中考专题一-折叠问题题型方法归纳
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(第18题图)M A
C B
折叠问题
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等;考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等;解题时,灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成,常常伴有折叠;解压轴题时,要学会将大题分解成一道道小题;那么多作折叠的选择题填空题,很有必要。 1、(2009年浙江省绍兴市)如图,D E ,分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处.若48CDE ∠=°,则APD ∠等于( ) A .42° B .48° C .52° D .58°
2、(2009湖北省荆门市)如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上A ′处,折痕为CD ,则A DB '∠=( ) A .40° B .30° C .20° D .10°
3、(2009年日照市)
将三角形纸片(△ABC )按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF .已知AB =AC =3,BC =4,若以点B ′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么BF 的长度是 . 4、(2009年衢州)在△ABC 中,AB =12,AC =10,BC =9,AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠,使点A 与点D 重合,折痕为EF ,则△DEF 的周长为 A .9.5 B .10.5 C .11 D .15.5
5、(2009泰安)如图,在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,∠A <∠B ,沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠,使点A 落在点D 处, 若CD 恰好与MB 垂直,则tanA 的值为 .
6、(2009年上海市)在Rt ABC △中,903BAC AB M ∠==°,,为边BC 上的点,联结AM (如图3所示).如果将ABM △沿直线AM 翻折后,点B 恰好落在边AC 的中点处,那么点M 到AC 的距离是 .
7、(2009宁夏) 如图:在Rt ABC △中,90ACB ∠=°,CD 是AB 边上的中线,将ADC △沿AC 边所在的直线折叠,使点D 落在点E 处,得四边形ABCE . 求证:EC AB ∥. 8、(2009年清远)如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和
C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合)
,过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .
(2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?
9、(2009恩施市)如图,在ABC △中,9010A BC ABC ∠==°,,△的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合),过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E .设DE x =,以DE 为折线将ADE △翻折(使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内),所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y .
(1)用x 表示ADE △的面积;
(2)求出05x <≤时y 与x 的函数关系式; (3)求出510x <<时y 与x 的函数关系式;
(4)当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?
A
图3 B
M
C
B C
N
M A
第2题图
A '
B
D
A C E C
B A D
提示:相似、二次函数 10、(2009年天津市)
已知一个直角三角形纸片OAB ,其中9024AOB OA OB ∠===°,,.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D .
(Ⅰ)若折叠后使点B 与点A 重合,求点C 的坐标;提示:画出图形,图中性质 △ACD ≌△BCD,△BDC ∽△BOA,BC=AC
(Ⅱ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',设OB x '=,OC y =,试写出y 关于x 的函数解析式,并确定y 的取值范围;
提示:画图,△COB '中由勾股定理得出函数关系式,由x 取值范围确定y 范围。
(Ⅲ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',且使B D OB '∥,求此时点C 的坐标. 提示:画图,△COB '∽△BOA
11、(2009年湖南长沙)如图,二次函数2
y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴交于A B 、两点,
与y 轴相交于点C .连结AC BC A C
、,、两点的坐标分别为(30)A -,、(0C ,且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等.
(1)求实数a b c ,,的值;
(2)若点M N 、同时从B 点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t 秒时,连结MN ,将BMN △沿MN 翻折,B 点恰好落在AC 边上的P 处,求t 的值及点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ,使得以B N Q ,,为项点的三角形与ABC △相似?如果存在,请求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 提示:第(2)问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形;
第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC 相似的△BNQ ,
12、(2009年浙江省湖州市)
已知抛物线2
2y x x a =-+(0a <)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线1
2
y x a =
-分别与x 轴,y 轴相交于B C ,两点,并且与直线AM 相交于点N .
(1)填空:试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则()()M N , , , ; (2)如图,将NAC △沿y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上,AN ′与x 轴交于点
D ,连结CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积;
(3)在抛物线2
2y x x a =-+(0a <)上是否存在一点P ,使得以P A C
N ,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,试说明理由
.
E
A '
D B
C
A B C A