中考数学创新题方案设计
2020年中考数学 中考专题训练——创新题型 (12)
中考数学创新题型复习指要新仟年伊始，伴随着新教材的推广使用，以新《课程标准》的颁布为标志，数学教育迎来了它的新时代。
新教材以培养学生的创新意识和创新精神为宗旨，要求学生要有探究、创新和实践的能力。
如何以新标准考察学生？各地的中考试题都作了大胆尝试，以下尝试对新试题的测试的改革思路做出分析，谨供考生参考。
一．开放题型的引入“开放型”试题是指试题的条件、结论、解题依据、和方法四个要素中缺少一个或两个要素的命题。
例如：1.同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。
请你模仿方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）。
解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。
方案（2）：方案（3）：方案（4）：2.请写出一个含1这个根且增根为2的分式方程。
3.已知：平面直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数解析式（至少三个）。
4.老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0。
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是。
5.在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中两个作为题设，另一个作结论，用“如果……，那么……。
”的形式，写出一个真命题是。
6.小红同学编拟了这样一个数学命题：“如果在四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，那么四边形ABCD 一定是平行四边形”。
若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请画图举出反例予以说明。
二.归纳法的渗透利用归纳法，通过观察、猜想、推理，总结规律，得到结论，以考察学生的观察、创新能力。
例谈中考数学创新型试题的立意
高中数学 的潜能等方面的考查 目的 ， 谈谈 中考数学创新
型试题的立意．
图 １
１ 考查基础知识 的灵活应用 中考数学试题 重视“ 双基” 的考 ， 查 这有利于高 中选
分析
以等可能事件为原 型 ， 其概率计算公式 考查
拔基础扎实 的新 生 ， 利于弓 领 牛 学数 学的素质 教育． 有 ｛
过一题发散性解法的应用 ， 使学生 做到了精学精练 ， 了 避免 “ 题海战术”其数学思维能力得到 了锻炼与提高． ，
解析 １ 整体代入法
由 ÷： 变 可 ，＋：。把 口 ６ 为 ＋ ４ 形 得 ６４ ，（＋） ｂ 作
整体代人求值 ：
原＝ 式
＝
＝＝ 筹・ ．
（ 收稿 日 ：０９４ ９ 期 ２ ００ ２ ）
（ 一 ｋ・ ｋ ３ ２ 、 ２ ｋ＋ ２ ３ ｆｋ ＋ ２） 一 ｋ 一 ５‘ ５ ‘
出的卡片正面图案正好是吉祥物的概率为 Ｐ 』 ＝ （） ４
解析 ２ 整体代 入法 对条件不 进行 变形 ， 所 求 的代 数式 进 行适 当变 对
形 ， 出已知条件中的整 体 ． 变
想方法． 要求 考生 能根据 题 目的条 件和结 论 进行 观察 、
分析、 索 、 策． 探 决 如果能 运 用方 程 的思想 ， 合分 类讨 结
导 向， 就需要 考 生透过奥 运 的文化背景 ， 这 发现 本题 实 质上是对等可能事件求概率知识 的应用 ， 考查 学生灵 活
应用数学基础知识解决问题的能力．
概念 的形 成 、 命题 的发 现、 问题 的探 究等 教学 过程 中 着 意渗透、 自然 揭示和灵 活运用．
例 ２ （０ ８年 吉林 省 ） 同学 根据 图 ２所示 的程 ２０ 某 序计算后 ， 画出了 图 ３中 Ｙ 与 之间函数 图象．
九年级数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版
初三数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题四：方案设计问题二. 知识要点：这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣．解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图像和性质解决问题；或列出相关不等式（组），通过寻求不等关系找到问题的答案；或利用图形变换、解直角三角形解决图形的设计方案、测量方案等．三. 考点分析：近年来，在各地的中考试题中，出现了方案设计题．方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等．方案设计题还呈现出创新、新颖、异彩纷呈的新趋势．【典型例题】题型一利用方程（组）进行方案设计例1.一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？分析：要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可．解：生产方案设计如下：（1）将9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9＝10800元．（2）4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2000×4＝8000元．（3）4天中，用x天生产酸奶，用4－x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕．由题意，得3x＋（4－x）×1＝9．解得x．∴4－x（天）．故在4天中，，，则利润为（×3××1×2000）元＝12000元．答：按第三种方案组织生产能使该厂获利最大，最大利润是12000元．评析：运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．题型二利用不等式进行方案设计例2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？分析：（1）可设购买甲种机器x 台，然后用x 表示出购买甲、乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过34万元”列不等式求解．（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台， 则：7x ＋5（6－x ）≤34，解得x ≤2， 又x ≥0，∴0≤x ≤2，∴整数x ＝0、1、2， ∴可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台． （2）列表如下：由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；•方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．评析：①部分实际问题的解通常为整数；②方案的各种情况可以用表格的形式表达；③对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．题型三 利用函数进行方案设计例3.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图（2）的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．图(1)m （kg ）图(2)（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．图(3)分析：（1）中注意图像中的圆圈表示不包括该点；（2）中金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式分两部分，实际是两个函数图像．当240＜w ≤300时，批发量m 有两个值，可比较这两者的大小；当w 取其他值时，m 只有一个值．（3）利用二次函数的最值求获得最大利润的进货和销售方案．解：（1）图（1）中①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧5m （20≤m ≤60）4m （m ＞60） ，函数图象如图（4）所示．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量m ＝320－40x ， 当m ＞60时，x ＜6.5，由题意，销售利润为： y ＝（x －4）（320－40x ）＝40[－（x －6）2＋4]， 当x ＝6时，y 最大＝160，此时m ＝80，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 解法二：设日最高销售量为xkg （x ＞60），则由图（3）日零售价p 满足：x ＝320－40p ，于是p ＝320－x40， 销售利润y ＝x （320－x 40－4）＝－140（x －80）2＋160，当x ＝80时，y 最大＝160，此时p ＝6，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．m （kg ）图（4）评析：本题考查同学们的读图能力，解题关键是数形结合，弄清题目的数量关系．题型四 利用解直角三角形进行方案设计例4. 如图所示，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：（1）画出测量示意图．（2）写出测量步骤．（测量数据用字母表示） （3）根据（2）中的数据计算AB ．分析：本题是一道开放性问题，设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意测量所需数据可用a 、b 、c 、d 以及角度α、β来表示．最后还要注意直角三角形的模型．解：（1）测量图（示意图）如图所示．ABCD EFH αβhhm（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AHE ＝α． 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C 、D 之间的距离CD ＝m ． 第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AFE ＝β． 第四步：用皮尺量出测角仪的高h ．（3）AB ＝αββαtan tan tan tan m -⋅＋h ．评析：利用解直角三角形进行方案设计时一定要使用题目中所给的测量工具，而不能利用题目以外的测量工具．同时还要关注测量时是否有障碍物，是用具体的数值表示还是用字母表示等．本题的易错点在于同学们容易忽视测角仪的高度．设计测量方案时，结合我们平时在解直角三角形中已经建立的模型来考虑是一条捷径．题型五 利用统计和概率进行方案设计例5. 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1：所有评委所给分的平均数．方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3：所有评委所给分的中位数． 方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．如图所示是这个同学的得分统计图．（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．分析：对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可．解：（1）方案1最后得分： 110（3.2＋7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4＋9.8）＝7.7． 方案2最后得分：18（7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4）＝8．方案3最后得分：8． 方案4最后得分：8或8.4．（2）因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为统计最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数没有实际意义，所以方案4不适合作为统计最后得分的方案．评析：本题考查了统计中三个统计量的计算和意义的使用．题型六 实际应用图形方案设计例6. 在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由．A BCD ABDC方案一方案二分析：判断方案是否可行，可用反证法，假设方案可行，确定正方形的大小，与所给正方形进行比较得出结论．解：（1）理由如下：假设方案一可行．∵扇形的弧长＝2π×16×14＝8π，圆锥底面周长＝2πr ，则圆的半径为4cm ．由于所给正方形纸片的对角线长为162cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42cm ，20＋42＞162．∴假设不成立，故方案一不可行． （2）方案二可行．求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm ，圆锥的母线长为R cm ，则（1＋2）r ＋R ＝162——①．2πr ＝2πR4——②．由①②，可得R ＝6425＋2＝3202－12823，r ＝1625＋2＝802－3223．故所求圆锥的母线长为3202－12823cm ，底面圆的半径为802－3223cm ．评析：图形方案设计问题，关键要弄清楚设计要求，图形变化前后变化的量和不变的量．【方法总结】这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化，抽象成具体的数学问题．从方法上分两类进行概括：（1）方案已知，要求选优；（2）先求方案，再选最优．【预习导学案】（专题五：开放探索性问题）一. 预习导学1. 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，请你再添加一个条件__________，使得∠ABC ≌△DCB ．ABCDO2. 请同学们写出两个具有轴对称性的汉字__________．3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③4a －2b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0．其中正确的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二. 反思1. 开放探索性问题有什么特征？2. 开放探索性问题的解题策略是什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题*1. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种**2. 奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查。
冲刺中考数学题型全揭秘创新题型新定义计算+阅读理解
冲刺中考数学题型全揭秘创新题型新定义计算+阅读理解
冲刺2022年中考数学题型全揭秘——创新题型新定义计算+阅读理解
根据其类型,采用不同的思路.一般地:
(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时,要善于挖掘定义的内涵和本质,要能够用旧知识对新定义进行合理解释,进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答。
(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握,运用其进行是非辨别.
(3)迁移探究与拓展应用型,即阅读新问题,并运用新知识探究问题或解决问题,解答这类题的关键是认真阅读其内容,理解其实质,把握其方法、规律,然后加以解决.。
人教版九年级数学上册中考复习题《创新作图题》教学设计
《创新作图题》教学设计义务教育课程标准实验教科书九年级下册（人教版）一、教学内容1、教学内容分析：这节课是九年级下学期中考专题复习内容，在此之前，学生已经学习了初中所有有关知识，本节课是关于创新作图题------无刻度直尺作图题的一个学习内容。
通过本节课的教学活动，使学生体验用数学知识解决作图题的过程，并为中考这类题型做一个总结，让学生拿到题目时有一个作图方向。
2、学生情况分析：面对九年级的学生他们在身体发育、知识体验、心理品质等方面，有着初中生的特点和思维，加上学生们马上要参加中考了，内心有更强烈的好胜心及求知欲。
因此在教学中要把知识的学习置于具体情境之中，从而得出创新作图题的三个基本题型。
教学中可以采用合作学习方式，给学生提供充分探究与展示的机会，引导学生主动获取知识，并获得成功的体验，尽在享受幸福教育之中。
二、教学目标1、知识目标：①识记：能分清创新作图题的三个题型。
②理解：利用所总结规律进行分析。
③应用：正确使用无刻度直尺作图。
2、能力目标：通过师生互动，使学生能熟练地用结论作出正确图形，初步培养学生观察、实验、分析、类比、化归的数学学习能力。
3、情感目标：经历观察、探究、类比、合作、交流和反思等教学活动，培养认真分析、合作交流、反馈信息的学习态度、创新意识和合作精神。
三、教学重点、难点1、教学重点：如何正确使用无刻度直尺作图2、教学难点：使用无刻度直尺作图的探索及运用四、教学方法、手段1、教学方法：探究法、实验法、讨论法、发现法2、教学手段：题卡、课件五、教学设计理念学生上数学课好比是一次“数学之旅”。
我以“一切为了学生的发展”为宗旨，在“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念的指导下，这节课的设计中除了要求学生学会用使用无刻度直尺作图外，还注重发展学生应用数学知识与创新能力。
在多种形式的教学活动中，鼓励学生自主探索与合作交流，使学生主动获取知识，积累数学活动经验，学会探索、学会学习，真正体验到“享受教育，享受学习”的乐趣。
中考数学试卷新版题型
一、题型概述为了适应新时代教育改革的要求，提高学生的数学素养和综合能力，新版中考数学试题将注重考查学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。
以下为新版中考数学试题的部分题型设计：二、题型一：情境题情境题要求学生在实际情境中运用数学知识解决问题。
这类题目贴近生活，有助于培养学生解决实际问题的能力。
例题：某城市计划建设一条环路，环路总长为60公里，现有两条道路可供选择。
甲道路半径为5公里，乙道路半径为4公里。
请问，选择哪条道路建设环路更为经济？解析：通过计算两条道路的周长，比较其经济性。
三、题型二：探究题探究题要求学生通过对数学知识的探究，发现规律，形成自己的观点。
这类题目有助于培养学生的创新能力和逻辑思维能力。
例题：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 1，求证：数列{an}是递增数列。
解析：通过观察数列的前几项，发现数列{an}是递增的。
然后，运用数学归纳法证明数列{an}是递增数列。
四、题型三：综合题综合题要求学生在解题过程中综合运用多个数学知识点，培养学生的综合应用能力。
例题：某工厂计划生产一批产品，已知每天生产x个产品，需要10天完成。
若每天增加y个产品，则可以在8天内完成。
请问，每天应增加多少个产品？解析：通过建立方程组，求解x和y的值，得到每天应增加的产品数量。
五、题型四：数据分析题数据分析题要求学生运用统计学知识，对数据进行分析，得出结论。
这类题目有助于培养学生的数据分析能力和逻辑思维能力。
例题：某班级50名学生参加了数学竞赛，成绩分布如下：优秀（90分以上）15人，良好（80-89分）20人，及格（60-79分）10人，不及格（60分以下）5人。
请根据以上数据，分析该班级数学竞赛的整体水平。
解析：通过计算优秀、良好、及格、不及格的人数比例，得出该班级数学竞赛的整体水平。
六、题型五：图形题图形题要求学生在解题过程中运用几何知识，解决实际问题。
这类题目有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
(江西人教版)数学中考综合实践专题突破：专题三创新作图题
专题三 创新作图题
“创新作图题”不完全是指传统的尺规作图题，它既保留了 尺规作图的周密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理 ，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索，这 类题的题型情势多样，既灵活又简洁，可以充分考查学生的想 象力和创造能力．“创新作图题”可以根据整卷的编排，放在 第二大题中的一道3分小题，也可以放在第三大题中的某一道5 分或6分小题，估计2015年仍会延续此命题方式．
考点探究
专题三 创新作图题 【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？ 2．在图①中如何仅用无刻度的直尺画AC，BC边上的高？ 3．图②与图①的主要区分在哪里？ 4．从题(1)中三角形的三条高相交于一点得到什么启示？
考点探究
专题三 创新作图题
1．本题考查了画三角形的高，即过一顶点作对边的垂线及 直径所对的圆周角为直角等知识．
考点探究
专题三 创新作图题 【解题思路】
考点探究
专题三 创新作图题
例2 [2013•江西] 如图T3－2，AB是半圆的直径，图①中 ，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺 按要求画图．
(1)在图①中，画出△ABC的三条高的交点； (2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高．
考点探究
2．图①中点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC 的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具(无刻度 的直尺，只能作直线或连接线段)，作高就是要构造90度角，显 然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”．设AC 与圆的交点为E，连接BE，就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆 的交点为D，连接AD，就得到BC边上的高AD.
图T3－3
考点探究
专题三 创新作图题 解：答案不唯一，如连接BD，CE，交于点F，再过点A，F作
人教版-数学-八年级上册-连线中考全等三角形创新题型
初中-数学-打印版连线中考全等三角形创新题型在新课程理念的催生下，近年中考在题型设计上不断推陈出新。
为能更好地与中考接轨，本文就与中考全等三角形问题中有关的创新题展示如下，以期抛砖引玉。
一、条件探索题例1．如图1，AB 、CD 相交于点O ，AB=CD ，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是 （只需写一个）.解析：由对顶角相等，得∠AOD=∠COB，若加条件AO=CO ，则由AB=CD ，可得AB －AO= CD －CO ，即BO=DO ．由“SAS”得△AOD≌△COB．同理，也可以加条件BO=DO ．如果连接DB ，那么可加条件AD=CB ，先说明△ADB≌△CBD，得∠A=∠C ,再得出△AOD≌△COB．所以应填AO=CO ，或BO=DO ，或AD=CB 等．评注：解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件．解决这类题时，要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等．这类题的答案往往不唯一，只要合理即可．二、结论探索题例2．如图2，在Rt ABC △与Rt ABD △中，90ABC BAD ∠=∠=， AD BC AC BD =，，相交于点G ，过点A 作AE DB ∥交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF CA ∥交DA 的延长线于点F AE BF ，，相交于点H ．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对说明全等的理由（不添加任何辅助线）．解析：由题意可得，ABE △和ABF △都是直角三角形，它们与Rt ABC △和Rt ABD △互相都是全等三角形，下面说明ABC △≌BAD △．因为AD BC =（已知），90ABC BAD ∠=∠=（已知），BA AB =（公共边）， 所以ABC △≌BAD △（SAS ）．评注：解答结论开放型试题的关键是执因索果，但在解题思路和推导深入度不同的情况下，所得答案往往不同，即答案具有不确定性．三、综合探索题Ｄ ＧＣ ＢＨＦ Ａ图2 D B CA O 图1 图3初中-数学-打印版 例3．如图3，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一句正确的话，并说明正确的理由．①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．解析：由题意得，给出的三项中，任意选两项作为条件，另一项作为结论写出的句子都是正确的．如“AC 交BD 于点O ，若①OA=OC，②OB=OD，则③AB∥DC．”这是正确的．又如“AC 交BD 于点O ，若①OA=OC，③AB∥DC，则②OB=OD．”这也是正确的，理由如下．因为AB∥DC（已知），所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）．又OA=OC （已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以△AOB≌△COD（ASA ）．所以OB=OD （全等三角形的对应边相等）．评注：条件和结论都开放的综合开放型试题，解题的方法是要充分利用所学的数学知识，通过观察、分析、综合、判断、推理等活动来探索、完善并进行证明．四、条件组合题例4．如图4，在△ABC 和△DEF 中，D 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①AB＝DE ，②AC＝DF ，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF ．已知：求证：证明： 分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件：①②④，组合二：条件：①③④，结论：②，特别要注意若以①②③或②③④为条件组合，此时属于SSA 的对应关系，则不能证明△ABC≌△DEF，也得不到相关结论．评注：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解”来考察学生的发散思维能力．五、猜想验证题例5．如图5，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形． （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段， FED CBA图5 F E DC B A 图4初中-数学-打印版 并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．分析：（1）猜想：AF=BD=CE ，AE=BF=CD ．由已知条件，只要证明：△AFE≌△BDF≌△CED 即可．（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE 与BF 绕着A 点顺时针旋转600，再沿着AB 方向平移使A 点至F 即可得BF ，其余类同．评注：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决．六、拼图证明题例6．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上．（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．（2）若在增加PB=BC 这个条件，再认真观察图形，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．评注：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力．七、应用型例7．如图7，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0图6初中-数学-打印版 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB △''A OB 的理由是（ ）A. 边角边B.角边角C.边边边D.角角边评注：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一。
3最优方案问题
二、方程+不等式型例2.学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？练习2：某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元。
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元。
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案。
二、图像型例3.某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数，设游泳x次时，所需总费用为y元.（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数解析式.（2）在同一个平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标.（3）请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式最合算.2．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票额外降价a元；人数超过100人时，每张门票降价额外2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值．3.在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．（1）根据图象回答：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是； 说明线段AB的实际意义是_____________．（2）求出调试过程中，当6≤x≤8（3）时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x（小时）之间的函数关系式．（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间m（小时）之间的函数关系式．。
中考数学题型二 创新作图题
结论,观察新图形的对称性,找出新图形的对称中心或对称轴,再对比
题图,从而解决问题.
3.涉及面积问题时,常用到的结论有过对角线的交点的任意一条直线
将特殊四边形的面积平分、等底等高的两个三角形的面积相等等.
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
例3 如图,已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺,分别按下列 要求画图. (1)在图(1)中,画出一个以BC为边的矩形; (2)在图(2)中,在AF上画出点M,使得AM=14AF.
答图(2)
前往
方法
高分
方法 类型3 利用正多边形的性质作图 (5年1考)
解题通法
正多边形中作图的关键点
在正多边形中作图,要充分利用正多边形的对称性.
(1)当边数为偶数时,以正六边形为例,如图(1).
①正六边形的对称轴的一种作法如图(1)所示,直线MN即为其对称轴.依
此可类推其他边数为偶数的正多边形的对称轴的作法.
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
1.理解题意
2.问题分析 (1)
前往
方法
高分
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
(2)
3.参考答案 (1)如答图(1),点F即为所求. (2)如答图(2),点P即为所求(作法不唯一).
答图(1)
前往
方法
高分
答图(2)
方法 类型2 利用特殊四边形的性质作图 (5年1考)
题型
题型二 创新作图题
内容一览 题型概述
方法
类型1 利用三角形的性质作图 类型2 利用特殊四边形的性质作图 类型3 利用正多边形的性质作图 类型4 利用圆的性质作图 类型5 利用网格的性质作图
同中求异,异中存同——由中考题观数学思维创新策略
视 为一个整体 去思考与分 析 ， 可以鸟瞰全 景 ， 高屋 建瓴 ， 化难 为易 ， 摆脱常规模式 的羁绊． 例２ 如图２ ， 六边形Ａ ｃ Ｄ Ｅ 肭 六个 内角都相等 若Ａ Ｂ １ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｃ Ｄ ＝ ３ ， Ｄ Ｅ ＝ ２ ， 则这个六边形的周长等于— —
、
抽 建模 型 ， 化 隐 为 显
曰 Ｅ
Ｅ
～
，
２ ０ １ ３ 年３ 月
设点 关于 轴 的对称点 为Ａ ，则 ＝ Ｐ Ａ ．因此 ， 求 ＋ 船 的最小值 ， 只需求Ｐ Ａ ＋ Ｐ Ｂ 的最小值． 而点Ａ 、 曰 之间
所 以Ｐ ／ 性Ⅳ Ｃ ＋ ｃ Ｄ ＋ 肋＝ ８ ， 即△ 幌
既 以ＭＡ ＝ Ｍ Ｎ — Ｎ Ｂ － Ａ Ｂ ＝ ８ — ３ — １ ＝ ４ Ａ Ｆ ＝ Ｆ Ｍ＝ Ａ Ｍ＝ ４ Ｅ ＝ Ｐ Ｍ—
Ｆ Ｍ－ Ｐ Ｅ ＝ ８ — ４ — ２ ＝ ２ ． 于是 可得六边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ ￣周长为１ ５ ．
Ｅ
／ ／ ’
Ａ， ／ 曰 一
， ， ／
’ Ｆ
透过表 面上 五花八 门的问题情境 ， 能洞察并抽 象（ 或 构建 ） 出隐于其 中的数学模型 ， 并对模 型作 出解 释 、 应用 、 拓展 与反思 ，就 能顺利破解 众
多数学 问题．
图 ２
Ｎ …
图３
Ｒ ｔ △咫 Ｆ 中， 有 ／Ｐ Ｅ Ｆ ＝ ６ ０ 。 ， 则Ｅ Ｆ ＝ ２ ， ＝ １ ． 所 以Ａ Ｆ ＝ Ｐ Ｍ一
尬 ｌ — Ｐ 一 ÷一 １ ＝ ４ ， 则 六 边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ ） ￣ ］ 长 为１ ５ ．
初 中 版中’ ７ 擞’ ？
解 法 探 究
近年中考数学“方案设计型”问题分类例析
５ 克 上 超 ２ 克则 ｊ ２ ８ 得 ０ 以 不 过ห้องสมุดไป่ตู้ 千 ，｛ １解 ： 千 ｏ ９
ｆ ｘ＝ ４ ９
盒乒乓球． 二 、 等 关 系型 设 计 题 不 【 ３ （０ ５广 东 茂 名 课 改 实 验 区 ） 年 ６月 例 １ ２０ 今 份 ， 市某果农收获荔枝 ３ 我 Ｏ吨 ， 蕉 １ 香 ３吨 ， 计 划 租 现
一
折 优 惠 ， 校 乒 乓 球 队 需 要 买 ２付 乒 乓 球 拍 。 乓 球 某 乒 若 干盒 （ 不少于 ４盒 ）设 该校要 买乒 乓球 盒 ， 需 ， 所 商 品在 甲商 店 购 买 需 要 用 Ｙ 元 ， 乙 商 店 购 买 需 用 在
３２ ： ： ， ７１ １．
、
购 苹 果 超 过 Ｏ千 克 以 上 Ｏ千 克 以 上 ２ 千 不 ３ ５ １Ｏ 数 ３ 克 不 超 过 ５ 超 过 １０克 以上 Ｏ千 但 Ｏ不 ２ 千 克 千 克 每 千 克 ３元 价 格 ２
１ 一２ １ ‘９ ２ ４＞ １ ．此 解 不 合 题 意 舍 去 ． ‘ ． ④若两次购买都在 ３ Ｏ千 克 以 上但 超 过 ５ Ｏ千 克 ，
‘ ．
则
｛ ．
‘ ．
ｖ ８此 程 无 Ｕ １ ，方 组 解 ） ９ 一
⑤若第一次 购买 在 ３ 克 以上 ， 二 次购买 在 Ｏ千 第 ５ 克 以上 ． 两 次 总 和 超 过 ７ 克． Ｏ千 则 Ｏ千 甲班第 一次 购买 ２ ８千克 ， 第二 次购买 ４ ２千克 （） ３ 两班一共购买 １０千 克 ， ４ 一共花 费 （０ ０ ７ ＋７ ）
． ．
ｒ＞ ２ ８
． ．
当－ ２ 丁 ８时 ， 乙 商 店 购 买 所 需 商 品 比 较 便 ＞ 在
例析初中数学中的方案设计题
Ｘ
为整 数 ，’Ｘ的取 值 为 １ ， ３ ． ． ，２ ： 当 Ｘ ＝ 时 ，购 买 笔 记本 的总 金额 为 ６× １ ５× ４ ２ （ ） １ ＋ ＝６元 ； 当 Ｘ＝ ２时 ，购 买 笔 记本 的总 金额 为 ６Ｘ ２ ５Ｘ ３ ２ （ ） ＋ ＝ ７ 元 ；
。
．
．
４一 Ｙ … ４
２
２．
‘ ．
．
３ ０ × ２＋ ４ ０× ２ ＝ １ ４ （ ） ２ ０ ４０ 元 ．
由图 象 可 知 ： 当一 个 月 内上 网 时 间 少 于 ５ ０分 时 ， 选择 方 ０ 式Ａ 省钱；当一个月 内上网时间等于 ５ ０ ０ 分时，选择方式Ａ 方式 、
Ｂ一样 ； 当一个 月 内上 网 时间 多 于 ５ ０ 时 ，选择 方 式 Ｂ省钱 。 ０分 类 型 三 、 最 优 方 案 设 计 问 题
。
锄 学四 窿 。
例 析 初 巾 数 学 巾 的 方 案 设 计 题
四川省安岳县来风 乡初 级中学 邓 鹏
近 年 来 各 省 市 的 中 考 数 学 题 中 涌 现 出 了 立 意活 泼 、设 计 新 颖 、富 有创 新 意 识 、培 养 创 新 能 力 的 学 生 自我 设 计 型 题 目— — 方 案 设 计题 。这 类命 题 综 合 考查 阅读 理解 能力 、分 析 推 理 能力 、
＜ ， 充 分 体 现 了 数 形 结 合 的 思 想 。 Ｙ
・
．
．
３ｘ３ ５ ＝ ５× ５ １ ５ （ ） ＝７ 人 ．
2022中考数学冲刺专项3-方案设计问题
2022中考数学冲刺专项3-方案设计问题【备考点睛】方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。
同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。
随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题差不多成为中考命题的一大热点.方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必定在中考中盛久不衰，它的显现改变了学生以往只依靠于仿照和经历的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。
【经典例题】类型一 利用不等式进行设计例题1 （2010 福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)（1）若商店打算销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店打算投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直截了当写出其中获利最大的购货方案.解答：（1）设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件.依照题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：10060.x y =⎧⎨=⎩ 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.（2）设甲种商品购进a 件，则乙种商品购进(160-a )件.依照题意，得1535(160)4300510(160)1260.a a a a +-<⎧⎨+->⎩ 解不等式组，得 65＜a ＜68 . ∵a 为非负整数，∴a 取66，67.∴ 160-a 相应取94，93.答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.例题2 整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．依照国家《药品政府定价方法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．依照相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．通过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院依照实际情形决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院预备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品许多于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？解答：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．则依照题意列方程组得：⎩⎨⎧=+-=+8.3362.256.6y x y x解之得：⎩⎨⎧==36.3y x 5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元（2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则依照题意列不等式组得：⎩⎨⎧≥-≥-⨯⨯+⨯⨯40100900)100(10%10510%158x x x 解之得：607157≤≤x 则x 可取：58，59，60，现在100-x 的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；类型二 利用二次函数进行设计例题3 （2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现预备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001-x ＋150，成本为20元/件，不管销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素阻碍，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范畴）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）假如某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内依旧在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 解答：（1）140 57500；（2）w 内 = x （y -20）- 62500 = 1001-x 2＋130 x 62500-， w 外 = 1001-x 2＋（150a -）x ．（3）当x = )1001(2130-⨯-= 6500时，w 内最大；分由题意得 2214()(62500)1300(150)100114()4()100100a ⨯-⨯----=⨯-⨯-， 解得a 1 = 30，a 2 = 270（不合题意，舍去）．因此 a = 30．（4）当x = 5000时，w 内 = 337500， w 外 =5000500000a -+． 若w 内 ＜ w 外，则a ＜32.5；若w 内 = w 外，则a = 32.5；若w 内 ＞ w 外，则a ＞32.5．因此，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；例题4 （2010湖北恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据推测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多储存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 解答：（1）由题意得与之间的函数关系式为y ＝()()x x 620005.010-+=2000094032++-x x （1≤x ≤110，且为整数）（2）由题意得：2000094032++-x x -10×2000-340x =22500解方程得：1x =50 2x =150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。
最新人教版七年级上册数学第1章有理数中考新题型(创新意识) 有理数中的新定义、新运算
数学
2. 【例 2】已知 a 是有理数,[a]表示不超过 a 的最大整数,如: [4.3]＝4,[5]＝5.则[6.3]＋[－3.7]× 5 的值是 －2 .
2
数学
7.若“!”表示一种运算符号,如:1!＝1,2!＝1×2,3!＝1×2×3,4!＝
数学
解:{1,2}不是黄金集合,理由:因为6－1＝5,6－2＝4,而5,4都不 是集合{1,2}的元素,所以{1,2}不是黄金集合. {1,3,5}是黄金集合,理由:因为6－1＝5, 6－3＝3,6－5＝1,而 5,3,1都是集合{1,3,5}的元素,所以{1,3,5}是黄金集合.
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数学
4.【例 4】数学上,我们把 称作二阶行列式,规定它的运算法
则为
＝ad－bc,例:
2 4
3 5
＝2×5－3×4＝－2,请阅读并理解
上述材料,计算
−6 3
4
1
的值.
2
解:原式＝－6×1－4×3＝－3－12＝－15.
2
数学
9.(创新题)(2021茂名模拟)若“三角”
表示运算 a－b＋c,“方框”
第一章 有理数
中考新题型(创新意识) 有理数中的新定义、新运算
数学
1.【例 1】(创新题)已知 a 为有理数,定义新运算“○R ”:当 a＞0 时,○R a＝－a;当 a＜0 时,○R a＝a,当 a＝0 时, ○R a＝0.根据这种 运算,则○R (－1＋○R 2)＝ －3 .
数学
6. (创新题)用“ ”“ ”定义新运算:对于任意实数 a,b, 都有 a b＝a 和 a b＝b.例如:3 2＝3,3 2＝2.则
中考数学复习：专题4-10 全等三角形创新题
专题10 全等三角形创新题【专题综述】随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。
近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。
【方法解读】一、实际应用型例1 如图1，一块三角形模具的阴影部分已破损．只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带'''？请简要说明理残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A B C由．【举一反三】如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高______.【来源】北师大版七年级数学下册第四章三角形单元检验题二、操作探索型例2 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC 内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图2的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图3给出证明．【举一反三】在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC= α，∠DCE= β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；α与β之②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时间的数量关系（不需证明）．【来源】北京市第四十四中学2017—2018学年度上期期中测试八年级数学试题三、开放探究型例3 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③【来源】浙江杭州余杭区2016-2017学年八年级上学期期末数学试题4.已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，PC⊥ON于C.（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.【来源】北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期末考试数学试卷5.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图一，若△ABC是等边三角形，且AB=AC=2,点D在线段BC上，①求证：∠BCE+∠BAC=180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC 60°，当点D在射线．．上移动，则∠BCE和∠BAC 之间有怎样的数量关系？并说明理．．BC由.【来源】浙江省吴兴区2017-2018学年八年级上学期期终模拟数学试题6.如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
2013年中考数学考前热点拨《方案设计题 》
图 38－1 (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征 1：__________；特征 2：__________． (2)请在图 38－2 中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备 你所写出的上述特征．
图 3Байду номын сангаас－2
解：(1)特征 1：都是轴对称图形；特征 2：都是中心对称 图形；特征 3：这些图形的面积都等于 4 个单位面积等． (2)满足条件的图形有很多，只要画一个即可．
根据以上情景，解答下列问题： (1)利用图甲，请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度(结果保 留整数)； (2)你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行， 请选 择一种 方案在图乙中画出测量示意图，并简述 测量步骤． ．． ．．
图 38－4
解：(1)AB＝AC· tan30° ＋DC＝15tan30° ＋1.6≈10(m)． (2)小红和小强提出的方案都是可行的． 小红的方案：利用皮尺和标杆． 步骤： ①测量旗杆的影长 AG； ②测量标杆 EF 的长度； AB EF ③测量同一时刻标杆影长 FH，则AG＝FH，即可得出 旗杆 AB 的高度，图略．
2．(1)如图 38－3①，正方形网格中有一个平行四边形，请在 图①中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)把图 38－3②中的平行四边形分割成四个全等的四边形 (要 求在图 38－3②中画出分割线)， 并把所得的四个全等的四边形在图 38－3③中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原 图形不全等且各个顶点都落在格点上．
(3)设二期工程 10 年用于治理污水的总费用为 W 万元，则 W＝12a＋9(8－a)＋1×10a＋1.5×10(8－a)， 化简得 W＝－2a＋192. ∵W 随 a 的增大而减少，∴当 a＝4 时，W 最小(逐一验算也可)． ∴按方案四甲型购买 4 台，乙型购买 4 台的总费用最少.
最新人教版九年级全一册数学中考新题型(创新性题) 一元二次方程与几何的跨知识融合问题
∴原方程为 4x2－10x＋4＝0,∴AB＋AD＝10 ＝ 5,
42
∴平行四边形 ABCD 的周长＝2×5＝5.
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∴方程化为x2＋x＝0,解得x1＝0,x2＝－1.
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4.(新题速递)(2020杭州二模)已知平行四边形ABCD 的两边 AB,AD的长是关于x的一元二次方程4x2－4ax＋2a－1＝0的 两个实数根. (1)当a为何值时,四边形ABCD是菱形?求此时菱形的边长; (2)当AD＝2时,求平行四边形ABCD的周长.
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3.(新题速递)(2021浙江模拟)已知三角形两边的长分别是8和6, 第三边的长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个实数根,则 该三角形的面积是( D )
A.24 或 2 5 B.24
C.8 5
D.24 或 8 5
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2.【例2】(新题速递)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋ 2bx＋(a－c)＝0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)若x＝－1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明 理由; (3)若△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
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解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:
把x＝－1代入方程得a＋c－2b＋a－c＝0,
则a＝b,∴△ABC为等腰三角形. (2)△ABC为直角三角形,理由如下:
根据题意得Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0,即b2＋c2＝a2,
∴△ABC为直角三角形. (3)∵△ABC为等边三角形,∴a＝b＝c,
北师大版九年级数学上册_正方形创新题例析
正方形创新题例析正方形是最为特殊的平行四边形，既是矩形又是菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．有关正方形的问题逐渐成为中考热点问题，下面举几例供大家参考．一． 图案设计问题例1．（辽宁）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）解析：实际操作一下，就可以知道本题选D ． 二． 寻找规律问题例2．（成都）如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______．解析：通过计算或拼图可以知道：1S =1； 2S =2；（向上对折） 图（1）（向右对折）图（2）图（3）图（4）ＡＢＣＤABCD EFGHIJ3S=4=22……从而可以归纳得到Sn =12n-，所以第8个正方形的面积8S＝72128=．三、图形折叠问题例3．（荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD,M、N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ=______．解析：由折叠过程可得到BP=CB=2BN，所以∠PBN=60°，从而∠CBQ=30°，在Rt△BCQ中，运用与上题类似的方法可求得PQ=33．四、开放型问题例4．（深圳）如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．解析：本题是一道条件开放题，答案不唯一，例如可添加AC=BD或∠BAD=90°等．ABCDO。
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中考数学创新题——方案设计知能训练：1.（2004年青海省湟中县）请用几何图形“△”、“‖”、“”（一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切，诙谐的解说词.（至少两幅图）吊灯2.（2005年青岛市）小明和小刚想要利用如图的两个转盘玩游戏，请你帮助他们设计一个游戏，使游戏的规则对双方是公平的。
3.（2005年湖北省宜昌市）质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取. (要求写出具体的操作步骤)4.（2005年内江市）李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。
⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。
（2005年大连市）有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。
这个游戏是否公平？请说明理由；5.如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏。
6.（2005年茂名）如图所示，转盘被等分成六个扇形，在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6；(1) 若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少？ (2) 请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为32。
7. （2005年安徽）两人袄去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案:(1) 甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时,他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.(2) 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题: (3) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?(4) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己乘上等车的可能性大? 为什么?8. (2004年四省（区）)在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离。
请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。
(1) 画出测量图案；(2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）；(3) 计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
9. （2005年河南省）有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。
10. （2005年河南省）如图是一条河，点A 为对岸一棵大树，点B 是该岸一根标杆，且AB 与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A 、B 两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。
ABCD备用图(2)A B CD备用图(1)11. （2005年四川省）如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0．5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？（结果保留1位小数；参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）12. （2005年贵阳市）某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ； (1) 求出一次函数b kx y +=的解析式；(2) 若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？13. （2005年河北省）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。
在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。
考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。
设这种面包的单价为x （角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）。
(1) 用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； (2) y 与x 之间的函数关系式； (3) 面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？14. （2005年临沂市）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?15. （2005年资阳市）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元. (1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.16. （2005年泉州市）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，同时又推出购买“个人年票”的售票方法（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A 、B 两类：A 类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票，；B 类年票每张40元，持票者每次进入公园时需再购买每次2元的门票.现有甲、乙、丙三位游客在一年中分别选择用A 类年票、B 类年票、一次性使用门票三种方式去游园，并且乙、丙每人一年中恰好都进入该公园x 次.(1) 分别写出乙、丙每人一年的门票费支出（用含x 的代数式表示）(2) 三位游客每人一年的门票费支出中，当甲的支出为最少时：①问乙、丙每人一年中进入该公园至少超过多少次？②求此时三位游客一年中游园共支出的门票费总额的最小值.答案：1.略2. 解：（方法一）（1）.用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号. （2）．在144个小物品（大小相同的小纸片或小球等）上标出1到144个数. （3）把这144个小物品用袋（箱）装好，并均匀混合.（4）每次从袋（箱）中摸出一个小物品，记下上面的数字后，将小物品返回袋中并均匀混合. （5）将上述步骤4重复30次，共得到30个数.（6）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.（不答此点不扣分） （方法二）（1）用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号. （2）使计算器进入产生随机数的状态. （3）．将1到144作为产生随机数的范围.（4）进行30次按键，记录下每次按键产生的随机数，共得到30个数. （5）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.（不答此点不扣分） 3. 解：⑴这个游戏对双方公平 ∵P(奇)=412121=⨯，P(偶)=43 3 P(奇)= P(偶)，∴这个游戏对双方公平⑵不公平 列表：如右图 得：P(和大于7)=125，P(和小于或等于7)=127 李红和张明得分的概率不等，∴这个游戏对双方不公平(只要所求概率正确即可得分，不一定列表) 建议：(略，只要合理均可得分) 4. 解：（1）不公平。
……………………………………………………………………1分 因为抛掷两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反。
……………………………………………………2分所以出现两个正面的概率为14，………………………………………………3分出现一正一反的概率为2142=。
………………………………………………4分 因为二者概率不等，所以游戏不公平。
………………………………………5分（1） 游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（一反一正），则乙赢…………7分游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢。
……………7分 5.（1）P （指针指向奇数区域）=2163=……………………………………4分 （2）方法一：如图所示，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为32…………………………………8分方法二：自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于3时，指针指向的区域的概率是32………………………………8分（注：答案不唯一，只要答案合力都给满分）6. 答案不惟一． 解：(1)如图所示：(2)在陆地上找到可以直接到达点A 、B 的一点D ，在AO 的延长线上取一点C,并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ． (3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ， ∴ △COD ≌△AOB ． ∴ CD=AB=a ．7. 只要正确、合理即可，以下三种方案供参考。
写出一种方案给4分，满分8分。
解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h 。
方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E 、F ，则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE ＝(a ＋b)，连接AE ，则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝。
方案三：如图3，连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。
分析此方案可知，∵AE ＝EC ，∴S △AEB ＝S △EBC ，S △AED ＝S △ECD ， ∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ，∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半8. 测量A 、B 两点间距离的方法有很多种，答案不惟一，一般采用全等、相似的知识来解决，只要答案合理、正确均给分。
9.A B C DE F 图1A B C D E 图 2A B CD E 图 310.（1）由题意得： ⎩⎨⎧+=+=b k b k 80407050,∴⎩⎨⎧=-=1201b k∴一次函数的解析式为：120+-=x y（2）900)90(7200180)120)(60(22+--=-+-=+--=x x x x x w ∵抛物线开口向下，∴当90<x 时，w 随x 的增大而增大； 而60≤x ≤84∴当84=x 时，864)84120)(6084(=--=w答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元。