可控性与可观性ppt课件
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线性系统的可控性.ppt
注意: (1).(2-6) 是无穷矩阵。如不注意到这一点容 易出错; (2). t 是[t1，t2] 中的任一固定点（包括端 点）！
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
例2-3：令
F(t )
sin1000t sin 2000t
F(t)
F(1)
(t)
sin1000t sin 2000t
103 cos1000t
2
103
cos
2000t
定理2-1 f1, f2 , …, fn在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是W(t1，t2)非奇异。 证明：充分性：反证法。
事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量，使得
αF(t) 0 t [t1,t2]
因此有
t2
W(t1,t2 ) F(t)F *(t)dt 0 t1
A(t)为n n, B(t)为n p, C(t)为q n, D(t)为q p阵。
注1：一个函数 f 称为在 [t0, ) 上分段连续， 系指对任意给定的闭区间 [t1, t2] [t0, ) , 其不 连续点的个数有限。
注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控 制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广 泛的一类控制信号。
容易看出，当 t 0, ,
1000 <2。
时，rnak[F(t) F(1)(t)]
但却有如下结论：
定理：设 fi (i=1,2,n) 在[t1，t2]上解析，则 fi 在
[t1，t2]上线性无关的充分必要条件是在[t1，t2]上几 乎处处有
rank[F(t) F(1) (t) F(Байду номын сангаас1) (t)] n 证明：略。
维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称
t2
自动控制原理 第十四讲 可控性和可观测性
Controllability to observability through the transformation
A→A
T
Observable canonical form
− a1 1 − a 0 2 dz . . = . dt a − n−1 0 − an 0 y = 1 0 0... ... 0 b1 1 0 b2 . . z + u . 0 1 0 0 bn 0 z + Du
Cancellation of Poles and Zeros
Formal calculations with Laplace transforms sometimes leads to cancellation of poles and zeros. Consider the system
dy du = dt dt
c K. J. Åström August, 2001 3
Disturbance Observer
The following system has been used to model constant load disturbances
dx = Ax + B (u + v) dt dv =0 dt y = Cx
Duality
Controllability of
dx = Ax + Bu dt is the same as observability for
dx = AT x dt y = BTx
Canonical Forms
可控性与可观性
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
C
第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
9.2 线性系统的可控性和可观测性
k k t1 k 0 0
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
n 1
n 1 k 0
t1
0
k ( )u( )d f k
f0 f An 1 B 1 f n 1
若图1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电 压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统 是可控的。
由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
+ x1 + C1 R u R + x2 R C2 R
阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图2 并联双水槽系统
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
O QO 1 Q1 h1 h2 QO 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。 该双水槽系统的状态可控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
t / AR
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
x1 (t ) x2 (t ) e t / AR x1 (0) x2 (0)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
第四章线性系统的可控性和可观性2
§4-5 线性定常连续系统的可观测性一、可观测性的定义定义4.4（可观测性定义）：设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x+= ，cx y =，如果对于任一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。
若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。
二、线性定常连续系统可观测性的判别准则定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是：由A 、C 构成的可观测性判别矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n o cA cA c Q 满秩，即n rankQ o =【例4.5.1】判别可观测性（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110154 ，[]x y 11-=（2）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113112 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0101说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ⎰-+-=tt d Bu t t x t t t x 0)()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ，[]x y 11= 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5511cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12120101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）设线性定常连续系统Bu Ax x+= ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。
现代控制技术可控性和可观性PPT课件
[u(t
)
]
y(t) 1
0
x1 x2
(t) (t)
F＝e 0.1A
I 0.1A
0.0 1A 2 2!
An (0.1)n n!
1 0
0.1
1
>> a=[0 1；0 0]； b=expm(a*0.1) ——matlab语句
G＝
T 0
e At Bdt＝
0.1 0
L1[(sI
A)-1 ]Bdt
lim xˆ (t) lim x(t)
t
t
第20页/共59页
状态观测器
通过输出计算得到的系统状态，显然是一个估计值，如果对状态估 计的很准，通过极点配置法，就可以得到比较理想的控制系统。 预报观测器
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) K[y(k) Cxˆ(k)]
未来状态的估计值＝
x(0 )
t1 eA B u( )d
0
t1 0
n1
ci ( )AiBu( )d
i0
n1
AiB
i0
t1 0
ci
(
)u(
)d
令
i
(t1
)＝
t1 0
ci
(
)u(
)d
n1
x(0 ) AiBi (t1 )
i0
写成矩阵形式
0 (t)
x(0 )＝ B
AB
A n1B
1
(t
)
n-1 (t)
解：被控对像的微分方程为
d2y(t)/dt2=u(t)
令 x1(t)=y(t)，x2(t)= dx1(t)/dt=dy(t)/t 有 dx2(t)/dt＝d2y(t)/dt2=u(t)
4.系统的可控可观性
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 )
t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间 t0 , t1内，
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，源自uB1
x1
B2
x2
输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3
x3
因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。
解：
4.1.4 系统的可观性概念 如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由 有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观
测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全
可观测的，简称为系统不可观测。
提示：号脉
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输
入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入
At o
由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所 以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据 判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
Ax x y Cx
其输出向量为
y(t ) Ce At x(0)
第四章可控与可观
Ax bu 定理：线性定常单输入系统 x
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0, , n 1)为 I A n a n 1 n 1 a1 a0 各项系数
Modern Control Theory
现 代 控 制 理 论
（3 ）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
4 1 0 0 0 4 0 x x 2 3 1 0 0 3 0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
0 1 u 0 0
1 0 u 0 1
（4 ）
解：
（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
Modern Control Theory
Page: 14
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
二、 可控标准型
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0, , n 1)为 I A n a n 1 n 1 a1 a0 各项系数
Modern Control Theory
现 代 控 制 理 论
（3 ）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
4 1 0 0 0 4 0 x x 2 3 1 0 0 3 0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
0 1 u 0 0
1 0 u 0 1
（4 ）
解：
（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
Modern Control Theory
Page: 14
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
二、 可控标准型
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4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
9-2线性系统的可控性与可观测性
19
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
第十八节 可控、可观性
1 2 N
x(0) [F G F G ... F G]u(0) u(1) ... u( N 1)
T
为使上式有解，应满足： ▲N=n ▲方程的系数矩阵必须满足：
rankWC rank[F 1G F 2G ... F N G] n
二
★定义
可观性
对于以上离散系统，如果能利用系统 输出y(k)，在有限时间内确定系统的初始 状态 x(0)，则称系统是可观的。 ▲系统的可观性只与系统结构及输出信息 的特性有关，与控制矩阵G 无关。
0 0 x( k ) .. r ( k ) .. .. ... 1 0 ... ( a1 k n ) 1 ... ... 0 0
特征方程为
det[zI (F GK )] z n (a1 kn )z n1 ... (an k1 ) 0
0 x ( 3) 0 ........
1 1 x2 ( 2) u( 2) u( 2) x( 2) u( 2) 0 0 0 0
◆由递推解可见，当 u(k) 0 ，在 k > 2 时，有 x(k) 0 ，即系统是可控的；但是，由于x2(k) 0 ，因此不存在一个控制序列u(k) ，能使系 统由任意初态到达任意给定（ x2(N) 0）的终
第十八节 可控可观性与状态反馈设计
一
二
三 四
可控性与可达性 可观性 状态反馈控制 单输入系统的极点配置
一
设离散系统
可控性与可达性
x( k 1) Fx( k ) Gu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
◆可控性
对以上离散系统，如能找到一个控制序 列u(k) ，使得在有限时间内能从任意初始状 态到达原点（零状态），则称系统是状态完 全可控的。
x(0) [F G F G ... F G]u(0) u(1) ... u( N 1)
T
为使上式有解，应满足： ▲N=n ▲方程的系数矩阵必须满足：
rankWC rank[F 1G F 2G ... F N G] n
二
★定义
可观性
对于以上离散系统，如果能利用系统 输出y(k)，在有限时间内确定系统的初始 状态 x(0)，则称系统是可观的。 ▲系统的可观性只与系统结构及输出信息 的特性有关，与控制矩阵G 无关。
0 0 x( k ) .. r ( k ) .. .. ... 1 0 ... ( a1 k n ) 1 ... ... 0 0
特征方程为
det[zI (F GK )] z n (a1 kn )z n1 ... (an k1 ) 0
0 x ( 3) 0 ........
1 1 x2 ( 2) u( 2) u( 2) x( 2) u( 2) 0 0 0 0
◆由递推解可见，当 u(k) 0 ，在 k > 2 时，有 x(k) 0 ，即系统是可控的；但是，由于x2(k) 0 ，因此不存在一个控制序列u(k) ，能使系 统由任意初态到达任意给定（ x2(N) 0）的终
第十八节 可控可观性与状态反馈设计
一
二
三 四
可控性与可达性 可观性 状态反馈控制 单输入系统的极点配置
一
设离散系统
可控性与可达性
x( k 1) Fx( k ) Gu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
◆可控性
对以上离散系统，如能找到一个控制序 列u(k) ，使得在有限时间内能从任意初始状 态到达原点（零状态），则称系统是状态完 全可控的。
最新第2章线性系统的可控性与可观测性教学课件
是线性无关的向量组，其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。
同理 式中
n 1
e A t m ( t) A m
m 0
0(t)1( 1 )nn 1 !a0tn( 1 )n 1(n 11 )a !n 1a0tn 1
( 2 1)27
n 1(t)( 1 )n 1(n 11 )t!n 1( 1 )nn 1 !an 1 tn( 1 )n 1(n 11 )(!an 2 1an 2)tn 1
其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分别为（n×n），（n×p）， （q×n）和（q×p）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。 式（2－101a）状态方程的解为
t
x ( t) ( t,t0 ) x 0 t0 ( t,) B () u () d ( 2 1)02
其中Φ(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2－102)代入式(2-101b)输出方程， 可得输出响应为
( 2 1 )20
Bn-1, Bn-2, …,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘 (λ I-A)
B ()I ( A ) f () I
( 2 1 )21
将式（2－120）代入式（2－121）并展开，有
n B n 1 n 1 ( B n 2 B n 1 A ) n 2 ( B n 3 B n 2 A ) ( B 0 B 1 A ) B 0 A
t
y ( t ) C ( t ) ( t , t 0 ) x 0 C ( t ) t 0 ( t ,) B ( ) u ( ) d D ( t ) u ( t )( 2 1 )03
在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0 是未知的。因此，若定义
t
y ( t ) y ( t ) C ( t ) ( t ,) B () u () d D ( t ) u ( t ) t 0
同理 式中
n 1
e A t m ( t) A m
m 0
0(t)1( 1 )nn 1 !a0tn( 1 )n 1(n 11 )a !n 1a0tn 1
( 2 1)27
n 1(t)( 1 )n 1(n 11 )t!n 1( 1 )nn 1 !an 1 tn( 1 )n 1(n 11 )(!an 2 1an 2)tn 1
其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分别为（n×n），（n×p）， （q×n）和（q×p）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。 式（2－101a）状态方程的解为
t
x ( t) ( t,t0 ) x 0 t0 ( t,) B () u () d ( 2 1)02
其中Φ(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2－102)代入式(2-101b)输出方程， 可得输出响应为
( 2 1 )20
Bn-1, Bn-2, …,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘 (λ I-A)
B ()I ( A ) f () I
( 2 1 )21
将式（2－120）代入式（2－121）并展开，有
n B n 1 n 1 ( B n 2 B n 1 A ) n 2 ( B n 3 B n 2 A ) ( B 0 B 1 A ) B 0 A
t
y ( t ) C ( t ) ( t , t 0 ) x 0 C ( t ) t 0 ( t ,) B ( ) u ( ) d D ( t ) u ( t )( 2 1 )03
在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0 是未知的。因此，若定义
t
y ( t ) y ( t ) C ( t ) ( t ,) B () u () d D ( t ) u ( t ) t 0
4.系统的可控可观性
x1
x2
1 0
0 x1 2x2
,
y [1
3]xx12
x1 2 1
x2
0
2
x3 0 0
0x1
1
x2
,
2x3
y1 y2
3 4
0 0
0 0
x1 x2 x3
x1 2 1 0
0 x1
x2
0
2
1
xx34
0
0
2
3
x2
1
x3 x4
,
y1 y2
系统的能控状态变量的个数。
例4-1 考虑由下式确定的系统：
xx1210 11xx1210u
由于：
deUtde[BtA]B 1
1 0
00
即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。
例4-2 考虑由下式确定的系统：
xx1212 1 1xx1210u
由于：
deUtde[BtA]B 0
1 0
1 1
即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。
因此，只要B3≠0 ，输入 u (t)对各状态变量都有
控制作用。
B1
B2
B3
x1
x2
x3
例4-3 下列系统是状态能控的：
x x 1 20 1 0 2x x1 25 2u
x1 1 1
0 x1 0
x2 0
1 0 x24u
x3 0
0
2x3 3
x1 2 1
0
0
x2 0
2 1
xx34
0
0
2 5 1
x5 0
B1
B2
Bn
x1 1 x2 2
9-8 系统的可控制性与可观测性
λ'1 (t ) −1 ' λ2 (t ) = 0 λ'3 (t ) 0
系统的各参数矩阵为： 系统的各参数矩阵为：
−1 A= 0 0 0 −2 0
0 0 B= 1 0 1 − 3
C =[1 1 0]
(
)
0 ... 0 ... ... ... s − α k ...
−1
ˆ b1 ˆ b2 ... ˆ bk
上式展开为： 上式展开为： k ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ck bk ci bi c1b1 c2b2 H( s ) = + + ...+ =∑ s −αk i =1 s −αi s −α1 s −α2 得出结论： 得出结论： 1.若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为 1.若系统不完全可控或不完全可观 若系统不完全可控或不完全可观, H(s)必有零极点相消现象。 必有零极点相消现象。 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观 部分运动规律， 部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不 。（ 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 可观部分，而留下的是可控或可观部分） 例 9-8-6
H( s) = C( sI − A)
−1 ∧ B+ D = C sI − A B+ D ∧ ∧ −1 ∧
暂且不考虑与输入信号直接相联系的D 则有： 暂且不考虑与输入信号直接相联系的D，则有：
0 s − α 1 0 −1 s −α2 ˆ sI − A B = [c ,c ,...c ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H (s ) = C 1 2 k ... ... 0 0
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x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
控 制
定义：若对系统{A，B，C，D}，存在给定输入u(t)，能在[ t0,tf ）
理 论
有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统
则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简
称系统可观测。
二、可观测性定理
x Ax Bu
定理1：线性定常连续系统 y Cx Du
当 R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性
输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
Modern Control Theory
Page: 2
可控性可观测性例题
现
代 控 制
【例】 1 0 0 x 0 2 x 2 u
Page: 12
定理2 连续时间系统的可观测性
现
代
控 制
定理2：线性定常系统 x Ax Bu, y Cx Du，系统状态空间
理 可观测的充要条件为：当A为对角矩阵且特征值互异时，输出矩阵C中
论 不包含全为零的列。
Modern Control Theory
Page: 13
例 题
连续时间系统的可观测性
，所以该系统状态不完全可控。
Modern Control Theory
Page: 9
连续时间连系续统系状统态的完输全出可可控控的性条件
现
代 控
三 连续系统的输出可控性
制 定理：
理 论
设系统 x Ax Bu, y Cx Du，则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵 CSc | D 满秩，即
现
代 【例】判别可观测性
控
制
（1）
1 0 0 0
理 论
x 0 2 0 x 0 u y 5 3 2 x
0 0 3 1
解：系统可观测。
（2） 1 0 0 0
x 0 2 0 x 0 u 0 0 3 1
解：系统不可观测。
Modern Control Theory
y 5 3 0 x
Page: 14
Modern Control Theory
Page: 8
例题 在S平面上状态完全可控的条件
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控 制 理
传递函数：X (s) s 2.5
U (s) (s 2.5)(s 1)
论
显然，在此传递函数的分子和分母中存在相约的因
子（s+2.5）（因此失去一个自由度）。由于有相约因子
可控性和可观测性
现
代 控
1. 可控性与可观测性定义
制 理
2. 连续时间系统的可控性判据
论
3. 输出可控性
4. 连续时间系统的可观测性判据
5. 对偶原理
Modern Control Theory
Page: 1
可控性可观测性定义
现
代 【例】RLC网络
控
制 理 论
取x1 iL , x2 uc , y uc
现
代 控
一. 可控性判据
制 理 论
定理1：
若定义连续时间系统A, B的n*(np)可控矩阵
Sc B AB A2B
An1B
则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc n
Modern Control Theory
Page: 4
连续时间系统状态例完全题可控的条件
C
状 态 完 全 可 观 测 的 充 要条 件 是nq n维 能 观 测 矩 阵S0
CA :
CA
n1
满 秩 ， 即rankS0 n,或 CT AT C T ... ( AT )n1 C T n
Modern Control Theory
Page: 11
例 连续时间系统的可观测性
题
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
现
代
【例】判别可观测性
控 制 理 论
（1） （2）
4 5 1
x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x 1 u
2 1 1
x 1
3
x
1
u
y 1 1 x
1 0 y 1 0 x
解：（1）
c 1 1
Qo cA 5
5
（2）
1 0
Qo
c cA
1 2
0
1
2
1
Modern Control Theory
rankQo 1 2 故系统不可观测 rankQo 2 2 系统可观测
rank CB CAB ... CAn1B D q
（q-输出变量个数）
一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
Modern Control Theory
Page: 10
连的续可系观统测连续时间系统的可观测性 性
现
代 一、定义
（3）系统可控。 （4）系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 7
定理3 在S平面上状态完全可控的条件
现
代 控
状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩
制 阵描述。
理
论
状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数
或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那
么在相约的模态上，系统不可控。
论 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
Modern Control Theory
Page: 6
线性定常连续系统状态完全可控的条件
状 态 可 控 性 例题
现 代
【例】判别下列系统的状态可控性。
控
制 理
（1）
7
x
0
0 5
0 2
0
x
5
u
论
0 0 1 7
（2）
7
x
0
0 5
0 0
0
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全