=-2P-+P y （0<y<）
∂M(x) /∂M B=0 ∂M(y) /∂M B =-1
习题解析
12.1用卡氏第二定理求图12.4示的A截面的位移和B截面的转角。
略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知。
Ⅰ
Ⅰ
2Ⅰ
图12.4
[解] （1）A截面的位移
在A点虚加一向下的力F，支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=0
∂ M1 /∂F=0
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂F=x
CD段弯矩：M3(y)=P y
∂M3(y) /∂F=0
A截面的竖直位移:
积分，令F=0得
求A截面的水平位移时， 在A 处虚加一水平力向右的力Q, 再令其为0.那么, 支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=0
∂ M1 /∂Q=0
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂Q=x
CD段弯矩：M3(y)=（P+Q）y
∂M3(y) /∂Q=y
A截面的水平位移
积分，令Q=0得
(2) B截面的转角
在B处虚加一顺时针的力偶M B,积分，并令其为零。
支反力
（L为AB和AD的长度）
AB段弯矩： M1=M B
∂ M1 /∂M B=1
AD段弯矩：M2(x)=
∂M2(x) /∂M B =x/L
CD段弯矩：M3(y)=P y
∂M3(y) /∂M B =0
B截面的转角
积分，令M B =0得
12.2用卡氏第二定理求图12.5 示C点两侧的相对角位移。
各杆EI相同，且为已知。
图12.5
[解]
（1）在C处虚加两个力偶M图12.6 示（其后并令其为0），由刚架的
整体平衡条件确定支反力。
由∑M A=0和∑M B=0得: V B =P, V A =-
P，P = H A+H B
M
H A
V B
H B
V A
图12.6
再取C以左的部分为研究对象， 由∑M C=0得: H B=p/2－M/L，H A=P/2
+M/L
（2）各段的弯矩
AD段: M1(y)=(p/2+M/L)y ∂M1(x) /∂M=y/L
DC段: M2(x)= -px+(p/2+M/L)L ∂M2(x) ∂M=1 (0≤x≤L/2)
CE段: M3(x)=- (p/2－M/L)L +px ∂M3(x)∂ M=1 (0≤x≤L/2)
BE段: M4(y)= (p/2－M/L)y ，∂M(y)/ ∂M=-y/L
（3）C点两侧的相对角位移
积分，令M =0得：
10.3用卡氏第二定理求解图10.6示的超静定刚架,已知各杆EI相同。
不计剪力和轴力的影响。
图10.6
[解] 设A的支座反力为H A和V A,
AB段: M(x)=H A x∂M(x) /∂H A=x ∂M(x) /∂V A=0 (0≤x≤4)
BC段:M(x)=4H A－V A x+2 x2 (0≤x≤7)
∂M(x) /∂ H A=4 ∂M(x) /∂ V A=-x
由∆AH=0和 ∆AV=0 得：=0
∫04 H A x²dx+∫07 4（4 H A－V A x +2 x2）dx=0
=0
∫07[-x(4H A－V A x+2 x2)] dx=0
可解得H A和V A.再由整体平衡条件确定C的支座反力.
12.4 轴线为水平面内四分之一圆周曲杆,如图12.7所示,在自由端作用竖向荷载P ,设EI和GI P已知,求截面B在竖直方向的位移.
图 12.7
[解] 任意截面的弯矩方程
M(θ)=-RPsinθ ∂M(θ) /∂P=-Rsinθ (0≤θ<π/2)
扭矩方程
Mn(θ)=-RP(1-cosθ) ∂Mn(θ) /∂P=-R(1-cosθ) (0≤θ<π/2)
B截面竖直方向的位移
(↓)。