高三数学上学期第四次周考试题 理
(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理(含解析)
（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ． 又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ， 则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分 当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分 考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。
2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学(理)试题(解析版)
2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，11a =，525a =，则3a =（ ） A ．13B ．5-C ．5±D ．53．已知不重合的两条直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，则下列选项正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α∥且αβ∥，则n β∥ B ．若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ C ．若m n ⊥，m α⊥且n β∥，则αβ∥ D ．若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥4．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（ ）A ．癸卯年B ．癸亥年C ．辛丑年D ．辛卯年5．若()45P A =，()25P B =，()13P AB =，则()P B A =（ ） A ．512B ．56C ．12D ．8256．某几何体的三视图如图所示，其中正视图为直角梯形，侧视图为等腰三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．47．设π2π2cos a xdx -=⎰，则二项式51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第三项的系数为（ ） A ．80-B ．40C ．10D ．10-8．已知向量()sin ,cos a x x =，(),1b m =，函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称，则实数m 的值为（ ） A ．31B ．31C ．23D ．23+9．已知()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,1x ∈时，()5e xf x a =+，若()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20195f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3e e + B ．3e e -- C ．3e e - D ．3e e -+10．已知抛物线C ：24y x =，A 为C 上的动点，直线l 为C 在点A 处的切线，则点()4,0B 到l 距离的最小值为（ ） A 3B ．23C ．3D ．411．已知命题p ：若a b >，则a a b b ；命题q ：若方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<.下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧⌝12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos 3sin cos a B b A b A =-，则()2a b ab+的取值范围是（ ） A ．[]3,5 B ．[]4,6C ．4,213⎡+⎣D ．4,215⎡⎤⎣⎦二、填空题13．在利用秦九韶算法求()43254321f x x x x x =-+-+当3x =的值时，把多项式函数改写成如下形式：()()()()54321f x x x x x =-+-+，从内到外逐层计算一次多项式的值，其中记05v=，154v x =-，以此类推，则计算得2v 的数值为___________.14．设直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2212x y -=相交于不同的两点A ，B ，则k 的取值范围为___________.15．正四棱锥P ABCD -中，M 为棱AB 上的点，且3PA AB AM ==，设平面P AD 与平面PMC 的交线为l ，则异面直线l 与BC 所成角的正切值为___________. 三、双空题16．曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线也是曲线e x y =的切线，则m =___________；若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则a 的取值范围是___________.四、解答题17．哈尔滨红肠已有近百年历史，是哈尔滨特产，也是黑龙江特产的代表，深受广大民众的喜爱，哈尔滨红肠是用大兴安岭的老果木熏制而成的，因此它除了肉香还会散发着浓郁的果木香.某调查机构从年龄在[)20,70岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买哈尔滨红肠进行调查，结果如下表：(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关？(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买哈尔滨红肠的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．如图，在多面体ABCDEF 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，EAD 为正三角形，四边形ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，DE CF ∥，2DE CF =.(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求二面角E -AF -C 的余弦值.19．已知数列{}n a ，13a =，点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，且12nn b a =-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列； (2)已知数列{}n c 满足122n b n n c b +=⋅，记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >.20．已知圆1C ：(2271x y +=，圆2C ：(22749x y +=，动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切.(1)求动圆圆心E 的轨迹方程；(2)过点()0,2M 的直线与动圆圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与M 不同的定点N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.21．在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式. (1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10π+=.（其中i 为虚数单位）；(3)若30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92≈）22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线2C ：2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 上的点与直线2C 上的点距离的最小值；(2)将曲线1C 向左平移13C ，再将3C 经过伸缩变换12x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩后得到曲线4C ，求曲线4C 上的点到直线2C 距离的最大值.23．已知函数()2f x x mx n =+-.(1)若()11f ≤，()22f ≤，求证：75117m n -+≤；(2)若函数()f x 的最小值为12-，且实数a ，b ，c 满足22341ab bc ac m n ++=+-，求222435a b c ++的最小值.参考答案：1．C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤. 【详解】解：由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C 2．D 【解析】 【分析】由条件结合等比数列通项公式求出公比，由此可求3a . 【详解】设数列{}n a 的公比为q ， 因为11a =，525a =， 所以425q =，即25q =， 所以2315a a q ==， 故选：D. 3．B 【解析】 【分析】对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，判断A; 对于B ，根据平面的法向量可进行判断；对于C ，考虑 ,αβ可能相交，也可能平行，即可判断；对于D ，考虑到,m n 可能平行或异面或相交，即可判断， 【详解】对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，故A 错误；对于B ，因为m α⊥，故在m 上可取m 作为α 的法向量，同理在n 上可取n 作为β 的法向量，因为αβ⊥，故0m n ⋅=，即得m n ⊥，故B 正确；对于C ，当m n ⊥，m α⊥且n β∥时，,αβ可能相交，也可能平行，故C 错误； 对于D ，当m α∥，n β⊥且αβ⊥时，,m n 可能平行或异面或相交，故D 错误， 故选：B 4．B 【解析】 【分析】根据天干和地支的周期计算可得结果. 【详解】依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12， 因为1001010=，所以哈三中建校的年份的天干也是癸； 因为1008124=⨯+，所以哈三中建校的年份的地支为亥， 哈三中建校的年份是“癸亥年”. 故选：B. 5．A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】 因为()45P A =，()25P B =，()13P AB =， 所以()()()1534125P AB P B A P A ===， 故选：A 6．B 【解析】 【分析】想象并复原几何体的直观图，利用三视图的数据，求得原几何体的体积，即得答案. 【详解】由几何题的三视图，复原几何体为如图正方体中的三棱锥P ABC - ,由三视图可知正方体的棱长为2，故三棱锥顶点P 位于正方体相应的棱的中点，底面为ABC ,高为正方体棱长2， 则几何体的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯= ， 故选：B 7．B 【解析】 【分析】 根据π2π2cos a xdx -=⎰求得a ，再根据55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直接求得第三项的系数，可得答案. 【详解】π2π2ππcos sin sin()222a xdx -==--=⎰，故55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的第三项的系数为225C (2)40-= , 故选：B 8．C 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数()f x 的表达式，再根据()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，赋值0x =，即可求出m 的值． 【详解】()sin cos f x a b m x x =⋅=+，因为函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称，所以()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令0x =，()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即1312m =，解得：23m =故选：C ．9．B 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇偶性推得(2)0f =，继而化简()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得3e a =，化简20195f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于1()5f -，即可求得答案.【详解】由题意可得，()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数， 故(4)()()f x f x f x +==-- ， 故(2)(24)(2),(2)0f f f f =-+=-= ， 又2023340455=+，故()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即()3322e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当()0,1x ∈时，()5e xf x a =+，故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则当()0,1x ∈时，()53e e xf x =+，故3201919191(400)(4)()e e 5555f f f f ⎛⎫=+=-=-=-- ⎪⎝⎭， 故选：B 10．B 【解析】 【分析】设2(,2)A t t ，根据条件求出抛物线在点A 处的切线方程，再求点B 到直线l 的距离及其最小值. 【详解】因为点A 在抛物线C ：24y x =上，故可设2(,2)A t t ， 因为抛物线C 在点A 处的切线不为0，故可设抛物线C 在点A 处的切线方程为()22x t m y t -=-，所以224(2)y x x t m y t ⎧=⎨-=-⎩有且只有一组解， 所以方程224480y my t mt --+=只有一个根， 所以221632160m mt t -+=，故m t =，所以抛物线C 在点A 处的切线l 的方程为：20x ty t -+=，所以()4,0B 到直线l 的距离222222|4|431111t t d t ttt ++===+++++所以23d ≥，当且仅当2t =±时等号成立， 所以点()4,0B 到l 距离的最小值为23. 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断方法判断即可. 【详解】当0a b >≥时，22,a a a b bb ，又22a b >，所以a a b b ， 当0a b 时，22,a a a b b b ，又22a b <，所以a ab b ，当0a b >>时，0a ab b ，所以当a b >时，a ab b ，故命题p 为真命题，由方程()()11x a x +-=只有一个实根等价于方程11x a x +=-只有一个实根， 所以函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点， 1(0,1)(1,)11=11(,1)(0,1)1x x y x x x ∞∞⎧∈⋃+⎪⎪-=⎨-⎪∈--⋃⎪--⎩，作函数1||1y x =-的图象，观察图象可得当直线y x a =+位于12,l l 之间时，函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点， 其中1l 与1(10)1y x x =-<<--有且只有一个交点，设11:l y x a =+ 即111(0)1x a a x +=<--只有一个解， 所以211(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以211(1)4(1)0a a +-+=，所以11a =-2l 与1(1)1y x x =<---有且只有一个交点， 即221(0)1x a a x +=>--只有一个解， 所以222(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以222(1)4(1)0a a +-+=，所以23a =，所以方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<，命题q 为真命题， 所以p q ∧为真命题，命题p q ⌝∧，p q ⌝∧⌝，p q ∧⌝为假命题. 故选：A. 12．C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，sin 3sin sin C A B =，由基本不等式可求出()2a b ab+的最小值，再根据余弦定理以及正弦定理可将()2a b ab+化成关于角C 的函数，利用三角函数的性质即可求出最大值，从而得到取值范围．【详解】因为cos 3sin cos a B b A b A =-，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin cos A B B A B A =-，即sin 3sin sin C A B =．()222244a b a b ab ababab ab+++=≥=，当且仅当a b =时取等号．因为2222cos c a bab C =+-，所以()2222222cos 222cos a b a b ab c ab C c C abab ab ab++++==+=++()2sin22cos 3sin 2cos 22sin sin CC C C C φA B=++=++++，其中2πtan ,0,32ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，而0πC <<，所以当π2C ϕ+=时，()2a b ab +取最大值2()2a b ab+的取值范围是4,2⎡⎣． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角C 的函数，再结合辅助角公式求出其最大值． 13．36 【解析】 【分析】根据表达式由2v 与1v 的关系求解即可. 【详解】因为05v =，154v x =-，3x =， 所以111v =，又213v v x =+， 所以236v =， 故答案为：36. 14．(1,)((2222-⋃-⋃ 【解析】 【分析】直线与双曲线有两个交点即联立方程后判别式要大于0，且直线不与渐近线平行. 【详解】联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ：22(12)440---=k x kx ，22Δ1616(12)0k k =+->， 得到11k -<<，又直线1y kx =+不与渐近线y =平行，所以(1,(k ∈-⋃⋃.故答案为：(1,((2222--⋃-⋃. 15【解析】 【分析】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则可得l 即为直线PN ，然后可得PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角，设3=6PA AB AM ==，然后在PAN △中利用余弦定理求解即可. 【详解】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则点N 为平面P AD 与平面PMC 的公共点， 所以l 即为直线PN ，因为//BC AD ，所以PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角， 设3=6PA AB AM ==， 由NAMNDC 可得13NA AM ND DC ==，所以3,9NA ND ==， 在PAN △中，由余弦定理可得22212cos 369263632PN PA NA PA NA PAN ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以37PN =所以222cos 223737PN NA PA PNA PN NA +-∠===⋅⨯⨯，所以3sin 7PNA ∠=，3tan PNA ∠=所以异面直线l 与BC 3316．2e2e a <- 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出m ；将此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，转化为231e x x x a ++<恒成立，再构造函数231()e xx x g x ++=，利用导数求出最小值即可得解.【详解】由ln y m x =+得1y x'=， 设曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线的切点为00(,ln )x m x +，则切线的斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y m x x x x --=-， 由于该切线过点(2,0)-，所以002ln 1m x x --=--， 设该切线与曲线e x y =切于11(,)x y ，因为e x y =，所以e x y '=，所以该切线的斜率为1e x ，所以切线方程为111e e ()x xy x x -=-，将(2,0)-代入得1110e e (2)x x x -=--，得11x =-，所以1011e e x x ==，所以0e x =，所以ln e=m --21e--，所以2e m =. 由以上可知该公切线方程为11(1)e e y x -=+，即12e e y x =+，若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则21212e (3)1e e e e x x a x x +>-+-+-，即231e xx x a ++<恒成立， 令231()e x x x g x ++=，则()22(23)e (31)e ()e x x x x x x g x +⋅-++⋅'=22e xx x --+=， 令()0g x '>，得220x x --+>，得21x -<<， 令()0g x '<，得220x x --+>，得2x <-或1x >，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 因为0x >时，()0>g x ，所以当2x =-时，()g x 取得最小值2(2)e g -=-. 所以2e a <-. 【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键. 17．(1)列联表见解析，有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)分布列见解析，()32E X =． 【解析】 【分析】（1）根据调查表即可完成列联表，再通过比较2K 的观测值与5.024的大小关系，即可判断； （2）根据题意可知，13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到分布列以及数学期望． (1) 由题可知，2K 的观测值()210025101550505.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)由题意可知，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取1人，打算购买哈尔滨红肠的概率为12p =，所以13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()333C 1C ,0,1,2,328kk P X k k ⎛⎫==== ⎪⎝⎭． 所以()()()()13310,1,2,3P X P X P X P X ========，X 的分布列为()13322E X np ==⨯=. 18．(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】（1）取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，证明OM FN ∥，即可根据线面平行的判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAF 和平面ACF 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. (1)证明：如图，取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，则1,2MD CF MD ED FC ==∥，故四边形MDCF 为平行四边形， 所以,MF CD MF CD =∥因为,ON CD ON CD =∥ ，故,MF ON MF ON =∥， 故四边形OMFN 为平行四边形， 则OM FN ∥， 因为OM AE ∥， 所以AE FN ∥又FN ⊂平面BCF ，AE ⊄平面BCF ， 故AE ∥平面BCF ； (2)因为平面EAD ⊥平面ABCD ，连接EO ，则⊥EO AD ， 平面EAD 平面ABCD=AD ，故EO ⊥平面ABCD ， 连接OB ，BD ， 因为π3DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 故三角形ABD 为正三角形，则OB AD ⊥ ，故以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AE =，则33(1,0,0),(003),(230),(32A E C F --,,,,,, ，则53(1,0,3),(,3,),(3,22AE AF AC =-=-=- ，设平面EAF 的法向量为111(,,)m x y z= ，则00mAE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111110502x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ ， 取1x ，则112,1y z == ，即(3,2,1)m =，设平面ACF 的法向量为222(,,)n x y z =，则00nAF n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222250230x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取2x =，则223,1y z ==- ，即3,3(),1n =-， 故226cos ,13m n m n m n⋅==⋅， 由原图可知二面角E AF C --为钝角，故二面角E -AF -C 的余弦值为. 19．(1)证明见解析(2)16(23)2n n S n +=+-⋅；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得15823n n n a a a +-=-，由1111222n n n n b b a a ++-=-=--，结合等差数列的定义可证结论成立； （2）利用错位相减法求出n S ，根据n S 的解析式可证当2n ≥时，6n S >. (1)因为点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，所以15823n n n a a a +-=-，因为13a =，所以11111232b a ===--， 因为11111158222223n n nn n n n b b a a a a a ++-=-=-------231222n n n a a a -=-=--， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由（1）得1(1)221n b b n n =+-⋅=-， 所以1221)22(n n b n n c b n +=⋅=-⋅，所以123123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅，3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅， 所以231222(222)(21)2n n n n S S n +-=++++--⋅，所以114(12)22(21)212n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅，所以16(23)2n n S n +=+-⋅，当2n ≥时，230n ->， 所以6n S >.20．(1)221169x y +=(2)存在定点9(0,)2N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.【解析】 【分析】（1）设动圆E 的半径为1r ，得到112117EC r EC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得到128EC EC +=，根据椭圆的定义得到动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，当0k =时，得到MA MB =，得出点N 在y 轴上，可设点(0,)N k ，联立方程组，设1122(,),(,)A x y B x y ，得到1212,x x x x +，根据题意，只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，则0NA NB k k +=，结合斜率公式，列出方程求得k 的值，即可求解. (1)解：由题意，圆1C：(221x y +=，圆2C：(2249x y +=，可得圆心坐标分别为12(C C ，半径分别为1,7r R ==， 设动圆E 的半径为1r ，因为动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切，可得11121117EC r r r EC R r r ⎧=+=+⎪⎨=-=-⎪⎩，两式相加12128EC EC C C +=>=根据椭圆的定义可得，动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，且28,227a c ==，即4,7a c ==，则229b a c =-=， 所以动圆圆心E 的轨迹方程为221169x y +=.(2)由题意，设过点()0,2M 的直线l 的方程为2y kx =+，当0k =时，可得直线l 的方程为2y =，可得点,A B 关于y 轴对称，可得MA MB =，要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即1NA MA NBMB==成立，此时点N 在y 轴上，可设点(0,)N k 且2k ≠，当0k ≠时，联立方程组2221169y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(916)64800k x kx ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212226480,916916k x x x x k k --+==++， 要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即NA MA NBMB=成立，则只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，只需0NA NB k k +=， 即12120y k y kx x --+=，即()()21120x y k x y k -+-=成立， 所以()()2112220x kx k x kx k +-++-=，即12122(2)()0kx x k x x +-+=， 则2280642(2)0916916kk k k k ⋅+-⋅=++，整理得2290k k -=， 解得92=k 或0k =（舍去）， 综上可得，存在与M 不同的定点9(0,)2N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.21．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)1a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式的公式即可求解；（2）把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，利用复数的运算法则进行化简整理可得i e co n i s si x x x =+⋅，从而即可证明；（3）根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，31ln(1)6x x x ->+恒成立，然后分1a ≥和1a <两种情况讨论即可求解. (1)解：因为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式为()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），所以e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式分别为： 211e 12!!x nx x x n =+++++，1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-，24211(1)cos 12!4!(2)!n n x x x x n +-=-+++；(2)证明：把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，可得234i 1111e 1()()()i i i i i ()()2!3!4!!x n x x x x x n =+++++++1242352111(1)11(1)12!4!(2)!3!5!(21)!i n n nn x x x x x x x n n --⎛⎫⎛⎫--=-+++++⋅-++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭s i cos in x x =+⋅， 所以i 1i e cos sin πππ=+⋅=-，即i e 10π+=； (3)解：由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭，令3211()sin ,()cos 1,()sin 62f x x x x f x x x f x x x =-+'=-+''=-， ()1cos f x x '''=-，易知()0f x '''>，所以()f x ''在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f ''>''=，所以()f x '在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f '>'=， 所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f >=， 再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易得1(1)(2)2()1x x x g x x --+'=+， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 而3155(0)0ln 02162,g g ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭， 所以30,,()02x g x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭恒成立， 当1a ≥时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ≥>->+ ，所以sin e 1a x x >+成立， 当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易求得(0)10h a '=-<， 所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减，所以(0,)x m ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意.综上所述，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，31ln(1)6x x x ->+恒成立，从而即可求解. 22．(1)12【解析】【分析】（1）将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离减去圆的半径可得结果； （2）根据图象变换求出4C ，再根据椭圆的参数方程设点，利用点到直线的距离公式可求出结果.(1)由12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去α得22(1)(4x y -+=， 由2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos 1θρθ+=-，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得10x +=，所以曲线1C 上的点与直线2C 2=12.(2)依题意可得3:C 224x y +=，4:C 2244x y +=，在4C 上设点(2cos ,sin )θθ，则该点到2:10C x +=的距离d ==，其中cos ϕ=，sin ϕ所以当sin()1θϕ+=时，d所以曲线4C 上的点到直线2C 23．(1)证明见解析；(2)2【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式即可证出；（2）由二次函数的最值可得242m n +=，再根据基本不等式即可求出．(1)因为()1111f m n ≤⇔+-≤，()22422f m n ≤⇔+-≤，所以()()()()7511312231227m n f f f f -+=+≤+≤．(2)因为函数()22224m m f x x mx n x n ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭的最小值为24m n --，所以2142m n --=-，即242m n +=，所以223411ab bc ac m n ++=+-=．因此()()()222222222425324623a b b c a c a a b bc c b c a =+++++≥+++=+，当且仅当a b c ===时等号成立，故222435a b c ++的最小值为2．。
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
四川省德阳市重点高中2022届高三上学期第四阶段考试 数学(理)试卷
2021年秋高2019级第四阶段考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B =（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1}2．已知命题:,cos 1p x x ∀∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||11x e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨3．双曲线2212x y -=-的离心率是（ ）A 3B 2C 2D 34．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．1925．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．16B ．2524C ．34D ．11126．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．35D ．17．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a 的平行线，将一根长度为()l l a ≤的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=（其中π为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm 的针，在画有一组间距为3cm 平行线所在的平面上投掷了n 次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出π的近似值为103，则n =（ ）A ．300B ．400C ．500D ．6008．已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．3209．已知函数32()2727f x x x x =--+，在下列说法中正确的是（ ） A ．(1,0)是函数()f x 的一个零点 B ．函数()f x 只有两个零点 C ．函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点 D ．函数()f x 在(3,4)上没有零点10．设向量()()()0,1,21b OC ，a OB ，，OA -=-=-=其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．911．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）A ．3B 2C ．9322D 3212．已知实数a 、b ，满足526log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数12i=-z （i 为虚数单位），则z z ⋅=__． 14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．16．已知点A 在抛物线23y x =上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若30BAF ∠=︒，则A 的坐标为___________.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin 2 x - sin x cos x .(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)把 f (x)的图象沿x 轴向右平移8π个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛n a ｝满足1a =1,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）若12-=n n b 求数列｛n n b a ⋅｝的前n 项和n T ；19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 111086514.2（1）根据1至5月份的数据，y 与x 近似满足线性回归方程，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABEF 丄平面ABCD , AD//BC , AD ⊥DC, AD=2DC=2BC .（1）求二面角A-CF-D 的余弦值；（2）判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()x f = 1ln +-ax x (R a ∈). （1）函数()0≤x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围; （2）求证：当*N n ∈,2≥n 时，311311211222<⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ； （3）若()x f 有两个不同的零点1x ，2x ,求证：2211a x x <.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2.（1）求正方形OBCD 的边BC , CD 的极坐标方程；（2）若以O 为原点，OB ,OD 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：522=+y x 与边BC , CD 分别交于点P,Q ，求直线PQ 的参数方程.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()x f =|x + 2| + |x -l|. （1）求不等式()x f <5的解集；（2）设函数()x f 的最小值为m ,若c b a ,,均为正数，且m c b a =++222 .求证：3≤++c b a .参考答案1．D【分析】先求得集合{}0,1B =，再根据交集定义得解.【详解】∵{}{}{}(1)(2)0120,1B x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=，{1,2,3}A =， ∴A B ={1}，故选：D. 2．B【分析】根据题意得命题p 是假命题，命题q 是真命题，再依次判断即可. 【详解】解：当0x =，cos 1x =，命题:,cos 1p x x ∀∈<R 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||111x e e ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，所以p q ∧，p q ∧⌝，()p q ⌝∨是假命题，p q ⌝∧是真命题故选：B 3．D【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，即可求出离心率. 【详解】 解：根据题意得2212x y -=-，即2212x y -=故21a =，22b =，2223c a b =+=，即1,a b c ===ce a∴=D 4．B【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.【详解】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=，由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.5．D 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值，计算求解即可． 【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值， 由于11111024612S =+++= 故选：D ．6．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解. 【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+ 故选C. 7．A【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=列出关系式2120lnπα=，从而求n . 【详解】根据题意，得2120lnπα=，即221201033n ⨯=⨯，所以300n =. 故选：A. 8．D【分析】令1x =解得2a =，再求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式求解.【详解】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D 9．C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B 选项，()()()()()322()27272712711f x x x x x x x x x =--+=--=--+，故()0f x =得7,12x x ==±，即函数有三个零点，故错误；对于C 、D 选项，7(3,4)2x =∈，故函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点，故C 正确，D 错误； 故选：C 10．C【分析】根据向量共线定理可得21a b +=，再应用基本不等式“1”的代换求12a b+的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且R λ∈，则1(1)21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩，可得21a b +=，∴11()(2)42244428a b a b a b a b b ba b a a+=++=++≥+⋅=，当且仅当122b a ==时等号成立.∴112+a b的最小值为8 故选：C. 11．B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球 设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =，故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以12r==，所以a=即a．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．12．D【分析】先根据526log6log25a=+判断a接近2，进一步对a进行放缩，536log6log25a>+，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】225265365565651 log6log25log6log25log6log5log6log5log6log6a=+>+=+=+=+2>=.构造函数：()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知函数()f x是R上的减函数，且()20f=，由2a>，可知：()341034555a aa a af a⎛⎫⎛⎫=+-<⇒+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又345a a b+=，∴55b a<，则a>b.又∵2253434252b a a b=+>+=⇒>，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.13．15【分析】根据复数的除法运算化简z ，再求出z ，利用复数的乘法运算计算即可求解.【详解】()()12i 21i 2i 2i 2i 55z +===+--+，则21i 55z =-2121411i i 555525255z z ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪⎪⎝⎭⋅=⎝⎭， 故答案为：15. 14．10【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有25=10C 种方法，故答案为：10 15．2102【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为2cos θ的最值问题 【详解】因为()12p a b c d =+++，且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =， 所以()172p AB BC CD DA =+++=,∴S =θ2cos 840abcd - 当2cos θ=0即当90θ=︒的时候，S 取到最大值2102 故答案为:210216．9,4⎛ ⎝⎭【分析】设出A 点坐标，求得切线方程，由此求得B 点坐标，根据cos 30BAF ∠=︒列方程，解方程求得A 点的坐标.【详解】3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,3y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00y ≠，依题意可知过A 点的切线斜率存在且不为0，设为k ，则切线方程为203y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2003kyy kx y =+-，由200233ky y kx y y x⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，化简得2200330k y y y ky ⋅-+-=，()2009430k y ky ∆=--=，220041290k y ky -+=，()20230ky -=，032k y =，故切线方程为2000323y y y x y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，令0y =得203y x =-，故20,03y B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2002,3y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，20094,12y AF y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 依题意，3cos 2AB AF BAF AB AF⋅∠==⋅222000294y y y --⋅+=， 204y =42004270y y -=，由于00y ≠，故20027,4y y ==，此时20027193434yx ==⨯=，所以A 点坐标为9,4⎛⎝⎭.故答案为：9,4⎛ ⎝⎭【点睛】本题的难点有两个，一个是求过A 的切线方程，另一个是利用30BAF ∠=︒来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.18.19.21.。
陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理角化边可证；
（2）先求得 ，再根据 计算面积．
【小问1详解】
证明：∵外接圆半径为 ，且 ，
∴ ，
由正弦定理得
，
；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
19.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）不等式 的最小值为 ，若 ， 为正数，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式 的解集.
【答案】
【解析】
【分析】设出 ， ， ，结合题干条件得到 ， ，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值.
【详解】设 ， ， ，
因为以 为球心， 为半径的球与平面 相切，所以 ，
因为 是该四棱台的外接球球心，所以 ，即 ，
所以四棱台的体积 ，
且外接球 体积 ，则 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
由上知 ，有 （当且仅当 时取等号），
又有 ，（当且仅当 时取等号），
故有 .
【点睛】基本不等式的运用，常见的有 ，也即 ，要注意等号成立的条件.
20.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且 分别为 中点.
高中高三数学上学期周测试卷 理(1.22,含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
河南省郑州外国语学校2022-2023学年高三上学期调研考试(四)理科数学试卷含答案
郑州外国语学校2022-2023学年上期高三第四次调研考试试卷数 学（理科）（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{x |lgx ＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥﹣1}2．已知复数z 满足zi ＝3i +4，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列各命题的否定为真命题的是（ ） A ．∀x ∈R,x 2−x +14≥0 B ．∃x ∈R ，2x ＞x 2C ．∃x ∈R +,(13)x >log 2xD ．∀x ∈[0,π2],sinx ＜x4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16π+32B ．8π+32C ．8π+323D ．16π+3235．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 是C 上一点，且|PF |＝5，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p ＝（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．4或66．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 3＝3a 2+8a 1，S 8＝2S 7+2，则a 2＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．将曲线（x +y ）（x ﹣2y +1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x 轴水平向右，y 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（ ）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，4）D．（1，4）9．已知函数f（x）＝ae x+4x，对任意的实数x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2e ，+∞)B．[2e3+∞)C．(2e，+∞)D．(2e3+∞)10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，AB＝BD ＝2√3，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC＝2√6．按张衡的结论，三棱锥A﹣BCD外接球的表面积约为（）A．72B．24√10C．28√10D．32√1011．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣x ln x，且对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值集合为（）A．{a|0＜a＜1}B．{a|1＜a＜2}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{1}12．已知函数f（x）＝sin（cos x）+cos（sin x），则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值为2C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.）13．∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=．14．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为．15．已知函数f（x）＝（sinωx）2+12sin2ωx−12(ω＞0，ω∈R)，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．16．过双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2. 若存在直线l，使得AF2⊥BF2，则Γ的离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin B cos B+b sin B cos C=√32b．（1）求A；（2）若角A为钝角，△ABC的面积为S，求Sa2的最大值．18．已知数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a1＝1，a n+1=−23S n+1，b n= 2log13a n+3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+1T n，设数列{c n}的前n项和为R n，证明：R n＜3．19．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（1）求证：EF∥平面CPM；（2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求线段QN 的长．20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.9973．21．已知离心率为√22的椭圆C 的中心在原点O ，对称轴为坐标轴，F 1，F 2为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|MF 1→|+|MF 2→|=2√2．直线l 过椭圆外一点P （m ，0）（m ＜0），与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，满足y 2＞y 1＞0． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于任意点P ，是否总存在唯一的直线l ，使得F 1A →// F 2B →成立，若存在，求出点P （m ，0）对应的直线l 的斜率；否则说明理由．22．已知函数f (x )=ax 2−bx +ln x 在点(1,f (1))处的切线方程为2x −2y −3=0． （1）求实数a ，b 的值；（2）设函数g(x)=f(x)−mx(m ≥32)的两个极值点为x 1，x 2且x 1<x 2，若g (x 1)−g(x 2)≥λ恒成立，求满足条件的λ的最大值．郑州外国语学校2022-2023学年上期高三第四次调研考试试卷数 学（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{x |lgx ＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥﹣1}【解答】解：解x 2﹣x ﹣2≤0得﹣1≤x ≤2，A ＝{x |﹣1≤x ≤2}， 由lgx ＞0得x ＞1，故B ＝{x |x ＞1}， 所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 故选：B ．2．已知复数z 满足zi ＝3i +4，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z =3i+4i=3−4i ，则z =3+4i ．故z 在复平面内对应点（3，4）在第一象限． 故选：A ．3．下列各命题的否定为真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2−x +14≥0 B ．∃x ∈R ，2x ＞x 2C ．∃x ∈R +，(13)x ＞log 2xD ．∀x ∈[0，π2]，sinx ＜x【解答】解：对于A ，∀x ∈R ，x 2−x +14=(x −12)2≥0为真命题，故其否定为假命题，错误；对于B ，因为x ＝5时，25＝32＞52＝25，∃x ∈R ，2x ＞x 2为真命题，故其否定为假命题，错误；对于C ，当x ∈（0，1）时，(13)x ＞0，log 2x ＜0，∃x ∈R +，(13)x ＞log 2x 为真命题，故其否定为假命题，错误；对于D ，当x ＝0时，sin0＝0，故∀x ∈[0，π2]，sinx ＜x 为假命题，故其否定为真命题，正确； 故选：D ．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．16π+32B．8π+32C．8π+323D．16π+323【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成的几何体；如图所示：故V=12×π⋅22×4+12×4×4×4=8π+32．故选：B．5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF 为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝（）A．2B．2或4C．4D．4或6【解答】解：设以PF为直径的圆与x轴交点为A，则|AF|＝1，|PF|＝5，连接P A，则∠P AF＝90°，所以|P A|=√|PF|2−|AF|2=√52−12=2√6，所以y P＝2√6，把y＝2√6，代入y2＝2px，得x=12p，所以x P=12p，所以12p −（−p2）＝|PF|，即12p +p2=5，所以p2﹣10p+24＝0解得p＝4或6，故选：D．6．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若2S3＝3a2+8a1，S8＝2S7+2，则a2＝（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，∵2S3＝3a2+8a1，∴2（a1+a2+a3）＝3a2+8a1，即6a1+a2﹣2a3＝0，∴6a1+a1q−2a1q2=0，∵a1＞0，∴6+q﹣2q2＝0，解得q＝2或q=−32（舍去），∴q＝2，∵S8＝2S7+2，∴S7+a8＝2S7+2，∴a8＝S7+2，∴a1q7=a1(1−q7)1−q+2，∵q＝2，∴128a1＝127a1+2，解得a1＝2，∴a2＝a1q＝4．故选：A．7．将曲线（x +y ）（x ﹣2y +1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x 轴水平向右，y 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：令x ＝0，得2y 2﹣y ﹣1＝0有一正一负根，故图象与y 轴正负半轴各有一个交点，再令y ＝0，得x 2+x +1＝0，显然无实根，故图象与x 轴没交点，故排除A ，D ； 由原式得x +y =−1x−2y+1，当x →+∞，y →﹣∞时，x +y =−1x−2y+1→0﹣，即此时图象在第四象限无限趋近于直线x +y ＝0，且纵坐标的绝对值大一点，B 选项在第四象限的图象更符合，C 不符合，故B 最有可能． 故选：B ．8．若函数f （x ）＝x 2+mx +n 在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n 2﹣m 2+2n +1的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，4）D ．（1，4）【解答】解：设f （x ）的两个零点为x 1，x 2，其中x 1,x 2∈(−1,1)， 则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2），所以n 2﹣m 2+2n +1＝（n +1）2﹣m 2＝（n +1+m ）（n +1﹣m ）＝f （1）•f （﹣1）＝（1−x 12）（1﹣x 22） ∈(0,1)．故选：A ．9．已知函数f （x ）＝ae x +4x ，对任意的实数x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），且x 1≠x 2，不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2e ，+∞) B ．[2e 3+∞)C ．(2e ，+∞)D ．(2e 3+∞)【解答】解：不妨设x 1＞x 2，由f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞x 1+x 2，得f(x 1)−f(x 2)＞x 12−x 22，即f(x 1)−x 12＞f(x 2)−x 22，令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，所以对任意的实数x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），x 1＞x 2时，都有g （x 1）＞g （x 2），即g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以g '（x ）＝ae x ﹣2x +4≥0在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立， 即a ≥2x−4e x．在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立，令ℎ(x)=2x−4e x．则ℎ′(x)=6−2x e x，令h '（x ）＞0，解得x ＜3，令h '（x ）＜0，解得x ＞3，所以h （x ）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(3)=2e 3，所以a ≥2e 3， 即实数a 的取值范围是[2e 3，+∞)． 故选：B ．10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD 中，AB ＝BD ＝2√3，将△ABD 沿BD 进行翻折，使得AC ＝2√6．按张衡的结论，三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积约为（ ） A ．72B ．24√10C ．28√10D ．32√10【解答】解：∵AB =BD =2√3且ABCD 为菱形，可知△ABD 和△CBD 为全等的等边三角形，记BD 中点为E ，则AE ＝CE ＝3，又翻折后AC =2√6，由余弦定理可知：cos∠AEC =32+32−(2√6)22×3×3=−13，过△ABD 和△CBD 的外接圆圆心O 1，O 2，分别作两条垂线垂直于△ABD 和△CBD ，相交于外接球O ，因为O 1E =13AE =1，且cos∠AEO =√1+cos∠AEC2=√33， 由此，在Rt △O 1EO 中，可求得OE =√3，OO 1=√2．O 1A =23AE =2， 由已知π2=16×58=10⇒π=√10，所以外接球半径R 2=OA 2=O 1A 2+OO 12=6，所以外接球表面积为4πR2=24√10，故选：B．11．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣x ln x，且对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值集合为（）A．{a|0＜a＜1}B．{a|1＜a＜2}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{1}【解答】解：函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，即为ax﹣a﹣lnx≥0恒成立，即有0≤（ax﹣a﹣lnx）min．设g（x）＝ax﹣a﹣lnx，x＞0，g′（x）＝a−1x，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）内递减，g（x）无最小值；当a＞0时，x＞1a 时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜1a时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得g（x）在x=1a处取得极小值，且为最小值1﹣a+lna．所以1﹣a+lna≥0，又设h（a）＝1﹣a+lna，a＞0，h′（a）＝﹣1+1a，当a＞1时，h′（a）＜0，h（a）递减；当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）递增，则h（a）在a＝1处取得极大值，且为最大值0，所以1﹣a+lna≤0，即1﹣a+lna＝0，解得a＝1．故选：D．12．已知函数f（x）＝sin（cos x）+cos（sin x），则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值为2C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0【解答】解：对于A，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））+cos（sin（﹣x））＝sin（cos x）+cos（﹣sin x）＝sin（cos x）+cos（sin x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，选项A错误；对于B，由于﹣1≤cos x≤1，则sin（cos x）的最大值为sin1，而cos（sin x）的最大值为1，∴f（x）的最大值为sin1+1＜2，选项B错误；对于C，不妨取x＝0，则f（﹣π）＝sin（cos（﹣π））+cos（sin（﹣π））＝sin（﹣1）+cos0＝1﹣sin1，而f（0）＝sin（cos0）+cos（sin0）＝sin1+1，∴f（0﹣π）≠f（0），选项C错误；∴选项D正确，作出函数f(x)图象验证如下，由图象可知，选项D正确．选项D的代数推导：f(x+π)=cos(sin x)−sin(cos x)，若x∈[π2,π]，则cos(sin x)>0，sin(cos x)<0，则f(x+π)>0，若x∈[0,π2)，则sin x+cos x≤√2<π2，即0<sin x<π2−cos x<π2，所以cos(sin x)>cos(π2−cos x)=sin(cos x)，即f(x+π)>0.故选：D．二．填空题（共4小题）13．∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=2e2−2+2π．【解答】解：∫2−2√4−x2dx＝2∫2√4−x2dx＝2π，∫2−2e|x|dx＝2∫2e x dx＝2e x|02=2e2﹣2，故∫2−2(e|x|+√4−x2)dx=2e2−2+2π，故答案为：2e2−2+2π.14．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为12．【解答】解：设X 为红球的个数. P （X ＝2）=C 22C 42⋅C 22C 32+C 21C 21C 42⋅C 11C 21C 32=12，答案为：12．15．已知函数f （x ）＝（sinωx ）2+12sin2ωx −12(ω＞0，ω∈R)，若f （x ）在区间（π，2π））内没有零点，则ω的取值范围是 （0，116]∪[18，516] ． 【解答】解：函数f （x ）＝（sinωx ）2+12sin2ωx −12 =12（1﹣cos2ωx ）+12sin2ωx −12 =12sin2ωx −12cos2ωx =√22sin （2ωx −π4）， 由f （x ）＝0，可得sin （2ωx −π4）＝0，解得x =kπ+π42ω∉（π，2π），因为f （x ）在区间（π，2π）内没有零点， 所以T 2≥π，即π2ω≥π，解得ω≤12； 又因为ω＞0， 令π＜kπ+π42ω＜2π，k ∈Z ；解得k 4+116＜ω＜k2+18，k ∈Z ； 当k ＝0时，ω∈（116，18）， 当k ＝1时，ω∈（516，58）；所以有解时ω的取值范围是（116，18）∪（516，12]，由f （x ）在区间（π，2π）内没有零点，所以ω的取值范围是（0，116]∪[18，516]． 故答案为：（0，116]∪[18，516]．16．过双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2. 若存在直线l ，使得AF 2⊥BF 2，则Γ的离心率的取值范围是 (√5，1+√2] ．【解答】法1：设|AF 1|=m ，|BF 1|=n ，则|AF 2|=m +2a ，|BF 2|=n +2a ，且1m +1n =2a b 2.若AF 2⊥BF 2，则|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2，代入化简即得(4a 2b 2−1)mn +4n 2=0， 又2ab 2=1m +1n ≥√mn，所以mn ≥b 4a 2， 所以4a 2b 2−1<0，且(4a 2b 2−1)b 4a 2+4a 2≥0.解上述不等式得b 2a 2∈(4,2√2+2]，所以e =√1+b 2a 2∈(√5,1+√2]. 法2：依题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ﹣c ，将直线l 的方程为x ＝my ﹣c 代入椭圆方程可得（b 2m 2﹣a 2）y 2﹣2b 2cmy +b 4＝0， 设A （x I ，y l ），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2−a 2，y 1y 2=b 4b 2m 2−a 2，由AF 2⊥BF 2，可得AF 2→⋅BF 2→=0，故（x l ﹣c ）（x 2﹣c ）+y l y 2＝0，整理可得（my l ﹣2c ）（my 2﹣2c ）+y l y 2＝0，整理得(m 2+1)y 1y 2−2cm(y 1+y 2)+4c 2=0，将y 1+y 2=2b 2cmb 2m 2−a 2，y 1y 2=b 4b 2m 2−a 2代入上式可得（m 2+1）b 4﹣4m 2c 2b 2+4c 2（b 2m 2﹣a 2）＝0，∴（m 2+1）b 4＝4a 2c 2，∴m 2+1=4a 2c 2b 4≥1，化简整理得4a 2c 2≥（c 2﹣a 2）2，进而可得c 4+a 4﹣6a 2c 2≤0，不等式两边除以a 4得e 4﹣6e 2+1≤0，解不等式得3﹣2√2≤e 2≤3+2√2，又e ＞1，∴1＜e 2≤3+2√2，解得1＜e ≤1+√2，又A ，B 在左支且l 过F 1，∴y 1y 2＜0，∴b 4b 2m 2−a 2＜0，∴m 2＜a 2b 2， ∴m 2+1=4a 2c 2b 4＜a 2b 2+1，∴4a 2c 2＜a 2b 2+b 4＝b 2（a 2+b 2）＝b 2c 2，解得4a 2＜b 2＝c 2﹣a 2，∴5a 2＜c 2，∴e 2＞5，∴e ＞√5， 综上：√5＜e ≤1+√2，即e ∈（√5，1+√2]．三．解答题（共6小题，第17题10分，其余各题12分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B cos B +b sin B cos C =√32b ． （1）求A ；（2）若角A 为钝角，△ABC 的面积为S ，求Sa 2的最大值．【解答】解：（1）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B cos B +b sin B cos C =√32b ， 则sinCsinBcosB +sinBsinBcosC =√32sinB ， 因为sin B ≠0，所以sinCcosB +sinBcosC =√32， 所以sin(B +C)=sinA =√32， …………………………………………4分因为0＜A ＜π， 所以A =π3或A =2π3； …………………………………………5分（2）由A 为钝角及（1）结论，则A =2π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2+bc ， 又S =12bcsinA =√34bc ， 所以S a 2=√34×bc b 2+c 2+bc≤√34×bc2bc+bc =√312，当且仅当b ＝c 时取等号，故S a 2的最大值为√312． …………………………………………10分 18．已知数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a 1＝1，a n +1=−23S n +1，b n =2log 13a n +3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n ＝a n +1T n，设数列{c n }的前n 项和为R n ，证明：R n ＜3．【解答】解：（1）因为a n +1=−23S n +1， 由a 1＝1，所以a 2=−23a 1+1=13， 当n ≥2时，a n =−23S n ﹣1+1，两式相减得，a n +1﹣a n =−23a n ，即a n +1=13a n ，…………………………………3分 易知，a 2=13a 1，符合上式， …………………………………………4分 所以数列{a n }是以1为首项，13为公比的等比数列，所以a n ＝（13）n ﹣1； …………………………………………5分 b n =2log 13a n +3=2log 13(13)n−1+3=2n +1； …………………………6分（2）证明：由（1）b n ＝2n +1，所以T n =n(3+2n+1)2=n （n +2），若c n ＝a n +1T n=（13）n ﹣1+1n(n+2)=（13）n ﹣1+12（1n −1n+2），…………………8分所以R n =1−(13)n 1−13+12[（1−13）+（12−14）+（13−15）+（14−16）+……+（1n−1−1n+1）+（1n −1n+2）]=32−32×（13）n +12（32−1n+1−1n+2）=32−32×（13）n +34−12(n+1)−12(n+2)=94−32×（13）n−12(n+1)−12(n+2)＜94＜3，得证．…………………………………………12分19．如图，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，PQ ∥CD ，AD ＝CD ＝DP ＝2PQ ＝2AB ＝2，点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，BQ 的中点． （1）求证：EF ∥平面CPM ；（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求线段QN 的长．【解答】解：（1）证明：连接EM ，因为AB ∥CD ，PQ ∥CD ，CD ＝2PQ ＝2AB ＝2，所以四边形ABQP 为平行四边形，又点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，BQ 的中点，则EM ∥AB ，EM =AB ，CF =12CD ，即EM ∥CF 且EM ＝CF ， 所以四边形EMCF 为平行四边形，则EF ∥CM ， 又EF ⊄平面CPM ，CM ⊂平面CPM ，所以EF ∥平面CPM ； …………………………………………4分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，Q(0，1，2)，M(1，1，1PM →=(1，1，−1)，PQ →=(0，1，0)，CM →=(1，−1，1)，PC →=(0，2，−2)，设平面QPM 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅PM →=x +y −z =0m →⋅PQ →=y =0，则可取m →=(1，0，1)； …………………………………………6分 设QN →=λQC →(0≤λ≤1)，则QN →=λQC →=(0，λ，−2λ)，所以N(0，λ+1，2−2λ)，DN →=(0，λ+1，2−2λ)， 由题意直线DN 与平面QPM 所成的角为π6， 则sin π6=|cos ＜DN →，m →＞|=|DN →⋅m →||DN →||m →|=√(λ+1)2+(2−2λ)2⋅√2=12，解得λ=13或λ＝3（舍）， …………………………………………10分 所以|QN →|=13|QC →|=√53，即线段QN 的长为√53．………………………………12分20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：（1）由题意知，μ=1100（45×5+55×10+65×25+75×30+85×20+95×10）＝73， ………………………………………2分 所以P （73﹣12≤X ≤73+12）＝P （61≤X ≤85）≈0.6827，所以P （X ＞85）=12（1﹣0.6827）＝0.15865，……………………………………4分 所以估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数为10000×0.15865＝1586.5≈1587名． …………………………………………6分 （2）按照比例分配的分层随机抽样方法，抽取的6人中，笔试成绩为[80，90）的考生有4名，笔试成绩为[90，100]的考生有2名， 随机变量ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ＝0）=C 42C 20C 62=25，P （ξ＝1）=C 41C 21C 62=815，P （ξ＝2）=C 40C 22C 62=115，所以ξ的分布列为均值E （ξ）＝0×25+1×815+2×115=23．…………………………………………12分 21．已知离心率为√22的椭圆C 的中心在原点O ，对称轴为坐标轴，F 1，F 2为左右焦点，M 为椭圆上的点，且|MF 1→|+|MF 2→|=2√2．直线l 过椭圆外一点P （m ，0）（m ＜0），与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，满足y 2＞y 1＞0． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于任意点P ，是否总存在唯一的直线l ，使得F 1A →// F 2B →成立，若存在，求出点P （m ，0）对应的直线l 的斜率；否则说明理由． 【解答】解：（1）由题可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则e =ca =√22， 由椭圆定理可得|MF 1→|+|MF 2→|=2a =2√2， 则a =√2，c =1，b =1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1． …………………………………………4分 （2）设直线l 方程为y ＝k （x ﹣m ）（斜率必存在）， 则F 1A →=(x 1+1，y 1)，F 2B →=(x 2−1，y 2)， ∵F 1A →∥F 2B →，∴（x 1+1）⋅y 2＝（x 2﹣1）⋅y 1，∴（x 1+1）⋅k （x 2﹣m ）＝（x 2﹣1）⋅k （x 1﹣m ），化简得x 2+x 1+m （x 2﹣x 1）﹣2m ＝0①， …………………………………………6分 联立y ＝k （x ﹣m ）与椭圆方程可得，（1+2k 2）x 2﹣4mk 2x +2k 2m 2﹣2＝0，Δ＝8k 2（2﹣m 2）+8＞0，∴x 1+x 2=4mk 21+2k 2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k 2， …………………………………………8分代入①得，4mk 21+2k 2+m(x 2−x 1)−2m =0， ∴x 2−x 1=21+2k 2②，∴(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=16k 2−8k 2m 2+8(1+2k 2)2，代入②得：4k 2﹣2k 2m 2+1＝0，故k 2=12m 2−4，…………………………………10分 而点A 、B 在x 轴上方，所以对于任意一个m ＜−√2，存在唯一的k =√12m 2−4使得F 1A →∥F 2B →成立，故满足题意的直线l 有且只有一条． ………………………………………12分 22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx +ln x 在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣2y ﹣3＝0． （1）求实数a ，b 的值；（2）设函数g(x)=f(x)−mx(m ≥32)的两个极值点为x 1，x 2且x 1＜x 2，若g （x 1）﹣g （x 2）≥λ恒成立，求满足条件的λ的最大值．【解答】解：（1）由f （x ）＝ax 2﹣bx +lnx ，得f′(x)=2ax −b +1x ， 因为（1，f （1））在切线方程2x ﹣2y ﹣3＝0上， 所以2﹣2y ﹣3＝0，解得y =−12， 所以f(1)=−12，所以{a −b +ln1=−122a −b +1=1，解得a =12，b =1． …………………………………………4分 （2）由（1）知，f(x)=12x 2−x +lnx ， 则g(x)=12x 2−x +lnx −mx(m ≥32) 则g′(x)=1x +x −(m +1)=x 2−(m+1)x+1x（x ＞0），由g ′（x ）＝0，得x 2﹣（m +1）x +1＝0，因为x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，所以方程x 2﹣（m +1）x +1＝0有两个不相等的正实根x 1，x 2，所以x 1+x 2＝m +1，x 1x 2＝1，所以x 2=1x 1． ………………………………………6分因为m ≥32，所以x 1+1x 1=m +1≥52，解得0＜x 1≤12或x 1≥2，因为0＜x 1＜x 2=1x 1，所以0＜x 1≤12，所以g(x 1)−g(x 2)=lnx 1+12x 12−(m +1)x 1−lnx 2−12x 22+(m +1)x 2=ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(m +1)(x 1−x 2)=2lnx 1−12(x 12−1x 12)， ………………8分令F(x)=2lnx −12(x 2−1x 2)(0＜x ≤12)， 则F′(x)=2x −x −1x 3=−(x 2−1)2x 3＜0，所以F （x ）在(0，12]上单调递减，所以当x =12时，F （x ）取得最小值， 即F (x )min =2ln 12−12(14−4)=158−2ln2，所以λ≤158−2ln2，即实数λ的最大值为158−2ln2．……………………………12分。
2021年高三第四次月考数学(理)试题
2021年高三第四次月考数学（理）试题参考公式：线性回归方程中系数计算公式:，其中表示样本均值．第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题；每小题5分，共40分）1．下列命题正确的是（）A．B．C．是的充分不必要条件 D．若,则2．复数z=（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是（）A．3 B．-2 C．-1 D．13．在等腰中，，，则( ）A．（-3，-1）B．（-3,1）C．D．（3,1）4．已知在等比数列中，，则等比数列的公比q的值为（）A．B．C．2 D．85．为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．3800 B．6200 C．0.62D．0.386．已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥；④若m∥，则⊥其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若，则的值为 （ ） A ． B ． C ． D ．8．已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①的值域为M ，且M ⊆；②对任意不相等的，∈， 都有|－|<|－|．那么，关于的方程=在区间上根的情况是 （ ）A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．实数根的个数无法确定第Ⅱ卷二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．若实数x ，y 满足的最小值为3，则实数b 的值为10．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答). 11．抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为 12．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是13．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x 与日销售量y 之间的一组数据满足：，，，，则当销售单价x 定为（取整数） 元时，日利润最大．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 15．（几何证明选讲选做题）如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设，且满足 （1）求的值．（2）求的值．17（本小题满分12分）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。
(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理(含解析)
（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）．3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ）A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅ D ．1BD BC ⋅4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)8. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =…………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:19. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积 是 cm 3.10. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行11. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．第7题图12. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分）设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………（3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分）2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，BC =12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ；（2）求二面角1A A D E --的大小．200w v w ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩3.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．θ=︒时，求异面直线MC与PO所成的角；（1）当60-的体积最大时，求θ的值．（2）当三棱锥M ACO⊥交AO于点D，连DC．试题解析：解：（1）连MO，过M作MD AO又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.【答案】60°【解析】试题分析：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，需求直线AD 与平面11A BC 所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面11A BC 的法向量与直线AD 所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.在直角△AOG 中，AG ＝23AD AB 1， AO AB ，所以sin ∠AGO ＝AOAG． 10分故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°． 12分 考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】如图，在体A-中，BD长为E为棱BC的中点，求BCD（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；A-的表面积．（2）正三棱锥BCD8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）43π；（2. 【解析】试题分析：（1）要求球的表面积，首先要求出球的半径，如图即半圆O 的半径，这可在OBM ∆中列方程解得，圆O 半径为,r 则有sin OM BOB =，即sin30︒=r =（3）要阴影部分旋转后的体积，我们要看阴影部分是什么几何体，看看能不能把变成我们熟知的锥台、球，或者上它们构成的，本 题中，是在三角形内部挖去一个小三角形，因此最后所得可以看作是一个圆锥里面挖去了一个球，从而其体积就等于一个圆锥的体积减去球的体积，即231433V AC BC OM ππ=⋅⋅-⋅.。
山东省济南市2022届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
高三教学质量调研考试数学(理科)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。
满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 留意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第II 卷必需用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：假如大事A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；假如大事A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.1.若()12z i i +=+（i 是虚数单位），则z = A.322i+ B.322i -C. 322i -- D. 322i -+ 2.设集合{}{}1,0,1,2A x x x R B =+<3,∈=，则A B ⋂= A. {}02x x << B. {}42x x -<< C. {},1,2xD. {}0,13.在ABC ∆中，“60A ∠=”是“3sin 2A =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 A.向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.6πB.3π C.2πD. π6.已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为A.6B.8C.10D.127.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.58.已知向量 的夹角为60，且2,=1a b a xb =-，当取得最小值时，实数x 的值为 A.2B. 2-C.1D. 1-9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为 A.1006B.1007C.1008D.100910.已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2132ln f x xx -<-+()312x -的解集是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()1,+∞D. (),e +∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.某高校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校为[)[)35,40,40,45，不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间[)[)[)45,5050555560，，，，，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的老师有________人.12. 执行右图的程序框图，则输出的S=_________.13. 二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的开放式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰_________.14.已知M,N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为___________.15.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()f x m m =<0有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=. 则其中全部正确结论的序号是_________.（请写出全部正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知向量()()3sin ,cos ,cos ,cos ,m x n x x x R ==∈，设()f x m n =（I ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角A,B,C 的对边，且()1,2,1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，其中AB//CD ，112AB BC CD BC AB ⊥===，，点M 在线段EC 上. （I ）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（II ）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小.18. （本小题满分12分）某卫视的大型消遣节目现场，全部参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票打算是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必需且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”。
贵州师大附中2010届高三第4次数学周考试卷
贵州师大附中2009—2010学年第一学期第四次周考试题高三数学(文、理科) 2009-12-25班级 学号 姓名 得分考生注意：1．考试时间100分钟，满分100分；2．请将第Ⅰ卷（选择题）的答案填在题后的答题表内．第Ⅰ卷一、选择题（第1—10题每题2分，第11—20题每题3分，共50分）1、已知集合A={0，1，3}，B={1，2} 则A ∪B=A 、{1}B 、{0，2，3}C 、{0，1，2，3}D 、{1，2，3} 2、已知函数2()21f x x =+，则=-)1(f A 、0 B 、21 C 、1- D 、33、log 315+log 351=A 、1B 、0C 、3D 、54、函数)(13R x x y ∈+=的反函数是 A 、)(31R x x y ∈+= B 、)(31R x x y ∈-=C 、)(13R x x y ∈+=D 、)(13R x x y ∈-=5、若1[0,],cos 22παα∈=则A 、0=αB 、6πα=C 、4πα=D 、3πα=6、已知等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a = A 、6 B 、5 C 、4 D 、37、如图，在A B C D 中成立的是A 、AB CD = B 、AB BC =C 、AD CB = D 、AD BC =8、已知点A （-3，4），B （2，-1），则线段A B 的中点坐标为A 、（1，5）B 、13(,)22-C 、（5，5） D 、55(,)22-9、，平面，直线平面直线αα//b a ⊥则A 、a ∥bB 、b a ⊥C 、b a 与相交D 、b a 、的位置关系不定10、用10元、5元和1元面值的钞票来购买20元的商品，不同的支付方法有A 、7种B 、8种C 、9种D 、10种11、已知(3,1)a =- ，(1,2)b =，则a b - 的坐标为 A 、)1,2( B 、)3,4(- C 、)3,2(- D 、)1,4( 12、下列函数中，偶．函数是 A 、1+=x y B 、x x y +=2 C 、x y = D 、x y lg =13、椭圆1162522=+yx的离心率是A 、53 B 、45 C 、54 D 、3514、已知小球的体积为)(343cm π，则该球的表面积为 )(2cmA 、 πB 、 π2C 、 π3D 、 π4 15、sin 30cos 60cos 30sin 60︒︒+︒︒=A 、21 B 、1 C 、23 D 、016、命题p ：“两直线平行”，命题q ：“同位角相等”，则p 是q 的 A 、 充分而不必要条件 B 、 必要而不充分条件 C 、 充要条件D 、 既不充分也不必要条件 17、直线0432=-+y x 的斜率为 A 、23 B 、－23 C 、32 D 、－3218、下列函数中，在区间),0(+∞上不是．．减函数的是 A 、x y 2= B 、122+-=x y C 、x y 2-= D 、xy 2=19、等比．．数列1，3，9，27，……的前5项之和．等于 A 、49 B 、131 C 、121 D 、14120、若实数,,,m n x y 满足2222,()m n a x y b a b +=+=≠则m x ny+的最大值是A 、2a b + B 、 C 、222a b + D 、ab a b+第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共20分）21、y=sin(2x+3π)的最小正周期是 ．22、不等式|21|3x +≤的解集为 ．23、圆心为（2，0），半径为5的圆的方程是 ． 24、点（2,1）到直线0243=+-y x 的距离是 ． 25、在7)1(-x 的二项展开式中，3x 项的系数是 ．三、解答题（每小题6分，共30分）26、已知sinα=53，且α∈(0，2π)．（Ⅰ）求αcos 的值； （Ⅱ）求α2sin 的值．DCC 1B 1D 1A 1AB27、平面向量()()(),,2,,2,4,3y c x b a ==-=→→→已知→a ∥→b ，→→⊥c a ，求,x y 及b c →→与的夹角．28、气象部门预报提示，甲、乙两城市在未来24小时内有雷电暴雨的概率分别为43和52。
湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考试题 数学(理) 含答案
衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a为正实数，i为虚数单位，a i=2,则a=（)A．2 B3C2D．1 2．已知集合M＝｛1，2，3，4｝，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．23．下列关于命题的说法错误的是( ）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2"的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=3”是“函数f（x）=log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100 D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知212sin 2cos 1=+αα,则=αtan （) A ．2 B ．3 C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}na 满足134a ,a ,a 成等比数列，nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253SS S S --的值为（ ）A ．2- B ．3- C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x (0,1)a a的图像恒过定点A ，若直线2-=+ny mx （,0m n）也经过点A ，则3m+n 的最小值为( ）A ．16B ．8C ．26611+ D ．149．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 10．设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，12）B ．（12，) C ．（1，3) D ．（3，)11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x 则不等式(())3 f f x 的解集为(）A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ，对任意的x∈R，有2()()f x f x x ,且(0,)()xf x x 时，．若(2)()22f a f a a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)B ．(,1]C ．(,2]D ．[2,)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．已知a =4，b =2，且2a b=a 与b 的夹角为___________.14．已知222,,,238,49a b cR a b ca b c 则的最小值为___________.15。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．57．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择观洞窟的概率是（）A．47B．128．设,,l m n表示直线，,αβ表示平面，使A．αβ⊥，//lβC．//l n，nα⊥9．等比数列{}a的前n项和为S，若二、填空题中，15．在ABC的面积，则若S为ABC16．已知抛物线过,A B两点分别作四边形PMFN的面积为三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．如图所示，在四棱锥BC=，又SD=1(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到千万辆．下图是2011年至2020图．（注：年份代码1-10分别对应年份(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到量．参考数据：15.5y =，(101i i t =∑25550.5159.8≈，25690.5参考公式：相关系数n r =∑。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
高三数学周考试题
高三数学第一轮复习第四次自测试题注意事项：本卷满分50分，限时40分钟一、选择题.（本题共5道小题，每题4分，共20分）1．(选自数学学科网)若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)2．(选自数学学科网)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(3，－1)D ．(－3,1)3．(选自数学学科网)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB →同向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 4．(选自数学学科网)下列命题正确的是( )A ．不平行的向量一定不相等B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反5．如图所示，向量OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝ －3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b二、填空题. （本题共5道小题，每题4分，共20分）6、在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(1,3)，AC →＝(2,5)，则AD →＝_______，BD →＝______.7、（选自数学学科网）若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________.8、已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ=__.9、已知)6,(),3,2(-==x b a 且//则=x ；若⊥，则=x ______.10、已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量=AB ，= .三、大题. （本题共2道小题，每题10分，共20分）11、(选自数学学科网)31=-=且,的夹角为 60.12、(选自数学学科网)已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．。
四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析
高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。
河北省衡水中学2023届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题
2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、下列说法正确地是A ．0与地意义相同B ．高一（1）班个子比较高地同学可以形成一个集合C ．集合是有限集D ．方程地解集只有一个元素2、已知集合,则A ． B ． C ． D ．3、设命题,则为A ．B ．C ．D ．4、已知集合,则集合A ． B ． C ． D ．5、设,则""是""地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ． B ． C ． D ．7、已知命题有解,命题,则下列选项中是假命题地为A ．B ．C ．D ．8、已知集合,则集合不可能是A ． B ． C ． D ．{}0{}(,)|32,x y x y x N +=∈2210x x ++=2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈A B =(0,2)[0,2]{}0,2{}0,1,22:"1,1"p x x ∀<<p ⌝21,1x x ∀≥<201,1x x ∃<≥21,1x x ∀<≥201,1x x ∃≥≥2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-A B = 1[0,)2[0,1]1(,1]21(,)2+∞,a b R ∈22log log a b >21a b ->221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-p q a 1(0,)21[0,)21(0,]21[,1)22:,10p m R x mx ∀∈--=2000:,210q x N x x ∃∈--≤p q ∧()p q ∧⌝p q ∨()p q ∨⌝{|A x y A B φ=== B 1{|42}x x x +<{(,)|1}x y y x =-φ22{|log (21)}y y x x =-++9、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．10、已知命题,命题,若命题且是真命题,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．11、对于任意两个正整数,定义某种运算"",法则如下:当都是正奇数时,；当不全为正奇数时,,则在此定义下,集合 地真子集地个数是A ．B ．C ．D ．12、用表示非空集合中地元素个数,定义 ,若,且,设实数地所有可能地取值集合是,则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上..13、已知含有三个实数地集合既可表示成,又可表示成,则等于14、已知集合,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是15、已知集合,若,则实数地所有可能取值地集合为16、下列说法错误地是 (填序号)①命题",有"地否定是",有"；②若一个命题地逆命题,则它地否命题也一定为真命题；③已知,若为真命题,则实数地取值范围是1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤p q a 3[1,]23(1,)23(,1)[,)2-∞+∞ 3(,1)(,)2-∞+∞ 2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥2:,220q x R x ax a ∃∈++-=p q a {}(,2]1-∞ (,2][1,2]-∞ [1,)+∞[2,1]-,m n *,m n m n m n *=+,m n m n mn *={(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈721-1121-1321-1421-()C A A ()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=1A B *=a {,,1}b a a 2{,,0}a a b +20172017a b +2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<x A ∈x B ∈m {1,1},{|20}A B x ax =-=+=B A ⊆a 1212,,x x M x x ∃∈≠1221[()()]()0f x f x x x -->1212,,x x M x x ∃∉≠1221[()()]()0f x f x x x --≤21:230,:13p x x q x+->>-()q p ⌝∧x (,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④""是""成立地充分条件三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合 .（1）分别求；（2）已知集合,若,求实数地取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知,关于地方程有实数,关于地函数在区间上是增函数,若"或"是真命题,"且"是假命题,求实数地取值范围；（2）已知,若是地必要不充分条件,求实数地取值范围.19、（本小题满分12分）集合（1）若集合只有一个元素,求实数地值；（2）若是地真子集,求实数地取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数地值域是集合A,关于地不等式地解集为B,集合,集合.（1）若,求实数地取值范围；（2）若,求实数地取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数,集合.（1）若,求实数地值；3x ≠3x ≠2{|3327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>,()R A BC B A {|1}C x x a =<<C A ⊆a :p x 240x ax -+=:q x 224y x ax =++[3,)+∞p q p q a 22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤p ⌝q ⌝a 219{|()(3)0},{|ln(0}24A x x xB x x ax a =--==+++=B a B A a ()41log ,[,4]16f x x x =∈x 31()2()2x a x a R +>∈5{|0}1x C x x -=≥+{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->A B B = a D C ⊆m ()f x =A 22{|290}B x x mx m =-+-≤[2,3]A B = m（2）若,使,求实数地取值范围.22、（本小题满分12分）已知是定义域为R 地奇函数,且当时,,设"".（1）若为真,求实数地取值范围；（2）设集合与集合地交集为,若为假,为真,求实数地取值范围.12,()R x a x C B ∀∈∃∈21x x =m ()f x 12x x <1212()[()()]0x x f x f x -->:p 2(3)(128)0f m f m ++-<p m :q {|(1)(4)0}A x x x =+-≤{|}B x x m =<{}|1x x ≤-p q ∧p q ∨m。
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广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i＝A.6B.7C.8D.95．若，则的大小关系A．B． C． D．6．已知，则的值是A．B．－C．－2 D．27．函数是偶函数，是奇函数，则A．1 B．C． D．8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是A． B.C． D.9.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A.（－1，＋）B.（－2,0）C.（－2，＋）D.（0,1］10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为A． B．C．D．11. 已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是A.B.C.D.二、填空题（20分，每题5分）13．已知14log 7,145,b a == 用,a b 表示35log 70= .14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=1688AB C AA ===，B ，, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ；15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3a =，8b =，C=3π，则边c = ．16三、解答题（70分）17.（本小题10分） 已知函数2lg(34)y x x =+-+的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C（2）若c =ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A ，求点B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-uu r uu r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.数学（理）答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13．1ba b++ 14．164π 15．7． 16三、 17.解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分 ABC∴∆的周长为5........................................................................................................12分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ， 则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q，EF DO ∴==，∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则B ，(1,0,0)C -，E -，(1,BC ∴=-uu u r(0,BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uuu r u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B的横坐标为21cos()cos.332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα= 211(sin cos )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=11(sin 22)42αα=++1sin(2)43πα=+分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅=，即122c ⨯=，,2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=， 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立， 即1m x≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分 综上，实数m的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分11 0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。