马尔可夫链的定义
第六章 马尔可夫链
.
8
第六章 Markov链
第一节 基本概念
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarkov链的分布
4.齐次Markov链
５.Markov 链举例
.
9
第一节 基本概念
1. 转移概率
定义 设 {Xn,n0}是马尔可夫链,称条件概率
p i ( j k ) ( n ) @ P ( X n k jX n i ) ,i ,j S ,n 0 ,k 1
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 3）绝对分布
Q
q(n) j
P(Xn
j)
U P( (X0i),Xnj)
i
U P( (X0i,Xnj)
i
P(X0i,Xnj) i
P (X 0 i)P (X njX 0 i) i
q i(0 )p i(jn )(0 . ) n 0 ,i,j S i
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
2）有限维分布
P ( X 0 i ) P ( X t 1 i 1 X 0 i ) P ( X t 2 i 2 X 0 i ,X t 1 i 1 ) i L P ( X t n i n X 0 i ,X t 1 i 1 , L ,X t n 1 i n 1 )
i
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 2）有限维分布 又因为马尔可夫链的k步转移概率由一步转移概率所 完全确定. 所以马尔可夫链的有限维分布由其初始分布和 一步转移概率所完全确定.
.
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
第四章马尔可夫链
i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.
马尔可夫链
三.有限维概率分布 马尔可夫链{ X ( t ), t t
0
, t 1 , t 2 , }在初始时刻t 0 的概率
分布:
p j ( t 0 ) P { X ( t 0 ) j },
j 0 ,1, 2 ,
称为初始分布. 初始分布与转移概率完全地确定了马尔可夫链的 任何有限维分布.下面的定理二正是论述这一点. 不妨设齐次马尔可夫链的参数集和状态空间都是 非负整数集,那么有如下定理。
P { X ( k 1 ) j1 , X ( k 2 ) j 2 , , X ( k n ) j n }
p i ( 0 ) p ij1 1 p j1 j22
(k )
( k k1 )
p j n n1 j n n 1
(k k
)
i0
(13.9)
例6 在本节例5中,设初始时输入0和1的概率分别为 1/3和2/3,求第2、3、6步都传输出1的概率.
t 2 t n t n 1
和 S 内任意 n 1 个状态
j1 , j 2 , , j n , j n 1 , 如果条件概率
P { X ( t n 1 ) j n 1 | X ( t 1 ) j1 , X ( t 2 ) j 2 , , X ( t n ) j n }
二：马尔可夫链的分类 状态空间 S 是离散的(有限集或可列集),参数集 T 可为离散或连续的两类. 三：离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链{ X ( t ), t 中,条件概率 P { X ( t
m 1
t 0 , t 1 , t 2 , , t n , }
1
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
马尔可夫链的应用与特性
马尔可夫链的应用与特性马尔可夫链是一种常见的数学模型，基于对随机事件的观察和统计，它可以用来描述系统状态的演化和变化过程，具有广泛的应用和重要的理论意义。
本文将介绍马尔可夫链的一些基本概念和重要特性，以及它在实际问题和学术研究中的一些应用案例。
一、基本概念和定义马尔可夫链指的是一类离散的随机过程，具有无后效性和可数的状态空间。
其转移概率矩阵是一个满足非负性和单位根性质的矩阵，表示了从一个状态到另一个状态的概率分布。
换句话说，如果当前处于某个状态，那么下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种“不记忆”的特性使得马尔可夫链可以用来模拟很多随机现象，如天气、股票价格等。
马尔可夫链的状态可以是离散的或连续的，但必须满足可数性和 Markov 性质。
其中可数性是指状态空间的元素个数是可数的，而 Markov 性质则是指状态转移概率只与当前状态有关，而与时间和历史状态无关。
这是马尔可夫链的核心特性，也是它具有可解性和可控性的基础。
二、重要特性和性质马尔可夫链具有一些重要的数学特性和性质，为理解和应用它提供了一些基础知识。
1. 不可约性：如果系统中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链就是不可约的。
这意味着该系统可以在任意一个状态之间自由转移，并且有可能出现循环或周期性行为。
不可约性是马尔可夫链分析的一个基本假设，它保证了系统的完整性和稳定性。
2. 非周期性：如果系统中任意一条从状态 i 到状态 i 的路径长度都是有限的，那么该马尔可夫链就是非周期的。
这意味着该系统不存在任何循环或周期性结构，而是呈现出一种无规律的变化过程。
非周期性是马尔可夫链的又一重要属性，它保证了系统的随机性和平稳性。
3. 遍历性：如果系统中从任意一个状态出发，都可以到达该系统中的任意一个状态，那么该马尔可夫链就是遍历的。
这意味着该系统具有完整的状态空间和多样的状态转移方式，可以满足更多的需求和条件。
遍历性是马尔可夫链的又一重要保证，它保证了系统具有全局性和可展性。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以返回到自身的步数称为周期。
如果一个状态的周期为1，则称其为非周期状态；如果周期大于1，则称其为周期状态。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
5. 遍历性与周期性的关系：对于不可约的马尔可夫链，要么所有状态都是非周期状态，要么所有状态都是周期状态。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
以下是一些具体的应用案例：1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写作、机器翻译等。
通过学习文本的转移概率，可以生成具有相似语言风格的新文本。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列建模，如语音识别、手写识别等。
通过学习序列的转移概率，可以对序列进行分类和预测。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测股票价格的波动。
通过学习历史股票价格的转移概率，可以预测未来股票价格的走势。
4. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过学习基因序列的转移概率，可以识别基因的功能和结构。
四、马尔可夫链的应用案例以下是一个简单的马尔可夫链应用案例，用于模拟天气变化：假设有三种天气状态：晴天、多云和雨天。
随机数学 第5讲 第4章马尔科夫链(1)
等时刻发生游动 .
分析：状态空间I={1，2，3，4，5} 这是一个马氏链, 且是齐次的.
1
注意: 以后，我们所讨论的马氏链都是齐次的，并简 称马氏链。
我们把各状态之间的转移概率排列起来，形成矩阵， 为转移概率矩阵。
一步转移概率阵：
P = P(1) = ( pij ) =
n步转移概率矩阵：
a1 a2 a 1 ⎡ p ( n) p ( n) 11 12 P ( n) = ( pij ( n)) = a ⎢ p22 ( n ) 2 ⎢ p21 ( n )
ai
⎢ ⎢ ⎢ pi 1 ( n ) ⎢ ⎢ ⎣ p21 ⎢ ⎢ ⎢ a i ⎢ pi 1 ⎢ ⎣
a1
a2
p12 p22 pi 2
p1 j p1 j pij
aj
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
0⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
p1 j ( n ) p1 j ( n ) pij ( n )
= ∑ P ( X ( 0 ) = k , X ( n1 ) = i1 , X ( n2 ) = i2 ,
k
定理4.3 齐次马尔科夫链的有限维分布满足:
（1）P ( X ( 0 ) = i0 , X ( n1 ) = i1 , X ( n2 ) = i2 ,
（2）P ( X ( n1 ) = i1 , X ( n2 ) = i2 ,
m m−1
马尔可夫链的无后效性，用条件分布律表 示，就有了马尔可夫链的如下定义：
二、 转移概率、转移概率矩阵
定义4.2
称 P{ X m+ n = j | X m = i}
为马氏链在时刻m处于状态i条件下, 在时刻 m + n
例1 某学生在高中中每个学期期中、期末六次考试及
第2章-马尔可夫链
0.4834
0.5009
例
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率是p，
乙胜的概率是q，和局的概率是r ，（p q r 1）。
设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，
和局不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。X以n
表示比赛至第n局时甲获得的分数。
（1）写出状态空间；（2）求P(2)；
pij a0j,i ,
ji ji
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
例2 M/G/1排队系统
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
X
n1
Xn 1 Yn ,
CHAPTER 2 马尔可夫链
第一节 基本概念
一、马尔可夫链的定义及例子
1、定义
随机过程Xn, n 0,1, 2, 称为马尔可夫链，若它只
取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，…），
并且，对任意
及状态
，有
n0
i, j, i0 , i1, , in1
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i)
（3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以结束比 赛的概率是多少？
解
（1）
记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵
1 0 0 0 0
q
r
p
马尔可夫链的基本原理和使用方法(八)
马尔可夫链是概率论中的一个重要概念，它可以描述随机过程中状态的转移规律。
马尔可夫链的基本原理和使用方法对于理解随机过程、模拟系统行为以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍马尔可夫链的基本原理、定义以及使用方法。
一、马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是一个离散时间随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来的状态只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来描述。
其中，状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
马尔可夫链的基本原理可以用数学公式表示为P(Xn+1=i|X0=x0, X1=x1, ..., Xn=xi) = P(Xn+1=i|Xn=xi)。
这个公式表示了在已知当前状态的情况下，下一个状态的转移概率只与当前状态有关，而与之前的状态无关。
这就是马尔可夫链的马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的定义马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来定义。
状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
状态转移概率矩阵P的定义如下：P(i, j) = P(Xn+1=j|Xn=i)其中，P(i, j)表示从状态i到状态j的转移概率。
状态转移概率矩阵P的每一行之和为1，因为在每个时刻，马尔可夫链必须转移到某一个状态。
三、马尔可夫链的使用方法马尔可夫链可以用来模拟随机过程的行为，预测未来的状态以及解决实际问题。
下面将介绍马尔可夫链的使用方法。
1. 模拟系统行为马尔可夫链可以用来模拟系统的行为。
假设有一个系统，它的状态在不同的时间点之间转移。
可以用马尔可夫链来描述系统的状态转移规律，然后利用状态转移概率矩阵P来模拟系统的行为。
通过模拟系统的行为，可以更好地理解系统的运行规律。
2. 预测未来的状态马尔可夫链可以用来预测未来的状态。
假设已知当前的状态，可以利用状态转移概率矩阵P来计算下一个时刻各个状态的转移概率，从而预测未来的状态。
马尔可夫链的吸收率
马尔可夫链的吸收率1. 马尔可夫链简介马尔可夫链是一种用数学模型描述随机变化的过程的工具。
这个模型旨在描述一系列由一个状态到另一个状态的转移，每个转移还有一个概率分布。
这些转移形成了一个有向图，被称为状态转移图。
2. 马尔可夫链的定义一个马尔可夫链由以下三个部分组成：- 状态集合S- 转移概率矩阵P- 初始状态分布向量π假设有一个离散时间马尔可夫过程，有n个可能的状态，分别为s1，s2 ... sn。
如果当前处于第i个状态si，则下一个状态可以是任何状态sj，其中j = 1，2 ... n。
概率转移矩阵P描述了从状态si 到状态sj的概率，其中pij表示从状态si转移到状态sj的概率。
3. 马尔可夫链的吸收态概念在马尔可夫链中，如果状态i可以转移到自身，则状态i称为有向图的自我循环，称为马尔可夫链的吸收态。
吸收态是由自我循环组成的状态，任何状态转移到吸收态之后就停留在那里，不再进行任何转移。
4. 马尔可夫链的吸收率一个马尔可夫链的状态可以被划分为不同的类别。
一个类别中的两个状态是连通的，即从一个状态到达另一个状态的概率大于零。
如果这个类别没有任何出边，则该类别中所有状态都是吸收态，即从该类别中的任何一个状态出发，最终都会到达该类别中的吸收态。
在一个具有吸收态的马尔可夫链中，吸收率是从任何一个状态开始，最终到达吸收态的概率。
换句话说，吸收率是从一个非吸收态开始，最终到达吸收态的概率。
5. 计算马尔可夫链的吸收率计算马尔可夫链的吸收率需要使用转移概率矩阵P和初始状态分布向量π。
首先，将P的马尔可夫矩阵拆分为以下形式：[ Q R ][ 0 I ]其中Q是由非吸收态组成的方阵，R是由非吸收态到吸收态组成的方阵，I是单位矩阵。
可以计算出P的标准型(Q')，其中Q'包含Q和多个0的块，这些块沿着矩阵的对角线延伸。
根据P和标准型(Q')，可以计算出矩阵N 和B：N = (I - Q')^-1B = N * R其中，N是每个非吸收态到达吸收态所需的平均步数矩阵，B是从每个非吸收态开始，最终到达吸收态的概率矩阵。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是指一种具有随机性质的过程，而马尔可夫链是随机过程中的一种基本模型。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
所谓马尔可夫性质，是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布仅依赖于当前状态，而不依赖于历史状态。
马尔可夫链广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、计算机科学等。
一、马尔可夫链的定义与性质马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间可以是一个有限集合或可数集合。
若设Xn表示马尔可夫链在时间n的状态，则马尔可夫链具有以下性质：1.满足马尔可夫性质：在给定现在状态下，未来状态的概率分布与过去状态无关。
2.具有无后效性：状态的转移只受当前状态影响，与之前的状态无关。
3.具有Markov性：任意时刻t，下一状态Xt+1只与当前状态Xt有关，与过去状态无关。
二、转移矩阵转移矩阵是马尔可夫链中的重要概念。
假设状态集合为{1，2，3，...，N}，若Xn=j，则转移矩阵Pij表示从状态j转移到状态i的概率。
即在马尔可夫链的当前状态为j时，下一时刻转移至状态i的概率为Pij。
满足下列条件：1.所有元素的值都是非负数；2.每行元素的和等于1。
3.初始转移概率矩阵为pc，则$t\in N^{*}$时，$i, j\in{1,2,3,...,N}$$ P_{ij} P_{j1}=P_{i1}$$ P_{ij} P_{j2}=P_{i2}$$ P_{ij} P_{jr}=P_{ir}$也就是说，转移矩阵是一个n阶方阵，矩阵中的元素为非负实数并且每行的和为1。
三、平稳分布在马尔可夫链中，若转移矩阵满足一定条件，那么存在一个平稳分布，在链条经过足够多的转移后，状态分布不再增长或减少，变得稳定，称之为稳态或平稳分布。
平稳分布是指当马尔可夫链在经过一定转移后，概率分布已经趋于稳定，不再发生变化的状态分布。
平稳分布的计算是求解方程$P_\infty=P_\infty P$。
其中$P_\infty$为平稳分布，$P$为转移矩阵。
马尔可夫链及其性质
马尔可夫链及其性质马尔可夫链是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来的状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个概念最早由俄国数学家马尔可夫在20世纪初提出，并且在各领域展示了广泛的应用。
一、马尔科夫链的定义马尔可夫链可以由以下元素定义：1. 状态空间：表示系统可能处于的所有状态的集合。
用S表示状态空间。
2. 转移概率：表示从一个状态到另一个状态的概率。
这些概率可以用转移矩阵P来表示，其中P[i, j]表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 初始概率分布：表示系统在初始状态时各个状态的概率分布。
用初始概率向量π表示，其中π[i]表示系统初始时处于状态i的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔科夫性质：马尔可夫链的核心特性是满足马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
2. 细致平稳条件：若马尔可夫链的转移概率满足细致平稳条件，则存在唯一的平稳分布。
细致平稳条件是指对于任意两个状态i和j，从i 到j的概率乘以停留在状态i的时间和从j到i的概率乘以停留在状态j 的时间应相等。
3. 遍历性：若马尔可夫链的任意两个状态之间存在一条路径，并且这条路径上的概率都不为零，那么这个马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了无论初始状态如何，最终都可以到达所有的状态。
4. 不可约性：若马尔可夫链的任意两个状态之间都是互达的，那么这个马尔可夫链是不可约的。
不可约性保证了从任意一个状态出发，都可以到达所有的状态。
5. 周期性：若马尔可夫链中存在状态i，使得从状态i出发，无论经过多少次转移，都不能回到状态i，那么这个状态具有周期性。
马尔可夫链的周期定义为状态的所有周期的最大公约数，具有相同周期的状态构成一个封闭的循环。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于文本生成和语音识别等自然语言处理领域。
通过观察文本中的状态转移概率，可以生成类似语义的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以应用于股票价格预测和市场波动分析等金融领域。
随机过程中的马尔可夫链与随机游走
随机过程中的马尔可夫链与随机游走马尔可夫链和随机游走是随机过程中两个重要的概念，它们在各个领域的建模和分析中都有着广泛的应用。
本文将介绍马尔可夫链和随机游走的基本概念、性质和应用，帮助读者全面了解和认识这两个重要的随机过程。
一、马尔可夫链1. 马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，在某一时刻的状态只依赖于前一时刻的状态，与之前的状态无关。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
2. 马尔可夫链的转移概率马尔可夫链的状态转移是通过概率矩阵描述的。
概率矩阵P=(pij)的第i行第j列元素pij表示从状态i转移到状态j的概率。
概率矩阵满足以下条件：每一行的元素之和为1，且所有元素都非负。
3. 马尔可夫链的平稳分布如果一个马尔可夫链满足某些条件，那么它将具有平稳分布。
平稳分布是指在长时间运行后，马尔可夫链中各个状态的概率趋于稳定，不再发生变化。
二、随机游走1. 随机游走的定义随机游走是一种在数学上描述随机过程的模型，其基本思想是在某个状态空间中随机地进行步长为1的移动。
每次移动的方向和位置都是根据特定的概率分布决定的。
2. 随机游走的简单例子一个简单的随机游走的例子是一维平面上的步长为1的游走。
从原点开始，每次向左或向右移动，移动方向由一个公平的硬币决定。
经过n次移动后，游走的位置可以用一个整数表示。
3. 随机游走的性质随机游走具有一些有趣的性质。
首先，随机游走是马尔可夫链的一个特例，因为每一步的移动只依赖于当前的位置。
其次，随着游走次数的增加，游走的位置呈现出一定的规律性，如对称性、回归性等。
这些性质在实际问题的建模和分析中有重要的应用价值。
三、马尔可夫链与随机游走的应用1. 马尔可夫链的应用马尔可夫链在很多领域有广泛的应用。
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于语言模型的建立。
在金融领域，马尔可夫链可以用于股票价格模型的构建。
此外，在生物学、物理学、工程学等领域，马尔可夫链也有着重要的应用。
马尔可夫链平均首达时间的计算
马尔可夫链平均首达时间的计算马尔可夫链是一种随机过程，它具有“无记忆”的特点，即该过程未来的状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
马尔可夫链在各个领域都有着广泛的应用，如金融、生物、物理等。
本文将介绍马尔可夫链平均首达时间的计算方法。
一、马尔可夫链的定义先来了解一下马尔可夫链的定义。
马尔可夫链是一个随机过程，其状态空间为S={S1,S2,…,Sn}，其中S表示状态，n表示状态的数量。
马尔可夫链的状态转移概率矩阵为P，其中Pij表示从状态i到状态j的概率。
马尔可夫链的状态转移满足马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
二、马尔可夫链的平均首达时间马尔可夫链的平均首达时间指的是从任意一个状态i开始，首次到达状态j的平均时间。
记Tij为从状态i到状态j的首达时间，则平均首达时间E(Tij)表示为：E(Tij)=∑k=1∞k·P(Tij=k)其中，P(Tij=k)表示从状态i开始，首次到达状态j的时间为k 的概率。
三、马尔可夫链平均首达时间的计算方法马尔可夫链平均首达时间的计算方法有两种，分别为直接计算和利用矩阵求逆计算。
1. 直接计算直接计算方法是通过递推的方式计算出平均首达时间。
具体步骤如下：（1）初始化：E(Tii)=0，E(Tij)=1/Pij（i≠j）。
（2）递推计算：对于所有的i≠j，有E(Tij)=1/Pij+∑k≠i,k≠jPik·E(Tkj)其中，∑k≠i,k≠jPik·E(Tkj)表示从状态i到状态j经过状态k的期望时间。
（3）重复执行（2）直到收敛。
这种方法的时间复杂度为O(n3)，其中n为状态的数量。
2. 利用矩阵求逆计算利用矩阵求逆计算方法是通过求解矩阵方程计算平均首达时间。
具体步骤如下：（1）构造矩阵Q和向量b：Q=[IP+1·eT]/Db=[1,0,…,0]T其中，I为单位矩阵，e为全1向量，D为对角矩阵，其对角线元素为P的每一行元素之和。