卡尔曼滤波方法
stm32卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学滤波算法，常用于传感器数据融合、航空航天导航、机器人控制等领域。
在STM32微控制器上实现卡尔曼滤波算法通常需要使用C或C++编程语言，并涉及以下关键步骤：
1. **初始化滤波器**：
- 首先，您需要初始化卡尔曼滤波器的状态变量和协方差矩阵。
这些变量将用于存储系统状态的估计值和估计误差的信息。
2. **预测步骤**：
- 在每个时间步，使用系统的动态模型进行状态预测。
这一步通常包括以下几个子步骤：
- 预测状态：使用系统的状态转移矩阵和输入（如果有的话）来预测下一个状态。
- 预测协方差：使用状态转移矩阵和过程噪声协方差来估计状态的协方差矩阵。
3. **更新步骤**：
- 在接收新的传感器测量值后，使用测量模型来更新状态估计和协方差矩阵。
这一步包括以下子步骤：
- 计算卡尔曼增益：通过卡尔曼增益来权衡系统模型和测量模型的信息。
- 更新状态估计：使用卡尔曼增益和测量残差来更新状态估计。
- 更新协方差：使用卡尔曼增益来更新状态协方差矩阵。
4. **循环**：
- 重复预测和更新步骤，以处理连续的测量数据。
在STM32上实现卡尔曼滤波算法需要适应具体的应用和硬件环境。
您需要了解传感器的性能特点、系统动态模型和测量模型，以调整滤波器的参数和初始化值。
此外，需要适当的数学库和定时器/中断来确保算法能够以正确的频率运行。
对于具体的STM32型号和开发环境，请查看相关文档和资源，以获取更详细的实现细节和示例代码。
同时，了解卡尔曼滤波的数学理论是理解和实现算法的关键。
雷达信号处理中的目标跟踪方法
雷达信号处理中的目标跟踪方法目标跟踪是雷达信号处理的重要任务之一，它是通过分析雷达接收到的信号，实时追踪并确定目标的位置、速度和轨迹等信息。
目标跟踪在军事、航空航天、交通监控、环境监测等领域都具有广泛的应用。
本文将介绍雷达信号处理中常用的目标跟踪方法。
1. 卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法是一种基于状态空间模型的目标跟踪方法。
该方法根据目标的运动模型和观测模型，通过预测目标的状态和测量目标的状态残差来估计目标的运动状态。
在雷达信号处理中，卡尔曼滤波方法通常用于目标的线性运动模型，对于目标速度较稳定的情况更为适用。
2. 粒子滤波方法粒子滤波方法是一种基于蒙特卡洛采样的目标跟踪方法。
该方法通过在状态空间中随机采样一组粒子，并基于测量信息对粒子进行重采样和权重更新，从而逼近目标的后验概率密度函数。
粒子滤波方法适用于非线性运动模型，并且在多目标跟踪问题中具有较好的性能。
3. 光流方法光流方法是一种基于图像序列的目标跟踪方法。
该方法通过分析连续图像帧中目标的移动来估计目标的运动状态。
在雷达信号处理中，光流方法可以通过分析雷达接收到的连续信号帧中目标的频率变化来实现目标跟踪。
光流方法适用于目标速度较慢、目标轨迹较短的情况。
4. 关联滤波方法关联滤波方法是一种基于关联度量的目标跟踪方法。
该方法通过计算目标与候选目标之间的相似度来实现目标的跟踪。
在雷达信号处理中，关联滤波方法可以通过计算目标与周围雷达回波之间的相似度来确定目标的位置和速度。
关联滤波方法适用于目标数量较少、目标与背景之间的差异明显的情况。
5. 神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的目标跟踪方法。
该方法通过训练神经网络来学习目标的运动模式和特征，从而实现目标的跟踪和分类。
在雷达信号处理中，神经网络方法可以通过分析雷达接收到的信号特征来实现目标的跟踪和分类。
神经网络方法具有良好的自适应性和鲁棒性。
综上所述，雷达信号处理中的目标跟踪方法包括卡尔曼滤波方法、粒子滤波方法、光流方法、关联滤波方法和神经网络方法等。
卡尔曼滤波方法
卡尔曼滤波方法卡尔曼滤波方法是一种颇具灵活性和适应性的滤波技术，它使用时受限于内在模型和观察器模型，它可以将系统状态和测量状态实时融合，在估计滤波中具有优势。
1. 什么是卡尔曼滤波方法？卡尔曼滤波方法，简称KF，是一种利用可观测状态迭代估计未知状态的现代滤波技术，用于对未知参数、未知状态和过程噪声进行估计，以估计状态的初始值和未知的状态中的参数。
卡尔曼滤波是一种统计估计，它基于过程模型状态方程和观察模型观测方程，利用实时可观测量，不断更新和估计系统状态量，最终形成估计值。
2. 卡尔曼滤波方法的应用领域卡尔曼滤波方法应用广泛，既可在空间航行指引系统中使用，也可用于运动目标检测、跟踪和机器人创新等领域。
卡尔曼滤波可用于路径规划，传感器融合，机器人的快速本地定位和定向，以及分布系统的状态估计。
3.卡尔曼滤波方法的优势1）及时估计：卡尔曼滤波方法可以在实时系统中实现局部的及时估计，以及总状态的实时融合，避免了各种静态估计技术的误差累积问题。
2）处理复杂系统：卡尔曼滤波方法可以处理系统模型具有复杂非线性特性和多变量之间间接相关关系的情况。
3）滤波互补：当参数估计与测量得到吻合，卡尔曼滤波可以同步的更新内部的参数估计，因此可以实现滤波互补功能，较好的优化估计参数。
4）控制：通过系统模型，卡尔曼滤波可以实现自适应地控制，并有效抑制噪声与不确定性，从而降低系统对抗外部干扰的稳定性。
4. 卡尔曼滤波方法的缺点1）假设不断更新：运行卡尔曼滤波需要关于系统状态和测量状态的假设，其更新也有一定的滞后性，过滤结果可能与实际状态存在偏差。
2）模型的反应性：由于卡尔曼滤波的更新延时，即使过程模型发生变化，也受到模型的滞后约束和降低其反应性，从而影响滤波的性能。
3）空间增加：卡尔曼滤波使用概率论和数学计算，因此矩阵求解和解线性方程式等时间和空间有较高消耗，所以卡尔曼滤波需要大量的计算空间。
卡尔曼滤波调参
卡尔曼滤波调参
卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的优化方法，被广泛应用于飞行器导航、机器人控制、信号处理等领域。
调参是卡尔曼滤波的重要环节之一，以下是一些常用的调参方法：
1.确定初始状态：卡尔曼滤波需要先确定初始状态，可以通过各种手段（如观测数据）预估一下。
2.确定观测矩阵和状态转移矩阵：在实际应用中，这两个矩阵往往需要根据具体情况进行调整和优化，以达到更好的估计结果。
3.调整噪声协方差矩阵：噪声协方差矩阵是卡尔曼滤波中的一个关键参数，决定了估计结果的精度和稳定性。
通常情况下需要根据实际应用情况来调整。
4.确定状态量和测量量：卡尔曼滤波中状态量和测量量的选择需要根据具体应用场景来选择，不同的选择可能会影响滤波效果。
总之，卡尔曼滤波的调参需要根据具体情况来选择和调整参数，需要不断地进行实验和优化才能得到满意的结果。
kalman滤波和数字低通滤波
Kalman滤波和数字滤波一、kalman滤波卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
它适合于实时处理和计算机运算。
其他的就不介绍了。
公式简介卡尔曼滤波主要是由5个经典公式组成：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。
我们用P表示协方差：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。
式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。
结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3)其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。
但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。
当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波计算举例全
卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
总结
状态方程的核心是：设置状态变量， 状态变量是网络内部（最少的）节点变量， 一般设在延迟支路的输出端，状态方程刻 画了状态变量下一时刻的取值与当前时刻的 状态变量和输入之间的关系。
x(k 1) Ax(k) Be(k) 一步递推状态方程： x(k) A(k)x(k 1) w(k -1)
二、离散时间系统的量测方程
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)
卡尔曼滤波
不需要全部过去的观察数据
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
一、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x(k 1) Ax(k) Be(k)
其中x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量， 而A，B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构、元件 性质和数值所确定的。
e(k) 是激励信号。
状态方程是多维一阶的差分方程。 当已知初始状态x(0)， 可用递推的方法得到它的解 x(k)
即：
Eyn yk 0, 1 k n -1
表明：yk不相关性质。 意味着yk的每个值都带来新的信息。
又因为：yk sk k
所以:Ck 1
第三节 卡尔曼滤波的方法
1、卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的， 是以卡尔曼滤波的信号模型为基础。
(1)先不考虑激励噪声wk和观测噪声k，
得到状态的估计值xˆk' 和观测数据的估计值yˆk'。
(2)再用观测数据的估计误差yk =yk - yˆk' 去修正状态的估计值xˆk，通过选择修正 矩阵H 使得状态估计误差的均方值Pk最小。
卡尔曼(Kalman)滤波
第4章 卡尔曼（Kalman ）滤波卡尔曼滤波的思想是把动态系统表示成状态空间形式，是一种连续修正系统的线性投影算法。
功能 1） 连续修正系统的线性投影算法。
2）用于计算高斯ARMA 过程的精确有限样本预测和精确的似然函数。
3） 分解矩阵自协方差生成函数或谱密度。
4）估计系数随时间变化的向量自回归。
第一节 动态系统的状态空间表示一．假设条件令t y 表示时期t 观察到变量的一个()1n ×向量。
则t y 的动态可以用不可观测的()1r ×向量t ξ来表示，t ξ为状态向量。
t y 的动态系统可以表示为如下的状态空间模型：11t t t F v ξξ++=+ （1）t t t t y A x H w ξ′′=++ （2）其中′′F,A ,H 分别为()r r ×，()n k ×和()n r ×矩阵，t x 是外生变量或前定变量的()1k ×向量。
方程（1）称为状态方程，方程（2）称为观察方程。
其中()1r ×向量t v 和()1n ×向量t w 为向量白噪声：()()00t t Qt E v v t R t E w w t ττττττ=⎧′=⎨≠⎩=⎧′=⎨≠⎩ （3）其中,Q R 为()(),r r n n ××矩阵。
假定扰动项t v 和t w 在所有阶滞后都不相关：()0t t E v w ′= 对所有的t 和τ （4）t x 为前定或外生变量，意味着对0,1,2,....,s =除包含在121,,...,t t y y y −−之内的信息外，t x 不再能提供关于t s ξ+以及t s w +的任何信息。
即t x 可能包含y 的滞后值或所有与τ、τξ和w τ不相关变量。
状态空间系统描述有限观察值序列{}1,...,T y y ，需要知道状态向量的初始值1ξ，根据状态方程（1），t ξ可写作()123,,,...,t v v v ξ的线性函数： 2211221....t t t t t t v Fv F v F v F ξξ−−−−=+++++ 2,3,...,t T = （5）这里假定1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：()()1101,2,...,01,2,...,t t E v TE w Tξτξτ′==′== （6）根据（3）和（6），得t v 和ξ的滞后值不相关：()0t E v τξ′= 1,2,...,1t t τ=−− （7） ()0t E w τξ′= 1,2,...,T τ= （8） ()()()0t t E w y E w A x H w ττττξ′′′=++= 1,2,...,1t t τ=−− （9） ()0t E v y τ′= 1,2,...,1t t τ=−− （10）二．状态空间系统的例子例1 ()AR p 过程，()()()112111...t t t p t p t y y y y µφµφµφµε+−−++−=−+−++−+ （11）()2t t E t τστεετ⎧==⎨≠⎩ （12） 可以写作状态空间形式。
卡尔曼滤波算法示例解析与公式推导
本文将对卡尔曼滤波算法进行示例解析与公式推导，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用。
文章将从以下几个方面展开：一、卡尔曼滤波算法的概念卡尔曼滤波算法是一种用于估计动态系统状态的线性无偏最优滤波算法。
它利用系统的动态模型和观测数据，通过迭代更新状态估计值，实现对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波算法最初是由美国工程师鲁道夫·卡尔曼在20世纪60年代提出，随后得到了广泛的应用和研究。
二、卡尔曼滤波算法的原理1. 状态空间模型在卡尔曼滤波算法中，系统的动态模型通常用状态空间模型表示。
状态空间模型由状态方程和观测方程组成，其中状态方程描述系统的演化规律，观测方程描述观测数据与状态之间的关系。
通过状态空间模型，可以对系统的状态进行预测，并与观测数据进行融合，从而估计系统的状态。
2. 卡尔曼滤波的预测与更新卡尔曼滤波算法以预测-更新的方式进行状态估计。
在预测阶段，利用系统的动态模型和之前时刻的状态估计值，对当前时刻的状态进行预测；在更新阶段，将预测值与观测数据进行融合，得到最优的状态估计值。
通过迭代更新，可以不断优化对系统状态的估计，实现对系统状态的精确跟踪。
三、卡尔曼滤波算法的示例解析以下通过一个简单的例子，对卡尔曼滤波算法进行具体的示例解析，帮助读者更好地理解该算法的应用过程。
假设有一个匀速直线运动的物体，其位置由x和y坐标表示，观测到的位置数据带有高斯噪声。
我们希望利用卡尔曼滤波算法对该物体的位置进行估计。
1. 状态空间模型的建立我们建立物体位置的状态空间模型。
假设物体在x和y方向上的位置分别由状态变量x和y表示，动态模型可以用如下状态方程描述：x(k+1) = x(k) + vx(k) * dty(k+1) = y(k) + vy(k) * dt其中，vx和vy分别为x和y方向的速度，dt表示时间间隔。
观测方程可以用如下形式表示：z(k) = H * x(k) + w(k)其中，z(k)为观测到的位置数据，H为观测矩阵，w(k)为观测噪声。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
锂电池soc的算法卡尔曼(kalman)滤波法
锂电池soc的算法卡尔曼(kalman)滤波法
锂电池State of Charge (SOC) 的算法中，卡尔曼滤波法被广泛用于估计电池的SOC，即电池的容量剩余。
卡尔曼滤波法是一种递归滤波算法，用于估计系统的状态。
在电池SOC的估计中，卡尔曼滤波法结合电池的电流和电压测量数据，并根据电池特性和模型进行状态估计，得出最优的SOC估计结果。
卡尔曼滤波法的基本思想是通过对测量数据和模型预测数据进行加权平均，使估计结果更加准确。
它利用系统的动态模型和观测数据的统计特性来进行状态估计，同时考虑数据的噪声以及系统的不确定性。
在电池SOC的估计中，卡尔曼滤波法的状态向量可以包括当前电池SOC的估计值、电流的估计值、电压的估计值等。
观测向量则包括实际测量的电流和电压值。
系统的动态模型可以通过电池特性方程和电路模型等来建立。
卡尔曼滤波法对于电池SOC的估计具有以下优点：
- 可以考虑系统的不确定性和测量的噪声，提高估计的精度和稳定性。
- 可以动态更新估计结果，适应系统的变化和不确定性。
需要注意的是，卡尔曼滤波法对系统的模型和参数要求较高。
因此，在实际应用中，需要根据电池的具体特性和实测数据来
进行相应的参数优化和模型适配，以获取更好的SOC估计结果。
卡尔曼滤波算法(含详细推导)PPT
3、kalman滤波算法
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
K(n1,n)E{e(n1,n)e]H(n1,n)} [F(n1,n)G (n)C (n)K ](n,n1)F [(n1,n) G (n)C (n)H ]Q 1(n)G (n)Q 2(n)G H(n)........3 ...).1 .(.
n
(n )(n 1y(1 ),y .(n .). ),
1
W 1 (k)(k)
式中W1(k)表示与一步预测项对应的权矩k 阵 1 ，且k为离散时间。
现在的问题是如何确定这个权矩阵？
（1）、状态向量的一布预测
根据正交性原理，最优预测的估计误差
e(1 nn, )x(n1)x1(n1)
12
3、kalman滤波算法
C (n )K (n ,n 1 )C H (n ) Q 2(n ).................1.).(6..
式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵，而
K (n ,n 1 ) E { e (n ,n 1 )e H (n ,n 1 )}................1 ..) ....( 7 ..
这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。 进一步地，由正交原理引
理知，在最小均方误差准则下求得的一步预测估 x 1 ( n )与预测误差e(n,n-1)彼
此正交，即
E{x1(n)eH(N,N1)}0
17
3、kalman滤波算法
因此，由式(26)及式(27)易得：
E {x(n1)H(n)} F(n1,n)E {x[(n)e(n,n1)e]H(n,n1)C }H(n)
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
卡尔曼滤波法
卡尔曼滤波法卡尔曼滤波法（KalmanFiltering）是一种用来求解线性系统的最优估计方法。
它是由美国科学家，经济学家及控制论著名的发明家Rudolf Kalman在1960年发明的，用于处理复杂的分析和计算，广泛应用于系统分析和状态估计中。
卡尔曼滤波法是一种基于状态模型的过滤算法，属于非参数估计，该算法可以在条件较差的情况下得到满意的结果估计结果。
典型的，它可以用来估计连续时间的系统状态变化，通道特性，轨迹跟踪等。
卡尔曼滤波法的基本思想是对测量值的不确定性和系统状态的不确定性进行有效的折衷，用观测到的时变数据情况更新当前估计值，从而得到最佳状态估计结果。
卡尔曼滤波法可以分为三个阶段：预测、更新、融合。
预测步骤是要预测当前状态，更新步骤是根据从系统中获取到的最新观察信息，更新预测的状态估计。
融合步骤是将上面两个步骤的结果进行综合计算，得出最终的状态估计值。
卡尔曼滤波法有很多优点，它能够处理噪声，使用基于状态估计的模型，能够更好地处理系统参数的变化和误差，运行速度更快，能够更好地处理非线性系统，而且计算量少，在实际应用中可以提高效率和准确度，而且无需了解系统内部的参数结构，减少状态估计过程中的参数的定义和控制的复杂性，可以提高系统的容错性，提高系统的可靠性。
卡尔曼滤波法目前被广泛应用于导航、定位、轨迹跟踪、图像处理、机器人学、人工智能技术、生物信号处理、生物识别等多领域。
主要应用于系统定位、信号处理、图像处理、环境控制、机器人等，可以用于计算、控制、测量等工业领域，尤其是在拓展室内和外环境定位方面有很好的应用，特别是可用于机器人跟踪用户轨迹，为室内覆盖提供贡献，是一种非线性观测系统的消息滤波方法。
总而言之，卡尔曼滤波法是一种在线性系统中获得最优估计的方法，它通过对系统状态的不确定性和测量值的不确定性进行权衡，使用观测到的时变数据情况更新当前估计值，从而得到最佳状态估计结果，是一种在不同领域得到广泛应用的非参数估计方法，为实现室内外定位、跟踪轨迹等任务提供了有效的技术支持。
第五讲：卡尔曼滤波
第五讲：卡尔曼滤波
11
二、Kalman滤波
20.01.2021
第五讲：卡尔曼滤波
12
2.1 卡尔曼滤波方程
目 录 1. 离散系统的数学描述
设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为：
概述 标准 KF 扩展 KF
Xk
X k,k 1 k 1
k 1Wk 1
Zk Hk Xk Vk
Schmidt KF
自适应 KF 平滑算法
标准卡尔曼滤波的线性假设在标准的卡尔曼滤波中观测模型假设为线性z是x的线性函数但实际情况往往并非如此如gnss导航滤波器中观测模型是强非线性的在标准卡尔曼滤波中系统模型也被假设为线性的x的时间导数是x的线性函数问题
卡尔曼滤波算法及应用
第五讲：卡尔曼滤波
目录
一. 概述
二. 标准卡尔曼滤波
卡尔曼滤波方程
滤波器估值的
以模某型种一导般航系都是线主导性要航的部参分数即误是差
统输出导航参
的估值
数的误差为主
要状态
24
目 录 2. 开环卡尔曼滤波
概述 标准 KF
用导航参数误差的估值 Xˆ去校正系统输出的导航参数，得到综 合导航系统的导航参数估值 Xˆ
扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF 平滑算法
惯性系统 其他导航系统
描述了观测向量与状态向量间的函数关系。
第五讲：卡尔曼滤波
9
目录 概述
标准 KF 扩展 KF Schmidt KF 自适应 KF
1组观测向量
是一组针对同一时刻的系统特性的测量值，例如观测量可以包括GNSS系 统的位置测量值，或者INS与GNSS位置结果的差值。
1个算法：
卡尔曼滤波算法 使用观测向量、观测模型和系统模型来获得状态向量的最优估计，分为系
卡尔曼滤波步骤
卡尔曼滤波步骤卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的数学技术，通常用于控制系统、制导和导航等领域。
下面是卡尔曼滤波的步骤：1. 建立状态模型：首先需要建立系统的状态模型。
模型可以是线性或非线性的，但必须满足马尔可夫性质，即系统的状态只与前一时刻的状态和当前时刻的输入信号有关。
2. 测量模型：测量模型是用来将实际测量值转换成状态变量的模型。
与状态模型类似，它也可以是线性或非线性的。
3. 选择初始状态：为了开始卡尔曼滤波，需要对系统的状态进行一个初始估计。
通常将它设置为系统的某个已知状态或一个近似值。
4. 预测：在卡尔曼滤波的每个时刻，都需要进行预测。
预测的目的是根据上一时刻的状态估计和状态转移模型，估计出当前时刻的状态。
5. 计算卡尔曼增益：卡尔曼增益是用来衡量预测误差和测量误差之间的权重。
如果预测误差较小，那么卡尔曼增益就会更多地倾向于信任预测值。
如果测量误差较小，那么卡尔曼增益就会更多地倾向于信任测量值。
6. 更新状态：接下来，使用卡尔曼增益将预测值和测量值进行加权平均，得到当前时刻的状态估计。
7. 更新协方差：协方差矩阵描述了系统状态估计误差的方差和协方差。
使用卡尔曼增益来更新协方差矩阵，从而更好地反映当前时刻的系统状态。
8. 重复执行：重复执行以上步骤，直到系统状态估计收敛或者达到预设的收敛条件。
总的来说，卡尔曼滤波是一个迭代的过程，通过多次预测和更新，不断逼近真实的系统状态。
卡尔曼滤波具有对系统从整体到局部的全局优化能力，对于估计精度较高、系统状态转移较为连续的系统具有很好的效果。
需要注意的是，卡尔曼滤波中的模型选择和初始状态的设定对估计结果会产生影响，需要根据实际情况进行调整。
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次提出的一种估计方法。之所以称为滤波，是因为它是一 种排除随机干扰，提高检测精度的一种手段。
• KF是基于最小方差准则推导出来的一种线性滤波器。 • KF是一种时域递推算法，根据上一状态的估计值和当前
状态的观测值推出当前状态，不需存储大量的历史数据， 便于计算机实现。
xˆk xˆk K( yk yˆk )
Px, k Px, k KPy, k K T
27
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk Z~k k1
测量更新 /修正
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
7
3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
14
3.7 联邦卡尔曼滤波
• 卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合
导航系统。为了与联邦滤波方法相区别，将普通的卡尔曼
滤波称为集中卡尔曼滤波。
• 由于对导航精度要求的提高，导航设备越来越多。另一方
面，现代系统向大系统和复杂系统的方向发展。这种情况
下采用集中式卡尔曼实现组合导航，存在两个问题：
yˆ
k
W (m) i
i
k|k 1
i0
2n
Py, k
Wi
(c)
[
i k|k
1
yˆ k
][
i k|k 1
yˆk ]T
Rk
i0
2n
Pxy, k
Wi(c)
[
i k|k
1
xˆk
][
i k|k 1
yˆ
k
]T
i0
K Pxy, k Py,1k
X (t) — — n 维 状 态 向 量 ； Z (t) — — m 维 观 测 向 量 ； W (t) — — p 维 系 统 随 机 干 扰 ； V (t) — — m 维 随 机 测 量 噪 声 ； f (t), h(t) — — n 维 和 m 维 向 量 函 数 。
3
系统的状态空间描述(续)
3 卡尔曼滤波方法
3.1 卡尔曼滤波的特点及应用领域 3.2 系统的状态空间描述 3.3 卡尔曼滤波的直观推导 3.4 卡尔曼滤波的递推运算方程 3.5 卡尔曼滤波的结构图 3.6 卡尔曼滤波的应用实例 3.7 联邦卡尔曼滤波 3.8 联邦卡尔曼滤波的应用实例 3.9 Unscented卡尔曼滤波
3.1 卡尔曼滤波的特点及应用领域
主滤波器的信息分配系数，满足守恒原则
N
i
m 1
i 1
19
联邦卡尔曼滤波器结构
信息分配
卡尔曼滤波
信息融合
联邦卡尔曼滤波器
20
联邦卡尔曼滤波器结构图
注：组合导航中，一般选择可靠性好的系统作为参考 系统，如惯性导航系统。
21
联邦卡尔曼滤波器的应用
仍然以舰船导航为例，模型与前面相同。为了与集中卡 尔曼滤波器的效果相比较，同时采用两种滤波器滤波。
时间/s
海流北向速度分量估计误差/(m/s)
0.6 联邦卡尔曼滤波算法 集中卡尔曼滤波算法
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
时间/s
图中可以看出，联邦卡尔曼滤波与集中卡尔曼滤波算法 的估计精度相当，但联邦卡尔曼滤波相对于集中卡尔曼滤 波，不仅有更好的容错性，而且可以并行运算。
得预测测量估计偏差： Z~k|k1 Zk Zˆk|k1 Zk Hk Xˆ k|k1
利用此偏差修正预测估计：
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk [Zk Hk Xˆ k k1]
待定校正增益阵
5
卡尔曼滤波的直观推导(续)
增益阵的求法： 使目标函数E[X~k|k X~T k|k ] 极小化 定义：
• 各子滤波器并行运行，获得建立在局部量测基础上的局部
最优估计。
• 各局部最优估计在第二级滤波器（即主滤波器）内按融合
算法合成，获得建立在所有量测基础上的全局估计。
• 全局估计再按信息守恒原则反馈给各子滤波器。如此反复
递推。
实际设计的联邦滤波器是全局次优的，但是对于自主性要求很高的重 要运载体来说，导航系统的可靠性比精度更重要。采用联邦滤波器设 计组合导航系统，虽然损失了少许精度，但得到的是组合导航系统的 强容错能力。
VVEN
bVE bVN
3 4
S 5
i (i 1,2,,7)为独立的零均值高
K 6 7
斯白噪声, b为海流相关时间常数。
• 观测方程
z1 v1
z2
v2
i k|k 1
f
k
(
i k
1
)
2n
xˆk
W (m) i
i
k|k 1
i0
2n
P x,k
W [ (c) i
i
k|k 1
xˆ k
][
i k|k
1
xˆ
k
]T
Qk
26
i0
UKF的具体应用过程(续)
• 测量更新
2n
i k|k 1
h(ki |k 1 )，
构 造 一 组 采 样 点i
x (
(n )Px )i ,
i x ( (n )Px )i ,
x,
i 1, , n i n 1, , 2n i0
0 为可调尺度参数，调整它可以提高逼近精度。
2. 利用Sigma点进行非线性传播
将上面构造的Sigma点直接按照(3-1)的关系作非线性 变换，则产生一组变换样本点
延时 一步
Hk
k ,k 1
一步预测
上一步估计值
Xˆ k|k 1
Xˆ k1
8
3.6 卡尔曼滤波的应用实例(舰船导航)
卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合导航 系统。下面以舰船导航问题为例，介绍其具体应用。
1、系统模型
• 状态变量
X (k) VN VE S K T
方差预测
Pk
k 1
P T k,k 1 k 1 k 1 k,k 1
Q T k,k 1 k 1 k ,k 1
时间更新 /预测
增益矩阵 新息序列 状态估值
Kk
Pk
HT
k 1 k
[Hk
Pk
HT
k 1 k
Rk ]1
Z~k k1 [Zk Hk Xˆ k k1]
– 计算负担重。滤波器计算量以状态维数的三次方剧增，无法满足导 航的实时性要求；
– 容错性能差，不利于故障诊断。当任一导航子系统发生故障，且没
有及时检测出并隔离时，则整个导航系统都会被污染，使输出的信
息不可靠。
• 为解决上述问题，出现了分散化滤波的思想和方法。其中，
Carlson在1988年提出的联邦滤波由于设计灵活、计算量小、
4
3.3 卡尔曼滤波的直观推导
假 设 在k 时 刻 已 获 得k 次 测 量 结 果{Z1, Z2,, Zk1, Zk },
且
已
得
到X
k
1
的
最
优
线
性
估
计Xˆ
k
1|k
，则
1
设
想
：
Xˆ k|k 1 Xˆ k , k 1 k 1|k 1
Zˆk|k 1 H k Xˆ k|k 1
X~k|k1 X k Xˆ k k1 X~k|k X k Xˆ k k
使 Pk|k E[ X~k|k X~kT|k ] 极小，求得增益阵，进而求得卡尔曼 滤 波 器 的 递 推 运 算 方 程：
6
3.4 卡尔曼滤波的递推运算方程
初始条件 状态预测
Xˆ 0 0 Xˆ 0 P0 0 P0 Xˆ k k1 k,k1Xˆ k1 k1
对于如下的非线性变换：
y f (x)
----------------- (3-1)
假设已知n维随机向量 x 的均值 x 和协方差 Px ，则对上述 非线性系统进行滤波的目的是计算 y 的均值 y 和 方差 Py 。
24
1. 构造 Sigma 点
根据随机向量x 的均值x 和协方差Px ，在 x 的附近
z3 z4
S K
v3 v4
量测系统由GPS和航位推算系统(DR) 组成，GPS输出舰船的经纬度φ和λ。
DR由罗经和计程仪组成，分别输出 航向K和船相对于水流的速度S。
10
2、初始条件和参数选取
11
3、仿真结果(a)
12
3、仿真结果(b)
13
3、仿真结果(c)
23
3.9 Unscented卡尔曼滤波
UKF方法的建立是基于如下的事实：逼近任意的分布比 逼近它的任何非线性函数更容易。UKF的基础是Unscented 变换(Unscented Transformation, UT)，其基本思想是用一组 确定的离散采样点(称为Sigma点)来近似状态变量的分布。 UKF假定状态满足高斯分布，因此只需逼近其均值和方差。