直线和圆基础习题附答案(经典题)
直线与圆练习题(附答案)
直线与圆一、填空题1.若函数1()ax f x e b=-的图象在x =0处的切线l 与圆C:221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是2.实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________.3.已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++a c b a_____________.4.已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=ax-3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为5.设E 为平面上以 (4,1),(1,6),(3,2)A B C ---为顶点的三角形区域(包括边界 )，则Z ＝4x －3y 的最大值和最小值分别为_____________.6.实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为_____________.7.由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为_____________. 8.圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为_____________.9.设定点A （0，1），动点(),P x y 的坐标满足条件0,,x y x ≥⎧⎨≤⎩则PA 的最小值是_____________.10.直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是_____________.11.设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 _____________.12.直线()23--=x y 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为_____________.13.已知点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x z -=的取值范围是_____________. /的值是_____________.二、解答题：1.求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？3.已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．4.求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程5. 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．6. 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程参考答案1．在圆内2.[－1,1)3.-24.-95.14 ， －186.47.8.1∶39.根号2/2 10.相切 11.612.π/3 13.[]2,1-14.2或-2设圆的标准方程为222)()(rb y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(ry a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．16.符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即6431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．17.∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-kk解得43=k所以()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．4.则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rb y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆42422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x5.由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有)2(9)6)(2(31222=++-+++y x m y x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ． 由于0≠x ，故可得12)3(4))(274(2=++-+-m x ym x y m ．∴OPk ，OQk 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m ，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．6.设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为)()(212121=-+-+-F F y E E x D D。
(附答案)《直线与圆的位置关系》典型例题
《直线与圆的位置关系》典型例题例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm．例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.参考答案例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．例2 解：过C点作CD⊥AB于D，在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，∴AC=2，∴AB·CD=AC·BC，∴，（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r<CD，即0<r<；（2）∵直线AB与⊙C相切，∴r =CD，即r=；（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r>．说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．例3 分析：若R t△PBC∽R t△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使R t△PBC∽R t△APD．解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴R t△PBC∽R t△APD．因此，DC上存在点P，使R t△PBC∽R t△APD．说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O 相交、相离．例4 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到的距离等于.证明：过点作于，同理可证：为的中点，即：以为直径的圆与相切.说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.例5 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）证明于，是圆心到的距离∽.又⊙的半径为，故与⊙相离.学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。
(完整版)直线和圆基础习题和经典习题加答案
【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力.【典型例题】［例1］( 1)直线x+ y=1与圆X2+ y2—2ay=0(a>0)没有公共点，贝V a的取值范围是()A. (0, 2 —1) B . ( 2 —1, 2 + 1)C. (—2 —1 , 2 —1)D. (0, 2 +1(2)圆(x —1)2+ (y +•, 3 )2=1的切线方程中有一个是()A. x—y=0B. x + y=0C. x=0 D . y=0(3)a=b”是直线y x 2与圆(x a)2(y b)22相切”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分又不必要条件(4)已知直线5x + 12y + a=0与圆x2+ y2—2x=0相切，则a的值为 ___________ .(5)过点(1, ,2 )的直线I将圆(x —2)2+ y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k= ___________ .［例2］设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x —y+ 1=0相交的弦长为2 2 ,求圆的方程.［例3］已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆C: x2+ y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于入(心0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.［例4］已知与曲线C: x2+ y2—2x —2y +仁0相切的直线I叫x轴，y轴于A , B两点, |OA|=a,|OB|=b(a > 2,b > 2).(1) 求证：(a—2)(b —2)=2 ;(2) 求线段AB中点的轨迹方程；(3 )求厶AOB面积的最小值.【课内练习】51 .过坐标原点且与圆x2+ y2—4x + 2y +2 =0相切的直线的方程为()2. 圆(x — 2)2 + y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A . (x + 2)2+ y 2=5B . x 2 + (y — 2)2=5C . (x — 2)2+ (y — 2)2=5D . x 2 + (y + 2)2=53.对曲线凶一|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是()A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点轴对称D .关于y=x 轴对称4. 直线11: y=kx + 1与圆x 2 + y 2+ kx — y — 4=0的两个交点关于直线 I 2： y + x=0对称，那么这两个交点中有一个是()A . (1, 2)B . (— 1, 2)C . (— 3, 2)D . (2, — 3)5. ____________________________________________________________________________ 若直线y=kx + 2与圆(x — 2)2 + (y 一 3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ________________6.已知直线ax + by + c = 0与圆O : x 2 + y2= 1相交于A 、B 两点，且|AB| = ■.. 3 ,则OA OB7. ___________________________________________________________ 直线11： y= — 2x + 4关于点M (2, 3)的对称直线方程是 _____________________________________ . & 求直线11： x + y — 4=0关于直线1: 4y + 3x —仁0对称的直线|2的方程.9.已知圆 C : x 2 + y 2 + 2x — 4y + 3=0(1) 若C 的切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；(2) 从圆C 外一点P (X 1,y 1)向圆引一条切线，切点为 M , O 为原点，且有|PM|=|PO|,求 使|PM|最小的P 点的坐标.10 .由动点P 引圆x 2 + y 2=10的两条切线PA , PB ，直线PA , PB 的斜率分别为k 1,k 2 . (1)若k 1+ k 2+ k 1k 2=— 1,求动点P 的轨迹方程；(2)若点P 在直线x + y=m 上，且PA 丄PB ,求实数m 的取值范围.1y= — 3x 或 y=3 x 1B . y=3x 或 y= — § x、 1 y= — 3x 或 y= — 3 x 、 1D . y=3x 或 y=3 x11 . 5直线与圆的综合应用1. 设直线过点(0, a),其斜率为1,且与圆x2+ y2=2相切，则a的值为 ()A. ±,2 B . ± C. i2 2 D . ±42. 将直线2x —y+ X= 0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x —4y=0相切，则实数入的值为A. —3 或7 B . —2 或8 C. 0 或10 D . 1 或113. 从原点向圆x2+ y2—12y+ 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A. nB. 2 nC. 4 nD. 6 n1 14. 若三点A (2, 2), B (a,0), C ( 0, b) (a, b均不为0)共线，^U ——的值等于______________ .a b5. 设直线ax—y + 3=0与圆(x —1)2+ (y—2)2=4有两个不同的交点A , B，且弦AB的长为2 3，则a等于_____________ .6. 光线经过点A (1, 7),经直线| : x+ y +仁0反射，反射线经过点B (1, 1).(1 )求入射线所在的方程；(2)求反射点的坐标.7. 在厶ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x—2y +仁0, / A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为(1 , 2)，求点A和点C的坐标.& 过圆O: x2+ y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线I, M为I上任意一点，过M 作圆O的另一条切线，切点为Q,当点M在直线I上移动时，求△ MAQ垂心H的轨迹方程.B组1. 已知两定点A (—2, 0), B (1 , 0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A. n B . 4 n C . 8 n D . 9 n2•和x轴相切，且与圆x2+ y2=i外切的圆的圆心的轨迹方程是()A. x2=2y + 1 B . x2= —2y + 1 C. x2=2y —1 D. x2=2|y| + 13.设直线的方程是Ax By 0,从1, 2, 3, 4, 5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是A . 20B . 1918D . 1624.设直线2x 3y 1 0和圆x2x 3 0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 _____5. 已知圆M : A .对任意实数B .对任意实数C .对任意实数D .对任意实数 其中真命题的代号是 6. 已知点A , B 的坐标为(一3 , 0), (3 , 0), C 为线段AB 上的任意一点，P , Q 是分别 以AC , BC 为直径的两圆01 , O 2的外公切线的切点，求 PQ 中点的轨迹方程. 7.已知△ ABC 的顶点A (— 1, — 4),且/ B 和/ C 的平分线分别为I BT : y +仁0,I CK :X + y +仁0,求BC 边所在直线的方程.&设a,b,c,都是整数，过圆x 2 + y 2= (3a + 1)2外一点P (b 3 — b,c 3— c)向圆引两条切线，试证 明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点)(x + cos e 2) (y — sin 02=1, k 和e 直线l 和圆M 都相切； k 和e 直线l 和圆M有公共点； e ,必存在实数k ,使得直线I 和圆M 相切; k ,必存在实数 e,使得直线I 和圆M 相切. 写出所有真命题的代号)直线I : y=kx ，下面四个命题 11. 5直线与圆的综合应用【典型例题】 例1(1) A .提示：用点到直线的距离公式.(2) C .提示：依据圆心和半径判断. (3) A .提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系.(4) — 18或&提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况. (5)石-.提示：过圆心(2 , 0)与点(1, ,2 )的直线m 的斜率是—2 ,要使劣弧所 对圆心角最小，只需直线 I 与直线m 垂直.例2、设圆的方程为(x — a)2 + (y — b)2=r 2，点A (2 , 3)关于直线x + 2y=0的对称点仍在圆 上,说明圆心在直线 x + 2y=0上,a + 2b=0 ,又(2— a)2 + (3 — b)2=r 2，而圆与直线x — y + 1=0 相交的弦长为2 .2 ,,故r 2— ()2=2,依据上述方程解得：b 1= — 3 a 1=6 或r 12=52b 2=— 7 a 2=14 r 22=244•••所求圆的方程为(x — 6)2 + (y + 3)2=52,或(x — 14)2+ (y + 7)2=224. 例 3、设切点为 N ,则 |MN|2=|MO|2 — |ON|2=|MO|2 — 1 ,设 M ( x,y),则y 2 1 J (x 2)2y 2,整理得(於一1) (x 2+ y 2) — 4 入 X (1 + 4 心=05 当入=1时，表示直线x=5;当入工时，方程化为（x 二 ）2 21坨，它表示圆心在（罕,。
(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是，则斜率是（ ）32πA. B. C. D.3-3333-34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,)D. 直线倾斜角的范围是(0,)2ππ5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（）A.x+2=0B.x-2=0C.y+2=0D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）21A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=x-1垂直，则a=（ ）21A.2B.-2C.D. 2121-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1 B. C. D.35115315. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2= B. (x+1)2+y 2=255C. (x-1)2+y 2= D. (x-1)2+y 2=25516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线与圆练习题(带答案解析)
..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。
（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）
（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()22D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 224D E F+-,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。
选择性必修一《直线和圆的方程》基础练习题及答案详解
直线和圆的方程练习题一、选择题1、若直线1:310l ax y ++=与2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值是()A.-3B.2C.-3或2D.3或-22、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或33、已知点()00,P x y 是直线:0l Ax By C ++=外一点，则方程()000Ax By C Ax By C +++++=表示()A.过点P 且与l 垂直的直线 B.过点P 且与l 平行的直线C.不过点P 且与l 垂直的直线D.不过点P 且与l 平行的直线4、点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A.1D.25、已知(1,2)M ，(4,3)N ，直线l 过点(2,1)P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是()A.(,3][2,)-∞-+∞ B.11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[3,2]- D.11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭6、已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的值最小是()B.5D.7、若直线l 经过(2,1)A ，()21,()B m m -∈R 两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A.04απ≤≤B.2απ<<π C.42αππ≤< D.324αππ<≤8、已知圆2222240x y k x y k ++++=关于直线y x =对称，则k 的值为()A.1B.-1C.-1或1D.09、方程||1y -=所表示的曲线的长度是()A.6πB. C.+ D.612π+10、点()sin 30,cos30︒︒与圆2212x y +=的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定11、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为，则直线l 的倾斜角的取值范围是().A.,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、直线34120x y ++=与圆22(1)(1)9x y -++=的位置关系是()A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心二、填空题13、已知点(1,2)A -，(5,6)B ，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________.14、若直线l 被直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=截得的线段长为l 的倾斜角9(00)θθ︒≤≤︒的值为__________.15、与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为__________.16、在平面直角坐标系中，将直线l 上的点P 向下平移3个单位，再向右平移3个单位，若点P 仍在直线l 上，则直线l 的斜率是__________.17、直线10x y +-=与圆222410x y x y +-++=相交，所得的弦的长为__________.18、直线l 经过点()2,3P -，与圆22:22140C x y x y +++-=相交截得的弦长为则直线l 的方程为________.19、已知直线l 经过点(3,)P m 和点(,2)Q m -，直线l 的一个方向向量为(2,4)，则直线l 的斜率为___________，实数m 的值为__________.三、多项选择题20、如图所示，下列四条直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，4k ，倾斜角分别是1α，2α，3α，4α，则下列关系正确的是()A.2143k k k k <<<B.3214k k k k <<<C.2143αααα<<<D.3214αααα<<<四、解答题21、已知圆22:630C x y x y ++-+=上的两点P ，Q 满足：①关于直线:40l kx y -+=对称；②OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，求直线PQ 的方程.22、已知实数x ，y 满足222410x y x y ++-+=.(1)求4yx -的最大值和最小值；(2)2221x y x +-+.参考答案1、答案：A解析：因为直线1:310l ax y ++=与22(:1)10l x a y +++=互相平行，所以(1)23a a +=⨯，即260a a +-=，解得3a =-或2a =.当3a =-时，直线1:3310l x y --=与2221:0l x y -+=互相平行；当2a =时，直线1:2310l x y ++=，2:2310l x y ++=，1l 与2l 重合，不符合题意.所以3a =-.故选A.2、答案：C解析：因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解得1k =或3k =-.故选C.3、答案：D解析： 点()00,P x y 不在直线0Ax By C ++=上，000Ax By C ∴++≠，∴直线()000Ax By C Ax By C +++++=不经过点P .又直线()000Ax By C Ax By C +++++=与直线:0l Ax By C ++=平行，故选D.4、答案：B解析：解法一：点(0,1)-到直线(1)y k x =+的距离d ==到212k k +≥，于是()22222221221121|1|k k k k k k k +=+=+++≥++=+，当且仅当1k =时取等号，即|1|k +≤，所以d =≤，故点(0,1)-到直线(1)y k x =+.故选B.解法二：由题意知，直线:(1)l y k x =+是过点(1,0)-且斜率存在的直线，记点(1,0)-为P ，点(0,1)-为Q .点(0,1)Q -到直线l 的最大距离在直线l 与直线PQ 垂直时取得，此时1k =，最大距离为PQ = B.5、答案：A 解析：如图，由图可知，过点P 且与x 轴垂直的直线斜率不存在，直线PN 绕点P 逆时针旋转到垂直于x 轴的过程中，直线的斜率始终为正，且逐渐增大，此时直线斜率的范围为PN k k ≥，直线由垂直于x 轴绕点P 逆时针旋转到PM 的过程中，斜率为负，且逐渐增大，此时直线斜率的范围是PM k k ≤.易得3(1)242PN k --==-，2(1)312PM k --==--，则3k ≤-或2k ≥.故选A.6、答案：B解析：直线:20l kx y -+=过定点(0,2)M .点(,)P x y 在直线210x y +-=上，MP ∴的最小值为点M 到直线210x y +-=的距离，min 225()5521MP ∴===+.故选B.7、答案：C解析：因为直线l 经过点()2,1A ，()21,()B m m -∈R ，所以直线l 的斜率2211112m k m --==+≥-，又0α≤<π，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是42αππ≤<，故选C.8、答案：B解析：圆的方程可化为()2224(1)41x ky k k +++=-+.依题意得241,410,k k k ⎧-=-⎨-+>⎩解得1k =-，故选B.9、答案：B解析：因为方程2||13(2)y x -=--，所以||10y -≥，解得1y ≥或1y ≤-.将原式变形可得22(2)(||1)3x y -+-=，3所以曲线的长度为233=π.故选B.10、答案：C解析：因为2222131sin 30cos 301222⎛⎛⎫︒+︒=+=> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以点在圆外.故选C.11、答案：B解析：将2244100x y x y +---=整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，圆心坐标为(2,2)，半径为32:0l ax by +=的距离为22，则圆心到直线l 的距离应小于等于2，222a b ≤+，所以2410a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2323a b ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭令a k b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2323k -≤≤+，故直线l 的倾斜角的取值范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.12、答案：D解析：圆心坐标为(1,1)-，半径3r =，圆心到直线34120x y ++=的距离115d r ==<，又因为0d ≠，所以直线不过圆心，即直线与圆相交但不过圆心.故选D.13、答案：230x y -=或50x y +-=解析：点(1,2)A -，(5,6)B ，则线段AB 的中点M 的坐标为(3,2).当直线过原点时，方程为23y x =，即230x y -=.当直线不过原点时，设直线的方程为(0)x y k k +=≠，把中点(3,2)M 的坐标代入直线的方程可得5k =，故直线方程是50x y +-=.综上，所求的直线方程为230x y -=或50x y +-=.14、答案：75°或15°解析：画出图形，设直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，过A 作2AC l ⊥于点C ，则AC ==AB =，所以在Rt ABC △中，1sin2AC ABC AB ∠===，因为ABC ∠为锐角，所以30ABC ∠=︒，因为直线1l 的斜率为1，所以直线1l 的倾斜角为45︒，所以直线l 的倾斜角θ为453075︒+︒=︒或453015︒-︒=︒.15、答案：34240x y +-=解析：解法一： 直线3490x y ++=，即3944y x =--的斜率为34-，∴设所求直线方程为3944y x b b ⎛⎫=-+≠- ⎪⎝⎭.令0x =，得y b =；令0y =，得43bx =.由题意知，0b >且403b >，0b ∴>，142423b b ∴⨯⨯=，解得6b =(6b =-舍去)，∴所求直线的方程为364y x =-+，即34240x y +-=.解法二：设所求直线方程为340(9)x y m m ++=≠.令0x =，得4m y =-；令0y =，得3m x =-.由题意得0,40,3mm ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得0m <，124243m m ⎛⎫⎛⎫∴⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24m =-(24m =舍去)，∴所求直线方程为34240x y +-=.16、答案：-1解析：由题可得直线l 的斜率313y k x ∆-===-∆.17、答案：解析：因为圆222410x y x y +-++=即：()()22124x y -++=，则圆心()1,2-到直线10x y +-=的距离：d ==由弦长公式可得弦长为：==故答案为：.18、答案：512460x y --=或2x =解析：圆22:22140C x y x y +++-=，即()()221116x y +++=，圆心为()1,1C --，半径4r =，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离3d ==，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x =，满足圆心()1,1C --到直线2x =的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，则3d ==，解得512k =，所以直线方程为()53212y x +=-，即512460x y --=，综上可得直线方程为512460x y --=或2x =.故答案为：512460x y --=或2x =.19、答案：2，43解析：由直线l 的一个方向向量为(2,4)得，直线l 的斜率为422=，因此(2)23m m--=-，解得43m =.故答案为2，43.20、答案：BC解析：由倾斜角的概念及题图可得390180α︒<<︒，14090αα︒<<<︒，20α=︒，所以2143αααα<<<，且30k <，410k k >>，20k =，所以3214k k k k <<<，故选BC.21、答案：1322y x =-+或1524y x =-+解析：由①知直线40kx y -+=过圆心1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2k =，直线PQ 的斜率为12PQ k =-.设直线PQ 的方程为12y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则P ，Q 两点的坐标是方程组221,2630y x b x y x y ⎧=-+⎪⎨⎪++-+=⎩的解，消去y 得225(4)6304x b x b b +-+-+=.由OP OQ ⊥得12120x x y y +=，即121211022x x x b x b ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()212125042bx x x x b -++=，将124(4)5b x x -+=-，()2124635b b x x -+=代入得32b =或54b =，所以直线PQ 的方程为1322y x =-+或1524y x =-+.22、答案：(1)最小值是2021-，最大值为0(2)最大值为2+，最小值为2-解析：将方程变形为22(1)(2)4x y ++-=，此方程表示以(1,2)-为圆心、2为半径的圆.(1)4y x -表示圆上的点(,)x y 与定点(4,0)连线的斜率，令4y k x =-，即(4)y k x =-.当直线(4)y k x =-与已知圆相切时，如图，4yx -取最值，2=，解得0k =或2021k =-.因此4y x -的最小值是2021-，最大值为0.222221(1)(0)x y x x y +-+=-+-它表示圆上的点(,)x y 与定点(1,0)的距离.定点(1,0)到已知圆的圆心的距离22(11)222d =++=，2221x y x +-+222d r +=，最小值为222d r -=-.。
直线与圆单元测试题及答案
直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。
A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。
A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。
A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。
A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。
7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。
8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
直线和圆的位置关系练习题附答案
直线和圆的位置关系练习题(附答案问题1：已知直线方程为2x+3y-6=0，圆心坐标为(1,-2)，半径为3，求直线和圆的位置关系。
解：首先，我们可以将直线方程转换为一般方程的形式：2x+3y-6=0，即3y=-2x+6，最后得到y=(-2/3)x+2。
接下来，我们可以计算直线与圆心的距离，使用点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中A、B、C分别代表直线方程的系数，而(x0, y0)是圆心的坐标。
代入直线的方程，我们得到：d = |2(1) + 3(-2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |-1| / √(4 + 9)= 1 / √13= √13 / 13根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即√13 / 13 > 3，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
2.如果直线与圆心的距离等于圆的半径，即√13 / 13 = 3，则直线与圆相切于一个点。
3.如果直线与圆心的距离小于圆的半径，即√13 / 13 < 3，则直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
综上所述，直线2x+3y-6=0和圆心坐标为(1,-2)，半径为3的圆的位置关系为：直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
问题2：已知直线方程为x-2y+3=0，圆心坐标为(2,1)，半径为2，求直线和圆的位置关系。
解：将直线方程转换为一般方程的形式：x-2y+3=0。
计算直线与圆心的距离：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)代入直线的方程，我们得到：d = |1(2) + (-2)(1) + 3| / √(1^2 + (-2)^2)= |2 - 2 + 3| / √(1 + 4)= |3| / √5= 3 / √5根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即 3 / √5 > 2，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
直线和圆的位置关系练习题(附答案
直线和圆的位置关系练习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ） A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动第5题图 第6题图 第7题图CBB3题图） 4题图）28．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 213510．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、填空题：(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 第13题图 第14题图 第15题图 15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P =35°，则∠Q=________．AP DBABCDEO BDACEFABCDEOABC DQPDCBAP第3页 共4页 2006-5-1三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．19．AB 、CD 是两条平行弦，BE//AC ，交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ， 求证：AC 2=PC ·CE ．20．点P 为圆外一点，M 、N 分别为AB⌒、CD ⌒的中点，求证： PEF 是等腰三角形．P421．ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点，求证：BE ·AD=BC ·CD ．22．已知∆ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BC CD 22=．23．如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 = CE 2＋DA ·DE ．E A B D C第5页 共4页 2006-5-1参考答案基础达标验收卷 一、选择题：二、填空题：1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题：1. 解：如右图，延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ， ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°.又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ，∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径，∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ .∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°.∴∠CBA =90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可. （2）∵∠B =30°，∴∠A =∠BGF =60°.N A6∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等. 2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠F AB ，⑤∠EAB =∠F AB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B . ∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可求得MA 的长.∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理， 得DA DE DB ·2=. ∴6.310622===DA DB DE . （2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =，AE BE AC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF .。
直线与圆试题及答案
直线与圆单元测试题一、选择题1.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是( ) B.32.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0＜r ＜2B ．0＜r ＜5C ．0＜r ＜25D ．0＜r ＜103.圆(x +21)2+(y +1)2=168与圆(x －sin θ)2+(y －1)2=161 (θ为锐角)的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交 4.若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为（ ）B.-3C.31 315.使圆x 2+y 2=r 2与x 2+y 2+2x －4y +4=0有公共点的充要条件是( )<5+1 >5+1C.|r －5|<1D.|r －5|≤16.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2+(y +7)2=25B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15C ．(x －5)2+(y +7)2=9D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9 7.已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ）<r<22 <r<2 <r<2 <r<48.由曲线y =|x |与x 2+y 2=4所围成的图形的最小面积是( ) A.4πB.πC.43πD.23π 9.过点(2，－3)且与直线x －2y +4=0的夹角为arctan32的直线l 的方程是( ).A. x +8y +22=0或7x －4y －26=0B. x +8y +22=0C. x -8y +22=0或7x +4y －26=0 －4y －26=010.已知二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0，则⎩⎨⎧>-+≠=04,022F E D C A 是方程表示圆的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件11.圆x 2+y 2－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( )A ．10B ．10或－68C ．5或－34D ．－68 12.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )A.(x －1)2+(y －1)2=1B.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=5C.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25D.(x －5)2+(y －5)2=5 二、填空题13.曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 .14.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，而且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 .15.圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____.16.直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2+y 2=25上，则k 的值是_____.三、解答题 17.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 18.设t =3x －6y ，式中变量x 、y 知足下列条件⎩⎨⎧≤+≤-,2|2|,1||y x y x ① 求t 的最大值和最小值．19.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称， （1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.20..若动圆C 与圆(x-2)2+y 2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.21.已知圆C ：x 2+y 2－2x +4y －4=0,是不是存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由.22.设圆知足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在知足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．参考答案 一、选择题1.解析:勾股定理.答案B2.解析:圆心到直线的距离d >r .答案C3解析:两圆心之间的距离4)21(sin )11()21(sin 222++=+++=θθd ,∵θ为锐角，∴0<sin θ<1,4254)21(sin 417,2321sin 212<++<<+<θθ ,∴25217<<d ,两半径之和为25，两半径之差的绝对值为2，∴两圆相交. 答案D4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0，得m=a.又m ≠0,∴a ≠0.∴直线的方程可写成x+3y+2=0，斜率为-31.答案D5. 解析:由x 2+y 2+2x －4y +4=0得：(x +1)2+(y －2)2=1,两圆心之间的距离为52122=+，∵|r －1|≤5≤r +1,∴5－1≤r ≤5+1,即－1≤r －5≤1,∴|r －5|≤1.答案D6. 解析:有内切、外切两种情形.答案D7. 解析:曲线|x|+|y|=4是极点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x ≤4).∵圆在正方形的内部，∴2|400|-+>r.即0<r<22.答案A8. 解析:由图知，所围成的图形最小面积为圆x 2+y 2=4的面积的41.答案B 9. 解析:设直线l 的方程为y +3=k (x －2),由夹角公式可得：|211||21|32k k +-=.解得：k =－81或k =47∴直线l 的方程为x +8y +22=0或7x －4y －26=0.答案A 10. 解析:取A=C=4，D=2，E=2，F=1时，知足⎩⎨⎧>-+≠=04,022F E D C A 可是4x 2+4y 2+2x+2y+1=0不表示圆，∴条件不是充分的.方程31x 2+31y 2+x+y+1=0表示圆，其中A=31，C=31，D=1，E=1，F=1，不知足D 2+E 2-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为2245-=3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴13|)2(1215|c +-⨯-⨯=3，∴c =10或c =－68.答案B12. 解析:设圆的方程是(x －a )2+(y －b )2=r 2(r ＞0),∵圆过第一象限的点(2，1)并与两坐标轴都相切，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==>>.)1()2(,||||,0,0222r b a r b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.555111r b a r b a 或因此，所求圆的方程是(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25.(此题也可画图排除A 、B 、D) .答案C二、填空题13. 答案9 ,14.答案-1<b ≤2 ,15. 答案1)53()519(22=-+-y x , 16. 答案±113. 解析:y=|x-2|-3可写成y=⎩⎨⎧<--≥-).2(1),2(5x x x x 曲线y=|x-2|-3与x 轴转成一个三角形，其极点别离是（2，-3）、（-1，0）、（5，0）.∴S Δ=21[5-（-1）]×3=9. 14. 解析:集合M 为单位圆的上半圆，集合N 为直线，M ∩N ≠∅，是指直线与半圆有公共点.画出图形，易知-1<b ≤2.15. 解析:已知圆的圆心(3，－1)关于直线x +2y －3=0的对称点的坐标是(53,519)，所以圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是1)53()519(22=-+-y x . 16. 解析:由⎩⎨⎧=--=--032022k y x k y x ,得⎩⎨⎧-=-=ky kx 34,∵交点(－4k ,－3k )在圆x 2+y 2=25上，∴(－4k )2+(－3k )2=25,∴k =±1.三、解答题17. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++++=++++.6404316902412F D F E D F E D 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,272212F E D ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.728F E D ∴所求圆的方程为x 2+y 2+12x －22y +27=0或x 2+y 2－8x －2y +7=0. 18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD 的边界和内部．ABCD 的极点坐标别离为A (－1，0)、B (34,31--)、C (1，0)、D (34,31)．作动直线l :3x －6y =t (t ∈R )． ∵l 的方程可写成y =t x 6121-, ∴当l 的纵截距最大时，t 最小;当l 的纵截距最小时，t 最大． 由图知当l 过B 点时，t 最大=3×(－31)－6×(－34)=7．当l 过D 点时， t 最小=3×(31)－6×(34)=－7．19. 解 （1）圆x 2+y 2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20. ∵圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称， ∴y=kx+b 为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.∴0402---×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b ，b=5.∴k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=5552)4(2=+--⨯.而圆的半径为25，∴∠AOB=120°.20. 解 设动圆的圆心C 的坐标为（x ，y ），则x-(-1)+1=22)2(y x +-，即x+2=22)2(y x +-，整理得y 2=8x.所以所求轨迹E 的方程为y 2=8x.21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.设l 的方程为y =x +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由OA ⊥OB 知，k OA ·k OB =－1, 即2211x y x y ⋅=－1,∴y 1y 2=－x 1x 2. 由⎩⎨⎧=-+-++=0442,22y x y x b x y , 得2x 2+2(b +1)x +b 2+4b －4=0, ∴x 1+x 2=－(b +1),x 1·x 2=22b +2b －2,y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=22b +2b －2－b (b +1)+b 2=22b +b －2 ∵y 1y 2=－x 1x 2 ∴22b +b －2=－(22b +2b －2)即b 2+3b －4=0. ∴b =－4或b =1.又Δ=4(b +1)2－8(b 2+4b －4)=－4b 2－24b +36=－4(b 2+6b －9)当b =－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0; 当b =1时，Δ=－4×(1+6－9)>0故存在如此的直线l ,它的方程是y =x －4或y =x +1,即x －y －4=0或x －y +1=0.解法二 圆C 化成标准方程为(x －1)2+(y +2)2=9,假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ,b ).由于CM ⊥l ,∴k CM ·k l =－1,即12-+a b ×1=－1, ∴b =－a －1,①直线l 的方程为y －b =x －a ,即x －y +b －a =0,∴2|3|||+-=a b CM , ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |=|MB |=|OM |，而|MB |2=|CB |2－|CM |2=9－2)3(2+-a b ,|OM |2=a 2+b 2,∴9－2)3(2+-a b =a 2+b 2,②把①代入②得2a 2－a －3=0, ∴a =23或a =－1, 当a =23时，b =－25现在直线l 的方程为x －y －4=0; 当a =－1时，b =0现在直线l 的方程为x －y +1=0.故如此的直线l 是存在的，它的方程为x －y －4=0或x －y +1=0.22.解 设圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离别离为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P 截x 轴所得弦长为2r =2b . ∴r 2=2b 2①又由y 轴截圆得弦长为2， ∴r 2=a 2+1②由①、②知2b 2－a 2=1.又圆心到l :x －2y =0的距离d =5|2|b a -,∴5d 2=(a －2b )2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1.当且仅当a =b 时“=”号成立，∴当a =b 时，d 最小为55，由⎩⎨⎧=-=1222a b b a 得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由①得r =2. ∴(x －1)2+(y －1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2为所求．。
直线和圆基础习题和经典习题加答案精编版
【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（ 2 －1， 2 ＋1）C ．（－ 2 －1， 2 －1）D ．（0， 2 ＋1（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0（3）“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ．（5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)． (1)求证：（a －2)(b －2)=2；(2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为 （ ）A．y=－3x 或y=13x B．y=3x 或y=－13xC．y=－3x 或y=－13x D．y=3x 或y=13x2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则 ＝.7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 3．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于 ．5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ．6．光线经过点A （1，74），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B 点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切； B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 6．已知点A ，B 的坐标为（－3，0），（3，0），C 为线段AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以AC ，BC 为直径的两圆O 1，O 2的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程． 7．已知△ABC 的顶点A （－1，－4），且∠B 和∠C 的平分线分别为l BT ：y ＋1=0,l CK :x ＋y ＋1=0,求BC 边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x 2＋y 2=（3a ＋1)2外一点P （b 3－b,c 3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式． （2）C ．提示：依据圆心和半径判断．（3）A ．提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． （5）22．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m 的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l 与直线m 垂直．例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－)2=2,依据上述方程解得：｛b 1=－3a 1=6r 12=52或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．例3、设切点为N ，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M （x,y),则λ2－1）（x 2＋y 2)－4λx ＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-，的一个圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ． 【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎨⎧x －2y ＋1=0y=0得A （－1，0） ∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y + 3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ==|sin(θ＋ϕ）|≤1． 6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12 （b 3－b)]2＋[y －12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12(c 3－c)]2……①将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．。
(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)
..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目(附答案)一、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1) 定义法：已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k = ta n a .y2 — y i⑵公式法：已知直线过两点P i(x i,y i) ,P2(X2,y2)，且X i M X2,则斜率k = .X2 一X i2. 判断两直线平行的方法(1) 若不重合的直线11与12的斜率都存在，且分别为k i, k2,贝U k i= k2? 11//I 2.(2) 若不重合的直线I i与I 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°,则I i//l2.3. 判断两直线垂直的方法(1) 若直线I i与丨2的斜率都存在，且分别为k i, k2，贝U k i • k2=—i? I i±12.(2) 已知直线I i与12,若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则I i 丄I 2.i. 已知两条直线I i：ax —by+ 4= 0和12：(a—i)x + y + b = 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) I i 丄12 且I i 过点(—3,—i)；(2) I i / I 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.［解］⑴••• Ii丄I2,a(a—i) —b = 0,①又丨i过点(一3, —i),—3a + b+4 = 0.②a= 2,解①②组成的方程组得.cb = 2.(2) I 2的斜率存在，I i / I 2 ,.直线I i的斜率存在.a--k i = k2,即二=i —a.③b又•••坐标原点到这两条直线的距离相等，I i // I 2, .11, 12在y轴上的截距互为相反数，即b = — （ 一 b ）.④经检验此时的l 1与丨2不重合，故所求值为2a=- 或 3b = 2.注：已知两直线 11: A i X + By + C = 0 和 12: Ax + By + C 2= 0(1) 对于I 1//I 2的问题，先由AB — AB i = 0解出其中的字母值，然后代回原 方程检验这时的I l 和I 2是否重合，若重合，舍去.⑵ 对于丨1丄12的问题，由AiA +0解出字母的值即可.2. 直线ax + 2y — 1 = 0与直线2x — 3y — 1= 0垂直，则a 的值为()4A•- 3 B .- 3 C. 2D . 3解析：选D 由2a — 6= 0得a = 3.故选D.3. 已知直线 x + 2ay — 1 = 0与直线(a — 1)x + ay + 1 = 0平行，则a 的值为 ( )或0C. 0D . — 2解析：选A 当a = 0时，两直线的方程化为x = 1和x = 1，显然重合，不符 a 1 a 3合题意；当a ^O 时，^厂= ，解得a =-.故选A.1 2a 2、直线方程1 .直线方程的五种形式由③④联立，解得：=2,b = — 2a = _b = 2.a= 2，b = — 22.常见的直线系方程(1) 经过两条直线I仁A i X + By + C i= 0, 12 ：Ax+ By + G= 0父点的直线系方程为A i x + B i y + C i+入(A2X + By + Q) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都不能得到Ax + By + C2= 0,因此它不能表示直线丨2.⑵平行直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入工C).(3) 垂直直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.4. 过点A(3 , - 1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若| Bq 二2| AB，求直线I的方程.［解］当直线I的斜率不存在时，直线I : x = 3,••• B(3,0) , C(3,6).此时| Bq = 6, I AB = 1, |Bq 工2|AB ,•••直线I的斜率存在.设直线I的方程为y +1 = k(x-3),显然k M0且k工2.••• B3 +1 0 ,k ，-| Bq = 2| AB|，…| X B — X c | = 2| X A — X B | , 3k + 1 1 1•- 口 — k — 3= 2 k ，3k +1 1 2 3k +1 1 2 ■k^ — k — 3= k 或 T —2 — k — 3= — k ， 3 1解得k =—㊁或k = 4.•••所求直线I 的方程为3X + 2y — 7 = 0或X — 4y — 7= 0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；⑵ 待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程， 再由直线满足的另一个条件求出待定 系数，从而求得方程.5. 已知直线I 仁3X — 2y — 1 = 0和丨2： 3X — 2y — 13= 0,直线I 与I 1，12的距 离分别是d 1， d 2，若d 1 : d 2=2 ： 1，求直线I 的方程.解：由直线丨1，I 2的方程知I 1//I 2,又由题意知，直线I 与丨1,丨2均平行(否 则d 1 = 0或d 2= 0，不符合题意).设直线I : 3x — 2y + m = 0( mr^ — 1且m^ — 13)，由两平行直线间的距离公式，=—25 或 m = — 9.故所求直线I 的方程为3x — 2y — 25 = 0或3x — 2y — 9 = 0. 6. 已知直线I : 3x — y + 3= 0，求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点；y = 2x , y + 1 = k x — 3得点C 的横坐标X c =3k + 1k — 2 .得d 1d 2=| n + 13|13又 d 1 : d 2=2 ： 1，所以 | 1| = 2| m + 13|，解得 m| m + 1|⑵直线x—y — 2 = 0关于直线I对称的直线方程.解：设P(x，y)关于直线I : 3x—y+ 3= 0的对称点为P'(x'，y').y — y••• k pp • ki 二―1 即x ^—x x 3二—1.① 又PP'的中点在直线3x — y + 3= 0上,—4x + 3y — 9 — ,—4x + 3y — 9 3x + 4y + 3—2= 0,化简得 7x + y + 22 = 0.三、圆的方程(1) 圆的标准方程：(x — a)2+ (y — b)2 = r 2 (2) 圆的一般方程：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0(3) 若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程 时可用相应的圆系方程加以求解：① 过两圆 C i : x 2+y 2+ Dx + E i y + F i = 0, G : x 2+y 2+ D 2x + &y + F ?= 0 交点的 圆系方程为 x 2+ y 2+ Dx + E i y + F i + 入(x 2+y 2+ Dx + Ey + F 2) = 0( X 为参数，入工 —1)，该方程不包括圆G ;② 过圆C : x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0与直线I : Ax + By + C = 0交点的圆系方程2 2 __________________为 x + y + Dx + Ey + F + X (Ax + By + C) = 0( X 为参数，X € R).7.在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A — 3,0),B(2,0) , C(0，— 4)，经过这三个点的圆记为 M(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；⑵求圆M 的方程.••• 3X 22 +3 = 0.②由①②得=3x + 4y + 3(1)把x = 4, y =5代入③④得 =—2, y ' = 7,••• P(4,5)关于直线I 的对称点 P' 的坐标为(一2,7).⑵用③④分别代换x — y — 2= 0 中的x , y ，得关于I 的对称直线方程为［解］⑴法一：由B(2,0) , C(0，—4)，知BC的中点D的坐标为(1 , —2).即中线AD 所在直线的一般式方程为x + 2y + 3= 0. 法二：由题意，得| AB = | Aq = 5, 则厶ABC 是等腰三角形， 所以ADL BC因为直线BC 的斜率k Bc = 2, 1所以直线AD 的斜率k AD = — 2 ,1由直线的点斜式方程，得y — 0= — 2(x + 3), 所以直线AD 的一般式方程为x + 2y + 3= 0.⑵ 设圆M 的方程为x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0.将 A — 3,0) , B(2,0) , C(0 , — 4)三点的坐标分别代入方程，得5所以圆M 的方程是x + y + x + qy — 6= 0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件 列出关于a , b , r 的方程组，从而求出a , b , r 的值.(2) 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D, E , F 的方程组，从而求出D, E , F 的值.8.以线段AB x+ y — 2 = 0(0< x < 2)为直径的圆的方程为()A. (x + 1)2+ (y + 1)2= 2B. (x — 1)2+ (y — 1)2= 2C. (x + 1)2+ (y + 1)2= 8D. (x — 1)2+ (y — 1)2= 8又A — 3,0),所以直线AD 的方程为y —0 x +3—2—0=~1+3，9 — 3D+ F = 0,4+ 2D+ F = 0,16— 4E + F =—1,5解得E = 2，F = —解析：选B直径的两端点分别为(0,2) ,(2,0)，二圆心为(1,1)，半径为2 故圆的方程为(x—1)2+ (y —1)2= 2.9. 已知圆C经过点A(2 , —3), B( —2,—5)，且圆心在直线I : x—2y —3 =0上，求圆C的方程.解：设圆C的方程为(x —a)2+ (y—b)2= r2.2 一a + —3一b = r ， a = —1，由题意，得一2— a 2+ —5— b 2= r2，解得b= —2，a —2b—3= 0，r2= 10.所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y + 2)2= 10.10. 求以圆C: x2+ y2—12x —2y —13 = 0 和圆Q: x2+ y2+ 12x + 16y—25= 0 的公共弦为直径的圆C的方程.解：联立两圆的方程得方程组2 2x + y —12x —2y—13= 0，2 2x + y + 12x + 16y —25 = 0，相减得公共弦所在直线的方程为4x + 3y —2= 0.4x+ 3y —2 = 0，再由2解得两圆交点坐标为(一1,2)，(5，—6).2x + y —12x—2y —13 =1 •••所求圆以公共弦为直径，•••圆心C是公共弦的中点(2，—2)，半径长为2厂5+ 厂2+ 一- 6—2一2= 5.2 2•••圆C的方程为(x —2) + (y + 2) = 25.四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆位置关系的判断方法(1) 几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dvr，则直线和圆相交；若d= r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离.(2) 代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为△ . △= 0?直线与圆相切；△ >0?直线与圆相交；△ <0?直线与圆相离.2. 过圆外一点(X o，y o)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y —y o= k(x—X。
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【熟悉知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0， 2 －1）B ．（ 2 －1， 2 ＋1）C ．（－ 2 －1， 2 －1）D ．（0， 2 ＋1（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ）A ．x －y=0B ．x ＋y=0C ．x=0D ．y=0（3）“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为．（5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=．[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)．(1)求证：（a －2)(b －2)=2；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为 （ ） A ．y=－3x 或y=13 x B ．y=3x 或y=－13x C ．y=－3x 或y=－13 x D ．y=3x 或y=13x 2．圆(x －2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋y 2=5B ．x 2＋(y －2)2=5C ． (x －2)2＋(y －2)2=5D ．x 2＋(y ＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点轴对称D ．关于y=x 轴对称4．直线l 1：y=kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －4=0的两个交点关于直线l 2：y ＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（－3，2）D ．（2，－3）5．若直线y=kx ＋2与圆（x －2)2＋(y －3)2=1有两个不同的交点，则k 的取值范围是．6．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅＝.7．直线l 1：y=－2x ＋4关于点M （2，3）的对称直线方程是．8．求直线l 1：x ＋y －4=0关于直线l ：4y ＋3x －1=0对称的直线l 2的方程．9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3=0（1）若C 的切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C 外一点P （x 1,y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．10．由动点P 引圆x 2＋y 2=10的两条切线PA ，PB ，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2．(1)若k 1＋k 2＋k 1k 2=－1,求动点P 的轨迹方程；（2）若点P 在直线x ＋y=m 上，且PA ⊥PB ，求实数m 的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ）A ．±2B ．±2C ．±2 2D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或113．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A ．πB ． 2πC ． 4πD ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于． 5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于．6．光线经过点A （1，74 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）． （1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B 点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）A ．x 2=2y ＋1B ．x 2=－2y ＋1C ．x 2=2y －1D ．x 2=2|y|＋1 3．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ） A ．20 B ．19C ．18D ．16 4．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是.5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切；B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．6．已知点A ，B 的坐标为（－3，0），（3，0），C 为线段AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以AC ，BC 为直径的两圆O 1，O 2的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程．7．已知△ABC 的顶点A （－1，－4），且∠B 和∠C 的平分线分别为l BT ：y ＋1=0,l CK :x ＋y ＋1=0,求BC 边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x 2＋y 2=（3a ＋1)2外一点P （b 3－b,c 3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式．（2）C ．提示：依据圆心和半径判断．（3）A ．提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5） 2 2．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m 的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l 与直线m 垂直．例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－)2=2,依据上述方程解得： ｛b 1=－3a 1=6r 12=52 或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．例3、设切点为N ，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M （x,y),则λ2－1）（x 2＋y 2)－4λx ＋(1＋4λ2）=0 当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-，的一个圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12(x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ．【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法． 6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0的距离，即10． 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）． 10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0． （2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式．3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可． 5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎨⎧x －2y ＋1=0y=0得A （－1，0） ∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ①又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ②①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y +3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ==|sin(θ＋ϕ）|≤1．6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2,0)连O1M，O2M，由平面几何知识知∠O1MO2=90°．∴|O1M|2＋|O2M|2=|O1O2|2，代入坐标化简得：x2＋4y2=9(－3＜x＜3)7．∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线，∴点A关于BT,CK的对称点A′，A″必在BC所在直线上，所以BC的方程是x＋2y－3=0．8．线段OP的中点坐标为（12（b3－b),12(c3－c)),以OP为直径的圆的方程是[x－12（b3－b)]2＋[y－12(c3－c)]2=[12（b3－b)]2＋[12(c3－c)]2……①将x2＋y2=（3a＋1)2代入①得：（b3－b)x＋(c3－c)y=（3a＋1)2这就是过两切点的切线方程．因b3－b=b(b＋1)(b－1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．同理，c3－c也能被3整除．于是（3a＋1)2要能被3整除，3a＋1要能被3整除，因a是整数，故这是不可能的．从而原命题得证．。