控制系统的典型环节

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第一章自动控制的基本概念

第二章控制系统的数学描述

第三章控制系统的时域分析

第四章控制系统的频域分析

第五章过程控制

2.3 控制系统的典型环节

2.3 控制系统的典型环节

自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互之间差别很大，似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们都认为是同一环节。所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。这些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。

2.3.1 比例环节

比例环节是最常见、最简单的一种环节。

比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系

(2.24)

比例环节的传递函数为

(2.25)

式中K为放大系数或增益。

杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。

例10 图2.10 是一个集成运算放大电路，输入电压为，输出电压为，为输入电阻，

为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。

解从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是

(2.26)

按传递函数的定义，可以得到

(2.27)

式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数

(2.28)

式中为常量。当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11 所示。比例环节将原信号放大了K倍。

图2.10 比例器

图2.11 比例环节的阶跃响应

（a）阶跃输入；（b）阶跃输出

2.3.2 惯性环节

惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述

(2.29)

惯性环节的传递函数为

(2.30)

式中，T称为惯性环节的时间常数，K称为惯性环节的放大系数。

惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都具有（2.30）式的形式。都属惯性环节。

当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图2.12所示。

图2.12 惯性环节的单位阶跃响应

(a)输入函数；(b)惯性环节的输出

从图 2.12中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。

2.3.3 微分环节

理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系

(2.31）

理想微分环节的传递函数为

(2.32)

式中为微分时间常数。

微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。

例11 图 2.13式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数。

解本节例1中的比例放大器，如把输入电阻和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型运算放大电路的传递函数

(2.33)

式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（2.33）式

令，则有

(2.34)

这是一个微分环节，所以图2.13所示的电路称为微分器。

由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为

(2.35)

式中、为时间常数。

图 2.13 微分器

2.3.4 积分环节

积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分，即

(2.36)

积分环节的传递函数为

(2.37)

式中K为放大系数。

例12 图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。

解设气体流量为Q，贮罐内气体压力为P，气罐容积为V,R为气体常数，T为气体的绝对温度，则有

(2.38)

其传递函数为

(2.39)

式中。

图2.14 气体贮罐

2.3.5 振荡环节

振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。

(2.40) 按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为：

（2.41）

上两式中，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（2.40）是

振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。

本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC电路都是振荡环节的例子。

例13 把2.2节的例7RLC电路的传递函数化为标准形式。

解已知

上式可以写为