(完整版)北师大版九年级数学动点问题题型方法归纳,推荐文档
初中数学动点问题(北师大版)
初中数学动点问题(北师大版)1. 引言初中数学动点问题是数学中经常出现的一个考点，它涉及到点在平面内移动的问题。
通过解决这类问题，可以帮助学生理解和掌握坐标系、图形变换等数学概念。
本文将重点介绍北师大版初中数学教材中关于动点问题的内容。
2. 动点问题的基本概念动点问题是指一个点在平面内以一定的规律进行移动的情况。
这个点可以在平面内的不同位置上，可以沿直线、曲线等路径运动。
学生需要根据提供的条件，确定点的运动轨迹、速度、方向等。
解决动点问题需要运用坐标系、直线方程、参数方程等知识。
3. 动点问题的解决方法解决动点问题的方法有多种，下面介绍几种常见的方法：- 使用坐标系：通过建立合适的坐标系，将点的位置用坐标表示，便于进行计算和分析。
- 利用直线方程：当点在直线上运动时，可以通过直线方程来确定点的位置，进而求解相关问题。
- 应用参数方程：对于复杂的轨迹，可以使用参数方程来描述点的位置，通过确定参数值来求解问题。
- 运用速度概念：当点的位置随时间变化时，可以利用速度概念来描述点的运动，并解决相关问题。
4. 例题分析下面通过例题来具体说明解决动点问题的步骤和方法。
例题：一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？一条船以每小时12公里的速度顺水航行，沿江下游行驶，下游距离为96公里。
一条狗站在江边，见船过去需0.5小时，它就跳入江中追船，每小时游5公里。
试问，狗游完全程需要多少时间？解答：首先，设狗追船的时间为$t$小时，则船运动的时间为$t+0.5$小时。
根据题意可得：船的位移 = 船的速度 ×船的时间狗的位移 = 狗的速度 ×狗的时间根据题目中给出的数据，可列出方程组：$$12 \times (t+0.5) = 96$$$$5 \times t = 96$$解方程可得：$t=\frac{192}{17}$因此，狗游完全程需要$\frac{192}{17}$小时。
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程中的最值问题及动点问题学生版
AC B p Q【例3】如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．练习：如图，在长方形ABCD 中，AB=5cm ，BC=7cm ，点P 从点A 开始沿线段AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿线段BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 分别从A ，B 两点同时出发了t 秒钟，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0＜t ＜3.5）（1）经过几秒钟后，PQ 的长度等于5cm ．（2）经过几秒钟后，△BPQ 的面积等于4cm ．（3）经过几秒钟后，△DPQ 是等腰三角形？【例4】已知：如图，△ABC 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间t (s )，解答下列各问题：（1）求ABC ∆的面积（2）当t 为何值是，△PBQ 是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t ，使PBQ ∆的面积是ABC ∆面积的九分之二？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由。
练习：如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点PS△ABC？若存在，请求出t的值；运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD=112若不存在，请说明理由．【例5】如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x2-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒（1）设△APB和△OPB的面积分别为S1，S2，求S1：S2；（2）求直线BC的解析式；（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，求出时间t；若不可能，请说明理由．巩固检测1、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是2、在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB＝23，则AC的长是3、用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用长18cm长的铁丝弯成一个腰长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为4、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于103cm2？5、练习：如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点P从A出发沿线段AB运动，过点P作PF∥BC，交线段AC于点F．（1）点P在运动的过程中，△APF的形状（填“改变”或“不变”）．如果改变，请指出所有可能出现的形状；如果不变，请指出它是什么三角形．（2）如图2以顶点B为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P从A出发的同时，点Q从C出发沿BC的延长线运动，它们的运动速度相同，连线PQ与边AC交于点D．试解决以下两个问题：①当AP为何值时，S△PCQ=14S△ABC；②作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．。
第3章圆 题型解读10 圆动点的运动路径问题-北师大版九年级数学下册
题型全解10 圆动点的运动路径问题【思路梳理】1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度；【典型例题】1.正方形ABCD的边长为4cm，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为_____思路分析：抓住点O运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：点P的初始位置是点B，此时Q与C重合，AQ与对角线AC重合，AQ的中点O即为正方形对角线的中点O`；②任意位置：题目给的图形即是点O运动的任意位置；③结束位置：当P与C重合时，AP与AC重合，Q是PQ⊥AP的垂足，所以Q与C、P重合，AQ与AC重合，AQ的中点O仍是正方形对角线的中点O`，把以上三个位置连线，可知线段AQ的中点O的运动轨迹是O`---O----0`这条线段上运动，而CQ的长度也是由小到大再到小的变化，则OO`是中位线，所以，当CQ有最大值时，OO`也有最大值.由于图中出现了“一线三直角”的典型模型，我们可以用代数办法来求CQ的最大值。
解题过程：如图，连接AC，取AC的中点O`，取AQ的中点O，连接OO`，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，∵△ABP∽△PCQ，∴AB:PC=BP:CQ,即4:(4-x)=x:y,∴y=-0.5x*2+x=-0.5+1(0<x<4)，∴当x=2时，y有最大值为1cm，∵OO`中△ACQ的中位线，CQ取最大时，∴点O的运动路径长为2OO`=2cm2.如图，正方形ABCD中，P为AC上一动点，过点P作PQ⊥BP交CD边于Q.点P从点A出发，沿AC方向移动，若移动的路径长为2，则BQ 的中点M 移动的路径长为_____ 思路分析：抓住点M 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
北师大版初三数学上册利用一元二次方程解决动点问题
第二章一元二次方程专题复习：应用一元二次方程解决动点问题沈阳市第一○○中学安炜一、学生知识状况分析学生已经学习了一元二次方程及其解法，体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，初步具备了利用数学知识解决实际问题的能力；在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是一元二次方程的复习课.动点问题，是近几年中考的热点内容之一.也是数学建模思想的具体体现.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题，但是学生往往感到还是有一定的难度.本节课以此专题为重点，从简单的动点问题入手，引领学生总结解决此类问题的关键是认真审题，建立数学模型，灵活运用一元二次方程的解法等.为此，设置本节课的教学目标如下：知识目标：1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.能力目标：1．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作交流的意识和能力.三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：共同探究，总结方法；第二环节：合作交流，掌握方法；第三环节：活学巧练，强化能力；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业.第一环节：共同探究，总结方法活动内容：动点问题已经成为近几年中考的热点内容之一.利用一元二次方程已经能解决一些简单的动点问题.解决此类问题的基本思想是“动中求静”.投影展示例题，共同探究.例：在矩形ABCD中AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始以1 cm/s 的速度沿AB边向点B移动.点Q从点B开始以2 cm/s 的速度沿BC边向点C移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，变式训练：⑴几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?⑵几秒后，P，Q之间的距离是cm?在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解.解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系.在和学生共同探究过程中，为了帮助学生更好地理解题意，设计以下几个问题：①有几个动点？② 动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？③ 图中有哪些线段可以用t 表示？指导学生将已知条件在图形上表示，并利用几何画板直观展示图形的变化过程，有助学生分析理解. 引导学生找出题目中的等量关系，即：速度等量：P Q V V 2=时间等量：P Q t t =面积：BQ PB S PBQ ∙∙=∆21 三边关系：222PQ BQ PB =+学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：PB 、BQ 的长，根据面积公式和勾股定理列方程求解，并判断解的合理性. 结合此题，引导学生总结利用一元二次方程解决动点问题的关键、方法及常用的数量关系.解决有关动点问题的方法•关键——动中取静把握运动规律，寻求运动中的特殊位置•方法——时间变路程求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度•常依据的数量关系——面积，勾股定理由此，学会把动点的问题转化为静点的问题，是解决这类问题的关键。
北师大 中考 实用总结中考 数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. AB CO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
北师大 中考 实用总结中考 数学动点问题专题讲解(22页)
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. AB CO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
数学北师大版九年级下册动点动形专题讲解
一、中考解读
动态型问题是近几年中考命题的热点，这类题不 仅能在运动变化中考查考生的操作能力、想象能力、 综合解决问题的能力，同时还体现了数形结合思想、
分类讨论思想等，因此常常是压轴题.在试卷中的所
占分值约为15-18分，尤其是由动点在几何图形或抛
物线上运动形成的特殊的三角形、四边形的面积的最
值与存在性问题、开放性问题相结合的题型，预计会 是今后中考命题的趋势.
二、动态问题的分类
动态几何问题就是以几何知识为背景，渗入运动变化观点的一类问题， 它通常分为三种类型：
（1）点动型（常见形式是点在线段或曲线上运动）
（2）线动型（常见形式是直线或者线段在三角形或四边形上运动）
（3）形动型（动形问题通常是图形的翻转，平移、旋转变换问题）
三、动态问题的解题策略
动 中 窥 静
1、分析运动的全过程
2、找到运动的临界点 3、把握每个阶段的运动 4、数形结合、分类讨论是解决几何动态 问题的重要思想，并常与函数、方程、 不等式等联系起来
以 静 制 动
四、范例讲解
例1（2013年辽宁营口中考题）如图1，在矩形 ABCD中，动点E从点B出发，沿着BADC方向运动至 点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积 为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则当X=7时， 点E应运动到（ ） y
(2)设△AMN的面积为S，求 S与t的函数关系式；
N
A
M
B x m
例3 Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝
8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和 M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不 动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速 度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩 形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y (c㎡)，求y与 读题要领: x之间的函数关系式？ P
初中数学动点问题(北师大版)
初中数学动点问题(北师大版)什么是动点问题？在初中数学中，我们经常会遇到动点问题。
所谓动点问题，就是指描述物体或者点在时间推移过程中的运动规律问题。
这类问题常常涉及到时间、距离、速度等概念，需要我们通过分析运动规律来求解。
动点问题的解题方法对于动点问题的解题，我们可以采用以下几种方法：1. 利用图象法：通过绘制物体或点的运动图象，观察并分析其运动规律。
2. 利用表格法：将物体或点在不同时间的位置、距离、速度等数据记录在表格中，通过查找规律来求解问题。
3. 利用方程法：利用物理公式或者运动方程，建立方程并解方程求解问题。
解题示例下面我们通过一个例子来说明解决动点问题的方法。
例题：小明骑自行车从A地点出发，以每小时10千米的速度向B地点前进。
同一时刻，小红从B地点骑自行车以每小时8千米的速度向A地点前进。
A、B两地点的距离为40千米，请问他们什么时候会相遇？解题步骤：1. 首先，我们可以利用表格法来分别记录小明和小红在不同时间的位置。
假设t为时间（小时），则小明离A地点的距离为10t 千米，小红离B地点的距离为40-8t千米。
根据题目条件可列出如下表格：2. 通过观察表格，我们可以发现小明和小红在5小时的时候相遇，此时小明骑行50千米，小红骑行40千米，两人相遇位置即为相遇点。
3. 因此，小明和小红在5小时后会相遇。
总结动点问题是初中数学中的常见题型，需要我们通过分析运动规律来解决。
我们可以利用图象法、表格法和方程法等方法来求解动点问题。
通过多做练，熟练掌握这些解题方法，我们就能够更好地应对动点问题，提高数学解题能力。
(完整版)(完整word)初三数学动点问题总结,推荐文档
解得：t=< (5分)
33
而MN=..NC= ..(1+t)
(4)①当MP=Mffl-(如图1)贝U有：NP=NC
即PC=2NC・4-t=2(1+t)
2当CM=CP^(如图2)
则有：
5
(1+t)=4-t
11
解得：t=/3当PM=PC寸(如图Fra bibliotek)则有：
在Rt△MNF中,PM2=MN2+PN2
33
而MN=.-NC= ..(1+t)
BC, CB DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm(xm0),贝U AP=2xcm
CM=3xcm DN=x2cm
(1)当x为何值时，以PQ MN为两边，以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边构成一个三角形；
(2)当x为何值时，以P,Q, M, N为顶点的四边形是平行四边形；
以P,Q,MN为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时，AP=MCBQ=ND当点P在点N的右侧时，AN=MC BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式.
1当皿卩=皿时，那么PC=2NC据此可求出t的值.
2当CM=CPt，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
3当MP=PC寸，在直角三角形MNP中先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值.
综上所述可得出符合条件的t的值.
解答：
解: (1)vAQ=3-t
•CN=4-(3-t)=1+t
四边形PCDQ勾成平行四边形就是PC=DQ列方程4-t=t即解；
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y
M
D C
P
A O
Q
Bx
二、特殊四边形边上动点
4、（2009 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米， B 60° ．从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时
从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A C B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿
A B C D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△
PMB 的面积为 S（ S 0 ），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范
围）；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正
1、（2009 年齐齐哈尔市）直线 y 3 x 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O → B → A 运动．
（1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t(s) ．问当
t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位
提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边
的比 。
D
C
P
AQ
B
5、（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（
3 ，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．
x 秒时， △APQ 与 △ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形），解答
下列问题：
（1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是
秒；
（2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 △APQ 是等边三角形时 x 的值是
秒；
（3）求 y 与 x 之间的函数关系式．
5
标． 提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根 据图形性质求顶点坐标。
②若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 E，当 S<2 3 时，求 m 的取值范围(写出答案即可)．
动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程 中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四 边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关 键给以点拨。 一、三角形边上动点
位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运 动．过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点 F，连结 DA、DF．设运动时间为 t 秒． (1)求∠ABC 的度数； (2)当 t 为何值时，AB∥DF； (3)设四边形 AEFD 的面积为 S． ①求 S 关于 t 的函数关系式；
y B
P OQ
Ax
2、（2009 年衡阳市）
C
C
C
F
F
A
O
B DA
E O
B
A
OEB
图 （1）
图 （2）
图 （3）
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径； （2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向
的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 t (s) ，
连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。
切值．
注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；
y
y
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余，画出 A ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出 t 值。
H B点 P 运动 A
过程中， HB
M
O
Cx
M
O
Cx
图
图
利用 OB⊥AC,再求 OP 与 AC 夹角正切值.
6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ，0)，B(3 3 ，2)，C（0，2)．动点 D 以每秒 1 个单
运动，设运动时间为 t(s)(0 t 2) ，连结 EF，当 t 为何值时，△BEF 为直角三角形．
注意：第（3）问按直角位置分类讨论
3、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线 y a(x 1)2 3 3(a 0) 经过点 A(2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过
O 作射线 OM ∥ AD ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．