北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题

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2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 43.在等比数列{a n}中，若，a4=-4，则a7=（）A. 32B. 16C. 8D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.过原点作圆的两条切线，则这两条切线所成的锐角为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥βB. 若m∥α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD. 若m∥α，n∥α，则m∥n．7.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A. M1，M2B. M2，M3C. M1，M4D. M3，M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.设双曲线C经过点（4，0），且与双曲线具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．12.已知α为锐角，，则=______．13.“当c＞1时，能使不等式log a c＞log b c”成立的一组正数a，b的值依次为______．14.F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|•|PF2|的最大值为______，若，则|AP|-|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共79.0分）15.在△ABC中，b=8，c=3，．（Ⅰ）求a及sin C的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M-BC-D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市，，，，五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有极小值2，求a．19.已知M，N为抛物线C：y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点．（Ⅰ）求直线MN的斜率；（Ⅱ）若点B（-2，0）满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程．20.在数列{a n}中，若a n2-a n-12=D（n≥2，n∈N*，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，写出b3，b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2，c2=2＞0，设数列的前n项和为T n．是否存在正整数p，k，使不等式T n＞-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，k的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．3.答案：A解析：解：数列{a n}是等比数列，所以，所以==32．故选：A．根据等比中项的性质，即可得到结果．本题考查了等比中项的性质，属基础题．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：C解析：解：由得x2+（y-6）2=9，易求得两条切线方程为y=±，这两条切线所成的锐角为，故选：C．把圆的方程化成直角坐标方程后求得两条切线方程，可得它们所夹的锐角．本题考查了圆的参数方程，属基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题．根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可．【解答】解：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥α，则存在直线b⊂α，使得m∥b，由n⊥α可知n⊥b，所以m⊥n，故B正确；对于C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交，或m，n为异面直线，故D错误．故选：B．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：对于M 1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y=0，解得y=0，而y=x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0=0，解得x=0，而函数y=ln x的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2=0成立，即k OA•k OB=-1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，称集合M是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：y=±x解析：解：双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为：=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（4，0），∴m=4，即双曲线方程为，对应的渐近线方程为y=±x，故答案为：，y=±x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12.答案：-解析：解：∵α为锐角，且，∴cos=．∴=-sinα=-2sin=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos，再由诱导公式及倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.答案：（2，）解析：解：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，故答案为：（2，）．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，得解．本题考查了对数不等式的解法，属简单题．14.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|-|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6-|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|==10，|AP|=10-|PF1|=10-6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|-|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|-|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．15.答案：（本题满分为13分）【解答】解：（Ⅰ）∵b=8，c=3，，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2×=49，…4分∴a=7，…6分∴由正弦定理，可得：sin C===…8分（Ⅱ）在△ABC中，BC边上的高为b sin C=8×=…13分解析：【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得a的值，根据正弦定理可求sin C的值．（Ⅱ）由已知可求BC边上的高为b sin C，即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：（I）证明：∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD．（II）解：取CD的中点O，连接PO，OB．∵△PCD是等边三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=DO，∴四边形ABOD是正方形，故OB⊥CD，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），M（0，-，），∴=（0，-，），=（1，-1，0），设=（x，y，z）为平面MBC的一个法向量，则，∴，令x=1可得=（1，1，）．又OP⊥平面ABCD，故=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角M-BC-D的余弦值为．（III）∵AB∥CD，∴CD∥平面PAB，假设CM∥平面PAB，则平面PCD∥平面PAB，显然与P是平面PCD和平面PAB的公共点矛盾．故假设不成立，所以直线CM与平面PAB的不平行．解析：（I）根据面面垂直的性质即可得出结论；（II）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III）假设线CM与平面PAB平行，结合CD∥平面PAB可得平面PCD∥平面PAB，得出矛盾．本题考查了面面垂直的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，X123P------------------------------------------（11分）（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223解析：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以，（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，，然后写出分布列；（Ⅲ）先列一个表格，再根据表格可得．本题考查了离散型随机变量及其分布列，属中档题．18.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）又，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极小值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.答案：解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得：即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）又y1+y2=4，所以，即直线MN的斜率为1．------------------------------------------（4分）（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，---------------------（6分）又所以即--------------------（7分）又y1=x1+a，y2=x2+a，所以（x1+a）（x2+2）+（x2+a）（x1+2）=0，化简得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0 ①---------------------（8分）联立方程组消去y得x2+（2a-4）x+a2=0，所以x1+x2=4-2a，---------------------（12分）代入①式可得a=-2所以直线MN的方程为y=x-2--------------------（13分）（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM=k BN即直线MN过点B，所以此时直线方程为y=x+2，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去--------------------（14分）综上可知：直线MN的方程为y=x-2．解析：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得直线MN的斜率．（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a．讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0（1）联立方程组消去y利用韦达定理，代入（1）式可得a=-2得到直线MN的方程．（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，验证即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：（Ⅰ）由题意，可知：∵{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，∴D==22-12=3．∴，．∴，．（Ⅱ）由题意，可设：数列{a n}是公比为q的等比数列，∴所以，（q为公比且q≠0）．∴，n∈N*．又∵数列{a n}为“平方等差数列”，∴．∵D为与n无关的一个常数．∴q2=1，∴q=1或q=-1．（Ⅲ）由题意，可知：∵数列{c n}是“平方等差数列”，，∴D==4，∴∴，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列的前n项和．由题意，可假设存在正整数p，k使不等式对一切n∈N*都成立．即：对一切n∈N*都成立．①当n=1时，化简上式，可得：，整理，得：．又∵p，k为正整数，∴p=k=1．②当n≥2时，可猜想：对一切n≥2都成立．下面证明：对一切n∈N*都成立．∵=，（n∈N*）．∴＞2[]=．∴存在p=k=1使不等式对一切n∈N*都成立．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题意及b1=1，b2=2算出常数D，然后根据b2及递推式算出b3，再根据b3及递推式算出b4；第（Ⅱ）题可设一个等比数列{a n}为“平方等差数列”，然后根据等比数列的通项公式代入题干中的递推式，然后根据D为与n无关的一个常数，可得出q的值；第（Ⅲ）题先根据题意算出T n的表达式，然后先思考n=1时是否存在正整数p，k，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义数列的理解能力，然后代值进行计算；第（Ⅱ）题主要考查等比数列的概念及新定义数列的理解能力；第（Ⅲ）题主要考查先思考n=1时的结论，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题是一道偏难题．。

2022年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷+答案解析(附后)

2022年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷1.函数的定义域为( )A.B.C.D.2.如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数( )A.B.C.D.3.的展开式中的常数项是( )A.B. 15C.D. 304.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C 的一条渐近线方程为( )A.B. C. D.5.设等比数列的前n 项和为，公比为若则( )A. 8B. 9C. 18D. 546.为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是( )A. 220B. 224C. 228D. 2307.在中，，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要件8.已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数k的值为( )A. B. C. D.9.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则的最小值是( )A. 2B.C.D.10.如图，设E，F分别是长方体棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.已知集合，，则______.12.已知函数，若，则______.13.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直抛物线准线于点若为等边三角形，则点M的横坐标为______，的面积是______.14.已知是定义在R上的函数，其值域为，则可以是______写出一个满足条件的函数表达式即可15.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：①集合是“凸集”；②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是______.16.已知函数求在区间上的最大值和最小值；设，求的最小正周期．17.如图，在正方体中，E为的中点．过点作出一条与平面ACE平行的直线，并说明理由；求直线与平面ACE所成角的正弦值．18.为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的班班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数：若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；若从以上统计的高一班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀…，写出方差，，，的大小关系不必写出证明过程19.已知椭圆过定点，离心率求椭圆C的标准方程；斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值及此时直线AB的方程．20.若函数判断方程解的个数，并说明理由；当，设，求的单调区间．21.设正整数数列满足…若，请写出所有可能的取值；记集合，证明：若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；若为周期数列，求所有可能的取值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，解得，函数的定义域是故选：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由图可得，复数z对应的点为，则，故故选：根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，有，要求常数项，必有，则，故常数项为，故选：根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则，将代入二项展开式计算可得答案．本题考查二项式定理的应用，应该牢记二项展开式的通项公式．4.【答案】A【解析】解：双曲线的一个焦点为，可得，所以，双曲线C的一条渐近线方程为：，故选：利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：等比数列的前n项和为，公比为，，，，，是等比数列，，，解得或，若，则，，，若，则，，，不满足题意，舍去，故故选：对通过赋值，结合数列是等比数列，求出q，即可求出本题考查等比数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由直方图的性质可得：，解得，由已知，设该样本数据的分位数大约是a，由，解得，故选：由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出x的值，然后设出样本数据的分位数为a，根据题意列出等量关系，求解即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估计，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由正弦定理得，，当时，，由可得，故或，当时，，故“”是“”的必要不充分条件．故选：由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验充分性及必要性即可判断．本题主要考查了充分必要条件的判断，正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆心到直线的距离为，由弦长公式知，，，解得，故选：先由点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再由弦长公式，即可得解．本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：建立如图坐标系，则：，，，，时，取最小值故选：可建立坐标系，写出向量的坐标，进而求出的坐标，从而得出，然后配方即可求出最小值．本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：与显然不垂直，而，因此与EF显然不垂直，从而平面是错误的，①错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，EF的长不变，到EF的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面就是平面，而与平面相交，③错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．故选：根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．本题考查面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，故答案为：直接进行集合运算即可得解．本题考查集合基本运算，属基础题．12.【答案】4【解析】解：函数，，，，故答案为：求出，，从而本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：设点，抛物线的准线为，焦点坐标为，由题意可知，因为为等边三角形，所以有，因此有，，所以点M的横坐标为；因此，因此的面积是故答案为：3；利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义，两点间距离公式进行求解即可．本题考查抛物线的几何性质，属中档题．14.【答案】【解析】解：结合已知基本初等函数，满足条件故答案为：结合指数函数的性质即可直接求解．本题主要考查了基本初等函数性质的应用，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：由题意得，若对于任意，，线段AB上任意一点C，都有，则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：对于①，，若对于任意，满足，，则，，由函数的图象知，对线段AB上任意一点，都有，即，故M为“凸集”，①正确；对于②，若S为“凸集”，则对于任意，，此时，，其中，，对于任意，，故N为“凸集”，②正确；对于③，可举反例，若，，易知，都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误对于④，若，都是“凸集”，则对于任意，，任意，则，且，故，故也是“凸集”，故④正确．故答案为：①②④．理解新定义，对结论逐一判断．本题属新概念题，考查了学生推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．16.【答案】解：由得，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为；，故函数的最小正周期【解析】由已知结合正弦函数的值域即可求解；先结合和差角及二倍角，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的周期公式及最值的应用，属于基础题．17.【答案】解：连接，则平面ACE，理由如下：连接AC、BD，交于点O，连接OE，因为是正方体，所以O是BD中点，又因为E为的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以平面建系如图，不妨设，，，，，，令，因为，，所以是平面ACE的一个法向量，因为，所以，所以直线与平面ACE所成角的正弦值为【解析】连接、AC、BD，因为O是BD中点，E为的中点，所以，再根据直线与平面平行的判定定理说明即可；用向量数量积计算直线与平面ACE所成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．18.【答案】解：抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有人，故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率由散点图可知，高一班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，X所有可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X 0 1 2P故，，则，，，则，，，则，，，则，故【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．根据已知条件，结合两点分布的期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．19.【答案】解：依题意可得，所以可解得，，，所以椭圆C的标准方程为设直线AB的方程为，，，联立方程组，消去y得，化简得，所以，，即，所以，又原点O到直线AB的距离，所以，当且仅当即时取等号，所以，面积的最大值为1，此时直线AB的方程为【解析】由题意得出a，b，c后写标准方程；待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值．本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：，令，解得：，故在递减，递增，且，故仅有一个实数解；当时，，，令，解得：或，当时，，此时令，解得：或者，故的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，令时，解得或者，故的单调增区间为R，无单调减区间，综上所述：当时，的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，单调增区间为R，无单调减区间．【解析】对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在处取得极值1，从而判断函数的解得个数；对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．21.【答案】解：若，可得，，；证明：如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；综上所述，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；证明：首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；当t为偶数时，设，则，与t是最小值矛盾；所以t是奇数；不妨设，则是偶数，，假设，则，与t是最小值矛盾；综上，t只能是小于5的正奇数，即1或3；当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；经检验，当时，数列确实是周期数列．【解析】由条件易求所有可能的取值；如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；由已知可得可知也是3的倍数，另一方面，当时，由于，可知也是3的倍数，可得结论；首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；利用分类讨论可得或3；从而可求本题考查了数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．2 【答案】B【解析】【分析】【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =，所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+，所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得3sin 3θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率33e =．故选B ． 2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π 【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得3R =，所以该球的体积为334433633V R πππ==⨯⨯= . 故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 3．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r r r 21m r配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ，所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，，又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r [0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52【答案】C【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L .本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】 {}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<，因为2210q q -+≥恒成立，故可以推出10a <且1q ≠，若210n S -<成立，当1q =时，有10a <，当1q ≠时，有()211101n a q q --<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <，故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3. 只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 7．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件【分析】充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n o u r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n o u r r u r r u r r ⋅==>，得证；必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（） A ．1318 B ．1318或1936 C ．139 D ．136【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅. 故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．10．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a ．∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（）参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈【答案】A【解析】【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x g x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

顺义区2024届高三二模数学试题及答案

顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形，其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为7，则输出的y值为（）A. -2B. -1C.D. 23.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.在△ABC中，a=7，c=3，．sin C的值为（）A. B. C. D.6.当c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立的正数a（a≠1）的值为（）A. B. C. 2 D. 47.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A. M1B. M2C. M3D. M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调研小组在2019年寒假某日随机选取了100名在市级图书馆借书的中学生，如表记录了他们的在馆停留时间，分为（0，15]，（15，30]，（30，45]（45，60]和60以上（单位：分钟）五段统计．现在需要从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取停留时长（单位：分钟）频数频率（0，15]20.02（15，30]a0.05（30，45]b0.10（45，60]250.2560以上580.58合计100 1.0012.（）的两条切线，则两条切线所成的锐角______．13.把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，则a的最小值为______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，则抛物线的标准方程为______；P为抛物线和双曲线的一个公共点，P到双曲线左焦点F1的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60 贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20 极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.8 1988年54.2 48.3 51.9 55.4 52.6 1998年44.7 41.6 43.5 49.0 47.4 2008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.7 2018年28.6 27.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为__（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=BC=AE=2CD=2，，M为棱BE上一点，平面CDM与棱AB交于点N．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）求证：CD∥MN；（Ⅲ）当四边形CDMN为矩形时，求四棱锥B-CDMN的体积．19.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的右焦点为，过F的直线l与C交于A，B两点．当l与x轴垂直时，线段AB长度为1．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线l，点M（m，0）总满足∠OMA=∠OMB，求实数m的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△MAB面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：解：若输入的x值为7，则x≤0否，x=7-2=5，x≤0否，x=5-2=3，x≤0否，x=3-2=1，x≤0否，x=1-2=-1x≤0是，y=2-1=，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：B解析：解：根据题意，△ABC中，a=7，c=3，，有=，则sin C===；故选：B．根据题意，由正弦定理可得=，变形可得sin C=，代入数据计算可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立，∴＞，∴＞，∴b＞a＞1时，不等式成立，故a可以取2，故选：C．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，可得＞，即b＞a＞1时，不等式成立，问题得以解决本题考查了对数不等式的解法，属简单题．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2=0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB 成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必须在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即排除A，B，C．故选：D．根据x1x2+y1y2=0确定A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的位置关系：OA⊥OB．下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足：对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立即可．此题考查了平面向量数量积的运用，利用了排除法，理解：若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”是解本题的关键．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：4解析：解：由图表可知学生在馆停留时间落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取16人做调查，则从（30，45]这段时长中抽取的人数是：=4，故答案为：4由落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，再结合频率之比运算可得解本题考查了分层抽样方法，属简单题12.答案：600解析：解：如图：OA，OB为圆的两条切线，在Rt△OAC中，CA=3，CO=6，∴∠COA=30°，同理∠COB=30°，故∠AOB=60°．故答案为：60°．结合图象可得．本题考查了圆的切线方程，属基础题．13.答案：解析：解：把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，可得y=sin（2x+2a-）的图象；再根据得到函数y=sin2x的图象，则有2a-=0，解得a=，即a的最小值为，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.答案：y2=8x7解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，可得，就是p=4，所以抛物线方程为：y2=8x；由，解得x=3，所以P（3，2），P到双曲线左焦点F1的距离为：=7．故答案为：y2=8x；7．求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；求出两条曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求解P到双曲线左焦点F1的距离．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：解：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．因为b2=2，b5=16，所以，所以q=2.，------------------------------------------（2分）所以．------------------------------------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b1=1，b4=8．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2b1，a3=b4所以a1=2，a3=a1+2d=8所以d=3．------------------------------------------（6分）所以a n=3n-1．------------------------------------------（8分）因此．--------------------------------------（9分）从而数列{c n}的前n项和=------------------------------------------（12分）=．------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．利用已知条件求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）设等差数列{a n}的公差为d．转化求解数列的通项公式a n=3n-1，然后利用拆项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．16.答案：解：（Ⅰ）====，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值-2．解析：（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17.答案：解析：解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=2，，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC，∵AE∩AC=A，∴BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）证明：∵CD∥AE，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，∵CD⊂平面CDM，平面CDM∩平面ABE=MN，∴CD∥MN；（Ⅲ）解：∵CD∥MN，CD∥AE，∴MN∥AE，当四边形CDMN为矩形时，，∴MN为△ABE的中位线，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CN，AE⊥AB，∴MN⊥CN，MN⊥AB，此时四边形CDMN为矩形，又BN⊥CN，MN∩CN=N，∴BN⊥平面CDMN．∴．解析：（Ⅰ）由已知结合勾股定理证明BC⊥AC，再由AE⊥平面ABC得AE⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）由CD∥AE，利用线面平行的判定可得CD∥平面ABE，再由平面与平面平行的性质得CD∥MN；（Ⅲ））由CD∥MN，CD∥AE，得MN∥AE，然后证明BN⊥平面CDMN，结合已知由棱锥体积公式求四棱锥B-CDMN的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，．---------------------------------------（1分）又，---------------------------------------（3分）所以．---------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0---------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），-------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=a≤0，不满足f（x）≥2-------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（10分）所以=，所以令解得a≥2所以a的取值范围为a≥2．---------------------------------------（13分）或法二：定义域为（0，+∞），f（x）≥2恒成立即恒成立，又所以恒成立．令，x∈（0，+∞）则，由g'（x）＞0⇒0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=2所以a≥2解析：（Ⅰ）利用导数的几何意义计算出切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程；（Ⅱ）有两种思路：一是利用分类讨论的方法计算出f（x）的最小值，建立不等式求解；二是利用分离参数法得到恒成立，再借助最值求解．本题考查导数的几何意义及其应用、函数的最值处理不等式恒成立问题，属于中档题目．20.答案：解：（I）椭圆C：的右焦点为所以a2-b2=3，当l与x轴垂直时，线段AB长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为，或法二：设左焦点为F1，则依题意可知：△F1AF2为直角三角形所以，.2a=|F1A|+|F2A|=4即a=2，又所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为（II）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R．当l与x轴不垂直时，因为∠OMA=∠OMB所以k AM+k BM=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为又，所以又，所以可得即，联立方程组消去y得所以，，代入上式可得．（III）最大值为，此时l斜率为．=可设此时直线方程为，联立方程组消去x可得，所以，所以==，当且仅当时取等号，此时，即直线斜率为解析：本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，三角形的面积，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．（Ⅰ）根据题意可得c=，再根据，，可得a2=4，b2=1，即可求出椭圆方程（Ⅱ）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R，当l与x轴不垂直时，根据OMA=∠OMB可得k AM+k BM=0，根据韦达定理和斜率公式即可求出（Ⅲ）根据三角形的面积公式和弦长公式和基本不等式即可求出。

2020年北京顺义区高三二模数学试卷

11
数学期望：．
（3）
．
解析:
（ 1 ）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到小时及以上的学生人数为
人．
（ 2 ）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足小时的人数，
甲班：
人．
乙班：
人．
∴ 可以取，，．
，
，
． ∴
∴
．
（ 3 ）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，
，因为乙班的直方图比甲班的更集中．
C.
D.
4. 抛物线 A. B. C. D.
上的点与其焦点的距离的最小值为（）．
5. 若角的终边经过点 A. B. C. D.
，则的值为（）．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）．
1
正（主）视图侧（左）视图
俯视图 A. B. C. D.
7. 若为任意角，则满足 A. B. C. D.
的直线与椭圆相交于，两点．（ 1 ）求椭圆的方程．（ 2 ）设点是椭圆的左顶点，直线，求证：以为直径的圆恒过点．
分别与直线
相交于点，．
21. 给定数列，，，．对
，，，
，该数列前项，，，的最小值
记为，后项，，，的最大值记为，令
．
（ 1 ）设数列为，，，，写出，，的值．
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
所以
．
又因为
14
，
所以
，
所以所以以
，为直径的圆恒过点．
21.（ 1 ）
，

2020届北京市顺义区高三二模数学试题(解析版)

15．曲线是平面内到定点和定直线：的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线关于轴对称；
②若点在曲线上，则满足；
③若点在曲线上，则 .
其中，正确结论的序号是________.
【答案】②③
【解析】先求出曲线的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.
【详解】
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列，考查数学期望及方差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．已知函数 .
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
对于选项D，由，不能判断的大小关系，即选项D不符合题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分性与必要性的判断，考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
9．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小.(只需写出结论)
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为1；（3）
【解析】结合函数的奇偶性及单调性，对四个函数逐个分析，可选出答案.
【详解】
由题意，选项B、D中两个函数是非奇非偶函数，不符合题意；
对于选项A，二次函数，既是偶函数，又在区间上为减函数，符合题意；
对于选项C，余弦函数是偶函数，在区间上不是单调函数，不符合题意.

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（）A ．12B ．2 C ．3 D ．223【答案】B 【解析】【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=．故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．2．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 4．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 5．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立，即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍【答案】D 【解析】【分析】先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（）A BC ．2D 【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅．【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-，∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=．故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．9．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.10．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ．故选：A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市顺义区高三数学第二次统练文(顺义二模)(含解析)北师大版

北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（•顺义区二模）已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B{x∈R|x≤1或x≥3}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意全集U=R，集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，根据交集的定义计算A∩B．解答：解：∵集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，∴集合A∩B={x|﹣3＜x≤1}，故选A．点评：此题主要考查不等式及集合的交集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）（•顺义区二模）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）（•顺义区二模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b，此时有，，，，，，，，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P==故选C点评：本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是根据一元二次方程有根的充要条件分析出方程x2+2ax+b2=0有实根的情况数目4．（5分）（•顺义区二模）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．1 / 85．（5分）（•顺义区二模）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•顺义区二模）设变量x，y 满足约束条件则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y 满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min =3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．（5分）（•顺义区二模）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC 边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．（5分）（•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l 的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2C．3D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l 的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（•顺义区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC 的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得 c=．再由正弦定理可得，即，解得 sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．10．（5分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=10x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为10 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由f（a+b）=10a+b=100可求a+b，然后由基本不等式可得，可求ab的最大值，进而可求f（ab）的最大值解答：解：∵f（x）=10x，∴f（a+b）=10a+b=100∴a+b=2由基本不等式可得，=1当且仅当a=b=1时取等号此时，f（ab）=f（1）=10故答案为：10点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题3 / 811．（5分）（•顺义区二模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为20 ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．考点：茎叶图．专题：图表型．分析：先利用平均数和方差的定义求出甲组工人1天加工零件的平均数即可．再求出所有的基本事件共有4×4个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有7个，根据古典概型概率计算公式求得结果．解答：解：甲组工人1天每人加工零件的平均数为=20，所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．故答案为：20，．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．12．（5分）（•顺义区二模）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）（•顺义区二模）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为=0 ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的标准方程+=1可求得其焦点坐标为（±，0），依题意可求得a=，再由双曲线﹣=1的离心率为，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．解答：解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴其焦点坐标为（±，0），∵双曲线﹣=1的顶点与椭圆+=1的焦点相同，∴a2=3，又双曲线﹣=1的离心率为，∴e2===，∴c2=8，又c2=a2+b2，∴b2=8﹣3=5，∴双曲线的标准方程为﹣=1．∴双曲线的焦点坐标为（±2，0），渐近线方程为：y=±x=±x，整理得：x±3y=0．故答案为：（±2，0），x±3y=0．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．14．（5分）（•顺义区二模）设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，4] ．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=，可知，对x≥2与x＜2分类讨论，即可求得满足f（x）≤2的x的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∵f（x）≤2，∴当x≥2时，有log2x≤2，解得2≤x≤4；同理，当x＜2时，2﹣x≤2，解得0≤x＜2．综上所述，满足f（x）≤2的x的取值范围是0≤x≤4．故答案为：[0，4．]点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式的能力，考查集合的运算，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（•顺义区二模）已知函数．（I ）求的值；（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f （）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x ）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx （cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x ﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．（13分）（•顺义区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和公式．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14，求出数列的首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式，判断数列是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求解即可．解答：解（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=30，a1+a6=14所以解得a1=2，d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=2n ，令则，又，（n∈N*）所以{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列{b n}的前n项和为T n则T n=b1+b2+b3+…+b n=4+42+43+ (4)==…（13分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式与前n项和的求法，考查计算能力．5 / 817．（14分）（•顺义区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC 上的点且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PH⊥BC；（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性质定理即可证明；（Ⅲ）线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．分别取PA、PB的中点G、E，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥DG，l利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明GD⊥平面PAB．从而得到EF⊥平面PAB．解答：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PDC．（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．∵PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，∴PH⊥BC．（Ⅲ）解：线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．证明如下：如图，分别取PA、PB的中点G、E，则，由，∴．∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．∵G为PA的中点，且PD=AD．∴GD⊥PA．∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．∴EF⊥平面PAB．点评：熟练掌握线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（13分）（•顺义区二模）已知函数，其中a 为正实数，是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，x=是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（）=0即可求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b 分＜b ＜与b≥两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．解答：解：f′（x）=，（Ⅰ）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此，a﹣a+1=0，解得a=，经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a 的值为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，令f′（x）=0，得x1=，x2=，f（x）与f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）所以，f（x ）的单调递增区间是（﹣∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．当＜b ＜时，f（x）在[b ，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f （）=，当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）==．…（13分）点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．19．（14分）（•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B 两点，若（O为坐标原点），求证：直线l 与圆相切．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b2=a2﹣c2求得b值；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B 坐标，由得x1x2+y1+y2=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；解答：（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，解得a=2，c=2，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，则x1=m ，，x2=m ，，∵，∴x1x2+y1+y2=0，∴，解得，故直线l 的方程为，因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，所以直线l 与圆相切；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，∵，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，即3m2﹣8k2﹣8=0，3m2=8k2+8，①又圆的圆心为O（0，0），半径r=，圆心O到直线l的距离为d=，7 / 8∴==②，将①式带入②式得=，所以d==r，因此，直线l 与圆相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．20．（13分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x ﹣f（x）+即m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。

北京市顺义区2020届高三下学期二模考试数学试题

顺义区 2020 届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）（ 1 ）C（ 2 ）B（ 3 ）A（ 4 ）C（ 5 ）D（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）（11） 2（12） an n 1, n N（14） a 1（15）②③（13） y sin(2x )3注：第 14 题全部答对得 5 分，只写一个答案得 3 分,有错误答案得 0 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。

三、解答题（共 6 题，共 85 分）（16）（共 14 分）解：选①：在ABC 中， cosC 1 , 3根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC-------------2 分且 a b 5 ， c 3，得到9 25 2ab 2ab 3所以 ab 6------------- 6 分 ------------- 8 分所 3 以a b 5 ，解得a 2 或 a ab 6b 3 b 2-------------10 分3数学参考答案及评分参考第 1 页（共 8 页）∵ cosC 13数学参考答案及评分参考第 1 页（共 8 页）∴ sin C 2 2 3所以三角形ABC 的面积是 S 1 ab sin C 2 2 ABC2选②：在ABC 中， cosC 1 , 3-------------12 分 -------------14 分当 cosC 1 时，根据余弦定理 c2 a 2 b2 2abcosC . 3-------------2 分又 a b 5 ， c 3，得到 ab 12------------- 8 分此时方程组a b 5 a b 12无解.所以这样的三角形不存在.------------- 12 分 -------------14 分选③：在 ABC 中，因为 sin C 2 2 ,所以 cosC 1 .33-------------2 分当cosC 1 时，根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC 3且 a b 5 ， c 3，得到9 25 2ab 2ab 3所以 ab 6-------------4 分 ------------- 6 分 -------------8 分所 3 以a b 5 ，解得a 2 或 a ab 6b 3 b 2所以三角形ABC 的面积是 S 1 ab sin C 2 2 ABC2-------------10 分 -------------12 分当cosC 1 时，根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC , 3数学参考答案及评分参考第 2 页（共 8 页）又a b 5 ， c 3 ，得到ab 12 ,此时方程组aa bb 5 12无解.所以这样的三角形不存在.------------- 14 分2 2 (a b)2 25 2③法二：在 ABC 中，因为a b c,22a2 b2 c2根据余弦定理 cosC ,得到 cosC 02ab------------- 2 分因为sin C 2 2 ,所以cosC 133-------------4 分根据余弦定理 c2 a 2 b2 2abcosC-------------6 分和 a b 5 ， c 3，得到 ab 6所 3 以a b 5 ，解得a 2 或 a ab 6b 3 b 2所以三角形ABC 的面积是 S 1 ab sin C 2 2 ABC217. （共 14 分）-------------10 分 -------------12 分-------------14 分解：（I）取 BD 中点O ，联结 AO , C1O BD AO ， BD C1O.-------------2 分又 AO , C1O 平面AC1O BD 平面AC1O. ------------- 4 分又 AC1 平面AC1O BD AC1------------- 5 分数学参考答案及评分参考第 3 页（共 8 页）数学参考答案及评分参考第 4 页（共 8 页）1（II ）二面角 A - BD - C 1 是直二面角 ∴ ∠C OA = 90∴ C 1O ⊥ AO∴ OA ,OB ,OC 1 两两垂直-------------6 分∴以O 为原点，如图建系：∴ O (0, 0, 0) ， A (1, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， D (0, -1, 0) ， C 1 (0, 0,1)1 1 1 1又 E , F 为中点∴ E (0, , ) ， F ( , 0, )2 2 2 21 1 3 1∴ DF = ( ,1, ) ， DE = (0, , )-------------8 分2 2 2 2设n = (x , y , z ) 是平面 DEF 的一个法向量⎧ 11 ⎪DF ⋅ n =2 x + y + 2 z = 0∴ ⎨ ⎪ DE ⋅ n = ⎩ 3 y +1 2 2z = 0令 y = 1得 z = -3, x = 1 ∴ n = (1,1, -3)-------------11 分又 OC 1 ⊥ 平面ABD ∴平面 ABD 的一个法向量OC 1 = (0, 0,1)-------------13 分∴ cos n ,OC 1= n⋅ OC 1 = - 11∴平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角余弦值为 3 1111-------------14 分18.（本题 15 分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为0.5 + 0.25 + 0.05 = 0.8 -------------2 分所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数3 11数学参考答案及评分参考第 5 页（共 8 页）C C C xx' = e (x -1) ，5 5 e 为600 ⨯ 0.8 = 480人-------------4 分（II ）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 ⨯ 0.05 = 2 人乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 ⨯ 0.1 = 4 人-------------6 分X 的可能值为： 0,1, 2C 3 1 C 1C 2 3 C 2C 1 1P (x = 0) = 4 = , P (x = 1) = 2 4 = , P (x = 2) = 2 4 =-------------9 分3 3 36 6 6∴的分布列为：∴ X的数学期望为 E (x ) = 0 ⨯ + 1⨯ + 2 ⨯ = 1 5 5 5 -------------12 分(III) D 甲 < D 乙 -------------15 分19.（本题 14 分）（I ） a = 1时， f (x ) = e x - x 2 ． f '(x ) = e x - 2x （或在这里求的 f '(x ) = e x - 2ax 也可以）．-------------2 分∴ f (0) = e 0 - 0 = 1， k = f '(0) = e 0 - 0 = 1．-------------4 分所求切线方程为 y = x + 1 （II ）方法一： f '(x ) = e x - 2ax .---------------5 分若 f (x ) = e x - x 2 在(0, +∞) 上单调递增，则对任意 x ∈ (0, +∞) ，都有 f '(x ) ≥ 0 -------6 分即a ≤ e 恒成立，等价于a2xx≤ ( ) ． 2x min----------------7 分设 g (x ) = e ，则 2xx g (x ) 2x 2 ---------------8 分令 g '(x ) = 0 得 x = 15当x ∈ (0,1) 时，g'(x) < 0 ，g(x) 在(0,1) 上单调递减；当x ∈ (1, +∞) 时，g'(x) > 0 ，g(x) 在(1, +∞) 上单调递增，所以函数g(x) 的最小值为g(1) =e．------------------11 分2所以a ∈⎛-∞, e ⎤．------------------12 分2 ⎥⎝⎦方法二：f '(x) =e x - 2ax ．若f (x) =e x -x2 在(0, +∞) 上单调递增，则对任意x ∈ (0, +∞) ，都有f '(x) ≥ 0 --------6 分等价于( f '(x))≥ 0．min设h(x) =e x - 2ax ，h'(x) =e x - 2a ．当x ∈ (0, +∞) 时，e x > 1----------------7 分分类讨论：①当2a ≤ 1，即a ≤1 时，h'(x) ≥ 0 恒成立，2所以h(x) =e x - 2ax 在x ∈ (0, +∞) 上单调递增，那么h(x) ≥h(0) = 1 ，所以a ≤1 时，满足f '(x) ≥ 0 ．-------------------8 分2②当2a > 1，即a >1 时，令h'(x) =e x - 2a = 0 ，得x = ln 2a ．2当x ∈ (0, ln 2a) 时，h'(x) < 0 ，h(x) 在x ∈ (0, ln 2a) 上单调递减；当x ∈ (ln 2a, +∞) 时，h'(x) > 0 ，h(x) 在x ∈ (ln 2a, +∞) 上单调递增；所以函数h(x) 的最小值为h(ln 2a) = 2a(1 - ln 2a) ----------------10 分由2a(1 - ln 2a) ≥ 0 解得a ≤e ，所以1 <a ≤e．-------------------11 分2 2 2综上：a ∈⎛-∞, e ⎤．--------------------12 分2 ⎥⎝⎦（III）2 个-------------------14 分数学参考答案及评分参考第6页（共8页）数学参考答案及评分参考第 7 页（共 8 页）⎨ ⎩+ = ．分 ⎩ 设，，则 + = ⋅ = 2 20. （本题 14 分）⎧ （I ）由题意得⎪2c = 2 a = 2 解得a = 2, b =3, c = 1---------------------3 分⎪a 2 = b 2 + c 22故椭圆C 的方程为 x y 1 --------------------------------------------------------- 5 4 3（II ） F (1, 0) ， A (-2, 0) ，直线l 的方程为 y = k (x - 1) ．------------------6 分由⎧ y = k (x - 1) 得(3 + 4k 2 )x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 . ⎨3x 2 + 4 y 2 = 12直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交. 8k 2 P (x 1 , y 1 ) Q (x 2 , y 2 ) x 1 x 2 3 + 4k2, x 1 x 2 4k 2 -123 + 4k 2 --------------8 分直线 AP 的方程为 y =y 1(x + 2) ，令 x = 4 ，得 y = 6 y 1 ；即 M (4, 6 y 1 )同理： N (4,6 y 2 )x 2 + 2x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 + 2--------------10 分∴ FM = (3, 6 y 1 x 1 + 2) ， F N = (3, 6 y 2 ) x 2 + 2又 FM ⋅ FN = 9 +36 y 1 y 2(x 1 + 2)(x 2 + 2)-------------------11 分36k (x -1) ⋅ k (x -1)36k 2 [x x - (x + x ) +1] = 9 + 1 2 = 9 + 1 21 2(x 1 + 2)(x 2 + 2) x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) + 424k 2 -12 8k 236k ( 3 + 4k 2 - +1)3 + 4k 2 = 9 + 4k 2 -12 16k 23 + 4k 2 + + 43 + 4k 2= 9 +36k 2 ⋅-93 + 4k 236k 2 3 + 4k 2= 9 - 9 = 0∴以 MN 为直径的圆恒过点 F .----------------14 分M21. （本题 14 分）解：（I ） d 1 = 4 ， d 2 = 5 ， d 3 = 2 ．----------------3 分（II ）因为a 1 > 0 ，公比0 < q < 1 ，所以 a 1 , a 2 , , a n 是递减数列．因此，对i = 1, 2, , n - 1 ， A i = a i , 于是对i = 1, 2, , n - 1 ，B i = a i +1 ． ----------------5 分d = B - A = a - a = a (q - 1)q i -1 ．----------------7 分iiii +1i1因此 d i ≠ 0 且d i +1= q （ i = 1, 2, , n - 2）， di即d 1 , d 2 , , d n -1 是等比数列． ----------------9 分(III) 设d 为d 1 , d 2 , ⋅⋅⋅, d n -1 的公差，则d > 0对1≤ i ≤ n - 2 ，因为 B i ≥ B i +1 ，所以 A i +1 = B i +1 - d i +1 ≤ B i - d i +1 = B i - d i - d < B i - d i = A i ，即 A i +1 < A i 又因为 A i +1 = min{A i , a i +1}，所以a i +1 = A i +1 < A i ≤ a i ．------------11 分从而a 1 , a 2 , , a n -1 是递减数列．因此 A i = a i （ i = 1, 2, , n -1）．----------------12 分又因为 B 1 = A 1 +d 1 = a 1 +d 1 > a 1 ，所以 B 1 > a 1 > a 2 > > a n -1 ．因此a n = B 1 ．所以 B 1 = B 2 = = B n -1 = a n ． a i = A i = B i - d i = a n - d i ．因此对i = 1, 2, , n - 2 都有a i + 1 - a i = d i - d i +1 = -d ，即a 1 , a 2 , , a n -1 是等差数列． ----------------14 分。

2020年顺义二模高三数学试题参考答案

数学参考答案及评分参考第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分（II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分所求切线方程为1y x =+ ---------------5分（II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立，所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增，那么()(0)1h x h ≥=，所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =．当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+；即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<，所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ），即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ．因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-．因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。

北京顺义区2020届高三数学第二次统练测试(文)新人教版doc高中数学

北京顺义区2020 届高三数学第二次统练测试（文）新人教版doc 高中数学2 23 58.在圆x2 y2 5y 0内，过点$2)作n条弦(n N ),它们的长构成等差数列a n，若a为过该一1 1点最短的弦，a n为过该点最长的弦，且公差d (,)，贝U n的值为5 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二•填空题(本大题共6个小题，每小题5分,共30分，把答案填在题中横线上9.在总体为N的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为值为_________ .(1)函数f (x)是奇函数(2)函数f(X)的值域为(1,1)(3)函数f(x)在R上是增函数(4)函数g(x) f (x) b ( b为常数，b R)必有一个零点其中正确结论的序号为 ____________ (把所有正确结论的序号都填上)三.解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)25%，则N10.已知向量(1,J3)与向量b (1,J3)，贝y a与2b的夹角为11.已知x 、束条件 1 ，贝V z 2x y 的x2, x 012•函数f (x)4cos x, 0 x2，则不等式f(x) 2的解集是13.如图所示，墙上挂有一长为2宽形木板ABCD，它的阴影部分是由5y sinx，x , 的图象和直2 2围成的图形，某人向此板投飞镖，假能击中木板，且击中木板上每一点的为2的矩线y 1设每次都可能性相同，则他击中阴影部分的概率是_________________14 •某同学在研究函数f(x)x|x| 1(x R)时，分别给出下面几个结论:直线l : V kx mm 0与圆O : x 2 y 2 1相切,并与椭圆C 交于不同的两点 A 、B , ( O 为坐标原点)15 .(本小题共12分)已知函数 f(x) sinx cosx , x R .(i)求f()的值；4(n)如果函数g(x) f (x)f ( x)，求函数g(x)的最小正周期和最大值16 .(本小题共13分)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5次,19.(本小题共14分)X 2 V 2血已知：椭圆C ：—221 a b 0过0,1点，离心率e - ab2甲乙 9 7 70 8 1 285 3 0 5I •从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，用列举法计算甲的成绩比乙高的概率;n •现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由17 .(本小题共14分)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，(其中AB j 的中点)I •求证：C 1D 平面ABRAn .当点F 在棱BB 1上的什么位置时，有 AB, 平GDF ,请证明你的结论『对(2)中确定的点F ，求三棱锥B, GDF 的18 .(本小题共14分) 已知函数 f(x) ln x a(x 1)( a 为常数，i 若x 1时，函数f (x)取得极大值，求实数 a 的D 为面体积.a R )值；n •若不等式f'(x) 2x 在函数定义域上恒成立,(其中f '(x)为f (x)的导函数)求a 的取值范围B1I .求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式m f (k)；求直线l 的方程；川•在n •的条件下，求三角形 AOB 的面积. 20 .(本小题共13分)设数列a n 的前n 项和为S n ，点P(S n ,a n )在直线(2 m)x 2my m 2 m 0. I •求证：a n 是等比数列，并求其通项 a n ；n 若数列a n 的公比q f(m)，数列b n 满足b i a 1, b n f(b n1), (nN , n 2),1求证：匸是等差数列，并求bn ；川.设数列q 满足c n b n b n1, T n 为数列c n 的前n 项和，且存在实数T 满足T n T ,(n N )求T 的最大值.高三数学试题(文科)参考答案及评分标准题号123456 7 8 答案 A C C B A BDB9. 160 ; 10. ;11.33 ; 12. ,、、2 II0, ; 13. 311； 14. 1,2,32(注：14题少解给2 分讥有错解不给分)三.解答题(本大题共 6小题，共80分)15.(本小题共12分)厂解：(I) f( ) sin—cos_V 2 . 4分4 4 4 2 2(n) g(x) f(x)f ( x) (sin x cosx)[sin( x) cos( x)](sin x cosx)( sinx cosx) __________ 6 分 cos 2 x sin 2 x cos2x _________ 8 分，且满足|OA|,10 ,cos30上，其中m 为常数，且n .设< Ix RiT 2—, g(x)的最小正周期为1 cos2x 1 ,因此，函数g(x)的最大值是1. _______ 12分 16. 解:(本小题共13分) I •由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲: 82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 2 分记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为 (x,y),用列举法表示如下：(82,85) (82,77)(82,83)(82,80)(82,85) (81.85) (81,77)(81,83)(81,80)(81,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85) (88,77)(88,83)(88,80)(88,85) (80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) 4 分n •本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分(1)派乙参赛比较合适， _______ 9分. 理由如下: 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙 82，甲乙平均分相同; 又甲的标准差的平方(即方差) S 甲 10 , 乙的标准差的平方(即方差)S 乙 9.6 ,S 甲S 乙 _______11分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，派乙去比较合适； ________ 13分 (2)派乙去比较合适，理由如下：1从统计学的角度看，甲获得 85分以上(含85分)的概率P -152乙获得85分以上(含85分)的概率F 2 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙82，平均分相同;甲的成绩比乙高的概率为11 25______ 10分派乙去比较合适•若学生或从得82分以上（含82分）去分析：2甲获得82分以上（含82分）的概率R -,5 3乙获得82分以上（含82分）的概率P 25甲的平均分X 甲82，乙的平均分X 乙82，平均分相同;派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17 .（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , A 1C 1B 1 —,2分n .当点F 在棱BR 上的中点时，有 ABj 平面C 1DF ____ 7 分证明：连结 DF , AB , DF||AB ，: AA A 1B 1 血, 四边形ABBA 为正方形，AB 1 A B , AB 1 DF ，由i 知 C 1D A,B , DF || GD DAB 1 平面 C 1DF _______ 10 分『设AB 「|DF G , B,G 为三棱锥B C 1DF 的高,1B 1G -,12 分2棱AA平面 ABG ,AA2 ,AC 1 B C 1 1, A 1B 1、2 ；2分i .■ iD+为AB 1的中点，GD AB ,平面A 1B 1C 1GD 平面 A B 1C 1,GD AA ,AA 伽A ,GD 平面ABBA可求得S C 1DF2，体积V14分42418.(本小题共 14分)解：:f(x)In x a(x 1) 定义域0, ，f'(x)-a 2分xI ( f(x)在 x 1处取得极值，f'(1) 0 a 1 4分f (x) lnx (x 1) f '(x)—1 x1J，令 f '(x)0，解得0 xxxf(x)在0,1上单调递增，在1, 上单调递减,满足在x 1处取得极大值，a 2 2.19 .(本小题共14分)It 2 2解：i .,椭圆C:令占1，过0,1点，b 1, _________________ 1分a bc 、a 2 b 2 ■■、2ea a 2a 2 2, _____ 2 分n .方法1 ：若不等式 f '(x)2x 在函数定义域上恒成立即1a 2x 在0,x 上恒成立,a — 2x 在 0, x上恒成立2x 2 2，“x”当且仅当 12分(不验证“成立扣1分) a 22.14分方法 2 :令 g(x)12x ，xg'(x)务」，易知g(x)在x递减，在■12 递增;g(x)有最小值(即极小值)为g (弓2迁，2 2x2椭圆C 方程为：一 y 21 ；3分2"直线 l : y kx m m 0 与圆 x2y 21 相切，—|m|— 1,m 1 k 2，即 m f (k) . 1 k2V 1 k 28k 2 0，k 2 1，k 1f(k).1 k 2直线I 的方程为:设 A% yj , BXy)，则 x X4km2k 2xi X ，2m 2 2 2k 2 1，|cos 2；10 53 5I又 (X i ,y i )(X 2, y ,) NX , y 』2k 2 1 2k 2y 得 3x 24.2x 2 0， xX24「2T ，x 1x 2-由弦长公式:34 1|AB|4，SAOB21|AB|14分sin I OB : 即B 1(方法2 : A （、、2,0），k oB tan52x 2y 2x ，与 y直线AB 过（、.2,0）点v>，且 cos1联立解得：x 辽，y 辽或x 3 32.23楽），由两点得AB 的方程为：y3n •方法1:y 2x Tkx m消去y 得(2k 21)x 2 14kmx 2m 2 2 0，10分由前面解知：|0A|为三角形的底边，|y B |为三角形的高,,,2迈 c . 1/7； 2^2 2\yB13 ，S AOB|0A|1 y B1223 320 .(本小题共13分)解：解：i •(点 P(S n ，a n )在直线(2 m)x 2my m 20上,(2 m)S n 2mq m 20 * ______ 1 分2T n T 1 C 1 -,要满足T n T 对任意n N 都成立，32 2 T - . T 的最大值为一. 13分1时, a S ,(2 m)a 1 2maia 1(m 2) ma 12时, 由*式知 (2 m)S n 12mq 1 0 ** 两式相减得(2 m)a n 2ms n 12m旦a n 1 m 2a nT )n1m 22m n 1(m^)，又当 n 1时也适合，a n 是等比数列，通项a nn .由1知qf (m)f(b n 1)2bu b n 1 2，1 丄 b n b n 1即丄 b n 1b n 11 b11也适合,1—成等差数列,b n其通项1 b nb n满足c nb n b n(n 1)(n 2)T n 为数列c n 的前n 项和， T n 递增; _____ 11分3 3 -。

北京市顺义区2022届高三第二次统练数学试题(解析版)

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀概率；
（2）若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“ ”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“ ”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【详解】中，，由正弦定理，，，
，所以，可为锐角也可为钝角，
所以或，
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
8.已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为（）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先计算圆心到直线距离的表达式，再结合弦长公式求解即可．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据函数值域，直接写出满足条件的函数即可.
【详解】因为定义域为，且值域为满足题意.
故或其它满足题意的函数均可.
故答案为： .
15.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
若，则；
若，则不满足题意，舍去.
故
故选：C.
6.为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（）

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高三第二次联考数学试题文科1

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高三第二次联考数学试题文科第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{=22,x A x B y y <==，则AB =（）A.[)0,1B.()0,2C.()1+∞，D.[)0+∞， 2.已知复数z 满足()z 1i i +=-，则z =（）A.12B. C.13.在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （） A.1 B. 1± C.2 D.2±4.如图所示的程序框图的运行结果为（） A. 1- B.12C.1D.2 5.在区间[]0,4上随机取两个实数,x y ，使得28x y +≤的概率为（）6.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（）A.83-B.1-C. 2D. 1037.已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x -=的距离为1，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(第4题图)(第6题图)8.已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）A.1B.2C.3D.49.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A.36πB.52πC. 72πD.100π 3x π=对10.若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（）A.(]1,2-B. [)2,1--C.()1,1-D.[)2,1-11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（）A.14B. 12C. 12.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（）A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则f ⎛ ⎝⎭=.14.若244xy+=，则2x y +的最大值是.15.已知12,l l 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，则双曲线的离心率为.16.数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则120S =.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第二次八校联考文科数学第 2 页（共6页）俯视图侧视图第9题图)17.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AC 23ABC π∠=，3ACD π∠=.（Ⅰ）求sin BAC ∠；（Ⅱ）求DC 的长.18.(本小题满分12分)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3.）（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到）；（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05参考公式：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++参考数据：19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.A CDB(第17题图)第二次八校联考文科数学第 3 页（共6页）20. (本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.kk21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a =时，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. (本小题满分10分)4-1 ：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于.F （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长.23.(本小题满分10分)4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<≤）x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）若极坐标为4π⎫⎪⎭的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（Ⅱ）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅ 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()+122f x x x =--．（Ⅰ）求不等式()1f x x -≥的解集；（Ⅱ）若()f x 的最大值是m ，且,,a b c 均为正数，a b c m ++=，求222b c a a b c++的最小值.第二次八校联考文科数学第 5 页（共6页）B O (第22题图)文科数学参考答案13.32； 14.2； 15.2； 16.7280三、解答题：17.（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cosAC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-（舍）， ………………3分由正弦定理得：sin sinsin sin BC AC BC B BACBAC B AC =⇒∠==∠………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）有：cos sin CAD BAC ∠=∠=sin CAD ∠=，所以1sin sin 32D CAD π⎛⎫=∠+== ⎪⎝⎭, ………………9分由正弦定理得：sin sin sin sin DC AC AC CAD DC CAD D D∠=⇒===∠……………12分（其他方法相应给分）18. （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120=7014000+10000⨯人，女生抽取人数为1207050-=人，故x =5，y =2， ……………2分则该校男生平均每天运动的时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈， ……………5分故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是201=1206，故估计该校“运动达人”有 ()1140001000040006⨯+=人； ……………8分 ②由表格可知：运动达人非运动达人总计男生 15 55 70 女生 5 45 50 总计20100 120……………9分故2K 的观测值()2120154555596=2.7433.841.20100507035k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯……………11分故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.……………12分19.（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h，则11111=3C B C D B C D V S h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1B D CD =，所以1B CD S ∆ ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --114=3B CD S h h ''⇒=△所以B 到平面1B CD……………12分（其他方法相应给分）20.（Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22a a c c ⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y +=……………5分（Ⅱ）设111122(,)(0),(,)C x y x y E x y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又CE CD ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11xk y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k+=++=+，由题意知，12x x ≠，所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线DE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. ……………11分所以1213k k =-，即121=.3k k -……………12分（其他方法相应给分）21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1ax f x x-'=，当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数， ……………2分当a >0时，令()0f x '=，则1x a =，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 为减函数，当1+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 为增函数， ……………4分 ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数.……………5分（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，而[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦知：()(),11k k f m f n m n ==++，其中12m n <≤，则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的实数根， ……………7分由()1kf x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-，记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()1=4ln 3x x x x ϕ'---，记()()1=4ln 3F x x x x xϕ'=---，则()()2222213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，即()x ϕ'在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，而()1=0ϕ'，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在()1,+∞上为增函数， ……………10分而13ln 2922ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1=4ϕ-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故结合图像得：()13ln 291422k k ϕϕ-⎛⎫<⇒-< ⎪⎝⎭≤≤，∴k 的取值范围是3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦……………12分（其他方法相应给分）22.（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点， ……………2分而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ⊥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线.……………5分（Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF △△≌，∴CF FE =，…………7分设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅，即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC ==……………10分（其他方法相应给分）23.（Ⅰ）点4π⎫⎪⎭对应的直角坐标为()1,1， ……………1分由曲线1C 的参数方程知：曲线1C 是过点()1,3-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，……………2分而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：12122002x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，故交点坐标分别为()()2,0,0,2.……………5分（Ⅱ）由判断知：P 在直线1C 上，将1+cos 3sin x t y t αα=-⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：()24cos sin 60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则12,PB t PD t ==,而126t t =，所以1212==6.PB PD t t t t ⋅=⋅……………10分（其他方法相应给分）24.（Ⅰ）131x x x <-⎧⎨--⎩≥，或11311x x x -⎧⎨--⎩≤≤≥，或131x x x >⎧⎨-+-⎩≥，解得：02x ≤≤故不等式的解集为[]02，； ……………5分（Ⅱ）()3,131,113,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩ ≤≤，显然当1x =时，()f x 有大值，()1 2.m f ==∴2a b c ++=， ……………7分而()()2222222222=b c a a b c a b c a bc ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++++++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥ ∴2222b c a a b c a b c ++++=≥，当且仅当2a b c ⎪++=⎩，即23a b c ===时取等号，故 222b c a a b c++的最小值是2.……………10分（其他方法相应给分）。