九年级三角函数的应用

九年级三角函数的应用 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020

解直角三角形

（一）定义：叫解直角三角形

（一）解法分类：（1）已知一边和一个锐角解直角三角形；

（2）已知两边解直角三角形．

（1）如图，四边形ABCD中，∠A=600,AB⊥BC, AD⊥DC,AB=200,CD=100,求AD的长。

A

D

B C

（2）如图，四边形ABCD中，∠D=1200,BA⊥DA, AC⊥DC,AB=503,CD=303,求AD的

长。

C D

B A

（二）解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

例1. 一个小孩荡秋千，秋千的链子的长度为2米，当秋千两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

（结果精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）

例2：如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6m，坡长CD=82m，坡底BC=30m，∠ADC=135°

（1）求∠ABC的大小；

（2）如果坝长100m，那么建筑这个大坝要多少土石料？

（参考数据：tan280≈0.5，sin300=0.5,cos600=0.5）

A D

B C

例3：如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.7米，那么这棵树大约有多高（

精确到0.1米）

例4.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)

练习：

1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为多少米(精确到0.1米)． (sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7； sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)

2.在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离 多远的地方进行测量（精确到整数米）

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，

sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

4.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为多少米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

5.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。（结果保留根号）

A B

C

D 65235

(参考数据：42615sin -=?，4

2615cos +=?，3215tan -=?）。 6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2≈1.414，3≈1.732） 7.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A

处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC 为多少米（用根号表示）． 例5：我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（ 参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

练习：

1.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向，如图，以航标C 为圆心，120m 长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

★2.在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于Q

B C P

A 45060?30?P A

B C

3060

北

N

M 东北

B C

A l

A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的

北偏东60°，且与A相距的C处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？

请说明理由．

例6：如图，某货船以20海里/时的速度将一批货物由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后必须立即卸货。此时接气象部门通知，一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动，距台风中心200海里的圆形范围内（包括边界）均会被影响。问：（1）B处是否会受到影响？说明理由。

（2）为避免台风影响，该船应在多少小时内卸完货？北

（3）求这次台风影响B市的时间

（供选用数据2≈1.4，3≈1.7）

西B A

练习

1.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以

每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）

★3. 如图，在某气象站M 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M 的东

偏南方向100千米的海面P 处，并以20千米／小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cos θ= 102，问： （1）台风中心几小时移到气象站M 正南N 处，此时气象站M 是否受台风侵袭？

（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

例7如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ?∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．

（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）． （参考数据：sin5°≈0.09 ，cos5°≈1.0 ， tan5°≈0.09 ，

sin12°≈0.2 ，cos12°≈0.98 ，tan12°≈0.2 ）

练习：1.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.

（1）求新传送带AC 的长度；

（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物

MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计

算结果精确到0.1米)

（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6

≈2.45)

D B

A C

512

2.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）

C D A C D A

F G