二次函数复习课上课课件
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二次函数复习课课件
讲解二次函数在物理学中的应用，如抛物线的运动轨迹。
二次函数的反函数
探索二次函数的反函数概念及其在问题求解中的应用。
二次函数在经济学中的应用
解释二次函数在经济学中的实际应用，如成本函数和收入函数。
二次函数的微积分应用
探索二次函数在微积分领域中的应用，如求解极值和优化问题。
二次函数与圆的关系
介绍二次函数和圆的关系，包括圆的方程和与二次函数的联系。
二次函数复习课课件
欢迎参加二次函数复习课！本课程将深入介绍二次函数的各个方面，包括定 义、图像特征、变换、零点与轴对称、最值问及相关数学符号的含义。
二次函数的图像特征
探讨二次函数的图像形状，包括开口方向和开口大小的判断方法。
平移与伸缩变换
给出具体题目，通过理解题意灵活运用二次函数的知识进行解题。
二次函数在现实生活中的应用
探索二次函数在实际生活中的应用场景，如物理、经济和其他领域。
常用二次函数的应用
介绍一些常见的二次函数模型，并讨论其应用。
二次函数与三角函数的关系
揭示二次函数与三角函数之间的联系与相互转化的方法。
二次函数在物理学中的应用
学习如何求解二次函数的导数，掌握求导法则的应用技巧。
二次函数的三要素
介绍确定二次函数的三个关键要素：顶点坐标、开口方向和开口大小。
顶点式与标准式的转化
讲解如何将二次函数从顶点式转化为标准式，并体验转化过程中的思维启发。
图示法解二次方程
使用图示方法解决二次方程问题的技巧与步骤。
根据题意求解二次函数问题
函数组合中的二次函数应用
探讨二次函数在函数组合中的应用，如复合函数和反函数组合。
二次函数优化问题
解决二次函数优化问题，例如最佳投资方案和最高利润计算。
二次函数的反函数
探索二次函数的反函数概念及其在问题求解中的应用。
二次函数在经济学中的应用
解释二次函数在经济学中的实际应用，如成本函数和收入函数。
二次函数的微积分应用
探索二次函数在微积分领域中的应用，如求解极值和优化问题。
二次函数与圆的关系
介绍二次函数和圆的关系，包括圆的方程和与二次函数的联系。
二次函数复习课课件
欢迎参加二次函数复习课！本课程将深入介绍二次函数的各个方面，包括定 义、图像特征、变换、零点与轴对称、最值问及相关数学符号的含义。
二次函数的图像特征
探讨二次函数的图像形状，包括开口方向和开口大小的判断方法。
平移与伸缩变换
给出具体题目，通过理解题意灵活运用二次函数的知识进行解题。
二次函数在现实生活中的应用
探索二次函数在实际生活中的应用场景，如物理、经济和其他领域。
常用二次函数的应用
介绍一些常见的二次函数模型，并讨论其应用。
二次函数与三角函数的关系
揭示二次函数与三角函数之间的联系与相互转化的方法。
二次函数在物理学中的应用
学习如何求解二次函数的导数，掌握求导法则的应用技巧。
二次函数的三要素
介绍确定二次函数的三个关键要素：顶点坐标、开口方向和开口大小。
顶点式与标准式的转化
讲解如何将二次函数从顶点式转化为标准式，并体验转化过程中的思维启发。
图示法解二次方程
使用图示方法解决二次方程问题的技巧与步骤。
根据题意求解二次函数问题
函数组合中的二次函数应用
探讨二次函数在函数组合中的应用，如复合函数和反函数组合。
二次函数优化问题
解决二次函数优化问题，例如最佳投资方案和最高利润计算。
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
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全效优等生
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数复习课 优质课件
P（___m____，_-_m_2_-2_m__+_3___） D y
y=x+3
P
C
E
y=-x2-2x+3
AM
OB x
问题76：当过矩P点形作PQPQN∥MA的B周交长抛最物大线时于，点连Q结，D过Q点，Q过作抛物 线QN上⊥一x轴点于F作点yN轴，的若平点行P线在与点直Q左线边AC，交求于矩点形GP（Q点NMG在的点F 的周上长方（）用，含若m的FG代=数2 式2 D表Q示，）求。F点并坐求标出。周长的最大值。
令y 0，则0 -x 2 - 2x 3，解得x 3或x 1
∴A（﹣3，0），B（1，0）． （2）由抛物线 y -x 2 - 2x 3可知，对称轴 x -1
设点M的横坐标为 m，则PM m2 - 2m 3
MN （- m -1） 2 -2m - 2
C矩形PQNM （2 PM MN） (m - 2m 3 - 2m - 2) 2 -2m2 - 8m 2
-2m 22 10
∴当m=﹣2时矩形的周长最大，最大值是10.
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合， ∴DQ=DC， 把x=-1代入y=-x2-2x+3,解得 ∴D（﹣1，4）
∴DQ=DC= 2，
∵FG= 2 2DQ ∴FG=4， 设F（n,-n2 -2n+3） 则G（n，n+3），
y
D
P
Q
C
E
AM
NB
x
走进中考
（中考真题）．如图，抛物线 y x2 2x 3 的图象与x轴交于A、
B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
初中数学《二次函数复习》公开课优质课PPT课件
当x= y最大值=
b 2a
4a 时4, ac
4a
b2
当 x=h 时, y最小值=k
当x=h时， y最大值=k
o
x
二. 用图
数形结合
1.如果把抛物线y=(x-1)2-4绕顶点旋转180°,
则该抛物线对应的解析式是 y=-(x-1)2-4 ;
若把新抛物线再向右平移2个单位,再向上平移4 个单位,则得到抛物线对应的解析y 式x 为1y=-(x-3)2 .
(3) 函数解析式： y (x 1)(x 3)
即 y x2 2x 3
或 y (x 1)2 4
-1 o
3x
（4）对称轴：直线x = 1
（5）顶点坐标（1，-4）
-4
（6）当x = 1时， y有最小值 4
（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大； （8）当x = -1 或 3 时，y = 0 ；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.
当-1 ＜x ＜3 时，y ＜ 0 ；
当 x ＜ -1或x ＞3 时，y ＞ 0.
等等
知识梳理
名称
一般式
顶点式
交式
二次函数解析式 （a≠0）
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
轴对对称轴
直线x= b
2a
直线 x=h
称 顶点坐标 （ b , 4ac b2 ） (h , k)
性
2a 4a
y=a(x-x1)(x-x2)
直线x= x1 x2
2
y
a＞0 在对称轴左侧,y随x的增大而减小，
增减性
在对称轴右侧,y随x的增大而增大。 o
a＜0 在对称轴左侧,y随x的增大而增大，
二次函数复习课精选教学PPT课件
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
想一想
什么叫做二次函数？你能举例说明吗？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的 函数叫做x的二次函数。
注意：
1、x是自变量，y是用x的二次整式表示的. y是x的二次函数。 2、 a≠0，但b、c可以为0。 3、通过恒等变形，可以化为y=ax2+bx+c这种形式的函数，
它也可为y=a(x-h)2+k 或y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
2a
4a
当a＞0时y有最大值
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c的其它性质
⑴a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下
⑵ a、b的符号决定对称轴位置： a、b同号对称轴偏在y轴左侧 a、b异号对称轴偏在y轴右侧
⑶c决定y轴的交点的位置：当x=0时，y＝c；即(0,c) 当c＞0时 交y轴正半轴， c＜0交y轴负半轴．
x=0
式
y =a(x-h)2 a＞0向上
x =h
a＜0向下
(0,0) (0,k) (h,0)
当a＞0时在对 称轴的左侧y 随x的增大而 减小在对称轴
的右侧y随x的 增大而增大
当x=0时y最大（小）值是０ 当x=0时y最大（小）值是k 当x =h时y最大（小）值是０
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
想一想
什么叫做二次函数？你能举例说明吗？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的 函数叫做x的二次函数。
注意：
1、x是自变量，y是用x的二次整式表示的. y是x的二次函数。 2、 a≠0，但b、c可以为0。 3、通过恒等变形，可以化为y=ax2+bx+c这种形式的函数，
它也可为y=a(x-h)2+k 或y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
2a
4a
当a＞0时y有最大值
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c的其它性质
⑴a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下
⑵ a、b的符号决定对称轴位置： a、b同号对称轴偏在y轴左侧 a、b异号对称轴偏在y轴右侧
⑶c决定y轴的交点的位置：当x=0时，y＝c；即(0,c) 当c＞0时 交y轴正半轴， c＜0交y轴负半轴．
x=0
式
y =a(x-h)2 a＞0向上
x =h
a＜0向下
(0,0) (0,k) (h,0)
当a＞0时在对 称轴的左侧y 随x的增大而 减小在对称轴
的右侧y随x的 增大而增大
当x=0时y最大（小）值是０ 当x=0时y最大（小）值是k 当x =h时y最大（小）值是０
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（三）、形如y = a (x-h) 2( a≠0 ) 的二次函数
二次函数 开口方向
a＞0
对称轴 顶点坐标
向上 向下
直线
x=h
（h，0）
y = a（x-h) 2
a ＜0
我思考，我进步 y=a(x-h)2 (a≠0)
y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
我思考，我进步
(四) 形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的 二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
y = a（x-h) 2+k
直线
（h，k）
a ＜ 0 向下
x=h
想一想 开口方向 形状 a决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿ a和b 对称轴由＿＿＿决定；
个单位，再向右平移4个单位得到的抛物 线是______.
【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根据平移的规
律得平移后的抛物线为y=(x-1-4)21+3=(x-5)2+2=x2-10x+27.
答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27
4.(金华中考)已知二次函数y=ax2＋bx-3的
图象经过点A(2，-3)，B(-1，0)． (1)求二次函数的表达式；
二次函数复习
易错点：在用配方法求二次项系数不是1的二
次函数y=ax2+bx+c的对称轴及顶点坐标时，常由于
没把二次项系数a提出来，而导致配方错误，得不
出正确答案或配方虽正确，而把顶点坐标符号写错 .
易混点：二次函数图象的左右平移易混淆.
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
y = ax
2
直线 向上 X=0
(0,0)
a＜0
向下 （y轴）
我思考，我进步
（二）形如y = 二次函数
二次函数
2 ax +C
(a≠0)的
顶点坐标
开口方向
a ＞0 向上
对称轴
直线 X=0 （0，c） （y轴）
y = ax 2+c
a
<
0
向下
我思考，我进步
(3)顶点在原点，对称轴为y轴，直接设为y=ax2；
(4)抛物线过原点，直接设为y=ax2+bx.
5.(广东中考)已知二次函数 y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x
轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y
轴的交点坐标为(0，3).
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的关系式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x 的取值范围.
小试牛刀
业
精
于
勤
荒
于
嬉
1.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 -
2x + 1
y= -2x2 - 4x - 6
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2)
解:y=x2-2x+1
因为a=1>0,
=(x-1)2
因为a=-2<0 , 2 = -2(x+1) -4
所以开口向下 对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 ac < 0
没有交点
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
我思考，我进步
y 轴的交点位置； c决定了图象与_____
当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立
想一想
我思考，我进步
（五）.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么 关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
所以开口向上 对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,0)
二次函数的图象与性质
【例1】(日照中考)如图是二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下
列命题：①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0 的两根分别为-3和1；④a-2b+c>0.
其中正确的命题是______
1.(聊城中考)下列四个函数图象中，当 x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小
的是(
)
二次函数的图象的平移
抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，
则下列平移过程正确的是(
)
(A)先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 (B)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
(C)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
(D)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
3.(江津中考)将抛物线y=x2-2x向上平移3
(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只
有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ______个单位．
1.二次函数表达式的两种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
2.设表达式的一般规律：
(1)已知三个点的坐标，通常设为一般式；
(2)已知顶点坐标和另外一点，通常设为顶点式；
二次函数 开口方向
a＞0
对称轴 顶点坐标
向上 向下
直线
x=h
（h，0）
y = a（x-h) 2
a ＜0
我思考，我进步 y=a(x-h)2 (a≠0)
y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
我思考，我进步
(四) 形如y = a (x-h) 2 +k (a ≠0) 的 二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上
y = a（x-h) 2+k
直线
（h，k）
a ＜ 0 向下
x=h
想一想 开口方向 形状 a决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿ a和b 对称轴由＿＿＿决定；
个单位，再向右平移4个单位得到的抛物 线是______.
【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根据平移的规
律得平移后的抛物线为y=(x-1-4)21+3=(x-5)2+2=x2-10x+27.
答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27
4.(金华中考)已知二次函数y=ax2＋bx-3的
图象经过点A(2，-3)，B(-1，0)． (1)求二次函数的表达式；
二次函数复习
易错点：在用配方法求二次项系数不是1的二
次函数y=ax2+bx+c的对称轴及顶点坐标时，常由于
没把二次项系数a提出来，而导致配方错误，得不
出正确答案或配方虽正确，而把顶点坐标符号写错 .
易混点：二次函数图象的左右平移易混淆.
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
y = ax
2
直线 向上 X=0
(0,0)
a＜0
向下 （y轴）
我思考，我进步
（二）形如y = 二次函数
二次函数
2 ax +C
(a≠0)的
顶点坐标
开口方向
a ＞0 向上
对称轴
直线 X=0 （0，c） （y轴）
y = ax 2+c
a
<
0
向下
我思考，我进步
(3)顶点在原点，对称轴为y轴，直接设为y=ax2；
(4)抛物线过原点，直接设为y=ax2+bx.
5.(广东中考)已知二次函数 y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x
轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y
轴的交点坐标为(0，3).
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的关系式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x 的取值范围.
小试牛刀
业
精
于
勤
荒
于
嬉
1.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 -
2x + 1
y= -2x2 - 4x - 6
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2)
解:y=x2-2x+1
因为a=1>0,
=(x-1)2
因为a=-2<0 , 2 = -2(x+1) -4
所以开口向下 对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 ac < 0
没有交点
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
我思考，我进步
y 轴的交点位置； c决定了图象与_____
当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立
想一想
我思考，我进步
（五）.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么 关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
所以开口向上 对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,0)
二次函数的图象与性质
【例1】(日照中考)如图是二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下
列命题：①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0 的两根分别为-3和1；④a-2b+c>0.
其中正确的命题是______
1.(聊城中考)下列四个函数图象中，当 x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小
的是(
)
二次函数的图象的平移
抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，
则下列平移过程正确的是(
)
(A)先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 (B)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
(C)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
(D)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
3.(江津中考)将抛物线y=x2-2x向上平移3
(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只
有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 ______个单位．
1.二次函数表达式的两种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
2.设表达式的一般规律：
(1)已知三个点的坐标，通常设为一般式；
(2)已知顶点坐标和另外一点，通常设为顶点式；