01-积分的奇偶对称性
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
积分的对称性
f(x, y) 关于 y 为奇函数： f 为奇函数：
D1 = {( x, y ) ∈ D | y ≥ 0}
xuxzmail@
( x, − y ) ≡ − f ( x, y ) f(x, y) 关于 y 为偶函数：f ( x, − y ) ≡ f ( x, y ) 为偶函数：
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April 2011
积分的对称性 11
推论1 推论 若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称 且 f(x, y) 关于 x 和 y 均为偶函数
则
D
D1
∫∫ f ( x, y)dxdy = 4∫∫ f ( x, y)dxdy
D
D1
D1 = {( x, y ) ∈ D | x ≥ 0, y ≥ 0}
xuxzmail@
D2 D1 D1
所以
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy
D D1 D2
= 2 ∫∫ f ( x, y )dxdy
D1
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积分的对称性 17
利用积分区域的对称性 和被积函数的奇偶性 计算三重积分 计算三重积分
Ω1 Ω2
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积分的对称性 22
若 f (x, y, −z) ≡ f (x, y, z)
则∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫ dσ ∫
Ω2 D
ψ ( x, y ) ϕ ( x, y )
f ( x, y , z )dz
a D 交换积分变量x ,y b
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
函数的对称性、周期性、奇偶性的相互转换
函数的对称性、周期性、奇偶性的相互转换对称、周期性和奇偶性是数学函数的重要特性，许多经典数学函数都具有这三个特性。
它们耦合在一起，可以互相转换来满足我们的需求。
首先，让我们来看一看什么是对称性。
对称性是一种函数的形状和位置，它以特定的中心为中心，在其左右两侧，函数值对称变化。
对称轴可以是x轴、 y轴，也可以是其他类型的轴，取决于坐标系。
对称函数的例子有奇函数、偶函数、正弦函数、余弦函数等等。
其次是周期性。
周期性是指函数以某一定的宽度重复自己的性质，这个宽度被称为周期。
拥有周期性的数学函数有三角函数，比如正弦函数和余弦函数，以及其他几何函数。
最后是奇偶性。
奇偶性是指函数当其横坐标翻转成负值后，函数值是否发生变化。
当函数值不变时，该函数具有奇偶性；当函数值发生变化时，该函数没有奇偶性。
例如，平方函数f（x）=x2具有奇偶性，而乘法函数f（x）=x2+1没有奇偶性。
由于对称、周期性和奇偶性这三种特性相关，可以相互转换来满足需求。
例如，正弦函数具有三种特性，可以从其中抽取出任意一种来使用。
比如，假设我们要求一个函数具有奇偶性，我们可以把正弦函数的镜像图，也就是ak（t）=-sin（t）拿出来使用，它具有奇偶性和正弦函数完全相同的形状，但其值发生反转，满足了我们的要求。
另一个例子是可以使用对偶函数f（t）=sin（t）-cos（t）来表示一个函数具有周期性。
乍一看，似乎这不是一个周期函数，但实际上，只要我们把t表示为t=2π23π，就可以把它表示为周期函数，因此，如果我们需要一个具有周期性的函数，并且又需要满足一些其他条件，那么这个可以满足要求。
综上所述，对称、周期性和奇偶性都是数学函数的重要特性，这三者之间可以相互转换来满足我们的需求。
当面对一些比较复杂的问题时，熟练掌握。
专题——函数的奇偶性,周期性,对称性
专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。
2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。
3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。
4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。
5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。
三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
对称性在定积分中的-应用
对称性在定积分中的应用a定积分的计算中，对称性也简称“偶倍奇零”性质。
恰当地运用对称性能够大大地简化计算步骤，得到事半功倍的效果。
还可以根据问题的特点发现潜在的对称关系或构造某种对称性，使问题得到巧妙的解决。
一、对称性适用的条件对称性包括积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，两个条件缺一不可。
当然很多情况下，我们可以挖掘潜在的对称性和奇偶性。
二、对称性解决的题型1. 积分区间对称且被积函数具有奇偶性时，直接利用“偶倍奇零”性质。
定理：例题：2. 积分区间对称的前提下，被积函数非奇非偶利用任一函数可写成一奇函数和一偶函数的和,把积分改写成0()()()()()[][()()]22aa a a a f x f x f x f x f x dx dx f x f x dx --+---=+=+-⎰⎰⎰ 例题：例2 计算积分44cos .1x x dx e ππ-+⎰ 解：原式40cos cos()[]11x xx x dx e e π--=+++⎰ 40cos xdx π=⎰2= 例3 计算积分()121ln 1.x x e dx -+⎰ 解：原式()()1220[ln 1()ln 1]x x x e x e dx -=++-+⎰ ()21201[ln 1ln ]x x x e x e x dx e ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭⎰ ()()12220[ln 1ln 1ln ]x x x x e x e x e dx =+-++⎰1202x dx =⎰ 23=a)b) 充分利用被积函数某一项的奇偶性进行简化积分的运算例1 计算积分(121arctan .x x dx -⎰解：原式121arctan x xdx -=⎰11x -+⎰1002x =+⎰令sin x t = 原式2202sin cos cos t t tdt π=⋅⋅⎰ 22402(sin sin )t t dt π=-⎰ 1312()2422π=-8π=c)3. 积分区间不对称的情况a) 作变量代换使变换后的积分区间对称。
函数的奇偶性、周期性、对称性(一)
函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个()f x x 都满足①函数为偶函数；()()f x f x -=⇔()f x ②函数为奇函数.()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔()f x 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；反过来如果一个函数的图像y 关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于轴对称，该函数为偶函数.y 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，，其中定义域是()0f x =x D ∈D 关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数在()f x 区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递增（减）； [,](0)a b a b ≤<()f x [,]b a --③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数在()f x 区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递减（增）； [,](0)a b a b ≤<()f x [,]b a --④任意定义在上的函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即R ()f x . ()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意（且)也是函数的周期．nT n Z ∈0n ≠2．最小正周期：如果在周期函数)(x f 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如（()f x ()f x c =c 为常数），任意一个实数都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.x 三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转，所得的图像能与原函数图像完全重180︒合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数若在处有定义，则必有，但若不能判断奇函数的定义()f x 0x =(0)0f =()f x 域中一定有，则不能使用，求取参数的值.0x =(0)0f =2．函数的定义域关于原点对称，则函数为偶函数，函数()f x ()()()F x f x f x =+-为奇函数.()()()F x f x f x =--3．几类函数的周期(约定)问题：0>a ①若函数满足：或或()f x )()(a x f a x f -=+)()(x f a x f -=+，或,或()(()0,0)()k f x a f x k f x +=≠≠()()k f x a f x +=-(()0,0)f x k ≠≠或等，则的周期； 1()()1()f x f x a f x -+=+()()f x a f x b ++=)(x f a T 2=②若的图象关于直线,对称，则函数是周期为)(x f y =a x =b x =)(b a ≠)(x f y =的周期函数；b a -2③若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数)(x f y =)0,(a )0,(b a b ≠是周期为；)(x f y =||2a b -④若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数)(x f y =a x =)0,(b a b ≠是周期为.)(x f y =||4a b -4．函数的图像的对称性()y f x =①函数的图像关于直线对称. ()y f x =x a =()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数的图像关于点对称. )(x f y =)0,(a ⇔)2()(x a f x f --=⇔()()f a x f a x +=--③函数满足，则的图像关于直线对称. )(x f y =)()(x b f x a f -=+)(x f y =2a b x +=④若函数对定义域中任意均有，则函数)(x f y =x 0)()(=+-++c x b f x a f 的图像关于点成中心对称图形. )(x f y =(,)22a b c +-5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴. ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为2()(0)f x ax bx c a =++≠. 2b x a=-④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，(0)k y k x =≠与均为它的对称轴.推广：函数y x =y x =-，由函数图象的平移知识易知：函数2()a ad b ad cx d b ax b a c c c c y dcx d cx d c x c++--+===++++的对称中心为.（思考：如何快速作出函数的图象？找对称中心，(,)d a c c -225x y x +=+化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数的图象关于直线对称.||y a x b c =-+x b =⑥函数的对称轴为；||||(0)y ax b ax c a =-+-≠22b c b c a a x a++==的对称中心为. ||||(0)y ax b ax c a =---≠(,0)2b c a+⑦函数是奇函数，图象关于原点对称. (0)a y x a x=+≠(0,0)⑧函数、的图象既是轴对称图形，也是中sin()y A x k ωϕ=++cos()y A x k ωϕ=++心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数的图象是中心对称图形，对称中心为32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠（二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函(,(33b b f a a--数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会(||)y f x =|()|y f x =关于轴对称；后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，y x x 这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称.ln y x =|sin |y x =6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.如指数函数与对数函数y x =xy a =的图象关于直线对称.log a y x =y x =②函数与函数的图像关于直线对称. )(x a f y +=)(x b f y -=2a b x -=③函数与函数的图像关于直线对称. )(wx a f y +=)(wx b f y -=w a b x 2-=【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出；4）判断或()f x -()()f x f x -=-是否对定义域内的每一个恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反()()f x f x -=x 例，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数）；【注意】（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明与的关系，只有对各段上的()f x -()f x x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于轴对称）； y ③函数的公共定义域关于原点对称(),()f x g x 1）若函数都为奇函数或都为偶函数，则函数为偶函数；(),()f x g x ()()()F x f x g x =2）若函数其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数(),()f x g x ()()()F x f x g x =为奇函数；3）若函数都为奇函数，则函数为奇函数；(),()f x g x ()()()F x f x g x =+4）若函数都为偶函数，则函数为偶函数.(),()f x g x ()()()F x f x g x =+【注意】复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.[()]y f g x =3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.()()0f x f x ±=4．如果函数是偶函数，那么，通常在求解与偶函数、单调性有关的不()f x ()(||)f x f x =等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们x 可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆. ②而当前面的符号相同时告诉我们的是周期性.x ③当前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有x 制造负号的能力.7．证明一个函数关于直线对称的步骤：①设函数图像上的任意点()y f x =x a =()y f x =；②找到点关于直线的对称点；③设法证明点(,)x y (,)x y x a =(2,)a x y -(2,)a x y -也在函数的图像上；④下结论.()y f x =8．证明一个函数关于点对称的步骤：①设函数图像上的任意点()y f x =(,)a b ()y f x =；②找到点关于点的对称点；③设法证明点(,)x y (,)x y (,)a b (2,2)a x b y --也在函数的图像上；④下结论.(2,2)a x b y --()y f x =9．对于证明两个函数的图像关于直线对称或关于点对称的方法参照一个函数的x a =(,)a b 证明方法进行即可.10．已知定义在上的周期函数，周期为，函数的一个对称中心为或对R ()f x T ()f x (,)a b 称轴为，则点必是函数的对称中心，直线必是函x a =(,)2T k a b ⋅+()f x 2T x k a =⋅+数的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差()f x 半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数有对称中心，则函数的对称中心求解类型有：()y f x =()y f x =①若函数的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心()y f x =的横坐标；②若函数的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵()y f x =坐标；③若函数的定义域与值域都是，则设对称中心为，由()y f x =R (,)a b 确定参数的值即可.()()2f a x f a x b ++-=,a b④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数的对称中心为. 1111y x x x n =+++++ ,02n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接2()(1)f x x x =<，容易得出错误的结论：是偶函数.22()()()f x x x f x -=-==2()(1)f x x x =<2．奇函数在处可以没有定义，如；但如果奇函数在处有()f x 0x =1()f x x=()f x 0x =定义，则. (0)0f =3．周期函数的定义域至少有一边是无界的.如：命题“函数在()f x ()sin f x x =是周期函数”是错误的；命题“函数在是最小正[1000,1000]ππ-()sin f x x =[0,)+∞周期为的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数在2π()sin f x x =(,0]-∞是周期为的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.2π-4．有对称性（对称轴，对称中心）的一个或两个函数的定义域必须关于x a =(,)a b x a =对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数满足，则函数的图象关于直线()y f x =(2)(4)f x f x -=+()y f x =对称；函数的图象与函数的图象则关于直线2432x +==(2)y f x =-(4)y f x =+对称. 2412x -==-。
曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用
设
A A
y
,
:
是 关于
x
轴对 称 的光滑 曲线 ( 图
, ,
.
1 )
,
函数 尸 ( x
;
,
刃 Qx (
、
,
刃 在 曲线
A IA
Z
上
连续 且 关于 变量
:
J
}
人气
尸 (x
,
y )d x
一 长
1
{r
J
_ ,
具 有奇偶 性 则 对 坐标 的 曲线 积分 有 Z p (x y ) d x 尸 ( x y ) 关 于 , 是 奇函 数
,
B力
2
(1 )
~
, 、 、
。
0 (
P
x ( x (
,
,
刃 关于 刃 关于
,
一
y
~ ; 是偶 函 数 是 奇 函数
y
;
。
,
,
~
}
Q (x
.
y
)d y 一 成 f
!
0
。
Q
。, 2
,
y
{j
乙
Q( x
,
刃
d y
Q
x (
刃 关于
是偶 函 数
;
l
产
尸(
A
x
,
y )d x
+
Q (x
,
,
y )d y
人
! K、 J|
一
呱声
.
二
一
x d 介 卜乡
(
音
`
计算
抵
_
奇瑞
谈高中函数中的奇偶性和对称性
谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。
下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。
2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。
2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。
综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。
积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用
x
收稿日期： 2007-03-20 作者简介: 陈琼(1964-),男,河南永城人, 本科,高级讲师,主要 从事高等数学教学方面的研究.
x = a + b − t ，易得：
∫
b
a
f (x)dx = ∫ f (a +b− x) =
a
b
1 b [ f (x) + f (a + b − x)]dx 2 ∫a
[6]
缓慢，甚至福利制度的崩溃。但这是保障程度超出 了社会发展阶段的问题，并不是这种体制的原则本 身的问题。 哪些是计划的范围，哪些是市场的范围？这是 社会化大生产时代的重大问题。人类在不断地 思 考，也在不断地进行权衡。研究和学习世界各国的 经验，对我国的实践无疑有着重要的意义。
参考文献： [1] 马克思.资本论[M].北京:人民出版社,2004. [2] 刘苍劲 . 论剩余价值的实现条件[J]. 马克思主义与现实 , 2006,(2):169-170. [3] ( 英 )F·A· 哈 耶克 . 邓正 来译 . 个人主 义与经 济秩序 [M]. 上海:生活、读书、新知三联出版社,2003. [4] 裴小革.国外学者如何看待《资本论》[EB/OL].http:// /file/2005101446870.html,2005-10-14. [5] 刘福垣.破除政治经济学迷雾的ABC[M].北京:社会科学 文献出版社,2006. [6] (德)弗·克·考夫曼.王学东译.居伟摘编.社会福利国家面临 的挑战[J].科学社会主义,2006,(1):131-133.
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, − y)dσ
D D1 D1
⎧ 2 f ( x, y ) d σ ⎪ ∫∫ = ⎨ D1 ⎪ 0 ⎩
浅谈对称性和奇偶性在积分学中的应用
.
２ ∫
５
２
解
Ｄ
２
Ｄ
２
２
１
１
Ｄ
１
－１
ｘ２
－１
Ｄ
４
例 ４ 设区域 Ｄ ＝ { ( ｘꎬｙ) ｜ ｘ２ ＋ ｙ２ ≤ １ꎬｘ ≥ ０} ꎬ计算
１ ＋ ｘｙ
二重积分 Ｉ ＝
ｄｘｄｙ. (２００６ 年考研题)
１
＋
ｘ２ ＋ ｙ２
Ｄ
１ ＋ ｘｙ
分析 因为 Ｄ 关于 ｘ 轴对称ꎬ被积函数
Ｄ
Ｄ
１
１
＝
ｄｘｄｙ
２
２ ｄｘｄｙ ＋ ０ ＝ ２
２
１
＋
ｘ
＋
ｙ
１
＋
ｘ
＋ ｙ２
Ｄ
Ｄ
∬
∬
∬
∬
＝ ２
＝
∫ ｄθ∫
０
π
２
１
０
∬
∬
１
π
ｒｄｒ ＝ ２
２
１ ＋ ｒ２
１
∫
１
０
１
１
ｄ(１ ＋ ｒ２ )
２ １ ＋ ｒ２
π
ｌｎ２( 其中 Ｄ１ 为 Ｄ 在第一限象部分) .
２
专 题 研 究
１２８
ａ
０
∫
ａ
－ａ
∫
ａ
－ａ
ａ
０
∫ ｆ( － ｘ) ｄｘ ＋
Ｄ
２ ｆ( ｘꎬｙ) ｄｘｄｙꎬ当 ｆ( － ｘꎬｙ) ≡ ｆ( ｘꎬｙ) 时ꎬ
Ｄ１
其中 Ｄ１ ＝ { ( ｘꎬｙ) ∈ Ｄꎬｘ ≥ ０} .
(２) 若 Ｄ 关于 ｘ 轴( ｙ ＝ ０) 对称ꎬ则
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
不定积分的对称性
不定积分的对称性不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数积分的逆运算。
对于一个给定的函数，不定积分可以求解出该函数的原函数（即导数为该函数的函数），获得原函数后，我们可以对其进行微积分运算，进一步探索函数的性质和规律。
在不定积分的求解过程中，有一种非常重要的概念：对称性。
对称性是指某个对象在某种变换下的性质是不变的。
在数学领域中，对称性不仅仅只是一个概念，还有很强的应用价值。
在不定积分中，对称性可以帮助我们快速准确地求解不定积分，同时也可以从中发现一些有趣的规律和性质。
对称性可以分为几种类型，例如对称函数、周期函数、奇偶函数等。
在这里，我们主要介绍奇偶函数的对称性。
奇偶函数分为两种类型：奇函数和偶函数。
奇函数的定义是f(x)=-f(-x)，即在函数y=f(x)的图像中，以原点为中心对称得到的图像和函数y=f(x)完全一样；而偶函数的定义是f(x)=f(-x)，即在函数y=f(x)的图像中，以y轴为中心对称得到的图像和函数y=f(x)完全一样。
接下来我们将逐一探讨奇函数和偶函数的对称性在不定积分求解中的应用。
一、奇函数的对称性对于一个奇函数f(x)，我们有以下重要结论：（1）当积分区间为[-a,a]时，有∫_-a^af(x)dx=0。
这个结论的证明比较简单，由于f(x)是奇函数，我们可以将积分区间[-a,a]拆分为[-a,0]和[0,a]两个区间，即∫_-a^af(x)dx = ∫_-a^0f(x)dx + ∫_0^af(x)dx。
代入奇函数的定义式f(x)=-f(-x)，其中x属于[-a,0]时，有-f(x)=f(-x)，而x属于[0,a]时，有f(x)=f(-x)，于是我们可以将式子改写为∫_-a^af(x)dx = -∫_0^-af(x)dx + ∫_0^af(x)dx = 0。
（2）当积分区间为[-a,0]（或[0,a]）时，有∫_-a^0f(x)dx=-∫_0^af(x)dx。
同样可以通过奇函数的定义式来证明这个结论，但是为了简化计算，我们可以使用一个小技巧。
01-积分的奇偶对称性
则 f ( x, y, z)dxdydz 0;
(6)若f ( x, y, z)关于y为偶函数，即f ( x, y, z) f ( x, y, z),
则 f ( x, y, z)dxdydz 2 f ( x, y, z)dxdydz;
1
04 第一类曲线积分的奇偶对称性
设f ( x, y)在平面曲线L上连续, L L1 L2, L1, L2关于y轴对称， (1)若f ( x, y)关于x为奇函数，即f ( x, y) f ( x,
(4)若f ( x, y)关于y为偶函数，即f ( x, y) f ( x, y),
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy.
1
03 三重积分的奇偶对称性
设f ( x, y, z)在有界闭区域上连续, 1 2 ,1 ,2关于xoy面对称， (1)若f ( x, y, z)关于z为奇函数，即f ( x, y, z) f ( x, y,
则 f ( x, y, z)dS 0;
(4)若f ( x, y, z)关于x为偶函数，即f ( x, y, z) f ( x, y, z),
则 f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
05 第一类曲面积分的奇偶对称性
设f ( x, y, z)在曲面上连续, 2 关于zox面对称， (5)若f ( x, y, z)关于y为奇函数，即f ( x, y, z) f ( x, y,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy.
1
02 二重积分的奇偶对称性
设f ( x, y)在有界闭区域D上连续, D D1 D2 , D1, D2关于x轴对称， (3)若f ( x, y)关于y为奇函数，即f ( x, y) f ( x,
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积分的奇偶对称性
----定积分、二重积分、三重积分、
第一类曲线积分、第一类曲面积分
.
)(2)()()2(;0)()()1(],
,[0⎰⎰⎰==-∈--a
a a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数，则若为奇函数，则
若设01 定积分的奇偶对称性
.),(2),(),,(),(),()2(;
0),(),,(),(),()1(,,,),(1
2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D D
dxdy y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f y D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，
关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
.),(2),(),,(),(),()4(;
0),(),,(),(),()3(,,,),(1
2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D D
dxdy y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f x D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，
关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;
0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(1
2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ
==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，
关于上连续在有界闭区域设
;),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;
0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(1
2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ
==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，
关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性
;),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;
0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(1
2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ
==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，
关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性
04 第一类曲线积分的奇偶对称性.
⎰⎰⎰==-=-=-+=1
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0),(),,(),(),()1(,,,),(2121L L L
ds y x f ds y x f y x f y x f x y x f ds y x f y x f y x f x y x f y L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，
关于上连续在平面曲线设
04 第一类曲线积分的奇偶对称性.
⎰⎰⎰==-=-=-+=1
),(2),(),,(),(),()4(;
0),(),,(),(),()3(,,,),(2121L L L
ds y x f ds y x f y x f y x f y y x f ds y x f y x f y x f y y x f x L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，
关于上连续在平面曲线设
05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑
==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;
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关于上连续在曲面设
05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑
==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1
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),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，
关于上连续在曲面设
05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑
==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;
0),,(),,,(),,(),,()5(,,,
),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，
关于上连续在曲面设。