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二次函数图像与性质复习课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
中考解读
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当堂检测
第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
皖考解读
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
二次函 待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：
数解析 1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；
式的 2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；
确定 3.已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标时，选用交点式.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点4 二次函数与一元二次方程
数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次
方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是
(B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解 析 由于二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图 象与 x 轴的一个交点为(1，0)，即 x＝1 是一元二次方程 x2 －3x＋m＝0 的根，代入得 12－3＋m＝0，m＝2，原方程 为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，故选 B.
二次函数复习课第一课时PPT
二次函数复习课第一课时 PPT
本节课为二次函数复习课的第一课时，将重点回顾二次函数的定义及基本形 式，并介绍二次函数的图像特征和性质。
二次函数的图像特征
对称性
二次函数的图像以顶点为对称轴对称。
顶点坐标
顶点坐标为(x,y)，其中y为二次函数的最 小值（当开口向上时）或最大值（当开口 向下时）。
开口方向
焦点
焦点是图像上的特殊点，与 抛物线的形状有关。
对称轴
对称轴是二次函数图像的对 称线，通过顶点且垂直于准 线。
二次函数的变形与图像
1
垂直方向缩放
通过改变二次系数a的绝对值，可以
水平方向平移
2
改变二次函数图像的形状与开口大 小。
通过改变二次函数中x的常数项或线
性项，可以使图像左右移动。
3
对称轴变化
通过改变二次函数中x的线性项，可 以改变图像关于y轴的对称轴位置。
3
注意事项
注意事项包括仔细阅读题目、画出 准确的图像以及验证计算结果等。
二次函数的应用举例
抛物线轨迹
抛物线轨迹的运动可以用二次函数来描述， 如投射运动、弹道等。
面积与最大值
通过优化二次函数来求解相关问题，如求最 大面积。
二次函数拟合及其应用
拟合
通过将实际数据点与二次函数图像相拟合， 可以预测用于经济学、物理 学、工程学等领域中的数据模型和问题求 解。
二次函数的常见错误及纠错方法
1
常见错误
常见错误包括图像方向、顶点坐标
纠错方法
2
计算错误等。
纠错方法包括通过复习基本概念、
练习题目以及请教老师等。
当二次系数a为正数时，图像开口向上； 当a为负数时，图像开口向下。
本节课为二次函数复习课的第一课时，将重点回顾二次函数的定义及基本形 式，并介绍二次函数的图像特征和性质。
二次函数的图像特征
对称性
二次函数的图像以顶点为对称轴对称。
顶点坐标
顶点坐标为(x,y)，其中y为二次函数的最 小值（当开口向上时）或最大值（当开口 向下时）。
开口方向
焦点
焦点是图像上的特殊点，与 抛物线的形状有关。
对称轴
对称轴是二次函数图像的对 称线，通过顶点且垂直于准 线。
二次函数的变形与图像
1
垂直方向缩放
通过改变二次系数a的绝对值，可以
水平方向平移
2
改变二次函数图像的形状与开口大 小。
通过改变二次函数中x的常数项或线
性项，可以使图像左右移动。
3
对称轴变化
通过改变二次函数中x的线性项，可 以改变图像关于y轴的对称轴位置。
3
注意事项
注意事项包括仔细阅读题目、画出 准确的图像以及验证计算结果等。
二次函数的应用举例
抛物线轨迹
抛物线轨迹的运动可以用二次函数来描述， 如投射运动、弹道等。
面积与最大值
通过优化二次函数来求解相关问题，如求最 大面积。
二次函数拟合及其应用
拟合
通过将实际数据点与二次函数图像相拟合， 可以预测用于经济学、物理 学、工程学等领域中的数据模型和问题求 解。
二次函数的常见错误及纠错方法
1
常见错误
常见错误包括图像方向、顶点坐标
纠错方法
2
计算错误等。
纠错方法包括通过复习基本概念、
练习题目以及请教老师等。
当二次系数a为正数时，图像开口向上； 当a为负数时，图像开口向下。
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
精品课件-《二次函数》中考总复习PPT课件
(D ) B.x > a
b
C.x < a
b
D.x < a
b
a <0,b <0
7、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
A.a＞0
B.a＞
4 9
C.a＞ 9
4
D.a＜ 9 且a≠0
4
练习：
1、已知抛物线 y＝x²-mx+m-1.
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m__=__1__；
2，函数 y(m2m2)xm22 当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？
（1）若是二次函数，则 m2 22 且m2m20
∴当 m 2时，是二次函数。
（2）若是反比例函数，则 m2 21且m2m20
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线， 则 画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次 函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点
3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（_—_12_，_-_—2_45）___ 对称轴是__x_=_—12_____。
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个
图象
3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是（__—12_，__-—2_45_）___
2二次函数的图象与性质复习PPT课件(华师大版)
1 2
0①
2k 2 k 1 2②
由①，得：k 1
由②，得：k1
1 2
2
, k2
1
∴ k 1
相信自己，你就能成功！
检测二：
1：y ax2
2：y bx2
3：y cx2
比较a、b、c的 大小
1
3
2
1
2、抛物线y = 2 x 2+3的开口 方向向 上 ,对称轴是直线X=0 ,
顶点坐标是（0，3） ,是由抛物
对称轴
a>0 最
y轴
y轴 直线x=h
x 0时，x 0时， x=h时
ymin 0 Hale Waihona Puke min c y=0(h,k)
直线x=h
x=h时 y=k
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x
b 2a
时，ym
in
4ac 4a
b2
值
x 0时 x 0时 x=h时 x=h时
a<0 ymax 0 ymax c ymax=0 y=k
• A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
• C．与x轴有两个交点
• D．顶点坐标是(-1，0)
检测三：
1、若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则
a〈 0, m〈 0, n〈 0。
某二次函数满足下列表格中的x，y的值：
x … －4 －2 0 1 2 3 …
y … 25 9
二次函数的图象和性质（复习）
一、二次函数的定义
1.定义：一般地,形如
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
《二次函数》复习课件
The End
感谢观看本次《二次函数》复习ppt课件，希望对你复习和应用二次函数有所帮助。祝你学业有成！
通过平移抛物线，可以直接求解最值和零点。
3 利用变形公式解题
4 利用图像性质解题
通过变形公式，将复杂的二次函数转化为简单的 标准形式。
通过观察图像，可以判断二次函数不等式的解集 等问题。
典型例题
1
函数 $y=-3(x-2)^2 +4 $ 的对称轴、顶点、最小值
通过平移和对称性，求解函数的对称轴、顶点坐标，以及最小值。
2
函数 $y=-x^2+2 x+3 $ 的图像方程，及其最值、零点
通过变形公式，求解函数的图像方程，以及最值和零点。
3
判断不等式 $2x^2 -3x+1 <0$ 的解集
通过观察图像和根的关系，判断不等式的解集。
注意事项
二次函数解题的基本思 路和方法
通过掌握基本思路和方法，可 以更快解决二次函数相关问题。
《二次函数》复习ppt课 件
本PPT复习大纲将详细介绍二次函数的概念、性质、解题思路，以及一些典型 例题。通过图像和公式，帮助学生加深对二次函数的理解和应用。
概念及性质
定义及基本形式
二次函数是指$y=ax^2+bx+c$的函数形式，其中 $a\neq0$。
对称轴和顶点的求法
对称轴是抛物线的对称中心，顶点是抛物线的最低 点或最高点。
二次函数图像的基本形 状和性质
熟悉二次函数图像的形状和性 质，有助于理解题目及解答。
二次函数解题时应注意 判断最值和零点是否有 意义
在解题过程中，需要判断最值
和零点是否在给定范围内有意
义。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
二次函数图像与性质复习课ppt课件
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数y＝ ax2＋bx＋c 与x轴交点
二次函数图 象与x轴交 点的个数
二次函数图 象与不等式
交点横坐标是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的解
b2－4ac＞0
二次函数图象与x轴有 __两____个交点
b2－4ac＝0
二次函数图象与x轴有 __一____个交点
b2－4ac＜0
二次函数图象与x轴 _没__有___交点
利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或
ax2＋bx＋c＜0的解集
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
[解析]①∵x＝－3 和 x＝5 时，y＝7，∴对称轴 x＝－32＋5＝1；②x ＝2 的点关于对称轴 x＝1 对称的点为 x＝0，∵x＝0 时，y＝－8，
∴x＝2 时，y＝－8.
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
考点3 待定系数法求二次函数解析式
方法 1.一般式
2.顶点式
适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函 数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a、
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
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如图所示，则a、b、c的符号C为（ ） y
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
x
o
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ C ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
为
.
5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为
.
6.函数y=2x2+8x-8的对称轴为
.
7.若b<0，则函数y=2x2+bx－5的图象的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.设抛物线y=x2－4x+c的顶点在x轴上，则c为 .
9.二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和（-1,6) ,
12.某旅社有客房120间，每间客房的月租金为 50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金， 经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元， 则客房每天出租会减少6间，不考虑其它因素， 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房 日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入 增加多少元？
5.1 相交线
一、点与直线有哪几种位置关系：
(h,k)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
a(xb)24acb2 2a 4a
对称轴为：直x线 b ， 2a
顶点坐标是：2ba
,
4acb2 4a
各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
y
y
x
o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如上图所示，那么下列判断正确的有（填序
号）
②③ .
① abc>0, ② 4a-2b+c<0, ③ 2a+b>0,
④ a+b+c<0,⑤ a-b+c>0, ⑥
4a+2b+c<0, y
x -2 -1 o 1 2
试一试 1.抛物线y=(x－3)2的开口方向 ,对称轴是 ，顶 点坐标为 ，在对称轴左侧，即x 时，y随x增大 而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随x增大而 ， 当x= 时，y有最 值为 .
般式，列出三元一次方程组求出待定系数。 • 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，
通常设解析式为顶点式求出待定系数。 • 当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通
常设解析式为两根式，求出待定系数。
练习：
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，则a、b、c的符号为B（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
1 、点A在直线m外（直线m不经过点A）
m P· ·A
2 、点 P在直线m上（直线m经过点P）
二、直线与直线在同一平面内有那几种
位置关系：
1. 两条直线相交。
p
j
O
q
E
k
特别地，两条
2.两条直线互相平行。 直线互相垂直.
相交线和平行线是我们日常生活和 生产中经常见到的，研究它们对今后的 学习、工作和生活都很有用。
我们先来研究相交线。
问题1：如图，两条直线AB、CD 相交于点O ，图中有几个角?
问题2： 这些角有怎样的位置关 系？
开口方 对称轴 顶点 最 增
向
坐标 值 减
性
y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2 y = a(x – h )2 + k
a＞0向上 y轴 a＜0向下
(0,0)
a＞0向上 y轴 ( 0 , k ) a＜0向下
a＞0向上 直线x=h ( h , 0 ) a＜0向下
a＞0向上 a＜0向下 直线x=h
则对称轴为
.
10.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
B
C
o
x
D
11.已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的 图象过点（0，5）． （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c与图象的 关系
a a决定开口方向；
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的 符号决定
• b2-4ac＞0 抛物线与x轴有2个交点； • b2-4ac=0 抛物线与x轴有1个交点； • b2-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点。
二次函数解析式的确定
• 二次函数的解析式有三种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 3. 两根式：y= a(x-x1)(x-x2) (a, x1，, x2是常数,a≠0) • 当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一
二次函数复习课
二次函数的概念
• 形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数，a、b、c分别是二 次项系数，一次项系数和常数项。
• 二次函数的特殊形式： • y=ax2 • y=ax2+k • y=y=a(x-h)2 • y=a(x-h)2+k
函数的图的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单 位得到.
3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式