新人教版九年级下册第26章二次函数总复习课件PPT
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九年级数学下册_26.1.1_二次函数的定义课件_人教新课标版
1 (2) y 2 不是 x (3) y x(1 x) 是 y＝-x2＋x (4) y ( x 1) x y＝x2-2x+1-x2
2 2
不是
=-2x+1
先化简后判断
2.下列函数关系式中,是二次函数的是(D)
A.
y = 2x
B. y =
2 mx
C.
1 y 2 x
y = (a2+1)x2D. ax+a （a是常数）
3.再看函数y=(x+1)2-4，自变量是 x 自变量的最高次数是___, 2 ___,
这些函数和以前学得函数有什么不 同?
这些函数都是二次函数.
我们把形如y=ax² +bx+c(其中 a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二 次函数 1.a≠0,但b,c可以等于0
1.X的最高次数是2次
2.是整式，分母不含有未知数，
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=8π r² 1 不是二次函数. (2) y=x+ __ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
注意:二次函数的二次项系数不能为零
第26章小结二次函数的复习课件
2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
， 顶点
3、抛物线 y =2（ x +1）2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时，抛物线 y =（a +2）x 2 的顶点
5、抛物线 y = （ x - 2） 2 + 3 的开口向 ，对称
轴为
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？
二次函数 y x2 2x 3
1）用配方法求其顶点D的坐标； 2）求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B （且点A在点B的左边）的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四：
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c
（
大 a ＞0 致 图 象 a＜0
函 数
a ＞0
变 化 a＜0
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c
人教新课标版初中数学九下第26章二次函数复习(2)课件
课 后
独立思考的学习习惯。
练
习
教材分析
电
子
教
案
目
重点
标 呈
将 实 际 问 题 转 化 为 函 数 问 题 ，并 利 用 函 数 的 性
现 教
质进行决策.
材
分
析 教
难点
学 流
会运用二次函数知识解决有关综合问题．
程
同 步
关键
演
练
建立恰当的二次函数模型，建立正确的函数
课 后
关系式
练
习
交回流顾回交顾流 范例点击 随堂巩固 小结作业
同
步 演
常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
练 课
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，
后 练
通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)
习
交回流顾回交顾流 范例点击 随堂巩固 小结作业
电
子
教
案
二次函数与一元二次方程之间的联系
目
标
呈 现
二次函数
一元二次方程
教
y=ax2+bx+c（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0）根
步 演 练
－ 3 x＋ 3 的 图 象 与 x 轴 、y 轴 的 交 点 ；且 过 (1， 1)， 求 这 个 二 2
课
后
次 函 数 解 析 式 ， 并 把 它 化 为 y＝ a(x－ h)2＋ k 的 形 式 。
练
习
回顾交流 范例点击 随堂巩固 小结作业
电
子
教
案
例 2： 已 知 二 次 函 数 y＝ 2x2－ (m＋ 1)x＋ m－ 1。
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件
2020/4/15
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
2020/4/15
• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
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• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
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（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
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2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
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（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
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解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
九年级数学下册 第26章 二次函数小结与复习教学课件
值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1
的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 故选择D .
x ，b 即b≤b1， 2(1)
第十五页，共二十六页。
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上(xiàngshàng)平移 2个单位长
度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是
3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0)
时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.
第十九页，共二十六页。
针对训练
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在 直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足(mǎnzú)此条件的抛物线
的表达式.
y最大=
4ac b2 4a
在对称轴左边， x ↗y↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗
在对称轴左边， x ↗y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘
第四页，共二十六页。
6.二次函数(hánshù)与一元二次方程及一元二次不等式的关系：
判别式△=b2-4ac
△>0
△＝0
△＜0
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
方法总结 抛物线平移的规律可总结如下(rúxià)口诀：左加右减 自变量，上加下减常数项.
第十六页，共二十六页。
针对训练
4.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移(pínɡ yí)得到 y=－7x2，则必须（ ）B A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)
m2 m
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则 且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则 且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向 下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则 且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则 且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向 下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )
新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-13.ppt
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
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课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。 ⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？ ⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
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1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？
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直线x=2
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 需要更完整的资源请到 新世纪教 图象的对称轴与顶点坐 育网 - 标呢？
1 2 (1)能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标？
(2)能否说出二次函数 y ax bx c
5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件
第26章二次函数基础检测题 姓名 （加油哟）一、选择题： 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，根据图象可得a 、b 、c 与零的大小关系是（ ） A 、a>0,b<0,c>0 B 、a>0,b>0,c>0C 、a<0,b<0,c<0D 、2、开口向上，顶点坐标为（－9,3）的抛物线为（ ）。
A 、y=2(x －9)2－3 B 、y=2(x+9)2+3C 、y=－2(x －9)2－3D 、y=－2(x+9)2+33、把函数y=－3x 2的图象沿x 轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－3x 2+5B 、y=－3x 2－5C 、y=－3(x+5)2D 、y=－3(x －5)24、二次函数y=2(x+2)2－1的图象是（ ）。
5、下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x 2+1B.y=8x+1;C.y=8x D.y=28x 6、把函数y=－2x 2的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为（ ）。
A 、y=－2x 2B 、y=2x 2C 、y=－2(x+1)2D 、y=－2(x －1)27、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是（ ）A 、y=2xB 、y=－2xC 、y=x 2D 、 y=－x 28、二次函数y=a(x －1)2+c 的图象如右下图所示，则直线y=－ax －c 不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 9、由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次二函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。
”根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（ ）。
A 、过点（3,0）B 、顶点的横坐标为C 、在x 轴上截得的线段长是2D 、与y 轴的交点是(0,3) 10、抛物线的形状、开口方向与y=12x 2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为( ) A.y=12(x-2)2+1 B.y=12(x+2)2-1; C.y=12(x+2)2+1 D.y=-12(x+2)2+1x/元 xy `x AD y y y `x `x `x 2 -1 O O O O 1 -1 -1 -2 -2 -211、如下左图，抛物线顶点坐标是P(1,3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）。
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质教学课件(
=ax2的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
导入新课
知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标
导入新课
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学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
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知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标
九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数及其图象1二次函数习题课件新人教版
(2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个 月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y,则y与x的关系式 为y=_2_(_1_+_x_)_2_=__2_x_2_+_4_x_+_2__. (3)矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将其长增加xcm,宽增加2xcm, 则面积增加到ycm2,则y与x的关系式为y=_(_4_+_x_)_(_3_+_2_x_)_= __2_x_2+_1_1_x_+_1_2___.
【归纳】 1.二次函数的定义: 形如_y_=_a__x_2+__b_x_+__c_(_a_,b__,c_是__常__数__,_a_≠_0_的) 函数,叫做二次函数. 其中x是自变量. 2.相关概念: _a_是二次项系数, __b是一次项系数, __c是常数项.
(打“√”或“×”) (1)函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数. ( × )
2.在半径为4cm的圆中,挖去一个边长为xcm的正方形,剩下部分
面积为ycm2,则关于y与x之间的函数关系式为 ( )
A.y=πx2-4y
B.y=16π-x2
C.y=16-x2
D.y=x2-4y
【解析】选B.圆的面积是16πcm2,正方形的面积是x2cm2,
则y与x之间的函数关系式为y=16π-x2.
3.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一
边长为xcm,面积为ycm2,则y与x之间的函数关系式为( )
A.y=-x2+50x
B.y=x2-50x
C.y=-x2+25x
D.y=-2x2+25
【解析】选C.设这个长方形的一边长为xcm,则相邻另一边长为
新人教版初中九下第26章二次函数单元课件
目标呈现 过程与方法
经 历 探 索 、分 析 和 建 立 两 个 变 量 之 间 的 二 次 函 数 关 系 的 过 程 ，进 一 步 体 验 如 何 用 数 字 的 方 法 描 述 变 量 之 间 的 数 量 关 系． 经 历 二 次 函 数 图 象 的 探 索 过 程 ，从 简 单 到 复 杂 ，从 特 殊 到 一 般 ，逐步 探 索 ，达到 对 抛 物 线 自 身 特 点 的 认 识 和 对 二 次 函 数 性 质 的 理 解 ．（ 可 采 用 联 想 、对 比 、概 括 和 反 思 等 方 法） 进一步加强用函数观点来解决实际问题的能力。
课时安排
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
26.1二次函数 26.2用函数观点看一元二次方程 26.3实际问题与二次函数 7 2 3
数学活动 复习与检测
1 3
Hale Waihona Puke 资源链接第26.1节
26.1二次函数（1） 26.1二次函数（2） 26.1二次函数（3）
26.1二次函数（4）
26.1二次函数（5） 26.1二次函数（6） 26.1二次函数（7）
教材分析 教学重点
了解二次函数的含义 理解二次函数的图象及其性质 体会一元二次方程与二次函数的关系 能用二次函数的性质解决实际问题．
教材分析 教学难点
应用二次函数解决实际问题。
逐步获得二次函数图象特征及其性质
教材分析 教学关键
加 强 数 形 结 合 的 思 想 ，达 到 数 形 互 补 ，从 而 提高学生的分析能力。 建 立 图 形 和 表 达 式 之 间 的 联 系 ，以 达 到 学 生 对 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 、顶 点 坐 标 公 式 的 理解。 注 意 小 规 律 的 理 解 与 总 结 强 调 解 决实际问 题的注意事项． （如平面直角坐标系的建立， 横 轴 、纵 轴 的 实 际 意 义 ，自 变 量 的 取 值 范 围 等）。
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1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 （1）∵a= —>0 2
b x=2a y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
b x=- 2a y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
a<0时,开口向下.
前进
(二) 函数性质：
（1） a>0时，y轴左侧，函 数值y随x的增大而减小 ； y 轴右侧，函数值y随x的增大而 增大 。
a<0时， y轴左侧，函 数值y随x的增大而增大 ； y轴 右侧，函数值y随x的增大而减 小。
图 26.2.1
（2） a>0时，ymin=0 a<0时，ymax=0
解:
∴抛物线的开口向上 1 1 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 2 2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2） 前进
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 3 (2)由x=0，得y= - -— 2 3 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 2 1 3 前进 由y=0，得—x2+x- —=0 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x 0
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
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一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
前进
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1.特殊的二次函数
y=ax2 (a≠0)
的图象特点和函数性质
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上；
图 26.2.1
图 26.2.4
前进
(二) 函数性质：
（1） a>0时，对称轴左侧(x<-2a)， 函数值y随x的增大而减小 ；对称轴 右侧(x>- )，函数值y随x的增大而 2a 增大 。 a<0时，对称轴左侧(x<- 2a)， 函数值y随x的增大而增大 ；对称轴 右侧(x>- 2a )，函数值y随x的增大而 减小 。
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
0 (0,0)
•
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
解
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1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ x=-1 :(5)
一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y 叫做x的二次函数。
解:
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y x=-1 (3) ①画对称轴 (1,0) x (-3,0) ②确定顶点 0 ③确定与坐标轴的交点 前进 3 及对称点 (0,-–) 2 ④连线 (-1,-2)
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
0
•(x ,0) •(x ,0) (3)a、b确定对称轴
x
1 2
c>0
c=0
c<0
b x=- 2a
ab>0 Δ>0
ab=0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
解
当x≤-1时，y随x的增大 而减小; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•
(-3,0)
(1,0) x
0 3 (0,-–) 2 前进
•
• • • (-1,-2)
c>0
x
c=0 ab=0 Δ=0
c<0 的位置: ab<0 Δ<0
0
b (3)a、b确定对称轴x=- 2a
ab>0 Δ>0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
•(0,c)
0
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
解
•
• • •
•
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y ：（4）由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 B(1,0) x A(-3,0) D AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 0 前进 =2 √2×2+4=4 √2+4 3 1 C(0,-–) ΔMAB的面积=—AB×MD 2 2 1 M(-1,-2) =—×4×2=4 2
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
b x=2a
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
A P
B
x
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质判定函数图象 之间的位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y
O
x O x O
x O x
A B C D
答案: B
前进
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a