函数的奇偶性与对称性

函数的奇偶性与对称性

一、课前准备：

【自主梳理】

1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数．

2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称．

（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称．

（3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________．

（4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和．

（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）．

3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称．

（2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称．

【自我检测】

1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________．

①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数．

2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1

x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．

3.已知22

()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________．

4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称．

5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若(3)2f =，则(3)f -的值为___________．

6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数，则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________．

二、课堂活动：

【例1】填空题：

（1）函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）

（2）已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-，则)(x f 为偶函数的充要条

件为_________________．

（3）已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,3()(1)f x x x =+,则()f x 的解析式为

____________________．

（4）若函数x x

k k x f 2

12)(⋅+-=是奇函数，则=k ___________．

【例2】判断下列各函数的奇偶性：

（1）1()(1)1x f x x x +=--；（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x x f x x x

x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩

【例3】

（1）已知函数)(x f 是偶函数，当[)1,0∈x 时，x x f -=1)(，又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在[)1,2--上的解析式；

（2）若函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数，解关于x 不等式)3()15(x f x f <-．

三、巩固练习

3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.

5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.

6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上

的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.

7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2f =_____________.

8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)

(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为_____