九年级三角函数的应用
三角函数在初中数学中的应用
三角函数在初中数学中的应用在初中数学学习中，三角函数是比较重要的内容。
在初中阶段，学生主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。
这三个函数在生活中的应用非常广泛，几乎涉及到生活的各个方面。
三角函数在初中数学中的应用，主要分为以下几个方面。
一、图形的模拟三角函数可以用来模拟一些具有规律性的图形，例如：正弦函数可以模拟海浪般的波形，余弦函数可以模拟钟摆的运动，正切函数可以模拟图形的变化趋势。
在初中阶段，学生可以通过计算出每个函数在不同角度下的值，来绘制出完整的图形。
通过这种方式，可以让学生更好地理解三角函数的定义、性质和应用。
二、三角函数在几何中的应用三角函数在初中数学中的应用，最重要的一个方面是在几何学中的应用。
初中阶段学生主要学习平面几何、立体几何和三角形几何。
而正弦函数、余弦函数和正切函数都可以用来计算三角形的各种参数。
例如：学生可以利用正弦定理来计算三角形的角度或者利用余弦定理来计算三角形的边长。
而计算三角形的高度、面积等参数，可以使用三角函数中的正切函数进行计算。
三、三角函数在物理中的应用三角函数在初中数学中的应用，还可以用在物理学中。
在物理学中，三角函数尤其是正弦函数和余弦函数，常常被用来描述周期性的现象。
例如：学生可以利用正弦函数和余弦函数来模拟电磁波的传播、声波的振动以及光的折射等现象。
而在物理学中，正切函数通常用于计算速度、加速度和力等物理量的变化趋势。
四、三角函数在工程领域中的应用三角函数在初中数学中的应用还可以用在工程领域中。
例如在建筑、制造、电子工程、汽车制造等领域，都需要用到三角函数。
例如：在建筑领域中，工人需要计算出房屋的倾斜角度和高度，以此来安装楼梯、门框和捆绑钢管等工作。
而在制造领域中，设计师需要计算出各个部件之间的角度和长度，以此来制作出精确的机械。
五、三角函数在数学竞赛中的应用三角函数在初中数学中的应用，最后一个方面是在数学竞赛中的应用。
学生只有深入理解了三角函数的定义、性质和应用，才能在数学竞赛中取得好成绩。
初中数学三角函数的定义与应用
初中数学三角函数的定义与应用三角函数是初中数学中的一个重要概念，它是数学中用于研究三角形和周期性现象的函数。
三角函数有正弦、余弦和正切三种常见形式，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和其在初中数学中的应用。
一、正弦函数的定义与应用正弦函数是三角函数中最基本的一种，通常用sin表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinα = 对边/斜边。
正弦函数在初中数学中的应用非常广泛，例如在解决直角三角形的问题中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或角度。
二、余弦函数的定义与应用余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosα = 邻边/斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也在解决直角三角形的问题中起到了重要作用。
三、正切函数的定义与应用正切函数是三角函数中的第三种形式，通常用tan表示。
它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanα = 对边/邻边。
正切函数的应用也非常广泛，特别是在解决梯度问题、角度关系问题等方面具有重要意义。
四、三角函数的周期性三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内呈现出重复的规律性。
正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π（弧度制下）或360°（角度制下）。
因此，我们可以利用周期性特点来简化计算，并在解决周期性问题时加以应用。
五、三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数和正切函数都具有特定的图像形态和性质。
例如，正弦函数的图像呈现出上下波动的曲线，余弦函数的图像则是波浪形的曲线，而正切函数的图像则是以原点为对称中心的S形曲线。
对于初中生来说，理解这些图像形态及其性质对于学习和应用三角函数非常有帮助。
六、三角函数的应用举例在实际生活中，三角函数有许多应用。
例如，利用三角函数可以解决测量高楼大厦的高度问题，通过测量垂直角和距离，可以利用三角函数计算出高楼大厦的实际高度。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
初三数学三角函数的应用与证明
初三数学三角函数的应用与证明三角函数是初中数学中重要的知识点之一，它不仅可以用来描述几何形状和角度的关系，还可以应用于实际问题的解决。
本文将介绍三角函数的应用以及一些常见的三角函数证明。
一、三角函数的应用1. 直角三角形的求解在解决直角三角形问题时，三角函数是必不可少的工具。
以求解一般直角三角形的斜边长度为例，我们可以利用正弦函数来解决。
假设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长度为c，对边长为a，邻边长为b，则可以得到以下关系式：sinθ = a/c通过这个关系式，我们可以根据给定的两边长度，求解出未知边的长度。
2. 角度的测量在现实生活中，我们经常需要测量角度，例如测量物体的倾斜角度、测量两条线的夹角等等。
此时，三角函数可以帮助我们快速准确地计算角度。
常用的角度测量函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
例如，在测量物体倾斜的角度时，我们可以通过测量物体底部到地面的垂直高度和物体与水平面的夹角来计算出实际的倾斜角度。
3. 三角函数的图像与性质三角函数的图像可以直观地展示它们的周期性和变化规律。
熟练掌握三角函数的图像可以帮助我们更好地理解与应用。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π 的波形，振幅为 1，可以描述物体在振动过程中的变化规律。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位不同，可以描述物体在周期性变化中的偏移情况。
正切函数的图像是由一系列无穷多的正弦函数组成，可以表示一条无限接近于水平的直线。
二、三角函数的证明1. π/4 的正弦值的证明我们可以通过简单的几何构造证明π/4 的正弦值为√2 / 2。
首先，画一个边长为 1 的正方形，然后将其对角线延伸至边界上的点，形成一个以正方形边长为斜边的直角三角形。
根据勾股定理，设直角边为 x，则斜边为√(x^2 + x^2) = √2x。
根据三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，即sin(π/4) = x / √2x = 1 / √2。
由于√2 / 2 = 1 / √2，因此得证sin(π/4) = √2 / 2。
九年级三角函数的应用实例
九年级三角函数的应用实例三角函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在九年级的学习中，我们已经初步接触了正弦、余弦和正切等常用三角函数，并学习了如何在直角三角形中求解角度和边长的问题。
接下来，让我们通过一些实际应用的例子，进一步理解并掌握三角函数的应用。
1. 建筑工程中的角度测量角度测量在建筑工程中起着至关重要的作用。
例如，当我们希望确定两栋高楼之间的夹角时，可以利用三角函数来进行测量。
首先，我们需要准备一个测角仪器，如经纬仪或者全站仪。
然后，我们选择一个参考点A，站在该点上，使用仪器测量参考点A与第一座楼顶的夹角α，以及参考点A与第二座楼顶的夹角β。
通过测量结果，我们可以利用正切函数的性质来计算出两栋楼之间的夹角θ，即θ = β - α。
2. 航海中的航向计算航海中，航向计算是非常重要的。
其中，真航向（True Heading）是指船舶相对于真北方向的夹角，偏航角（Deviation Angle）是指船舶磁罗盘的指示与真航向之间的夹角，而磁航向（Magnetic Heading）则是指船舶相对于磁北方向的夹角。
为了计算这些夹角，我们可以使用余弦函数。
假设我们测得磁北的方向角为α，偏航角为β，那么真航向可以通过如下公式计算得出：θ = α + β。
3. 电子游戏中的角度运动在电子游戏设计中，我们经常需要控制角色的运动。
例如，我们希望让角色向特定方向移动，但只知道该方向与水平方向之间的夹角。
这时，我们可以利用正弦和余弦函数来分解分别计算角色在水平方向和竖直方向上的位移。
假设角色需要向右移动，我们可以设定水平方向上的速度为v，那么角色在水平方向上的位移即为x = v * cosθ，而在竖直方向上的位移为y = v * sinθ。
通过以上的实例，我们可以看到三角函数在各个领域中的广泛应用。
熟练掌握三角函数的性质和应用方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以启发我们在数学思维和逻辑推理方面的能力。
九年级级数学三角函数的应用
2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从
A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为
60°，则建筑物CD的高为_____米.
20 3
B 图1 C
B 图2 C
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别 是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树
高AB等于 100 1 3米 （根号保留）．
54°45°
BC=DC=40m.
D 40m
C
在Rt△ACD中，tan ADC AC
DC
∴AC tanADC DC
tan54 40 1.3840 55.2
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m.
三 利用坡角解决实际问题
例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°， 求路基下底的宽（精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测 得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的 距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝ 90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形， 然后根据已知条件解直角三角形．
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶 部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°， 热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高 （结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中， α=30°，AD＝120，所以利用解直角 三角形的知识求出BD；类似地可以求 出CD，进而求出BC．
三角函数的实际应用
三角函数的实际应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅仅是理论上的概念，在日常生活中也有着广泛的实际应用。
三角函数的实际应用涉及到多个领域，包括物理、工程、天文学以及计算机图形等。
本文将介绍三角函数在这些领域中的一些实际应用案例，并探讨其重要性和影响。
一、物理应用1. 弹簧振动弹簧振动是物理学中常见的现象，它是由于弹性体受到外力作用而发生的周期性振动。
三角函数可以用来描述弹簧振动的运动规律。
根据胡克定律，弹簧振动的恢复力与其伸长长度成正比。
这个关系可以用正弦函数表示，即 F = k*sin(ωt)，其中 F 表示恢复力，k 表示弹性系数，ω 表示角频率，t 表示时间。
通过三角函数的表达，我们可以计算出弹簧振动的周期、频率等重要参数，进而研究和分析弹簧振动的性质，为相关实验和工程设计提供依据。
2. 交流电路在电学中，交流电路是一种重要的电路类型。
三角函数可以用来描述交流电路中电压和电流的变化情况。
正弦函数被广泛应用于交流电路的分析和计算中。
例如，正弦波电压在时间上的变化可以用 V(t) = Vm * sin(ωt) 表示，其中 V(t) 表示时间 t 时的电压值，Vm 表示电压的最大值，ω 表示角频率。
通过使用三角函数，我们可以计算交流电路中的功率、相位差等重要参数，从而更好地理解和设计电路。
二、工程应用1. 建筑设计在建筑设计中，三角函数被广泛地应用于计算和测量。
例如，三角函数可以用来计算建筑物的高度、倾斜度以及角度等信息。
在进行建筑物定位和测量时，使用三角函数可以通过测量某个点与两个已知点之间的距离和角度，推导出该点的准确位置和方向。
这对建筑师和工程师来说是非常重要的，它们可以基于这些计算结果进行建筑物的合理布局和设计。
2. 机械运动机械运动是工程学中的一个重要领域，三角函数在机械运动中具有广泛的应用。
例如，在机械设计中，三角函数可以描述旋转运动的速度和加速度，帮助工程师分析和计算各种机械零件的运动特性。
九年级数学三角函数的应用
其他领域应用举例
工程学
在工程学中，三角函数可用于计算角度、长度等参数，解决各种实际问题。例如，在建筑 设计中，利用三角函数可以计算出建筑物的角度和高度等关键参数。
物理学
在物理学中，三角函数可用于描述简谐振动、波动等现象。例如，利用正弦和余弦函数可 以描述弹簧振子的振动过程，以及波动在介质中的传播情况。
波动现象描述与预测
波动率建模
在金融领域，三角函数可用于建模波动率。例如，利用正弦和余弦函数构建波动 率模型，可以描述股票价格的波动情况，并用于预测未来的波动趋势。
周期性波动预测
对于具有周期性波动的现象，如电力负荷、交通流量等，可以利用三角函数进行 预测。通过历史数据的分析和拟合，可以预测未来一段时间内的波动情况，为决 策提供支持。
已知一边一角求其他两边
在直角三角形中，如果我们知道一条边的长度和一个锐角的大小，可以利用三角函数求出另外两条边 的长度。具体方法包括利用正弦、余弦函数求出未知边的长度，以及利用正切或余切函数求出另一个 锐角的大小。
03
三角函数在物理中的应用
简谐振动与正弦函数关系
简谐振动的定义
振幅、周期和频率
物体在一定范围内周期性地来回运动， 称为简谐振动。
指导学生运用三角函数知识，建立 与实际问题相符的数学模型，如通 过设立坐标系、确定角度和边长等 方式构建几何图形。
模型求解与验证
引导学生运用数学方法求解模型， 得出数学结论，并将结论与实际问 题进行比对，验证模型的合理性。
跨学科知识融合，提高综合解决问题能力
1 2
物理背景中的三角函数
结合物理学科中的振动、波动等知识点，让学生 理解三角函数在描述周期性现象中的应用。
倍角公式
sin2a=2sinacosa，cos2a=cos²a-sin²a。这些公式用于将二倍角的 三角函数转化为基础角的三角函数。
三角函数的万能公式应用大全
三角函数的万能公式应用大全1.求解三角函数的值：sin30° = sin(90° - 60°) = sin90°cos60° - cos90°sin60° = cos60° = 0.5同样地，可以使用万能公式求解其他角度的三角函数值。
2.简化复杂的三角函数表达式：有时候，我们需要简化一些复杂的三角函数表达式，以便更方便地进行运算。
万能公式常常被用于化简这些表达式。
例如，对于表达式 sinx + cosx，可以使用万能公式将其化简为：sinx + cosx = sqrt(2) * sin(x + 45°)这样的化简可以使得表达式更加简洁，并且易于计算。
3.证明三角恒等式：三角恒等式是指在三角函数中成立的等式。
我们可以使用万能公式来证明这些恒等式。
例如，我们要证明 tanx + cotx = secx * cscx。
可以使用万能公式将式子的左边化简为：tanx + cotx = (sinx/cosx) + (cosx/sinx) = (sin^2x +cos^2x)/(sinxcosx) = 1/(sinxcosx) = cscxsecx通过使用万能公式，我们得到了三角恒等式的证明。
4.解三角方程：在解三角方程的过程中，有时候需要将方程中的三角函数转化为其他形式。
万能公式提供了这样的转化的方法。
例如，对于方程 sinx = cosx，可以使用万能公式将其转化为：sinx = cosxsinx = sin(90° - x)根据单位圆上的正弦函数的性质，可以得到x=45°以上是三角函数万能公式的一些常见应用。
通过灵活运用这些公式，我们可以更加便捷地解决三角函数的相关问题，并深入理解其性质和关系。
九年级三角函数的应用
解直角三角形一定义：叫解直角三角形一解法分类：1已知一边和一个锐角解直角三角形；2已知两边解直角三角形．1如图,四边形ABCD中,∠A=600,AB⊥BC, AD⊥DC,AB=200,CD=100,求AD的长; ADB C2如图,四边形ABCD中,∠D=1200,BA⊥DA, AC⊥DC,AB=503,CD=303,求AD的长;CDB A二解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决例1. 一个小孩荡秋千,秋千的链子的长度为2米,当秋千两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差;结果精确到0.01米,参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236例2：如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=82m,坡底BC=30m,∠ADC=135°1求∠ABC的大小；2如果坝长100m,那么建筑这个大坝要多少土石料参考数据：tan280≈0.5,sin300=0.5,cos600=0.5A DB C例3：如图,小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高,已知小明离树的距离为4米,DE为1.7米,那么这棵树大约有多高精确到0.1米例4.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图,他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45°;请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度．计算过程和结果均不取近似值练习：1.如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC 为多少米精确到0.1米．sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7； sin52°≈0.8,cos52°≈0.6,tan52°≈1.32.在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量 精确到整数米参考数据：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64, tan50°≈ 1.20, sin30°=0.50,cos30°≈0.87,tan30°≈0.584.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,则电梯楼的高BC 为多少米．参考数据：2≈1.414,3≈1.7325.如图,在小山的西侧A 处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空,40分钟后到达C 处,这时热气球上的人发现,在A 处的正东方向有一处着火点B,十分钟后,在D 处测得着火点B 的俯角为15°,求热气球升空点A 与着火点B 的距离;结果保留根号 参考数据：42615sin -=︒,42615cos +=︒,3215tan -=︒;6.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P 点,测得A 村的俯角为30︒,B 村的俯角为60︒．如图7．求A 、B 两个村庄间的距离．结果精确到米,参考数据2≈1.414,3≈1.732ABCD6米52° 35°QP 45060︒30︒AB C D7.如图,小明同学在东西方向的环海路A 处,测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上,在A 处东500米的B 处,测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上,则灯塔P 到环海路的距离PC 为多少米用根号表示．例5：我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路,但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处,有一个半径为0.6千米的住宅小区见下图,问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁 参考数据：2≈ 1.414,3≈1.732练习：1.某月松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上,前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向,如图,以航标C 为圆心,120m 长为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险★2.在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN 如图,在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A 相距83km 的C 处．1求该轮船航行的速度保留精确结果；2如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸请说明理由．例6：如图,某货船以20海里/时的速度将一批货物由A 处运往正西方向的B 处,经16小时到达,到达后必须立即卸货;此时接气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°的方向移动,距台风中心200海里的圆形范围内包括边界均会被影响;问：1B 处是否会受到影响 说明理由;2为避免台风影响,该船应在多少小时内卸完货 北 3求这次台风影响B 市的时间供选用数据2≈1.4,3≈1.7PA B C30°60°北N M 东北BCA l西B A练习1.某校的教室A 位于工地O 的正西方向、,且 OA=200米,一部拖拉机从O 点出发,以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为130米,试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内 若不在,请说明理由；若在,求出教室A 受污染的时间有几秒 已知：sin53°≈0．80,sin37°≈0．60,tan37°≈0．75★3. 如图,在某气象站M 附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于气象站M 的东偏南方向100千米的海面P 处,并以20千米／小时的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为20千米,并以10千米/小时的速度不断增大,已知cos θ=102,问： 1台风中心几小时移到气象站M 正南N 处,此时气象站M 是否受台风侵袭 2几小时后该气象站开始受台风的侵袭例7如图,有一段斜坡BC 长为10米,坡角12CBD ︒∠=,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°． 1求坡高CD ；2求斜坡新起点A 与原起点B 的距离精确到0.1米．参考数据：sin5°≈0.09 ,cos5°≈1.0 , tan5°≈0.09 , sin12°≈0.2 ,cos12°≈0.98 ,tan12°≈0.2练习：1.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.1求新传送带AC 的长度；2如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由．说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米参考数据：2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.452.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示．BC AD ∥,斜坡40AB =米,坡角60BAD ∠=,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测,当坡角不超过45时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米结果保留根号DB AC512。
九年级数学三角函数的应用
九年级数学三角函数的应用在九年级数学学习中，三角函数是一项重要且常见的内容。
三角函数的应用广泛而深入，涉及到各种实际问题的解决。
本文将从几个常见的应用角度，探讨三角函数在实际问题中的应用。
一、三角函数在建筑设计中的应用建筑设计中，三角函数的运用非常广泛。
例如，设计一个斜坡的角度，可以利用三角函数中的正切函数来求解。
假设我们要修建一个连接两个高度不同的地点的斜坡，可以通过测量两地之间的水平距离和垂直高度差来求解斜坡的角度。
根据正切函数的定义，我们可以得到如下公式：角度 = arctan（垂直高度差 / 水平距离）通过计算，可以求解出合适的角度值，从而合理设计斜坡的倾斜度，确保斜坡的安全性和舒适度。
除了斜坡设计，三角函数还可以应用于其他建筑设计中，比如楼梯的设计、屋顶的倾斜角度等。
通过运用三角函数的知识，建筑师可以更好地进行设计和规划，使建筑物更加符合人们的需求。
二、三角函数在航海导航中的应用航海导航是三角函数的另一个常见应用领域。
在航海中，船只需要根据指定的方向和目标位置，通过测量自身的坐标和目标位置的坐标，来确定自身的航向角和航行距离。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数在航海导航中扮演着重要角色。
以求解航向角为例，我们可以利用正弦函数或者余弦函数求解。
假设船只当前位置的坐标为（x1，y1），目标位置的坐标为（x2，y2），则航向角可以通过下列公式求解：角度 = arctan（（y2 - y1）/（x2 - x1））通过计算，船只在航行时可以根据目标位置的坐标和当前位置的坐标，准确地确定航向角，确保船只沿着正确的路径航行。
航海导航中还有其他许多应用，比如求解航线距离、确定船只的行驶速度等。
三角函数在航海导航中的运用，提高了导航的准确性和效率。
三、三角函数在天文学中的应用天文学中，三角函数的应用也是不可或缺的。
天文学家利用三角函数的相关概念和公式，来解释和计算天体运动、测量距离等相关问题。
以测量距离为例，天文学家经常需要测量星体之间的距离。
三角函数的应用
三角函数的应用
三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各种数学问题中。
本文将介绍三角函数在几何、物理、工程等领域中的应用。
几何应用
1. 求角度：可以利用正弦、余弦和正切函数来求解三角形的角度。
例如，已知三角形两条边的长度，可以通过正切函数求得其夹角。
2. 求边长：三角函数可以用于计算三角形中未知边长的长度。
例如，已知一个角度和与之相邻的一边的长度，则可以通过正弦或余弦函数计算出另外两条边的长度。
3. 解决三角形的面积问题：三角函数可以帮助计算不规则三角形的面积。
例如，可以通过正弦公式求出三角形面积。
物理应用
1. 物体运动的计算：正弦和余弦函数可以用来描述物体在水平
方向和垂直方向的运动。
2. 振动和波动：三角函数也被广泛运用于描述振动和波动现象。
例如，正弦函数可以描述声波的传播，余弦函数可以描述气体分子
在空气中的振动。
工程应用
1. 静力学：三角函数可以用来解决物体在平衡状态下的问题。
例如，可以通过正弦和余弦函数计算某个角度对应的平衡点位置。
2. 电学：三角函数可以用来描述交流电路的行为。
例如，可以
利用正弦函数描述电流和电压的周期变化。
综上所述，三角函数在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，是数学中的一种基本工具。
掌握三角函数的应用可以帮助我们
更好地理解和解决各种实际问题。
三角函数的应用
三角函数的应用1.几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，通过正弦定理和余弦定理，我们可以计算任意三角形的边长或角度。
此外，三角函数也经常用于解决三角形的面积、高度和面积比较等几何问题。
2.物理应用三角函数在物理学中也起着重要的作用。
例如，我们可以利用正弦函数来描述物体的周期性振动，如钟摆的摆动、弹簧的拉伸等。
此外，通过余弦函数，我们还可以描述物体的匀速圆周运动，如行星绕太阳的运动等。
3.工程应用在工程学中，三角函数的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，正弦和余弦函数可用于描述三维空间中的旋转和平移变换。
另外，在建筑和土木工程领域，三角函数可用于计算房屋的高度、角度和斜面的坡度等。
4.统计应用三角函数在统计学中也有一些应用。
例如，在时间序列分析中，我们可以利用三角函数来拟合和预测周期性数据，如季节性销售数据、股市走势等。
此外，三角函数还可以用于频谱分析和信号处理等领域。
5.日常生活中的应用除了学术和科学领域，三角函数还在我们的日常生活中有许多应用。
例如，我们可以利用三角函数来计算日出日落时间、倾斜角度和倾斜距离等。
此外，三角函数还可以用于导航、测量和建模等实际问题的解决。
综上所述，三角函数在几何学、物理学、工程学、统计学和日常生活中都有广泛的应用。
通过运用三角函数，我们可以解决各种与角度、周期和振动有关的问题，为实际应用提供有效的数学工具和方法。
参考文献:___。
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数学三角函数的应用研究。
数学的实践与认识。
40(6)。
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(2015)。
三角函数及其应用研究。
数学教育。
(19)。
32-34.。
九年级三角函数的简单应用
九年级三角函数的简单应用在九年级数学课程中，三角函数是一个重要的部分，它对于解决各种实际问题都有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的简单应用，包括角度的求解、边长的计算以及实际问题的解决。
一、角度的求解在三角函数中，我们常常需要求解给定三角函数值对应的角度。
例如，已知正弦函数值为0.5，我们需要求解对应的角度。
这时，我们可以利用反正弦函数来完成角度的求解。
具体步骤如下：1. 利用反正弦函数sin^(-1)来求解角度。
假设sin^(-1)(0.5)=θ，其中θ为待求解的角度。
2. 通过计算可知，sin(θ)=0.5，即θ为sin函数取0.5时对应的角度。
3. 通过查表或使用计算器，我们可以得到θ≈30°。
二、边长的计算三角函数在求解边长方面也有广泛的应用。
常见的例子包括已知一个角度和一个边长，我们需要求解另一个边长。
以下是两个常见的应用示例：1. 已知一个锐角三角形的一个角度为30°，边长为5，我们需要求解另一个边长。
解法：根据已知条件，我们已知角A=30°和边a=5。
我们可以利用正弦函数来求解边b。
sin(A)=边b/边a，即sin(30°)=边b/5。
通过计算可知，边b≈2.5。
2. 已知直角三角形的一个角度为45°，斜边长为10，我们需要求解另一个直角边的长度。
解法：根据已知条件，我们已知角A=45°和斜边c=10。
我们可以利用余弦函数来求解直角边的长度。
cos(A)=直角边/斜边，即cos(45°)=直角边/10。
通过计算可知，直角边≈7.07。
三、实际问题的解决除了基本的角度和边长计算外，三角函数在解决实际问题中也有重要应用。
以下是一个示例：某物体距离地面6米，投掷角度为45°，初速度为20米/秒。
我们需要求解物体的飞行时间和水平距离。
解法：将问题拆分为竖直方向和水平方向两个分量来分析。
1. 竖直方向：物体在竖直方向上的运动可以使用正弦函数来描述。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。
这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。
通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。
2.三角函数的性质。
3.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。
2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。
3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。
2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予学生反馈。
5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。
2023年人教版九年级上册：三角函数的实际应用
2023年人教版九年级上册：三角函数的实际应用介绍这份文档将探讨九年级上册人教版教材中关于三角函数的实际应用。
我们将讨论三角函数在实际生活中的应用以及解决问题时的具体方法。
三角函数的实际应用在建筑与工程中的应用三角函数在建筑与工程领域中有广泛应用。
比如，在测量和设计建筑物时，可以使用三角函数来计算角度、高度和距离等。
在航海与航空中的应用航海和航空导航也需要使用三角函数。
通过观测恒星的高度，可使用三角函数计算出纬度和经度。
此外，在飞行时，也需要使用三角函数来计算飞机的位置和航向。
在地球科学中的应用地球科学中也广泛使用三角函数，包括地质学、地形学和地震学等领域。
科学家利用三角函数来计算地壳的抬升和沉降、地震的震级和震源位置等重要参数。
在天文学中的应用三角函数在天文学研究中也起到重要作用。
天文学家使用三角函数计算星体的视差、视直径和距离等。
这些计算能帮助我们更好地了解宇宙的奥秘。
解决问题的方法在实际应用中，我们可以使用以下方法来解决与三角函数相关的问题：1. 确定问题类型：首先需要确定问题是属于角度、距离还是高度等方面的计算。
这将有助于选择合适的三角函数公式。
2. 确定已知量和未知量：确定问题中已知的数值和需要求解的未知数。
这将为后续计算提供参考。
3. 应用适当的三角函数公式：根据问题类型和已知量，选择适当的三角函数公式进行计算。
可以根据需要使用正弦、余弦或正切函数。
4. 进行计算：将已知量代入公式，进行计算并求解未知量。
5. 检查结果：完成计算后，应进行结果的合理性检查。
确保计算过程和结果符合实际情况。
总结三角函数在各个领域中都有着实际的应用价值。
通过了解三角函数的实际应用和解决问题的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，提升自己的研究成果。
以上是对2023年人教版九年级上册教材中关于三角函数的实际应用的简要介绍和探讨。
希望这份文档对您有所帮助！。
九年级数学三角函数的应用
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测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测 得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 咋 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 办 条直线上),测得M的仰角∠MCE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点 A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由.
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是在这里蹲点吧！”“你就不能配合点吗。”“你又没让我配合。”……被人遗忘的慕容凌娢终于从地上站了起来，但 感觉自己的脑细胞正急速死亡，智商再次跌入谷底。韩哲轩怎么会知道我的真名？百蝶好像也知道他去找过夏桦。 “呃……”慕容凌娢强壮镇定的笑了笑，“韩哲轩你怎么会在这里？”“百蝶不是说了吗，我就是在这里专门等你们 的。”韩哲轩极其爽快的承认了自己的行为，“我看见你们两个出来，就跟上了。刚想叫住你就看见你往后摔了……幸 好我闪的快……”这剧情跟我想的怎么不一样？按照言情小说的正常套路，我不是应该被人准确无误的接住吗？然后不 就顺理成章的……慕容凌娢居然做起了花痴的白日梦。慕容凌娢把自己的幻想和现实仔细对照了一下，又看了看面前这 个笑得漫不经心的人，悲痛的捂住了脸……童话里的故事果真都是骗人的……自己怎么能指望这种人呢？“凌娢你怎么 了？”百蝶看着一直发呆的慕容凌娢，稍许有些担忧，“不会真的摔傻了吧！”“没……没事。”慕容凌娢紧张的摇了 摇头，生怕百蝶看出什么端倪。“不过韩哲轩，你怎么会知道我的真名？”既然韩哲轩知道了自己的名字，也就是知道 了自己一开始就说了谎，真的好尴尬啊！“像我这种开挂玩家，怎么能连这种东西都不知道呢。”韩哲轩居然没有再提 起“白绫”这个化名，这让慕容凌娢很是欣慰。“是夏先生告诉你的吧！”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。 “如果你乐意这样想，我不介意。”(古风一言)那时，谁绣芙蓉鸳鸯戏。而今，谁惹青丝千里外。第016章 原来不是青 楼“是夏先生告诉你的吧！我的真名。”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。“如果你乐意这样想，我不介 意。”韩哲轩摊开双手，还是一副漫不经心的样子。“那看来是我想错了，你是怎么知道的？”“猜得。”“哦，原来 是这样啊……”慕容凌娢表面上笑着说，心里却在告诫自己，冷静……一定要冷静，不能着急，不能生气……这算是答 复吗？太敷衍了吧！不想告诉我就直说吗，真是烦人。韩哲轩最终也没有告诉慕容凌娢他是怎么知道她的真实姓名的， 因为这个话题很快就被百蝶机智的转移了，她可不想看着两个人如此尴尬的僵持在大街上，毕竟这样太引人注意了。 “凌娢，你不是觉得饿了吗？赶快走吧。”百蝶拉着慕容凌娢的胳膊便将她向前拖去，强行拉开了她和韩哲轩的距离。 “就是，如果为了那种小事而饿死在大街上可就划不来了。”要不是被百蝶拉着，慕容凌娢早就扑上去把韩哲轩暴打一 顿了，尤其是他那张好看但欠揍的脸，总是笑得让人很不爽。不过话说回来，那个高度对她来说可能不太好触碰。“要 不是害怕胳膊疼，我早就把你的脸打成猪头了！”就算打不成，气势
三角函数的应用及实例
三角函数的应用及实例三角函数是数学中一个重要的分支，是数学与实际生活相结合的一个桥梁。
它的应用涵盖了物理、工程、计算机图形学等多个领域，可以解决很多实际问题。
下面我将介绍三角函数的应用及实例。
一、物理应用：1. 力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个固定点上，我们需要求这两个力的合力及合力的方向。
可以利用三角函数中的正弦定理和余弦定理来解决这个问题。
2. 运动学: 三角函数在描述物体的运动过程中经常会用到，例如在直角坐标系中，物体在坡面上滑动的速率与坡度的关系可以用正弦函数表示。
3. 波动现象：波动是物理学中一个重要的概念，它的描述和分析中就需要用到三角函数。
例如，我们可以用正弦函数描述声波、水波、电磁波的传播过程，利用三角函数来计算频率、波长、速度等物理量。
二、工程应用：1. 构建桥梁：在构建拱桥或斜拉桥等大型工程中，需要计算各个构件的长度、倾角等问题，利用三角函数可以快速地解决这些问题。
2. 建筑设计：在建筑设计中，尤其是对于带有倾斜屋顶的建筑物，需要计算倾角、弧度以及各个构件的长度，三角函数可以提供精确的计算方法。
3. 导航与测量：在航海、航空和地理测量等领域，计算方向、距离、高度等问题常用到三角函数，例如计算飞机的飞行角度、航线等。
三、计算机图形学：1. 三维图形的旋转：在计算机图形学中，三角函数的旋转变换经常使用，可以实现物体的旋转、缩放等操作。
2. 光线追踪：在渲染和光线追踪算法中，需要计算光线与物体表面相交的位置和角度，用到了三角函数的计算。
3. 视角变换：在3D图形的构建和显示中，视角变换是一个常见的操作。
通过调整视角的角度和距离，可以改变观察者对图形的观察效果，三角函数被广泛应用于此。
综上所述，三角函数在物理、工程和计算机图形学等多个领域中都有广泛的应用。
无论是解决实际问题，还是进行工程设计和计算机图形的构建，都需要用到三角函数。
因此，掌握三角函数的概念、公式和应用是十分重要的。
九年级数学三角函数的计算与应用
九年级数学三角函数的计算与应用在九年级的数学学习中，三角函数是一个重要的知识点。
三角函数的计算与应用是九年级数学学习中的重难点，也是应用性较强的内容之一。
本文将围绕三角函数的计算与应用展开讨论，帮助同学们更好地理解与掌握该知识。
一、基本概念与性质在开始讨论三角函数的计算与应用之前，我们首先需要了解其基本概念与性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：对于任意角θ，其正弦函数的值等于它所对应的直角三角形中对边与斜边的比值，即sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于任意角θ，其余弦函数的值等于它所对应的直角三角形中邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：对于任意角θ，其正切函数的值等于它所对应的直角三角形中对边与邻边的比值，即tanθ = 对边 / 邻边。
此外，三角函数还具有周期性、奇偶性等性质，这些性质对于计算和应用都是非常重要的。
二、三角函数的计算掌握三角函数的计算方法是九年级数学学习的关键。
在计算中，我们经常会用到特殊角的值以及三角函数的基本关系。
1. 特殊角的值：a. 0度角的正弦值为0，余弦值为1，正切值为0；b. 30度角的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为√3/3；c. 45度角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1；d. 60度角的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3；2. 三角函数的基本关系：a. 正弦函数与余弦函数：sinθ = cos(90° - θ)；b. 余弦函数与正切函数：cosθ = sin(90° - θ)；c. 正弦函数与正切函数：sinθ = tanθ / √(1 + tan^2θ)。
三、三角函数的应用三角函数的应用广泛存在于日常生活和实际问题中，特别是在几何、物理等学科中。
以下是一些具体的应用场景：1. 三角函数在几何中的应用：a. 通过已知两边的长度和夹角的大小，可以计算出三角形的面积；b. 利用三角函数可以计算出任意角的正弦值、余弦值和正切值。
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九年级三角函数的应用 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020
解直角三角形
（一）定义：叫解直角三角形
（一）解法分类：（1）已知一边和一个锐角解直角三角形；
（2）已知两边解直角三角形．
（1）如图，四边形ABCD中，∠A=600,AB⊥BC, AD⊥DC,AB=200,CD=100,求AD的长。
A
D
B C
（2）如图，四边形ABCD中，∠D=1200,BA⊥DA, AC⊥DC,AB=503,CD=303,求AD的
长。
C D
B A
（二）解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决
例1. 一个小孩荡秋千，秋千的链子的长度为2米，当秋千两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
（结果精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
例2：如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6m，坡长CD=82m，坡底BC=30m，∠ADC=135°
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果坝长100m，那么建筑这个大坝要多少土石料？
（参考数据：tan280≈0.5，sin300=0.5,cos600=0.5）
A D
B C
例3：如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.7米，那么这棵树大约有多高（
精确到0.1米）
例4.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
练习：
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为多少米(精确到0.1米)． (sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7； sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)
2.在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离 多远的地方进行测量（精确到整数米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，
sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
4.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为多少米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
5.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。
（结果保留根号）
A B
C
D 65235
(参考数据：42615sin -=︒，4
2615cos +=︒，3215tan -=︒）。
6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2≈1.414，3≈1.732） 7.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A
处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC 为多少米（用根号表示）． 例5：我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（ 参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
练习：
1.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向，如图，以航标C 为圆心，120m 长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
★2.在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于Q
B C P
A 45060︒30︒P A
B C
3060
北
N
M 东北
B C
A l
A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的
北偏东60°，且与A相距的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？
请说明理由．
例6：如图，某货船以20海里/时的速度将一批货物由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后必须立即卸货。
此时接气象部门通知，一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动，距台风中心200海里的圆形范围内（包括边界）均会被影响。
问：（1）B处是否会受到影响？说明理由。
（2）为避免台风影响，该船应在多少小时内卸完货？北
（3）求这次台风影响B市的时间
（供选用数据2≈1.4，3≈1.7）
西B A
练习
1.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以
每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）
★3. 如图，在某气象站M 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M 的东
偏南方向100千米的海面P 处，并以20千米／小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cos θ= 102，问： （1）台风中心几小时移到气象站M 正南N 处，此时气象站M 是否受台风侵袭？
（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？
例7如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）． （参考数据：sin5°≈0.09 ，cos5°≈1.0 ， tan5°≈0.09 ，
sin12°≈0.2 ，cos12°≈0.98 ，tan12°≈0.2 ）
练习：1.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.
（1）求新传送带AC 的长度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物
MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计
算结果精确到0.1米)
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6
≈2.45)
D B
A C
512
2.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）
C D A C D A
F G。