关于线段证明的方法
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明线段比例式或等积式的方法
证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。
③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。
（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。
直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。
即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。
如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。
（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。
图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。
③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。
（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
证明两条线段相等的方法
证明两条线段相等的方法要证明两条线段相等，可以通过以下多种方法进行证明：1. 尺规作图法：使用尺规作图法，可以构造出两个相等的线段。
具体步骤如下：- 以一个已知线段为一边，作一个等边三角形。
- 再以另一个已知线段为边，以这个等边三角形为一边，再作一个等边三角形。
- 这样，通过尺规作图法可以构造出与已知线段相等的线段。
2. 数学证明法：通过数学运算和推理，可以证明两条线段相等。
具体步骤如下：- 假设两条线段分别为AB和CD。
- 计算AB和CD的长度，可以使用勾股定理或其他几何定理求得。
- 如果AB的长度等于CD的长度，则可以得出两条线段相等的结论。
3. 同分法：如果能够证明两条线段可以分割成相同数量的相等部分，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 将两条线段分别划分成相同数量的等分点。
- 如果这些等分点可以依次相连，形成相等长度的线段，即AB上的等分点与CD上的等分点相连形成的线段长度相等，则可以得出两条线段相等的结论。
4. 重合法：如果两条线段的端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到两条线段的端点。
- 如果这两个端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
5. 同位角相等法：如果两条直线上的同位角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到直线上的两个角。
- 如果这两个角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
需要注意的是，在进行证明时，应该严格按照几何定理和逻辑推理的步骤进行，以确保证明的准确性和有效性。
同时，根据题目的要求，使用中文回答了超过1500字以上的内容。
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明文章标题：线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明在几何学中，线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的几何图形。
当线段上存在一个点，它与两个端点的距离相等时，这个点被称为线段的中点。
今天我们将深入探讨线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明，以及这背后的数学原理和意义。
1. 理论基础在三角形中，我们学过一个重要定理：中线定理。
中线定理指出，三角形的一个边上的中线等于另外两条边的一半。
这个定理为我们提供了一个重要的思路：如果线段的两个端点距离相等的点存在，那么这个点与两个端点之间的距离必须相等，类似于中线定理中的性质。
2. 线段两个端点距离相等的点证明现在让我们来证明线段两个端点距离相等的点在这条线段上。
假设线段AB的两个端点为A和B，而距离AB的中点O与A和B的距离均相等。
我们对线段AB进行标记，用d表示OA或OB的长度，然后进行推导。
我们可以用三角形的距离公式求出OA和OB的长度。
设线段AB的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么OA的长度可以表示为sqrt((x1-x)^2 + (y1-y)^2)，同理OB的长度可以表示为sqrt((x2-x)^2 + (y2-y)^2)。
由于O点位于AB中点上，根据中点的坐标公式，可以得出O点的坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
将O点的坐标代入到OA和OB的长度公式中，便可得到OA=OB=d。
根据上述推导，我们可以证明线段两个端点距离相等的点O确实存在于线段AB中，并且其与两个端点的距离均相等。
3. 意义和应用线段两个端点距离相等的点在这条线段上的证明，不仅是几何学中的基础知识，更为我们理解数学规律和推理方法提供了一个很好的案例。
这个概念也在实际生活和工程应用中有着广泛的意义。
在建筑设计和制图过程中，通过寻找线段的中点和证明其存在，可以确保建筑结构的稳定性和对称性。
4. 个人观点在我看来，研究和理解线段两个端点距离相等的点在这条线段上的证明，对于培养我们的逻辑思维和数学推理能力具有重要意义。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
专题14证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
初中阶段证明线段相等的方法
初中阶段证明线段相等的方法证明线段相等的方法可以根据具体情况采用不同的方法，主要包括以下几种常见的证明方法：一、等长法：1.直接用尺量法：使用尺量工具（如直尺、量角器等），将两条线段分别放在尺上进行测量，若两条线段的长度完全一致，则可以证明它们相等。
2.利用等长线段：若已知两条线段AB和CD相等，目标要证明两条线段EF和AB相等，可以寻找一个等长线段，如BC等于EF，然后利用等长线段具有传递性，即AB=CD，CD=BC，从而得出EF=BC=CD=AB。
3.利用配准法：将两条线段平行摆放，保持它们的位置不变，然后通过调整另外一个参照物，使其完全重合，这样就证明了它们的长度相等。
4.用折叠法：将一条线段对折，使两端的点重合，然后将另一条线段沿着对折的线段展开，如果两条线段能够完全重合，那么它们就相等。
二、搭建正方形法：1.通过构建正方形来证明线段相等。
如果已知两条线段AB和CD相等，并且它们都是正方形的一条边长，那么可以利用正方形的对角线相等来证明EF和AB相等。
2.构造对原线段的垂直平分线，将线段分成两等分，然后用等边三角形法或者利用等分线段法证明线段相等。
三、利用连线的性质：1.利用三角形边关系：已知两个点A、B和C，若AB=AC，则证明线段BC和AB相等；2.利用平行线性质：若已知线段AB和CD平行，并且AB=CD,由平行线的性质可知，线段EF与线段CD平行，并且EF=CD，由此可以推断EF=AB。
3.利用等角性质：若已知两个等角∠A和∠B，同时已知线段OA=OB,则可以证明线段AB和OA相等。
四、利用条件与性质：1.利用等腰三角形性质：如果已知等腰三角形的两条底边相等，则可以利用等边三角形的性质，证明三角形的其他边也相等。
2.利用圆的性质：如两个线段的长度分别与圆心角相等的两条弧相等，则可以推断这两个线段的长度也相等。
五、利用勾股定理：1.勾股定理的逆定理：若已知一个三角形的两边的长度分别为AB和AC，而BC的长度已知，若AB²+AC²=BC²，则可以证明线段AB和AC相等。
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。
∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
判断三条线段关系的方法
判断三条线段关系的方法
1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段和求证中得那一条线段相等；
2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
证明线段成比例问题的常用方法
证明线段成比例问题的常用方法（1）方法一、三点定形法利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。
反过来想，由三个不同的字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出是哪两个三角形相似。
【例1】如图，CD 、BE 是△ABC 的两条高，求证： ①AC AE AB AD ⋅=⋅ ②∠AED ＝∠ABC ③FE FB FC FD ⋅=⋅分析：①欲证AC AE AB AD ⋅=⋅即证ABACAE AD =I ．横看法：II ．竖找法：F ⑩DE ABC~AEB ∆⇒∆ADC ⇒∆AEBADC⇒∆ADE ⇒∆∆ACB ~ADE⇒∆⇒∆ADE试验：（射影定理）如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 求证： ①AB AD AC ⋅=2②BA BD BC ⋅=2③DB DA CD ⋅=2请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？ 1、已知：如图，△ABC 中，EF ∥BC ，AD 交EF 于G.求证： CDFGBD EG =；2、R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2DCBAGABCF EDBCDEMNDCBADCBA证明线段成比例问题的常用方法（2）方法二、等量代换法当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括： 1.等比代换； 2.等线段代换； 3.等积代换．【例1】]已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ．求证：BFFEFG BF =。
归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用．【例2】R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等ABCDEMN腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．【例3】R t △ABC 中，∠BAC =90°， D 为AC 上一点，AE ⊥BD ①若DCB DEC ∠=∠，求证：D 为AC 的中点；②若AF ⊥BC 于F ，连EF ，求证：△BEF ∽△BCD归纳：此例为等积代换的典型例题，这种代换方法往往需要含有射影定理和另外一对相似三角形同时出现．【练习】△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ，E 为DA 上任意一点，CM ∥AB 交BE 于M ，BM 交AC 于F . 求证：EM EF BE ⋅=2ABCDEFABCDEABCEFM证明线段成比例问题的常用方法（3）方法三、辅助平行线法利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线截比定理和平行相似定理来实现．【例1】如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，延长CB 到E ，使BE =AD ，ED 交AB 于F ．求证：ACBCEF DF．【例2】已知在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上的中点，AD 与BE 交于P ． （1）如图1，当BD ＝CD 时，PBPE＝ ；（2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．DFABCEABC PE图1D图2ABC D PEFE DCB AFEDCB A【例3】如图，已知等腰Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 边上一动点，BC ＝nDC ，CE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ． （1）若n ＝3，则=DE CE ，=DEAE（2）若n ＝2，求证：AF ＝2FC ；（3）当n ＝ ，F 为AC 的中点（直接填出结果，不要求证明）【练习】△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AC 上一点，AD 、BE 交于F 。
线段不等关系问题的证明方法与技巧
线段不等关系问题的证明方法与技巧1.使用勾股定理：勾股定理是数学中最基本的定理之一，也是证明线段不等关系问题常用的方法之一、如果有两个线段AB和CD，通过勾股定理可以得到AB^2=AC^2+BC^2和CD^2=CE^2+DE^2，比较这两个式子的大小可以推导出线段AB和CD的大小关系。
2.使用三角形的性质：线段不等关系可以通过比较两个三角形的边长来判断。
如果有两个线段AB和CD，可以构造两个三角形ABC和CDE，比较两个三角形的边长可以推导出线段AB和CD的大小关系。
3.使用向量的性质：线段可以用向量表示，通过比较两个向量的模长可以推导出线段的大小关系。
如果有两个线段AB和CD，可以用向量表示为AB=B-A和CD=D-C，比较这两个向量的模长可以判断线段AB和CD的大小关系。
4.使用数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明方法，可以用来证明线段的不等关系。
首先可以证明线段长度为0时，不等关系成立；然后假设对于长度为n的线段，不等关系成立；再证明对于长度为n+1的线段，不等关系也成立。
5.使用反证法：假设线段AB和CD相等，然后通过一系列逻辑推导推出矛盾的结论，即AB和CD不相等。
这种方法常用于证明线段的等份问题，通过排除等份的可能性而得出不等关系。
6.使用数学不等式：线段不等关系可以用数学不等式表示。
假设有两个线段AB和CD，可以表示为AB≠CD。
通过引入一些中间量，构造数学不等式可以推导出线段AB和CD的大小关系。
7.使用几何变换：几何变换是一种常用的证明方法，可以通过平移、旋转、镜像等操作改变线段的位置和方向，从而得到不等关系。
总之，证明线段不等关系的方法与技巧有很多种，可以根据具体问题选择适当的方法和技巧进行证明。
在证明过程中，需要运用一些基本的数学知识和常用的数学定理，合理运用逻辑推理和数学推导，严谨地分析和论证，从而得出准确的结论。
证明线段相等的常用方法
~A CB DP QB证明线段相等的常用方法1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF。
例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．￥例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． .（1）试说明：DE ＝BF ；$&二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
]例2. 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；、例3.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG(！二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ； 等式性质：若a=b ，则a －c=b －c例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰CD AB 、为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，联结EF ，设线段EF 的中点为M ．求证：MD MA =．`&例2.例3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC AB BC ,=交⊙O 于点F ，直线AF 交BC 于E ．求证：CF BE =．《，F O A 第4题图第9题图GME FHDCBA【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．)2、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.$《3.直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 边上一点．A-BDECF（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．·4、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF 相交于DF的中点O．（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE．￥->5.已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证： (1)∠ADF=∠BCF ；(2) AF ⊥CF.>6、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ． （1）求证：CF=CG ；（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长．…7．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AC=AB ，∠DAC=30度．点E 、F 是梯形ABCD 外的两点，且∠EAB=∠FCB ，∠ABC=∠FBE ，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF ；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE 的长．'F E D C B A 12 3 。
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证明线段相等的常用方法
宿城区中扬中学张家旭
一、证明两线段是全等三角形的对应边
例1、如图（1），△ABC是边长为a的等边三角形，沿长BC到D，使CD=b，沿长BA到E，使AE=a+b，连结EC、ED。
求证CE=DE
如图（1）如图（2）如图（3）
证明：沿长BD到F 使DF=a 则BF=2a+b 而BE=2a+b ∴BF=BE 又∠B=60°∴△BEF为等边三角形
∴BE=EF 而∠B=∠F BC=DF
∴△BEC ≌△FED ∴ CE=DE
例2、如图（2）、B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。
求证CG=CF
证明：在△ACD与△BCE中，AC=BC ∠ACD=∠BCE=120°CD=CE ∴△ACD≌△BCE ∴∠1 = ∠2
∴在△ACF与△BCG中，有∠1 = ∠2 AC=BC ∠ACF =∠BCG ∴△ACF≌△BC`G ∴ CG=CF
二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量
例3、图（3），梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，∠BOC=60°，E、F、G分别为AO、BO、CD的中点。
求证：△EFG为等边三角形。
证明：∵ABCD为等腰梯形∴AB=CD 可知△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC ∵∠BOC=60°, ∴∠BCO=∠CBO=60° 连结DE ，可知DE ⊥AO 而DG=GC ∴EG=21CD=2
1AB=EF 同理 EF=FG ∴ △EFG 是等边三角形。
例4、如图（4），正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且AE=CD+CE ，AF 为∠EAD 的平分线。
求证 DF=CF 。
如图（4） 如图（5） 如图（6）
证明：在AE 上截取AH=AD ， 连FH 、FE
则△ADF ≌△AHF ∴∠FHE=90° DF=FH AH=AD
又因为 CE=AE-CD=AE-AH=HE
∴△FCE ≌△FHE ∴FH=FC ∴DF=FC
三、 证明两线段是一个三角形的等角的对边
例5、如图（5），在△ABC 中，∠ABC=90°，∠1=∠2，BD ⊥AC 于D ，
FH ⊥AC 于H 。
求证BEHF 是菱形。
证明：∵∠1=∠2 BD ⊥AC FH ⊥AC
可知∠4=∠BEF=∠BFE BE ∥FH ∴BE=BF
又BF=HF ∴BE=HF ∴BGHF 为菱形
四、 证明两线段是平行四边形的对边或者是对角线交点所分的两部分
例6、如图（6），E 、F 是平行四边形ABCD 对角线B 、D 上两点，且BE=DF ，
求证：AE=CF
证明：连结AC 设AC 与BD 的交点为O ， ∵ABCD 是平行四边形
∴OB=OD OA=OC 又∵BE=DF
∴OE=OF ∴四边形AECF 是平行四边形
∴AE=CF
五、 利用平行线等分线段定理来证
例7、如图（7），CP 为⊙O 的切线，PAB 为割线，COD 为直径，自A 作PO
的平行线分别交CD 、BD 于E 、F 。
求证：AE=EF
证明：作OM ⊥AB 则AM=BM 连CM 、EM 、CA
∵∠PCO=∠AMO=90° ∴P 、C 、M 、O 四点共圆
∴∠MCO=∠OPB=∠BAE ∴ A 、C 、M 、E 四点共圆
∴∠AME=∠ACE=∠ABF ∴ME ∥BF
∴AE=EF
六、 利用平行线分线段成比例定理来证
例8、如图（8），梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 。
的交点，EF 过点0并且平行于AD 。
求证：OE=OF
如图（7） 如图（8） 如图（9） 证明：∵AD ∥BC ∥EF ∴OE/BC=AE/AB OF/BC=DF/DC 又由于AE/AB=DF/DC ∴OE/BC=OF/BC
∴OE=OF
七、 用代数方法通过计算来证明
例9、如图（9）△ABC 中，D 、E 为BC 上的任意两点，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC ，且DM+DN=ES+ER 求证：AB=AC
证明： △ABD 面积+△ACD 面积=△ABE 面积+△ACE 面积
∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，ES ⊥AB ，ER ⊥AC
∴21AB ·DM+21AC ·DN=21AB ·ES+2
1AC ·ER
∴AB(ES-DM)=AC(DN-ER) ∵ DM+DN=ES+ER
∴ES-DM=DN-ER ∴ AB=AC
八、利用线段垂直平分线的性质定理来证明
例10、如图（10），AC=AD ，BC=BD ，E 是AB 上任意一点，求证 EC=ED
（如图）（10）
证明：∵AC=AD，BC=BD ∴AB是线段CD的垂直平分线
又E在线段AB上∴EC=ED
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