基于马尔可夫链的显著性检测
面向猴脸的吸收马尔科夫链图像显著性检测
面向猴脸的吸收马尔科夫链图像显著性检测张惠;许鹏飞【摘要】传统的基于吸收马尔科夫链进行图像显著性检测方法只能检测出与图像背景差异较大的目标,或者位于图像中心的显著目标.但通常情况下,被关注的目标并不具有这样的条件.提出了一种面向对象的吸收马尔科夫链的显著性检测算法,并将其应用于金丝猴面部的显著性检测中.算法在传统的吸收马尔科夫链进行图像显著性检测的过程中,引入惩罚因子,依据一定的先验信息来动态调整吸收时间.根据超像素块与目标色彩信息之间的差异对颜色权重进行相应的奖励或惩罚,以指引算法能够正确提取多个显著目标.实验表明:相对于传统算法,算法能够更准确地检测出被关注的显著目标,尤其在图像中含有多个关注目标时,效果更加显著.%Traditional saliency detection via absorbing Markov Chain can only detect the objects which have great contrast to the background or in the center of the images.However,in fact,the objects human focus on do not usually have these features.To alleviate this problem,propose an object-oriented saliency detection algorithm via absorbing Markov and apply it to saliency detection for monkeys' faces.This algorithm introduces a penalty factor to traditional saliency detection via Markov Chain to dynamically adjust the absorbing times relying on some prior knowledge.The reward or punishment to the color weights is made according to the differences between the colors of the superpixel points and color information of objects to detect salient objects correctly.The experimental results demonstrate that comparing with traditional algorithm,the proposedalgorithm can detect the objects which are focused on correctly,and especially when there are more than one object.【期刊名称】《传感器与微系统》【年(卷),期】2017(036)006【总页数】4页(P119-121,125)【关键词】面向对象;吸收马尔科夫链;显著性检测;金丝猴面部【作者】张惠;许鹏飞【作者单位】西北大学信息科学与技术学院,陕西西安 710127;西北大学信息科学与技术学院,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】TP391显著性检测指在图像中找到人们所感兴趣的区域或目标，该研究已在计算机视觉中被广泛应用，如基于内容的目标检测[1～3[，图像检索[4[，图像分割[5,6[和图像适应[7[等。
利用马尔可夫链预测用户行为
利用马尔可夫链预测用户行为马尔可夫链是一种随机过程，被广泛应用于许多领域，包括自然语言处理、金融市场分析和预测等。
在个性化推荐系统中，利用马尔可夫链可以预测用户行为，提高推荐算法的准确性和效果。
本文将介绍利用马尔可夫链预测用户行为的原理和应用。
一、马尔可夫链基础概念及原理解释马尔可夫链是一种随机过程，具备"马尔可夫性"。
所谓"马尔可夫性"指的是，某一时刻状态的转移只依赖于前一时刻的状态，而与过去的状态序列无关。
如下所示：P(Xn+1 = x | X0, X1, ..., Xn) = P(Xn+1 = x | Xn)其中，Xn表示第n个时刻的状态，P(Xn+1 = x | X0, X1, ..., Xn)表示在X0, X1, ..., Xn的条件下，第n+1个时刻的状态为x的概率。
利用马尔可夫链预测用户行为的基本假设是用户的行为具备马尔可夫性，即用户在当前时刻的行为只依赖于前一时刻的行为。
例如，用户在某个电商平台上的购买行为可能与其之前的点击、加购物车等行为有关，而与更久远的历史行为无关。
二、基于马尔可夫链的用户行为预测方法1. 数据预处理在利用马尔可夫链预测用户行为之前，需要对原始数据进行预处理。
预处理包括数据清洗、特征提取等步骤。
具体来说，可以根据用户行为数据构建状态空间和状态转移矩阵。
2. 构建状态空间状态空间是指用户行为的所有可能状态的集合。
例如，在一个电商平台上，用户的行为可以包括浏览商品、加购物车、下订单、支付等。
因此，状态空间可以包括"浏览商品"、"加购物车"、"下订单"、"支付"等状态。
3. 构建状态转移矩阵状态转移矩阵描述了用户行为在不同状态之间的转移概率。
具体来说，对于状态空间中的每一个状态，计算用户从该状态转移到其他状态的概率。
例如，对于状态"浏览商品"，可以统计用户在浏览商品后转移到"加购物车"、"下订单"或其他状态的概率。
显著性检测概要
Hierarchical Saliency Detection 多尺度(层)显著性检测
2014年CVPR论文
Learning optimal seeds for diffusion-based salient object detection 优化特征,基于图论的显著性检测方法
Time-Mapping Using Space-Time Saliency 从高速帧中提取低速帧
2013年CVPR论文
基于学习算法用带标签数据进行训练
• Saliency Detection by Multi-Context Deep Learning
• Salient Object Subitizing
• Co-saliency Detection via Looking Deep and Wide • Object Detection by Labeling Superpixels • Deep Networks for Saliency Detection via Local Estimation and Global Search • Visual Saliency Based on Multiscale Deep Features
3
显著性实验结果
原始图像
自下而上显著性检测
自上而下显著性检测
带标签数据集
带标签数据集
带标签数据集
显著性分类和评价标准
• 基于低层视觉特征 • 没有基于任何生物视觉原理的纯数学计 算方法 • 将前两种进行融合的方法
马尔可夫链预测模型及一些应用
南京邮电大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本人学位论文及涉及相关资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
研究生签名：_____________日期：____________南京邮电大学学位论文使用授权声明本人授权南京邮电大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档；允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。
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论文的公布（包括刊登）授权南京邮电大学研究生院（筹）办理。
涉密学位论文在解密后适用本授权书。
研究生签名：____________导师签名：____________日期：_____________南京邮电大学硕士学位论文摘要学科、专业：理学、应用数学研究方向：应用概率与随机信息系统作者：2009级研究生温海彬指导教师：王友国教授题目：马尔可夫链预测模型及一些应用英文题目：The application on some predic t ion with Markov chain model主题词：转移概率；优化；马尔可夫链；加权马尔可夫链；灰色马尔可夫链Keywords:transition probability;optimization;Markov chain;weighted Markov chain;gray Markov chain摘要马尔可夫链是一种时间离散、状态离散、带有记忆情况的随机过程，是预测问中常用的一种数学模型。
本文基于马尔可夫链分别对安徽17个地级市人均GDP、东方6+1彩票和全国电信业务总量进行预测。
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计学中的应用案例分析(六)
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计学中的应用案例分析马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的统计学计算方法，它在许多领域中都有着广泛的应用，包括金融、物理学、生物学和计算机科学等。
在统计学中，马尔可夫链蒙特卡洛方法被用来进行复杂的概率计算和模拟，以解决各种实际问题。
本文将通过几个实际案例，来分析马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计学中的应用。
案例一：贝叶斯统计推断在统计学中，贝叶斯统计推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，用来估计未知参数的后验分布。
马尔可夫链蒙特卡洛方法可以用来从后验分布中抽取样本，从而进行参数估计和模型预测。
例如，在金融领域中，可以使用马尔可夫链蒙特卡洛方法来估计股票价格的波动率，以及进行期权定价等。
案例二：蒙特卡洛积分在统计学中，蒙特卡洛积分是一种用蒙特卡洛方法计算确定性和随机积分的技术。
马尔可夫链蒙特卡洛方法可以用来对复杂的多维积分进行数值计算。
例如，在物理学中，可以使用马尔可夫链蒙特卡洛方法来计算多体系统的配分函数，从而研究物质的相变和相互作用等性质。
案例三：马尔可夫链蒙特卡洛在机器学习中的应用在机器学习领域中，马尔可夫链蒙特卡洛方法被广泛应用于参数估计和模型预测。
例如，在深度学习中，可以使用马尔可夫链蒙特卡洛方法来对神经网络模型进行贝叶斯推断，从而提高模型的鲁棒性和泛化能力。
此外，马尔可夫链蒙特卡洛方法还可以用来进行模型选择和超参数优化，从而提高模型的性能和稳定性。
总结通过以上几个案例的分析，可以看出马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计学中的应用是非常广泛的。
它不仅可以用来进行参数估计和模型预测，还可以用来解决复杂的概率计算和数值积分等问题。
随着大数据和人工智能技术的发展，马尔可夫链蒙特卡洛方法将会在统计学和其他领域中发挥越来越重要的作用。
因此，对马尔可夫链蒙特卡洛方法的深入研究和应用将会是未来的一个重要方向。
徐建华计量地理学期课后习题
计量地理学期末第二章1. 地理数据有哪几种类型，各种类型地理数据之间的区别和联系是什么？答：地理数据就是用一定的测度方式描述和衡量地理对象的有关量化指标。
按类型可分为：1）空间数据：点数据，线数据，面数据；2）属性数据：数量标志数据，品质标志数据地理数据之间的区别与联系：数据包括空间数据和属性数据，空间数据的表达可以采用栅格和矢量两种形式。
空间数据表现了地理空间实体的位置、大小、形状、方向以及几何拓扑关系。
属性数据表现了空间实体的空间属性以外的其他属性特征，属性数据主要是对空间数据的说明。
如一个城市点,它的属性数据有人口，GDP，绿化率等等描述指标。
它们有密切的关系，两者互相结合才能将一个地理试题表达清楚。
2. 各种类型的地理数据的测度方法分别是什么？地理数据主要包括空间数据和属性数据：空间数据——对于空间数据的表达，可以将其归纳为点、线、面三种几何实体以及描述它们之间空间联系的拓扑关系；属性数据——对于属性数据的表达，需要从数量标志数据和品质标志数据两方面进行描述。
其测度方法主要有：(1) 数量标志数据①间隔尺度（Interval Scale）数据: 以有量纲的数据形式表示测度对象在某种单位（量纲）下的绝对量。
②比例尺度（Ratio Scale）数据: 以无量纲的数据形式表示测度对象的相对量。
这种数据要求事先规定一个基点，然后将其它同类数据与基点数据相比较，换算为基点数据的比例。
(2) 品质标志数据①有序（Ordinal）数据。
当测度标准不是连续的量，而是只表示其顺序关系的数据,这种数据并不表示量的多少，而只是给出一个等级或次序。
②二元数据。
即用0、1 两个数据表示地理事物、地理现象或地理事件的是非判断问题。
③名义尺度（Nominal Scale）数据。
即用数字表示地理实体、地理要素、地理现象或地理事件的状态类型。
3. 地理数据的基本特征有哪些？1)数量化、形式化与逻辑化2 )不确定性3 )多种时空尺度4 ) 多维性4. 地理数据采集的来源渠道有哪些？1)来自于观测、测量部门的有关专业数据。
马尔可夫链蒙特卡洛方法在大数据分析中的应用案例解析(五)
马尔可夫链蒙特卡洛方法在大数据分析中的应用案例解析引言大数据时代的到来，众多企业和机构面临着前所未有的数据分析挑战。
如何从海量数据中提炼出有用的信息，成为了摆在他们面前的一道难题。
在这个情况下，马尔可夫链蒙特卡洛方法作为一种基于概率统计的数据分析手段，被越来越多的人们所关注和应用。
本文将从马尔可夫链蒙特卡洛方法的基本原理出发，通过一些实际案例，深入探讨其在大数据分析中的应用。
马尔可夫链蒙特卡洛方法的基本原理马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔可夫链的蒙特卡洛模拟算法，它的核心思想是通过随机抽样的方法，利用马尔可夫链的收敛性质，对某个随机变量的分布进行模拟和估计。
在大数据分析中，常常需要对某个未知的概率分布进行估计，而马尔可夫链蒙特卡洛方法正是为了解决这一问题而提出的。
具体来说，马尔可夫链蒙特卡洛方法主要包括两个步骤：第一步是构建一个满足一定条件的马尔可夫链，一般来说这个链需要具有遍历性和吸收性；第二步是利用这个马尔可夫链进行随机游走，通过抽样的方法来模拟未知分布的特征。
在这个过程中，由于马尔可夫链的收敛性，经过足够多的迭代次数后，抽样得到的结果将逼近于真实分布。
应用案例一：金融风险评估在金融行业，风险评估是一项至关重要的工作。
传统的风险评估模型往往无法应对大规模和高维度的金融数据，而马尔可夫链蒙特卡洛方法的引入为这一问题提供了新的解决思路。
以信用风险评估为例，假设我们需要对一家公司的违约概率进行评估。
通常情况下，这个概率是未知的，无法直接通过数据来进行估计。
这时，可以利用马尔可夫链蒙特卡洛方法，构建一个马尔可夫链来模拟这家公司的违约概率分布。
通过对这个链进行大量的随机游走和抽样，最终可以得到一个逼近于真实违约概率分布的结果。
应用案例二：社交网络分析在互联网时代，社交网络已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。
对于社交网络数据的分析，常常需要对节点之间的连接关系和影响力进行评估。
而马尔可夫链蒙特卡洛方法在这方面也有着广泛的应用。
如何利用马尔可夫链蒙特卡洛进行参数估计(四)
马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）是一种用来估计参数的统计方法，它通过模拟随机抽样的方式来获得参数的概率分布。
MCMC方法在统计学、机器学习和贝叶斯推断等领域中被广泛应用。
本文将介绍如何利用马尔可夫链蒙特卡洛进行参数估计。
一、什么是马尔可夫链蒙特卡洛马尔可夫链蒙特卡洛是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法。
马尔可夫链是一种随机过程，具有“马尔可夫性质”，即在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
MCMC方法利用马尔可夫链的收敛性质，通过从一个初始状态开始，根据一定的转移概率不断进行状态转移，最终得到参数的概率分布。
二、MCMC方法的基本步骤MCMC方法的基本步骤包括选择合适的马尔可夫链模型、定义参数的先验分布、进行随机抽样和估计参数的后验分布。
首先，需要选择一个合适的马尔可夫链模型，通常选择马尔可夫链蒙特卡洛算法中常用的Metropolis-Hastings算法或Gibbs采样算法。
其次，定义参数的先验分布，即对参数的分布进行假设，并根据数据进行参数估计。
然后，通过随机抽样的方式，利用马尔可夫链进行状态转移，最终得到参数的后验分布。
三、MCMC在贝叶斯推断中的应用MCMC方法在贝叶斯推断中被广泛应用，贝叶斯推断是一种统计学方法，用于估计参数的后验分布。
贝叶斯推断通过将参数的先验分布和数据的似然函数相结合，得到参数的后验分布。
MCMC方法可以用来从参数的后验分布中进行随机抽样，从而估计参数的分布和概率。
四、利用MCMC进行参数估计的优势MCMC方法具有许多优势，首先，它可以处理复杂的参数分布，包括多峰分布和高维参数空间；其次，MCMC方法可以灵活地调整参数的先验分布，适应不同的问题和数据；此外，MCMC方法还可以通过增加抽样次数来提高参数估计的精度和稳定性。
五、MCMC在机器学习中的应用MCMC方法在机器学习中也有广泛的应用，特别是在贝叶斯机器学习和概率图模型中。
例如，在概率图模型中，MCMC方法可以用来从联合分布中抽样，估计模型的参数和隐变量；在贝叶斯机器学习中，MCMC方法可以用来估计参数的后验分布，进行参数选择和模型比较。
基于马尔可夫链模型的EWMA控制图性能分析与优化_何曙光
将统计量 Zi 落在控制限之外的状态表示为 Sa ,假设 zi
一旦超出控制限不会自动返回 , 则 Sa 为一个吸收态 。这样
整个 EWMA 的监控过程就可以描述为带有一个吸收壁的马
尔可夫链[4] 。该马尔科夫链的一步转移概率矩阵 P 可以表
示为
P = R ( I - R) 1
(3)
0T
1
式中 , R 为 k ×k 矩阵 ,表示从转移状态 Si 到转移状态 Sj 的 概率 pij ( i , j = 1 , 2 , …, k) 。I 为 k ×k 单位矩阵 , 1 为所有元 素均为 1 的 k ×1 列向量 , 0 为所有元素均为 0 的 k ×1 列
EWMA 控制图对微小变异的灵敏度主要受参数 r 的
收稿日期 :2007205222 ; 修回日期 :2007210231 。 基金项目 :国家自然科学基金资助课题 (70372062 ; 70572044) 作者简介 :何曙光 (19752) ,男 ,副教授 ,博士 ,主要研究方向为质量工程 ,信息系统 。E2mail : shuguanghe @126. co m
1 EWMA 控制图
指数加权移动平均 (exponential weighted moving aver2 age , EWMA) 控制图于 1959 年由 Robert s[1] 提出 ,作为对休 哈特控制图的改进 。由于 EWMA 控制图同时考虑了当前样 本和之前的样本 ,因此能够快速检测出过程的微小波动 。
影响 EWMA 控制图性能的另一个重要因素是偏移量 δ= | μ1 - μ0 | /σ0 ,其中μ1 是过程失控时的均值 。显然δ= 0 时 ,过程处于统计受控状态 ,δ> 0 ,过程处于统计失控状态 。
基于马尔可夫链的显著性检测
基于马尔可夫链的显著性检测
马尔可夫链是描述状态转移的数学模型，通常将状态表示为离散值，一次转移是从一个状态到另一个状态的过程。
马尔可夫链的一个重要特性是当状态的转移概率只
与前一步状态有关时，它满足马尔可夫性质。
这意味着马尔可夫链是一个无记忆的过程，其未来状态只与当前状态有关而不受过去状态的影响。
在计算机科学和机器学习领域，马尔可夫链及其变体被广泛应用于各种问题。
一种常见的应用是显著性检测，即通过分析序列数据中的差异性，确定哪些部分最显著
或最为异常。
这对于检测视频、音频、文本、图像等数据中的异常或关键部分非常有用。
马尔可夫链显著性检测的基本原理是比较两个序列的相似性，并将其表示为由一系列状态组成的序列。
这些状态可以是像素、音频采样、文本单词等。
在这种比较过
程中，通常会使用一个基于距离或相似度的指标来衡量两个状态之间的差异性。
一旦将序列转换为状态序列并计算出相邻状态之间的转移概率，就可以使用马尔可夫链模型来估计序列的显著性。
一个简单的方法是构建一个基于马尔可夫链的模型，其中状态表示序列的中心，然后计算每个状态的对数似然比（log-likelihood ratio）与\。
基于马尔可夫链样本模拟的线抽样可靠性灵敏度分析方法
Markov Chain Simulation Based Line Sampl ing Method for Rel iabil ity Sensitivity He Ho ngni L üZhenzho u
1 基于失效域样本模拟的可靠性灵敏度 分析
因相互独立的正态变量具有普遍性 ,本文只
对相互独立的正态变量情况进行讨论 。假设所分
析问题的功能函数 g ( x) 是基本变量 xi ( i = 1 ,2 ,
…, n) 的函数 , n维变量 x i 之间相互独立并服从均
值为
μ xi
、标
准
差
为
σ xi
的正态分布,
假设利用马尔可夫链产生的失效域中的条件
样本[11 ] 为 xFj ( j = 1 , 2 , …, N ) , 对应的标准正态
空间 U 中的样本点为 uFj ,在 U 空间中 ,与 g ( x) 对
应的功能函数记为 g ( u) , 对应于 uFj 且垂直于单
位重要方向
eα
的向量
⊥
uFj
可由下式确定
即
xi
～
N (μxi ,σ2xi ) 。
针对工程中较难解决的隐式方程的可靠性分
析问题 ,文献[11 ] 提出一种基于失效域样本模拟
的高效线抽样方法 ,该方法采用马尔可夫链[12] 快
速得到失效域中的条件样本 , 所得样本不仅可以
用来准确获得重要方向 (由均值点指向设计点构
成的矢量方向) , 而且可以用作线抽样的随机样
如何使用马尔可夫链蒙特卡洛进行高效概率网络推断(十)
马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）是一种强大的概率推断方法，可以用于解决许多实际问题，包括机器学习、统计建模和贝叶斯推断。
它利用了马尔可夫链的随机性质，可以对概率分布进行采样，并且在许多情况下可以获得精确的结果。
在本文中，我们将讨论如何使用MCMC进行高效的概率网络推断。
1. 理解马尔可夫链蒙特卡洛首先，让我们简要回顾一下马尔可夫链蒙特卡洛的基本原理。
MCMC是一种基于马尔可夫链的随机模拟技术，用于从概率分布中抽取样本。
基本思想是构造一个马尔可夫链，使其平稳分布为所需的概率分布，然后通过遍历该链来获取样本。
在实践中，最常用的MCMC算法是马尔可夫链蒙特卡洛方法和吉布斯采样。
2. 应用MCMC进行概率网络推断概率网络是一种表示变量之间依赖关系的图形模型，例如贝叶斯网络和马尔可夫随机场。
概率网络推断的目标是计算给定观测数据的后验概率分布，以及对未观测变量的预测。
MCMC可以用于高效地进行概率网络推断，特别是在复杂的模型和大规模数据集的情况下。
3. Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法是最常用的MCMC算法之一，它通过接受-拒绝采样的方式，在马尔可夫链上进行随机游走，从而实现概率分布的采样。
该算法的关键在于定义一个转移核（transition kernel），用于在当前状态和候选状态之间进行转移，并根据接受概率来决定是否接受候选状态。
Metropolis-Hastings算法的优点是易于实现，并且适用于各种类型的概率分布。
4. 吉布斯采样吉布斯采样是另一种常用的MCMC算法，它适用于概率网络的条件概率分布是易于抽样的情况。
吉布斯采样的基本思想是逐个更新每个变量的取值，直到达到平稳分布。
虽然吉布斯采样在某些情况下会比Metropolis-Hastings算法更高效，但它也有一些局限性，例如对高维状态空间和强相关性的处理能力较弱。
5. 高效MCMC的改进算法除了传统的MCMC算法，还有许多改进的算法可以用于高效概率网络推断。
随机过程报告——马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足}i {},...,i X i {1n 10001n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。