中考数学压轴题专题费马点

专题9 费马点

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP

则△APC≌△APC，PC＝PC

因为∠BAC≥120°

所以∠PAP＝∠CAC≤60

所以在等腰△PAP中，AP≥PP

所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC

所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点

证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC

将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC

所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO

所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D

则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O

如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短

解：∵t ＝

v

GM

v v GM 22GA GA 2+=

+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短

如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG ∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG

把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′ ∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形 则GG ′＝G ′B ＝GB 又∵M ′G ′＝MG

∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG ∵点A 、M ′为定点

∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小 ∴点G 的坐标为（0，32）

例2 A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？

解：如图，将△ABP 绕点N 逆时针旋转60°，得到△EBM ；同样，将△DCQ 绕点C 顺时针旋转60°，得到△FCN ，连结AE 、DF ，则△ABE 、△DCF 均为等边三角形，连结PM 、QN ，则△BPM ，△CQN 均为等边三角形

所以当点E ，M ，P ，Q ，N ，F 共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF 的长，如图，此时点P ，Q 在EF 上，1＝2＝3＝

4＝30．

F

N

E

M

B C

A

D

P

Q

进阶训练

1．如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求PA ＋PB ＋

PC 的最小值，并确定当PA ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数．

B

C

A

P

答案：PA ＋PB ＋PC 的最小值为7，此时APC ＝120．

P'

A'

P

A

C

B E

【提示】如图，将

APB 绕点B 逆时针旋转60，得到A 'BP '，连结PP '，A 'C ．过点

A '作A 'E BC ，交C

B 的延长线于点E ．解Rt A 'E

C 求A 'C 的长，所得即为PA ＋PB ＋PC 的

最小值．

2． 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60

得到BN ，连结AM ，CM ，EN ．

（1）当M 在何处时，AM ＋CM 的值最小?

（2）当M 在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小？请说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．

N

E

M

答案：（1）当点M 落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小，最小值为AC 的长； （2）连结CE ，当点M 位于BD 与CE 的交点处时．AM ＋BM ＋CM 的值最小，最小值为CE

的长．

（3）正方形的边长为2．

【提示】（3）过点E 作EF BC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．

N

E

M