函数的间断点极其分类
函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
You Know, The More Powerful You Will Be
间断点的分类及判断方法
间断点的分类及判断方法间断点是指在曲线或者函数图像上出现的不连续的点，它们在数学、物理、工程等领域中都有着重要的意义。
对于间断点的分类和判断方法，我们需要进行深入的研究和探讨。
首先，我们来看间断点的分类。
按照函数图像的性质，间断点可以分为三类，第一类是可去间断点，第二类是跳跃间断点，第三类是无穷间断点。
可去间断点是指在该点处函数的极限存在，但函数在该点处的值与极限值不相等。
通常来说，可去间断点是由于函数在该点处没有定义或者定义与极限值不相等所导致的。
在图像上，可去间断点表现为一个空心圆点。
跳跃间断点是指在该点处函数的左极限和右极限存在，但左右极限不相等。
这种间断点通常出现在分段函数的转折处，图像上表现为一个实心圆点。
无穷间断点是指在该点处函数的极限为无穷大或者负无穷大。
在图像上，无穷间断点表现为一个竖直的渐近线。
接下来，我们来谈谈判断间断点的方法。
对于可去间断点，我们可以通过代数方法来判断，即在该点附近对函数进行化简，看是否可以消去分母或者化简为同一表达式。
如果可以化简，则该点为可去间断点；如果不能化简，则不是可去间断点。
对于跳跃间断点，我们可以通过左极限和右极限来判断。
如果左极限不等于右极限，则该点为跳跃间断点；如果左极限等于右极限，则不是跳跃间断点。
对于无穷间断点，我们可以通过极限的性质来判断。
如果在该点的左右极限中至少有一个为无穷大或者负无穷大，则该点为无穷间断点；如果左右极限都有限，则不是无穷间断点。
综上所述，间断点的分类及判断方法对于我们理解函数图像的性质和特点具有重要的意义。
通过对间断点的深入研究，我们可以更好地理解函数的性质，为数学和物理等领域的应用提供更加准确的理论支持。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助。
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
函数的间断点及其类型
函数的间断点及其类型
函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限
存在但不相等。
间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。
1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。
例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。
2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。
例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此
0 是 f(x)的跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。
例如，函数 f(x) = 1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是
f(x)的无穷间断点。
判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。
2.3.4 函数间断点及其分类
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
y
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
解
f (1) 1,
f (1 0) 2,
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如上例中, 令 f (1) 2,
四、函数的间断点及其分类
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f (Leabharlann x )在点x0处有定义;( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
A
0
A X0
x
0
f(x)在 x0 处无定义
y
y=f(x)
X0
x
0
f(x)在 x0 处出现跳跃
f(x)在 x0 处有定义
X0
x
(4)
y sin
(5)
1 x
0
间断点的定义及分类
间断点的定义及分类
函数的间断点是指在该点处函数不连续的点，这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。
间断点可以分为以下几类：
- 第一类间断点：在函数在该点处的左右极限都存在的间断点。
- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时。
- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时。
- 第二类间断点：在函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。
- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时。
- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时。
除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。
这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。
在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。
大一高数知识点总结间断点
大一高数知识点总结间断点大一高数知识点总结—间断点高等数学是大一学生必修的一门重要课程，其中的间断点是其中一个重要的知识点。
本文将对间断点的概念、分类和相关性质进行总结和讨论。
一、概念在数学中，我们称函数f(x)在点x=a处存在间断点，当且仅当下面三个条件满足其中之一：1. f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们不相等；2. f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们等于无穷大；3. f(x)在点x=a的左右极限至少有一个不存在。
二、分类根据间断点的性质，我们可以将间断点分为以下三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点可去间断点也称为可去断点，是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在且相等时，在该点函数值f(a)与左右极限相等的点。
在这种情况下，我们可以通过定义一个新的函数g(x)，使得g(x)在点x=a的左右极限存在且相等，同时g(a)=f(a)，从而在该点解决了间断的问题。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们不相等时，函数值f(a)与左右极限存在差距的点。
这种间断点的存在导致函数的图像在相应点上出现明显的跳跃现象。
3. 无穷间断点无穷间断点也称为无穷断点，是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在，且至少一个极限等于正无穷或负无穷时的点。
这种间断点的存在导致函数在相应点上存在发散或趋势以及各种特殊的性质。
三、性质间断点具有以下一些重要的性质，这些性质为我们进一步研究函数的连续性和收敛性提供了基础。
1. 黎曼可积性若函数f(x)在点x=a的左右极限存在且相等，且f(x)在[a,b]上有界，则函数f(x)在区间[a,b]上是黎曼可积的。
2. 连续性若函数f(x)在点x=a的左右极限都存在，且这两个极限等于f(a)，则称f(x)在点x=a连续。
3. 收敛性当函数f(x)在点x=a的左右极限至少有一个不存在，那么我们可以说f(x)在该点的极限不存在或者函数在该点处发散。
间断点和连续点的关系
间断点和连续点的关系一、概述间断点和连续点是数学中的概念，用于描述函数图像上的特殊点。
间断点指的是函数在某一点上不连续的现象，而连续点则表示函数在某一点上连续的现象。
本文将深入探讨间断点和连续点之间的关系，以及它们在数学中的重要性。
二、间断点的定义与分类1. 定义间断点是指函数在某一点处存在不连续现象的情况。
具体来说，对于函数f(x)，若存在一个点a，满足以下三个条件中的任意一个，就称a为f(x)的间断点： -函数f(x)在点a处的函数值不存在（无定义）。
- 函数f(x)在点a处的函数极限存在，但与f(a)不相等。
- 函数f(x)在点a处的左右极限存在，但不相等。
2. 分类根据间断点的性质，可以将间断点分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：当函数在某一点的函数极限存在，但与函数在该点处的函数值不相等时，称该点为可去间断点。
可去间断点是由于函数在该点附近有一个孤立的不连续现象造成的。
2. 跳跃间断点：当函数在某一点的左右极限存在，但不相等时，称该点为跳跃间断点。
跳跃间断点是由函数在该点出现一个波动不连续的现象造成的。
3. 无穷间断点：当函数在某一点的左右极限至少有一个趋于无穷大时，称该点为无穷间断点。
无穷间断点是由于函数在该点附近的函数值无限增大或减小而导致的。
三、连续点的定义与性质1. 定义连续点是指函数在某一点上满足连续性的现象。
具体来说，对于函数f(x)，若对于任意给定的数ε（ε > 0），存在数δ（δ > 0），使得当|x-a| < δ时，都有|f(x)-f(a)| < ε成立，则称函数f(x)在点a处连续。
2. 性质连续点相较于间断点更加普遍，它们具有以下性质： 1. 函数在连续点的局部变化趋势比较平缓，不会出现突变。
2. 连续点的函数值和函数极限是相等的。
3. 可以通过连续点的局部性质进行函数的逼近和近似计算。
4. 连续点可以构成区间，对函数进行求积分、求导等操作。
函数的间断点种类及其判断
从定义出发首先，考察间断点的概念：若y=f(x)再 x=x_{0} 处出现如下三种情况之一，则称 x_{0} 为 y=f(x) 的间断点:(1)y=f(x)在点 x_{0} 处无定义(2)y=f(x)在点x_{0} 处有定义，但 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} 不存在(3)y=f(x)在点x_{0} 处有定义，但 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} 存在，但 \ lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}≠f(x)据此，我们可以对间断点进行分类第一类间断点第一类间断点也叫有限型间断点，其特点是左右极限均存在.可去间断点可去间断点，据名可知，函数在该处定义极限为函数值，即可将该间断点去除。
即：左极限，右极限存在且相等，但不等于该点的函数值或在该点无定义。
数学语言表示为\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrowx_{0}^{+}}{f(x)}≠{f(x)}跳跃间断点跳跃间断点，顾名思义，即函数在该间断点两侧像是从一个点跳跃到另一个点。
其判断方法为：左极限和右极限均存在，但不相等。
\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}≠\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}第二类间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在。
注：除了第一类间断点其余均为第二类间断点。
无穷间断点在该点可以无定义，且左右极限至少有一个不存在，且改函数在该点极限为∞。
震荡间断点在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值再两个常数之间变动无限多次。
此时左右极限均不存在。
另外，值得说明的是，第一类间断点也叫非无穷间断点，平时做题中，除了第一类间断点，其余书写时均判定位第二类间断点。
同时，根据间断点的类型，我们可对判断间断点的题型作处如下总结：step1：找出函数无定义的点。
函数的间断点及其类型教学提纲
函数的间断点及其类型.教学提纲函数的间断点及其类型教学提纲一、教学目标1.理解间断点的概念和分类。
2.能够判断函数的间断点类型。
3.通过实例分析，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
二、教学内容1.间断点的定义：如果函数在某一点处没有定义，或者在该点处不连续，则该点称为函数的间断点。
2.间断点的分类：根据函数在该点处的性质，间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点包括左跳跃间断点和右跳跃间断点，第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点。
3.间断点的判断方法：根据函数在该点处的极限和连续性来判断间断点的类型。
三、教学步骤1.导入新课：通过实例引入间断点的概念，让学生明确间断点的含义和作用。
2.讲解概念：详细讲解间断点的定义和分类，并通过实例帮助学生理解。
3.判断间断点类型：通过具体函数在某一点处的表现，引导学生判断该点的间断点类型。
4.练习与反馈：给出一些函数，让学生判断其间断点类型，并通过讨论和反馈来加深学生对间断点的理解。
5.小结与作业：总结本节课的内容，并布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
四、教学方法1.实例分析法：通过具体实例的讲解和分析，帮助学生理解和掌握间断点的概念和判断方法。
2.互动讨论法：在教学过程中，鼓励学生提问和发表自己的观点，通过讨论和互动来加深学生对知识的理解。
3.讲练结合法：在讲解完概念和方法后，及时给出练习题让学生进行练习，巩固所学知识。
五、教学难点与重点1.教学难点：如何判断函数的间断点类型，特别是第二类间断点的判断。
2.教学重点：间断点的定义和分类，以及判断方法。
六、教学评价1.课堂表现评价：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、笔记、讨论和回答问题的情况，及时给予反馈和指导。
2.练习和作业评价：通过学生的练习和作业情况，了解学生对间断点概念和判断方法的掌握情况，及时调整教学策略。
3.期末考试评价：在期末考试中设置相关题目，检测学生对间断点的理解和掌握情况。
间断点的分类
间断点的分类
间断点的类型如下：
第一类间断点，分为可去间断点和跳跃间断点；
第二类间断点，包括无穷间断点与振荡间断点。
也有分为无穷间断点和非无穷间断点。
在非无穷间断点中，分为可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点
函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点
函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点
函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。
如函数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点
函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。
如函数y=sin(1/x)在x=0处。
间断点的分类及判断方法
间断点的分类及判断方法
分类：可去间断点,跳跃间断点。
判断方法：先找出无定义的点，就是间断点。
在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点的分类及判断方法
然后用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点，第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点，如果该点左右极限都存在，则是第一类间断点，其中如果左右极限相等，则是第一类可去间断点，如果左右极限不相等，则是第一类不可去间断点，即第一类跳跃间断点。
如果左右极限中有一个不存在，则第二类间断点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。
如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
(精编资料推荐)函数间断点分类及类型
（精编资料推荐）函数间断点分类及类型
函数间断点（intermittent point）是指一个函数图像在某一点发生变化类型的点，
它可能出现在函数的任何一点，但却是某一特定的类型的变化点。
下面介绍函数间断点的
分类及类型。
1. 极大值和极小值断点
极大值断点指函数在该点的前后交替变换。
当函数的导数从正变为负，出现极大值断点，这种断点叫作极大值断点或山谷点；当函数的导数从负变为正，出现极小值断点，这
种断点叫作极小值断点或山峰点。
例如，函数f(x)=x^2-4x+4在（2，4）处有极小值断点。
2. 拐点
拐点指函数在此点处发生变换类型，也叫变换点或汽车变弯断点，它的关键特征是函
数的定义域发生变化，指函数级数的阶发生变化或者函数图像的弯曲发生变化。
例如，函
数f(x)=x^3-3x^2+x在（1，1）处有拐点。
3. 虚点
虚点是函数不可导的断点，也称它们为独立点，主要表现为函数导数定义域发生变化，但函数值的连续性不发生变化的点。
例如，函数f(x)=|x|在（0，0）处有虚点。
总之，函数间断点可以分为极大值和极小值断点、拐点、虚点和无穷值点。
它们差异
来自于函数临界点处函数定义域、导数在此点处取值情况以及函数等值线形状变化等特性。
函数的间断点的分类及应用
函数的间断点的分类及应用
1、一阶间断点：它是在函数定义域上存在一个取值范围，取到该值时函数值出现间断，但仍有连续性，这个范围中函数不可导，这种类型的间断点称为一阶间断点。
应用：
1).一阶间断点在求解动力学的问题来用来求解关节的转动方向及型变。
2).在实用工程上一阶间断点用来模拟聚脂环的行为。
2、二阶间断点：函数定义域上存在一个取值范围，取到该范围的值时，函数值函数曲线出现、折屈，此时函数连续，但且其一阶导数有间断，这种类型的间断点称为二阶间断点。
应用：
1).从另一角度上看，二阶间断点主要应用在圆弧凸性加工中。
当圆弧处于二阶间断点时，比如出现折线，可以用来处理材料重叠现象；
2).二阶间断点也广泛应用于软件系统上，比如用在数显表中可以提高数据的读取速度；
3)除此之外，二阶间断点还被广泛应用在测温仪系统中，特别是现代汽车上，二阶间断点技术可以更精确的测量内部汽车温度。
函数的间断点
(2) 跳跃间断点
如果 f ( x)在点x0处左右极限都存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例2
讨论函数
f (x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
解
x2
x2 1 2x
3
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
，
lim
x1
x2 1 x2 2x 3
lim
x1
x1 x3
1， 2
故 x 1 为第一类(可去型)间断点；
而
lim
x3
x
2
x2 1 2x
3
,
故 x 3 为第二类(无穷型)间断点.
8
例6
讨论函数
f
(x)
1 1 e x /(1 x)
虽然初等函数在其定义域上都是连续函数， 但也有许多函数不是连续的.
间断点分类：
1、左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：
(1) 可去间断点
如
果
f
(
x
)在
点
x0处
的
极
限
存
在,
但
lim
x x0
f (x)
A f ( x0 ), 或 f ( x)在点x0处无定义，则称点x0
为函数 f ( x)的可去间断点.
间断点
Байду номын сангаас
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
10
高数上第一章154间断点及其分类
利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函 数，分别分析这些基本初等函数的间 断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注 意各基本初等函数定义域的变化对复 合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函 数的运算性质（如加减、乘除、复合等） ，判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现 ，间断点可分为第一类间断点和 第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相 等，但极限存在。通过补充或修改函 数在该点的定义，可以使函数在该点 连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不 相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因 此没有间断点。但在某些特定情况下 （如底数或指数趋于无穷大时），可 能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但 当对数函数的真数趋于零或负无穷大时 ，可能会出现间断现象。此时需要结合 对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类
间断点的分类
间断点的分类
⼀、函数与极限
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x 0是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x 0称为函数的第⼀类间断点；不是第⼀类间断点的任何间断点，称为第⼆类间断点.
可去间断点
若x 0是函数的间断点，但极限
存在，那末x 0是函数的第⼀类间断点。
此时函
数不连续原因是：不存在或者是存在但≠。
我们令，则可使函数在点x 0处连续，故这种间断点x 0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：
a)：有限个在某点连续的函数的和是⼀个在该点连续的函数；
b)：有限个在某点连续的函数的乘积是⼀个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是⼀个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；
反函数的连续性若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续
例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间
[-1,1]上也是单调增且连续的。
复合函数的连续性
设函数
当x→x 0时的极限存在且等于a，即：.⽽函数在点u=a
连续，那末复合函数当x→x 0时的极限也存在且等于.即：例题：求
解答：
注：函数可看作与复合⽽成，且函数在点u=e 连续，因此可得出上述结论。
设函数在点x=x 0连续，且，⽽函数在点u=u 0连续，那末复合函数
在点x=x
也是连续的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的间断点极其分类
1、函数的间断点的定义
作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ
设函数f （x ）在点x 0的某去心邻域内有定义。
在此前提下，如果函数 f （x ）满足下列三种情形之一： （1）在x = x 0没有定义；
（2）虽在x = x 0有定义，但 lim f (x ) 不存在；
x→x 0
（3）虽在x = x 0有定义，且 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠ f (x 0)，
x→x 0
x→x 0
那么函数 f （x ）在点x 0处不连续，而点x 0称为函数f （x ）的不连续点或间断点。
2、函数的间断点的分类
（1）第一类间断点
设x 0是函数y = f (x )的间断点，如果f (x )在间断点x 0处的左、右极限都存在， 则称x 0是f (x )的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
左、右极限相等称为可去间断点， 左、右极限不相等则称为跳跃间断点。
【例1】x = 0是f (x ) = sin x 的可去间断点。
x
【解】函数f (x ) = sin x 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。
x 但这里lim sin x = 1，即极限存在。
也就是左极限 = 右极限。
x→0 x
所以 x = 0 称为该函数的可去间断点。
【例2】x = 0是f (x ) = |x | 的跳跃间断点。
x
【解】：函数 f (x ) = |x | 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。
x 当x < 0 时, f (x ) = |x | = −x = −1; 当x > 0 时, f (x ) = |x | x
x
x
x = x = 1; 那么， lim − f (x ) = lim − −1 = −1， lim + f (x ) = lim + 1 = 1。
lim − f (x ) ≠ lim + f (x ) 。
x→x 0 x→x 0
x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
（至少一个单侧极限不存在） 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
【例 1】x = 0 是 f (x ) = 1 的无穷间断点。
x 解：f (x ) = 1 在点 x = 0 处没有定义，所以点x = 0 是函数 f (x ) = 1 的间断点。
x x 因为lim 1 = ∞, 所以称点x = 0 为函数 f (x ) = 1 的无穷间断点。
x→0 x x
【例 2】x = 0 是 f (x ) = sin 1 的振荡间断点。
解：f (x ) = sin 1 在点 x = 0 处没有定义。
x
当 x → 0 时，函数值在− 1 和+ 1 之间变动无限多次。
所以，点 x = 0 称为函数sin 1 的振荡间断点。
x。