小学奥数学案-第21讲-“三向”行程问题(学)
小学奥数行程问题教案
小学奥数行程问题教案一、教学目标1. 让学生理解行程问题的基本概念，如行程、速度、时间等。
2. 培养学生解决行程问题的基本思路和方法。
3. 提高学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 行程问题的基本概念介绍。
2. 行程问题的解决步骤和方法讲解。
3. 典型行程问题案例分析。
三、教学重点与难点1. 教学重点：行程问题的基本概念，行程问题的解决步骤和方法。
2. 教学难点：行程问题的灵活应用和解决。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解行程问题的基本概念和解决方法。
2. 采用案例分析法，分析典型行程问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与，提高解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件或黑板。
2. 典型行程问题案例。
3. 练习题。
教案内容：一、教学目标让学生理解行程问题的基本概念，如行程、速度、时间等。
培养学生解决行程问题的基本思路和方法。
提高学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 行程问题的基本概念介绍。
行程：物体在一段时间内所经过的路线长度。
速度：物体单位时间内所经过的路线长度。
时间：物体完成一段行程所需的时间。
2. 行程问题的解决步骤和方法讲解。
步骤一：明确行程问题中的已知量和未知量。
步骤二：根据已知量和未知量之间的关系，列出方程。
步骤三：解方程，求解未知量。
步骤四：检验解是否符合实际情况。
3. 典型行程问题案例分析。
案例一：一个人以60千米/小时的速度行驶，行驶了3小时，求他行驶的距离。
案例二：两辆火车相向而行，第一辆火车以40千米/小时的速度行驶，第二辆火车以50千米/小时的速度行驶，两火车相遇需要多长时间？三、教学重点与难点1. 教学重点：行程问题的基本概念，行程问题的解决步骤和方法。
2. 教学难点：行程问题的灵活应用和解决。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解行程问题的基本概念和解决方法。
2. 采用案例分析法，分析典型行程问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与，提高解决问题的能力。
奥数行程问题讲解及训练(讲义)- 数学五年级下册
小学高部奥数行程问题讲解及训练一、弄清思路行程问题是小学奥数题的重要组成部分，那么如何学好行程问题？下面由多年从教经验的老师来回答这个问题：因为行程的复杂，所以很多同学一开始就会有畏难心理。
因此，学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。
我们要知道，学习奥数有四种境界：第一种：课堂理解。
就是说能够听懂老师讲解的题目；第二种：能够解题。
就是说同学听懂了还能做出作业。
第三种：能够讲题。
就是不仅自己会做，还要能够讲给家长或同学听。
第四种：能够编题。
就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。
这也是解决向数题的最高境界了。
其实大部分同学学习奥数都只停留在第一种境界，有的甚至还达不到，能够达到第三种境界的同学考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。
而要想在行程上一点问题没有，则要求同学达到第四种境界。
即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。
而这四种境界则是学习行程的四个阶段或者说好的方法。
二、基本公式1、一般行程问题公式平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。
2、列车过桥问题公式（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和。
3、同向行程问题公式追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
4、反向行程问题公式反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
5、行船问题公式（1）一般公式：静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；船速-水速=逆水速度；（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
(完整版)小学奥数行程问题经典整理
第一讲行程问题（一）教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
行程问题小升初奥数综合教案及练习
行程问题（一）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。
2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。
2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
3. 行程问题的解题方法和技巧。
教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。
2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。
3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。
4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。
2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。
行程问题（二）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。
2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。
2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
3. 行程问题的解题方法和技巧。
教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。
2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。
3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。
4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。
2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。
行程问题（三）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。
2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。
小升初奥数第21讲 行程问题 (一) 相遇
4.A、B 两地相距 900 千米，甲车由 A 地到 B 地需 15 小时，乙车由 B 地到 A 地 需 10 小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距 B 地还有多少千米？
5.甲、乙两辆汽车早上 8 点钟分别从 A、B 两城同时相向而行。到 10 点钟时两 车相距 112.5 千米。继续行进到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。A、B 两 地间的距离是多少千米？
4.两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离 165 千米的工地。甲车比乙 车早到 48 分钟，当甲车到达时，乙车还距工地 24 千米。甲车行完全程用了多 少小时？
5、甲、乙两地之间的距离是 420 千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一 辆汽车每小时行 42 千米，第二辆汽车每小时行 28 千米。第一辆汽车到乙地立 即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？
3.它大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和； （2）相背而行：相背距离=速度和×时间；（3）同向而行：速度慢的在前， 快的在后；追及时间=追及距离÷速度差。
4.解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来， 有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 1. 相遇问题
1.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行 40 千米， 摩托车每小时行 65 千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距 75 千米。 甲、乙两地相距多少千米？
2.学校运来一批树苗，五（1）班的 40 个同学都去参加植树活动，如果每人植 3
棵，全班同学都能植这批树苗的一半还多 20 棵。如果这批树苗全部给五（1）
公式： 路程和=速度和 时间 路程差=速度差 时间
例1 ： 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小
完整word版21《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲小升初必备》第21讲行程与工程
第 21 讲 行程与工程内容归纳运动路线或路况复杂， 与周期性或数论知识相关系， 需进行优化设计等拥有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象很多的工程问题．典型问题1 。
如图 21-l ， A 至 B 是下坡， B 至 C 是平路， C 至 D 是上坡 . 小张和小王在上坡时步行 速度是每小时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时6 千米．小张和小王分别从A 和 D 同时出发， 1 小时后两人在E 点相遇．已知 E 在 BC 上，并且 E 至 C的距离是 B 至 C 距离的 1．当小王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D ．那么 A 至 D 全程长是多少5千米 ?【剖析与解】BE 是 BC 的 4 ， CE 是 BC 的 1，说明 DC 这段下坡，比 AB 这段下坡所用的时55间多，也就是 DC 这一段，比 AB 这一段长，因此可以在 DC 上取一段 DF 和 AB 相同长，以以以下图：其余，再在图上画出一点 G ，使 EG 和 EC 相同长，这样就表示出，小王从 F 到 C. 小张从 B 到G ．小王走圆满程比小张走圆满程少用9 分钟，这时由于小张走C 至 F 是上坡，而小王走F至 C 是下坡 ( 他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走相同多) ．因此，小王从 F 至 C ，走下坡所用时间是9÷61 =18( 分钟 ) ．4因此得出小张从 B 至 G 也是用 18 分钟，走 GE 或 CE 都用 6 分钟．走 B 至 C 全程 ( 平路 ) 要30 分钟．从 A 至曰下坡所用时间是60-18-6=36( 分钟 ) ；从 D 至 C 下坡所用时间是 60-6=54( 分钟 ) ；A 至 D 全程长是 (36+54) ×6+30×5千米．60602 ．如图 2l-2 ， A ，B 两点把一个周长为 l 米的圆周均分成两部分．蓝精灵从 B 点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是3米，若是它跳到A 点，就会经8过特别通道 AB 滑向曰点，并从 B 点连续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了 1000 次，那么跳完后圆周长等于多少米 ?【剖析与解】3×4=3即蓝精灵跳 4 次到 A 点．圆半径扩大一倍即乘以2 后，跳 8 次82到 A 点．圆半径乘以 4 后，跳 16 次到 A 点．依次类推，由于 4+8+16+32+64+128+256+492=1000，因此有 7 次跳至 A 点．1000 次跳完后圆周长是1× 27 =128 米．3 ．已知猫跑 5 步的行程与狗跑 3 步的行程相同； 猫跑 7 步的行程与兔跑 5 步的行程相同． 而 猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道， 同时同向同地出发． 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少行程 ?【剖析与解】方法一： 由题意，猫与狗的速度之比为9:25 ，猫与兔的速度之比为25:49．设单位时间内猫跑1 米，则狗跑25 米，兔跑49 米．狗追上猫一圈需300÷( 25 -1)=9 25675 单位时间，兔追上猫一圈需9494625 单位时间．252猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是675的整数倍，又是625的整数倍.42675与625的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大42合约数 , 即675 ,625675,62516875=8437.5 ．4,2422上式表示，经过 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5 米，狗跑了8437. 5×25米，兔跑了 8437.5 ×49=16537． 5 米．925方法二： 有猫跑 35 步的行程与狗跑 21 步的行程， 兔跑 25 步的行程相； 而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步的时间，兔跑 21 步的时间相同． 因此猫、狗、兔的速度比为15 :25 :21，它们的最大合约数为35 21 2515 , 25 , 21 15,25,211 .35,21,253 535 21 255 7即设猫的速度为1531 5 225 ，那么狗的速度为 25 3 5 1 62535 5 721 5 7， 兔的速度21 3 1 441．25 5 5 7于是狗每跑 300÷(625 -225)=3位 追上猫；4兔每跑 300÷(441 -225)=25位 追上猫．18而 3 , 253,2575，因此猫、狗、兔跑了75位 ，三者相遇．4,184 1822有猫跑了75×米，狗跑了75×625=23437.5 米，兔跑了75×222米．注： 方法一、方法二中的相遇 一个是位，一个是75位，可是答案倒是一 的， 什么呢 ?2在方法二中， 若是按下面解答会获取不一样样答案， 又是 什么 ?哪个方法有 呢 ?自己着解决，并在今后的学 中防备 种 ．于是狗每跑 300÷(625-225) ×625=1875米追上猫；4兔每跑 300÷(441 - 225) ×441=1225米追上猫；2而 1875 , 12251875,12254,2，⋯4 24 ．一条 形道路，周 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同 出 ，每人 行2 周．有自行 2 ，乙和丙 自行 出 ，甲步行出 ，中途乙和丙下 步行， 把自行 留 其 他人 ．已知甲步行的速度是每小 5 千米，乙和丙步行的速度是每小4 千米， 3 人的速度都是每小 20 千米． 你 一种走法，使 3 个人 2 同 到达 点．那么 行2 周最少要用多少分 ?【剖析与解】 若是甲、乙、丙均始 ， 甲、乙、丙同 到达， 位“ 1”的行程只需1；乙、丙状况 似，因此先只考 甲、乙， 在甲、乙因 步行 行走 位20“1”行程，耽 的 比 ：11 : 1 1 3: 4520 4 20而他 需同 出 ， 同 到达， 因此耽 的 相等． 于是步行的距离比 耽的倒数比，即 4:3 ；因 丙的状况与乙一 ，因此甲、乙、丙三者步行距离比4:3:3 ．因 有 3 人， 2 自行 ，因此，始 有人在步行，甲、乙、丙步行行程和等于 形道路的周 ．于是，甲步行的距离 2×4千米；=0.8 千米； 的距离 2×2 4 3 3因此甲需要 () × 60=19.2 分5 20形两周的最短 分 ．参照方案以下：甲先步行 0.8 千米，再 3.2 千米；乙先 千米，再步行 千米，再 千米 ( 丙留下的自行 )；丙先千米，再步行千米．5．甲、乙两 工程分 由一、二 来完成．在晴天，一 完成甲工程需要12 天 . 二 完成乙工程需要 15 天；在雨天，一 的工作效率要下降 40％，二 的工作效率要下降10％．果两 同 完成 两 工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?【剖析与解】晴天 ，一 、二 的工作效率分1 和1，一 比二 的工作效率12 15高1-1 = 1；雨天 ，一 、二 的工作效率分1× (1-40%)=1 和 1 ×12 15 3 60 3 1 11220 15(1-10%)= , 二 的工作效率比一 高- = . 50 50 20 100由 1:1=5:3 知，要两个 同 完工，必 是3 个晴天， 5 个雨天，而此 完成了60 100工程的 1×3+1 ×5= 1，因此，整个施工期 共有6 个晴天 ,10 个雨天 .1220 26 ．画展 9 开 ，但早有人来排 等候入 ．从第一个 众到达 起，每分 来的 众 人数一 多．若是开3 个入 口， 9 9 分就不再有人排 ；若是开5 个入 口， 95 分就没有人排 ．那么第一个 众到达的 是8 几分 ?【剖析与解】由 意可得两个等式，以下：( 开 前排 人数 )+(9 分 内到的人数 )=3 ×( 每个入口每分 的人数 ) ×9 ①( 开 前排 人数 )+(5分 内到的人数 )=5 ×( 每个入口每分 的1 人数 ) ×5 ②①- ②得 :4分 内到的人数 =2×( 每个人口每分 的人数 ) ⋯⋯③从而有 : 每个入口每分 的人数 =2×( 每分 的人数 ) ⋯⋯④ 代入②得，开 前排 人数=25× 2-5=45 分 内到的人数．因此第一个人是 8 点 15(=60-45) 分到达的．7 ．甲、乙、丙 3 名搬运工同 分 在 3 个条件和工作量圆满相同的 工作，搬完 物甲用 10 小 ，乙用 12 小 ，丙用15 小 ．第二天 3 人又到两个 大的 搬运 物，两个 的工作量也相同．甲在 A ，乙在B ，丙先帮甲后帮乙， 果干了16 小后同 搬运完 ． 丙在A 做了多?【剖析与解】 设第一天的每个库房的工作量为“ 1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率为1 1 1 = 1，第二天，甲、乙、丙向来在同10 12 15 4时工作，因此第二天两个库房的工作总量为1× 16=4，即第二天的每个库房的工作总量为44÷2=2．于是甲工作了 16 小时只完成了 16×1 = 8的工程量， 剩下的 2- 8 = 2的工程量由丙帮助完10 55 5成，则丙需工作2÷ 1=6( 小时 ).5 15丙在 A 库房做了 6 小时．。
小学奥数之行程问题综合型详解教案
小学奥数之行程问题综合型详解教案行程问题综合性详解一、知识详解行程问题核心公式：S=V×T，因此总结如下：1、当路程一定时，速度和时间成反比2、当速度一定时，路程和时间成正比3、当时间一定时，路程和速度成正比从上述总结衍生出来的很多总结如下：4、追及问题：路程差÷速度差=时间5、相遇问题：路程和÷速度和=时间6、流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2船速=（顺水速度+逆水速度）÷27、电梯问题：S=（人与电梯的合速度）×时间8、平均速度：V平=总路程S总÷总时间T总二、典例分析基础1、北京到天津的距离是138千米，甲、乙两人同时从两地出发，甲每小时行48千米，乙每小时行44千米，他们几小时能相遇？2、一辆汽车，从甲地到乙地。
如果每时行45千米，就要晚0.5时到达，如果每时行50千米，就可提前0.5时到达。
问甲、乙两地相距多少千米？4.4时，乘大客车要用几时？4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相向开出，4小时相遇。
相遇时，两车所行路程的比是3：4，已知乙车每时行60千米，求A、B 两城相距多少千米？5、李明开车从甲地到乙地，3时行驶330千米，照这样计算，还需5时就可以到达乙地，甲乙两地相距多少千米？拔高6、邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？（核心公式：时间=路程÷速度）解法一：逐步考虑去时：T=返回：T’=T总=解法二：整体思考全程共计：去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡因此来回走的时间为：所以总的时间为：7、小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。
高思奥数导引小学三年级含详解答案第21讲.间隔与数列
第21讲间隔与阵列兴趣篇1、社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵，而且马路的两端都要种。
一共需要种多少棵树？2、学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树。
每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了。
请问：相邻两棵树之间的距离是多大？3、包包上楼，从第一层走到第三层需要上36级台阶。
如果各层楼之间的台阶数相同，那么包包从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？4、学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。
请问：（1）包包和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人、右侧有8人。
女生一共有多少人？（2）铮铮和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个、右起第9个。
男生一共有多少人？（3）昊昊也在男生队伍里。
他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？5、运动会闭幕式结束后，大家准备散场。
班长包包让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。
她先从左往右数，发现铮铮是第25个；然后她又从右往左数，发现昊昊正好是第29个。
如果队伍里一共有31人，那么铮铮和昊昊之间有几个人？6、一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米。
厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而且每次只能沿着直线切。
如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？7、学校有一个圆形水池，水池的周长为40米。
如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？8、50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。
现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。
请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？9、有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？10、一个实心方阵，最外层一共有20人。
请问：（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？拓展篇1、刘老师想做一张木凳。
2022年小学奥数行程问题类型归纳及解题技巧总结
小学奥数“行程问题”类型归纳及解题技巧总结“行程问题”重要类型归纳一、直线型(1)两岸型:第n次迎面碰头相遇,两人路程和是(2n-1)S。
第n次背面追及相遇,两人路程差是(2n-1)S。
(2)单岸型:第n次迎面碰头相遇,两人路程和为2ns。
第n次背面追及相遇,两人路程差为2ns。
二、环型环型重要分两种状况,一种是甲、乙两人同地同步反向迎面相遇(不也许背面相遇),一种是甲、乙两人同地同步同向背面追及相遇(不也许迎面相遇)。
“行程问题”解题技巧总结一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路两端同步出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路一端同步出发同向而行。
当前分开向人们一一简介:(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种状况,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇。
题干如果没有明确阐明是哪种相遇,考生对两种状况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇:如下图,甲、乙两人从A、B两地同步相向而行,第一次迎面相遇在a处,(为清晰表达两人走路程,将两人路线分开画出)则共走了1个全程,到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处,共走了3个全程,则从第一次相遇到第二次相遇走过路程是第一次相遇2倍。
之后每次相遇都多走了2个全程。
因此第三次相遇共走了5个全程,依次类推得出:第n次相遇两人走路程和为(2n-1)S,S为全程。
而第二次相遇多走路程是第一次相遇2倍,分开看每个人都是2倍关系,经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过路程是从起点到a2倍。
相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同步出发,如下图,此时可假设全程为4份,甲1分钟走1份,乙1分钟走5份。
则第一次背面追及相遇在a处,再通过1分钟,两人在b处迎面相遇,到第3分钟,甲走3份,乙走15份,两人在c处相遇。
小学奥数讲座标准教案-学案-六年级第21讲 时 钟 问 题(1)
第21讲时钟问题（一）如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求图中阴影部分的面积。
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。
另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511分。
【例 1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒1. 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。
小学奥数“行程问题”类型归纳及解题技巧总结
小学奥数“行程问题”类型归纳及解题技巧总结“行程问题”主要类型归纳一、直线型（1）两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。
（2）单岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。
第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。
二、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。
“行程问题”解题技巧总结一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a 的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。
六年级奥数第21讲：行程问题(二)
行程问题（二）变速类行程问题是比较复杂的，在解答时，一定要对题目进行认真细致的分析，其基本思路是：（1）把问题进行适当的分解，转化为基本类型。
（2）把条件密集段作为解答的突破口，求得该段上的未知量，这是解决问题的关键。
（3）按题意作图（如线段图、折线图）辅助解题，从图中获解。
（4）利用多种数学思想方法（如假设、类比等）求得解答。
例1、甲、乙两人赛跑，甲跑到全程的32处时，乙已跑到全程的43处，这时甲、乙两人相距250米。
问：（1）全程是多少千米？（2）如果甲每分钟跑200米，那么乙的速度是多少？（3）当乙跑完全程时，甲还要多长时间才能到达？做一做：甲乙两人赛跑，他们同时从A ，B 两个出发点出发相向而行。
当甲行全长的65时，乙行了全的54，两人相距190米，则A 、B 全程是多少米？例2、一个圆周长30厘米，3个点把这个圆周长分成三等份。
3只爬虫A ，B ，C 分别在这3个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。
A 的速度是10厘米/秒，B 的速度是5厘米/秒，C 的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多长时间第一次到达同一位置？做一做：三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。
甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步。
里圈跑道长51千米，中圈长41千米，外圈长83千米。
甲每小时跑 3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。
问：他们同时从旗杆的正东方向出发，几小时后，三人第一次同时回到出发点？例3、李经理的司机每天早上7点30分到李经理家接他去公司上班。
有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分。
问：李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的几倍？做一做：学校和工厂之间有条公路，该校下午2点钟派车去工厂，到工厂接劳模来学校作报告，往返需要1小时。
这位劳模在下午1点钟例离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶往学校，在下午2点40分到达。
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相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”，注意对“速度和”的理解，注意时间的因素
图示：
甲出发点乙
A B
关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间.
考点一：相向行程问题（相遇问题）
例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
例4、甲、乙两辆汽车分别从 、 两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从 地出发，乙车出发 小时后两车还相距 千米．甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米．求 、 两地间相距多少千米？
例5、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发 小时后，两人相距 千米；出发 小时后，两人还相距 千米．问出发多少小时后两人相遇？
考点三、背向行程问题（相离问题）
例1、两列火车从相距 千米的两城背向而行，甲列车每小时行 千米，乙列车每小时行 千米， 小时后，甲、乙两车相距多少千米？
例2、小强每分钟走 米，小季每分钟走 米，两人同时从同一地点背向走了 分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
例3、甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?
5、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 千米，小轿车每小时行 千米，问几小时后两车相距 千米？
6、两列火车从相距 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 千米，乙列车每小时行 千米， 小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
7、甲、乙两辆汽车同时从 地出发去 地，甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米．途中甲车出故障停车修理了 小时，结果甲车比乙车迟到 小时到达 地． 、 两地间的路程是多少？
8、学校和部队驻地相距 千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行 千米，小宙每小时行 千米．当小宇走了 千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
9、小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远?
一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即
二、同向行程问题（追及问题）
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
例2、甲、乙两列火车同时从 地开往 地，甲车 小时可以到达，乙车每小时比甲车多行 千米，比甲车提前 小时到达．求 、 两地间的距离．
例3、军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
10、甲、乙两车从A，B两地同时出发，相向而行。如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米／时，乙车速度是40千米／时。问：甲车提前了多少分出发？
11、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 千米，开出 小时后，一辆快车以每小时 千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
5、甲、乙两辆汽车从 、 两地同时相向开出，出发后 小时，两车相距 千米；出发后 小时，两车相遇． 、 两地相距多少千米？
6、两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？
7、孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、相向行程问题（相遇问题）
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间.
2、甲、乙两车分别从相距 千米的 、 两城同时出发，相对而行，已知甲车到达 城需 小时，乙车到达 城需 小时，问：两车出发后多长时间相遇？
3、甲、乙两列火车从相距 千米的两地相向而行，甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米，乙车先出发 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
4、甲乙两座城市相距 千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行 千米，客车每小时行 千米．客车在行驶中因故耽误 小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？
17、在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B地，又过8分钟两人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分钟？
课后反击
1、聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
10、小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行 米，李大爷每分钟行 米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早 分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
11、哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
12、六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走 米， 分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发 分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
13、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
15、东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？
16、甲、乙两地相距260千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地多少千米处相遇？
例5、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？
例6、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行 千米，乙机每小时行 千米，飞行 小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用 小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
例4、甲、乙两车同时从 地向 地开出，甲每小时行 千米，乙每小时行 千米，开出 小时后，甲车因有紧急任务返回 地；到达 地后又立即向 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达 地，求 、 两地的路程．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
例6、两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 千米，另一列城铁每小时走 千米，在途中每列车先后各停车 次，每次停车 分钟，经过 小时两车相遇，求两城的距离？
例7、两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
例7、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走 米，李华每分钟走 米，出发 分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了 分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
例8、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
例2、大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
例3、甲、乙两辆汽车分别从 、 两地出发相对而行，甲车先行 小时，甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米， 小时相遇，求 、 两地间的距离．
2、 、 两地相距 米，包子从 地到 地需要 秒，菠萝从 地到 地需要 秒，现在包子和菠萝从 、 两地同时相对而行，相遇时包子与 地的距离是多少米？
3、甲、乙两列火车从相距 千米的两地相向而行，甲车每小时行 千米，乙车每小时行 千米，乙车先出发 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
4、妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走 米．妈妈走了 分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走 米．再经过 分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？
12、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.
13、小聪和小明从学校到相距 米的电影院去看电影．小聪每分钟行 米，他出发后 分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？