2019年结构动力学试卷B卷答案

2019年结构动力学试卷B卷答案
华中科技大学土木工程与力学学院
《结构动力学》考试卷（B 卷、闭卷）
2019～2019学年度第一学期成绩学号专业班级姓名
一、简答题（每题5分、共25分）
1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？
答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。

从力系平衡的角度建立的振动
方程的方法为刚度法。

这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。

在便于求出
刚度系数的体系中用刚度法方便。

同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。

在
超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。

2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与
内力动力系数是否一样？
答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst 的比值，其与体系的自振
频率和荷载频率θ有关。

当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内
力动力系数一样的结果。

3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种
措施？
答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。

根据
公式即测出第k 次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。

措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。

○2改变荷载的频率。

○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。

4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正
交吗？
答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯
性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。

作用：○1判断主振型的形状特点。

○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。

5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解
相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？
答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。

第一频率与
精确解相比偏高。

如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。

二、计算题（共75分）
1、试列出图示体系的运动方程（按刚度法和柔度法均可）并计算各系数。

(10分)
解：单位力作用弯矩图：
2l
F=1
0.5l
求解方程为：
{
y 1(t ) =-m 1y 1(t ) δ11-m 2y 2(t ) δ12+δ1P F P (t ) y 2(t ) =-m 1y 1(t ) δ21-m 2y 2(t ) δ22+δ2P F P (t )
11l 2l l 3
δ11=⨯⨯2l ⨯⨯⨯=
EI 22326EI 11216l 3
δ22=⨯⨯2l ⨯4l ⨯⨯2l =
EI 233EI
3
-11l 21l
δ21=δ12=⨯⨯⨯l ⨯(l +l +l ) =-
EI 22332EI -11l 21111l 3
δ1P =⨯⨯⨯l ⨯(⨯l +⨯l +l ) =-
EI 22323224EI 1⎛1514⎫13l 3
δ2P =⨯ l 2⨯l +⨯2l ⨯l ⨯l ⎪=
EI ⎝2323⎭6EI
2、求下图所示体系的自振频率。

（10分）
m 1
B
解：如图假设，所设转角为θ，向点A 取矩
-m 2y 2(t )
l l
M =-m ⋅⋅θ⋅-m 2⋅l ⋅θ⋅l +(
-k θl 2)=0∑A 1
22⎛l 2⎫22
m +l m 12⎪θ+k θl =0⎝4⎭
kl 2k 2
故ω=2=
m 1l 2
+m 2m 1+l m 2
44
则ω=
3、试求图示集中质量体系的自振频率。

设各杆EI=常数（15分）解：如图所示，有两个自由度。

0.5l
M 1图
0.5l
M 2图
1l 2l 1l 3
δ11=⨯2l ⨯⨯⨯⨯=, δ12=δ21=0
2232EI 6EI
l 2l 12⎫1l 3⎛1
⨯l ⨯⨯⨯⨯2+⨯l ⨯l ⨯l ⎪=
223223EI 2EI ⎝⎭
设
λ=
1
ω
2
1
则：λ2=, 其中，δ12⋅δ21=0
δ11+δ22)±δ11-δ22(
=m
2
ml 3ml 3
故λ1=, λ2=
2EI 6EI 故ω1
ω2
4、如图所示简支梁跨中有一集中质量m ，在右支座处作用一动力矩M sin θt 。

不计梁的质量，求跨中的最大竖向动位移，并作出该体系的动弯矩图（20分）
解：
y =δ11(
-my )+δ1P M sin θt 令ω2=
1
为自振频率的平方m δ11
故y +ω2y =ω2δ1P M sin θt 令y =A sin θt
则：-θ2A +ω2A =ω2⋅δ1P M 故A =
δ1P M 1
=y ⋅st 22
θ⎛⎫⎛θ⎫1- ⎪1- ⎪
ω⎝⎭⎝ω⎭
l 3l 3
而δ11=, δ1P =
6EI 4EI
Ml 2
ω==yst =δ1P M =
4EI 故最大竖向动位移y max
1
l 32
1-θ
6EI
在t 时刻，其相当于M sin θt 的力与mA θ2sin θt 惯性力的作用。

sinθt
Ml 2=⋅4EI
弯矩图如下：
5、图示框架结构m 1=m ，m 2=2m ，层间刚度k 1=k 2=k 3=k ，假设横梁刚度为无限大并受突加动荷载F p (t )=F 0的作用，试采用振型分解法求解结构的动位移响应。

（20分）解：
k 11=2k , k 12=k 21=-k 2=k , k 22=k 2+k 3=2k k 11-ω2m 1
k 12解得ω2
1⎛2k 2k ⎫2
则：ω= +⎪±2⎝m 2m ⎭=
k m k 12k 22-ω2m 2
=0
代入k 11, k 12, k 21, k 22, m 1=m , m 2=2m
则ω1=ω2=Y 11-k 12k 1===
Y 21k 11-ω12m 12k -0.63397k m 1.366
1m
Y 12-k 12k 1===
Y 22k 11-ω22m 12k -2.36603m 0.36601
1m
⎛m 0⎫⎛1⎫T
求广义质量：M 1={Y }1[M ]{Y }1=(1,1.366) ⎪⎪m =4.732m ⎝02m ⎭⎝1.366⎭
⎛m 0⎫⎛1⎫T
M 2={Y }2[M ]{Y }2=(1, -0.366) ⎪⎪m =1.268m
02m -0.366⎝⎭⎝⎭⎛0⎫F =1,1.366{}() ⎪=1. 366F 0⎝F 0⎭
⎛0⎫T
F 2(t )={Y }2{F }=(1, -0.366) ⎪=-0.366F 0
⎝F 0⎭1.366F 0
求正则坐标：η1+ω12η1=
M 1求广义荷载：F 1(t )={Y }1
T
有η1=
1.366F 0F 0
1-cos ωt =0.4553()(1-cos ω1t )1
M 1ω12k
-0.366F 0
M 2
η2+ω22η2=
有η2=
-0.366F 0F 0
1-cos ωt =-0.122()(1-cos ω2t )2
M 2ω22k
⎧y 1⎫⎛11.366⎫⎧η1⎫
⎨⎬= ⎪⎨⎬⎩y 2⎭⎝1-0.366⎭⎩η2⎭
F F
∴y 1=0.45530(1-cos ω1t )-0.16660(1-cos ω2t ) k k F F
y 2=0.41530(1-cos ω1t )+0.044650(1-cos ω2t ) k k。