求三角函数值域
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
三角函数定义域值域的求法(共10张PPT)
反表示法
两边平方
四）二合一
五） 其他形式：
y
1
2
0
2x
六：应用题求最值
D
C
A
B
值域
最值 周期
[1,1]
T2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
直接代入法
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
最小值是
二)二次型
二次函数法
点拨:1.换元(注明新元取值)
2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
2.
y
写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
y= sinx和 y= cosx， x [0, 2 ]的简图：
最小值是
2.
根据图象写出不等式的解集
y=cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 三角函数定义域值域的求法
-1
0
1 2
1
t
练习：口答下列函数的值域
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
点拨:统一函数名
三） 分式型 点拨: 1.反表示
三角函数定义域值域的求法
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
《求三角函数值域与最值的常见类型》专题精讲
1/1 《求三角函数值域与最值的常见类型》专题精讲求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性,这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质.1.形如sin (0)y a x b a =+≠型的函数求解形如sin y a x b =+(或cos y a x b =+)的函数的最值或值域问题时,利用正、余弦函数的有界性(1sin x -1,1cos 1)x -求解,注意对a 正、负的讨论.典例1 求函数34cos 2,33y x x ππ⎛⎫⎡=-+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣,6π⎤⎥⎦的最值及相应的x 值. 思路:本题考查三角函数的最值相关问题,将所给自变量的取值范围转化到函数解析式中去,再根据函数的图象和性质进行计算求值.解析:∵2,,2,36333x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而1cos 2123x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∴当cos 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,203x π+=,即6x π=-时,min 341y =-=-, 当1cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,2233x ππ+=,即6x π=时,max 13452y ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭. 2.形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠型的函数求解形如2sin sin y a x b x c =++(或2cos cos y a x b x =+),c x D +∈的函数的值域或最值时,通过换元,令sin t x =(或cos x ),将原函数转化为关于t 的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意sin t x =(或cos x )的有界性.典例2 求函数21()2sin 2sin ,26f x x x x π⎡=+-∈⎢⎣,56π⎤⎥⎦的值域. 思路:本题考查函数的值域问题,需要先将原函数进行化简,得到只含有一个函数名的函数,亦可以进行换元,但需注意自变量的取值范围相应也要改变,最终计算得出结果.解析:令sin ,()t x y f x ==,∵51,,sin 1662x x ππ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦,即112t . ∴2211222122y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,∴71,2y ∴函数()f x 的值域为71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高一数学三角函数值域的求法
小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没
三角函数最值或值域的求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。
解：由x x y si n 21si n --=变形为(1)si n 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β解法2：x x y cos 213sin 213-++=∴函数的最大值为2，最小值为2-。
分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π-x 看成基本量，将函数化归为同一角)6(π-x 的函数式。
解法3： （运用和差化积公式 ）)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。
类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数值域的几种求法
当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h 当a 0时，f ( x) max a h, f ( x) min a h
口答下列函数的最大值和最小值。
(1) y 2sin x
（2）y 3 2 cos( 2 x ) 3
例4、已知函数 f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
(1)求 f 的值 3
(2) f x 的最大值和最小值
例4、已知函数 (1)求 的值 (2)求 f x的最大值和最小值
f 3
f x 2 cos2x sin 2 x 4 cos x
像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．
巩固练习： 1、函数 f ( x) sin 2x 2 sin x 的最大值为：2 1
2
2、函数 y sin 3、当
7 x , 6 6
2
x cos x 1的值域是：
1 2, 4
2 y 3 cos x 2 sin x 的最 时，函数
（3）y 1 sin x 2
[-2,2]
[1,5]
[0,
2 2
]
(4) y a cos x b （a 0)
当a>0,[-a+b,a+b] 当a<0,[a+b,-a+b]
题型二、 二弦合一型 y= a sin x b cos x c = 型的最值问题 a 2 b 2 sin x c
2
2 3 sin x cos x 2 cos x 1
3 1 4 cos x( sin x cos x) 1 2 2
求三角函数的值域(最值)题型例析
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。 由 0≤x ≤
,可 得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所 以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所 以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题 型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。 当 x ∈
[0,712π] 时,函 数 f(x)的 最 小 值 和 最 大 值 分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac
常见的三种三角函数值域的求法
ｓｉｎｘ ＝ ｔꎬ化为关于 ｔ 的二次函数求值域.
三、ｙ ＝ ａｓｉｎｘｃｏｓｘ ＋ ｂ( ｓｉｎｘ ± ｃｏｓｘ) ＋ ｃ 型的三 角函数值域的求法
例 ３ 求函数 ｙ ＝ ｓｉｎｘ － ｃｏｓｘ ＋ ｓｉｎｘｃｏｓｘ 的值域.
Ａ
＋
Ｃ
＝
３ ４
π.
∴
２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ ＝
２ ｃｏｓＡ
＋(
－
２ ２
ｃｏｓＡ)
＋
２ ２
ｓｉｎＡ
＝
２ ２
ｃｏｓＡ
＋
２ ２
ｓｉｎＡ
＝
ｓｉｎ(
Ａ
＋
π ４
)
.
∵
Ａ
＋
Ｃ
＝
３ ４
πꎬ∴
Ａ∈(０ꎬ
３ ４
π) ꎬ∴
Ａ
＋
π ４
∈(
π ４
ꎬπ) .
∴
ｓｉｎ( Ａ ＋
π ４
)
最大值为
１.
评注 在本题的第二问中求 ２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ 的最值时 就是将其化简成了 ｙ ＝ Ａｓｉｎ( ωｘ ＋ φ) ＋ ｋ 的形式再去求解 的ꎻ对于一般的形如 ｙ ＝ ａｓｉｎｘ ＋ ｂｃｏｓｘ ＋ ｃ 的三角函数都将 其化为 ｙ ＝ Ａｓｉｎ( ωｘ ＋ φ) ＋ ｋ 的形式ꎬ再求值域.
２ ａｃ. (１)求∠Ｂ 的大小ꎻ
(２) 求 ２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ 的最大值.
解析 (１)∵ ａ２ ＋ ｃ２ ＝ ｂ２ ＋ ２ ａｃꎬ∴ ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ＝ ２ ａｃꎬ
∴
ｃｏｓＢ ＝ ａ２
三角函数求值域专题(最新整理)
(0, ] ，则当△OAB 的面积达最大值时，
2
__________2___ ．
10．已知函数 f (x) 2 cos x(sin x cos x) 1， x R ．
（Ⅰ）求函数
f
(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求函数
f
(x)
在区间
π， 8
3π 4 上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ） f (x) 2 cos x(sin x cos x) 1 sin 2x cos 2x
②利用万能公式求解；
③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例 1：求函数 y sin x 的值域。 cos x 2
解法 1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定的
直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆相切时得
3
3
sin y cos2 x (sin x 1)2 11 ，当 sin x 1 时， sin y cos2 x 有最小值 11 ；当 sin x 2
2 12
2
12
3
时， sin y cos2 x 有最小值 4 ． 9
例 2：已知 3sin 2 2 sin 2 2 sin ，求 y sin 2 sin 2 的取值范围。
f
(x)
1 cos 2x 2sin( x)
sin
x
a2
sin( x
)
4
的最大值为
2 3 ，试确定常数 a 的值.
2
解：
f
(x)
1 2 cos2 x 1
2 sin(
x)
sin
x
a2
sin( x
常见求三角函数值域的类型
常见求三角函数值域的类型教师在处理题目时，不要只是就题论题，要通过这个题目让学生学会分析问题的方法，通过练习总结解题规律及方法，通过练习总结解题规律及方法，如通过解题总结三角函数最值的方法，利用三角函数的有界性，通过换元把三角函数最值问题转化成一般函数求最值问题，但要注意换元后新变元的取值范围。
解题过程中体现了数学思想，教师注意引导学生分析解题思路。
正、余弦函数都是有界函数，求以x sin 、x cos 为未知数的三角函数的值域时，首先要关注其自身的取值范围，否则很容易出错。
对于三角函数的值域，常见求值域的类型： 一、)cos (sin b x a b x a y ++=或型例1：已知函数()x x f cos 31-=，求函数()x f 的值域。
解析：1cos 1≤≤-x31cos 3131+≤-≤-∴x∴函数的值域为[]31,31+-点评：利用三角函数的值域，需注意对字母a 讨论。
二、x b x a y cos sin +=型例2：已知函数()x x x f cos 3sin +=，求函数()x f 的值域。
解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πx x x x f∴函数的值域为[]2,2-点评：借助辅助角化成()ϕ++=x b a y sin 22的形式，利用有界性解决。
强调：(),cos ,sin cos sin 2222ba a xb a x b x a y +=++=+=ϕϕ其中22sin ba b +=ϕ三、c x x a y ++=sin sin 2型例3：已知函数()1cos sin 2+-=x x x f ，求函数()x f 的值域。
思路点拔：配成关于x cos 的二次函数再结合x cos 的有界性求解。
解析：()4921cos cos cos 21cos sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=+-=x x x x x x f∴函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,0点评：化成同名三角函数，通过配方后转化为二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
求三角函数的值域的方法
求三角函数的值域的方法三角函数是数学中的重要概念，其值域（或最值）在数学中起到了重要的作用。
在解决三角函数的值域问题时，我们需要了解三角函数及其基本特性，并运用一些基本的数学方法来求解。
首先，我们需要了解一些关于三角函数的基本知识。
在直角三角形中，正弦函数（sin）表示的是对边与斜边的比值，余弦函数（cos）表示的是邻边与斜边的比值，正切函数（tan）表示的是对边与邻边的比值。
1. 正弦函数（sin）的值域：正弦函数的值域在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \sin(x) \leq 1$。
最小值为$-1$，当$x$为$\frac{\pi}{2} +2k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k$为整数）时取到。
2. 余弦函数（cos）的值域：余弦函数的值域也在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \cos(x) \leq 1$。
最小值为$-1$，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$(2k+1)\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）时取到。
3. 正切函数（tan）的值域：正切函数是一个无界函数，其值域为$(-\infty,\infty)$，即$\tan(x) \in (-\infty,\infty)$。
正切函数的最小值和最大值是在其不连续点出现，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时，$\tan(x)$不存在。
除了上述基本的三角函数外，还存在一些其他的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等，它们也具有类似的值域。
在求解三角函数的最大值和最小值时，我们可以运用一些基本的数学方法：1.寻找定义域：首先，我们需要确定三角函数的定义域，即取哪些值作为变量。
对于一般情况下的三角函数，其变量可以是实数，因此我们只需要考虑定义域。
2. 寻找连续区间：在定义域中，我们需要确定三角函数的连续区间。
求三角函数值域的常见类型
图$
6 P7 O 6 R 7 O 5Q O $Q O 3 5Q O $: O 3 6 S 7 O 6 T 7 O 5: O $Q O 3 5: O $: O 3 解 设一间民房的底面面积为 O* 按题 意并利用 6 =7式得 G ; < !% :
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(完整版)三角函数值域求解归纳
三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。
其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。
题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。
掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1．y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。
应用课本中现成的公式即可：sin(x+φ)，其中tan baφ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +)－sin 2x +sin x cos x 3π3(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［，］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.12π127π解：(1)f (x )=2cos x sin(x +)－sin 2x +sin x cos x 3π3=2cos x (sin x cos +cos x sin )－sin 2x +sin x cos x 3π3π3=2sin x cos x +cos2x =2sin(2x +)33π∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +=2k π－，即x =k π－ (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3π2π125π(3)令2sin(2x +)=1，又x ∈［］,3π27,2ππ∴2x +∈［,］,∴2x +=，则3π3π23π3π65πx =，故f -－1(1)= .4π4π 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
求三角函数定义域和值域题型
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型 y=asinx+b
直接代入法
例1：求y 2sin x 1 值域。
分析：利用 sinx 1 cos x 1有界性
函数y 2sin x 1的值域为1，3
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
cos
x
t2
1 2
例5：y sin x cos x sin x cos x
y
解： 设t=sinx+cosx,则t 2, 2
原式化为： y=t+ t2 1 2
= 1 t2 t 1 = 1（t 1）2 1
2, 2
ymin =-1 ,
ymax
=
1 2
+
2
练习：y sin x cos x 1 sin x cos x
(2)cosx ≤1/2
解：作出余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象：
y
1
1/2
o
/2
3/2
2 x
-1
由图形可以得到，满足条件的x的集合为：
[π/3+2kπ,5 π/3+2kπ] k Z
题型二. 求三角函定义域:
【例 2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 36－x2＋lg cos x； (2)y＝logsin x(cos x＋12)．
例4. y sin x 3 cos x的值域.
解：原式= 12 （ 3）2 sin( x ) 2 sin( x ）
3
3
原式的值域为2，2
练习：y 2sin x cos x的值域. 值域为 5, 5
三角函数的值域
答案A
解析因为0≤x≤9，所以－ ≤ － ≤ ，所以－ ≤sin ≤1，则－ ≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－ .
跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin ，其中x∈ ，若f(x)的值域是 ，则实数a的取值范围是．
答案
解析∵x∈ ，∴x＋ ຫໍສະໝຸດ ，∵当x＋ ∈ 时，f(x)的值域为 ，
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － .
∴函数的值域为 .
三角函数的值域
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
例1(1)函数y＝cos 2x＋2cosx的值域是()
A．[－1,3]B.
C. D.
答案B
解析y＝cos 2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2 2－ ，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为 .
(2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
∴由函数的图象(图略)知， ≤a＋ ≤ ，
∴ ≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．
答案
解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝ ，且－ ≤t≤ .
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求三角函数值域
三角函数是数学中一类重要的函数，其值域是重要的概念。
在此，我们将讨论如何求解三角函数值域。
首先，要正确理解三角函数的值域，就必须首先弄清楚三角函数本身。
三角函数是指可以表示三角形内角度及边长关系的函数，主要有正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
它们都可以根据角度将其映射到另一个定义域内的值。
比如，正弦函数的值域是-1到1，余弦函数的值域是-1到1，正切函数的值域是全体实数。
3角函数值域是一组定义域上三角函数可以取得有限个值的集合，这些值经过映射可以转换为克利夫值域。
克利夫值域是三角函数的值域的更广泛的版本，它代表了实际的三角函数的结果不需要被映射的情况。
比如，克利夫值域对于正弦函数的值域是从-∞到+∞，而正弦函数的值域只是-1到1。
求三角函数值域的方法主要有两种。
首先，我们可以根据三角函数特性，通过角度变换计算正弦、余弦和正切函数的值域。
一般情况下，给定三角函数的值域也可以转换为克利夫值域，但是也有一些特殊情况，比如当角度超过180度时，需要进行特殊处理。
其次，我们还可以根据特定函数的图形来求三角函数的值域。
比如，当正弦函数x的值域是[m,n]时，y所在的值域就是[0,1]。
此外，余弦函数的值域也可以从其图形中得出，从而确定其x、y值域范围。
另外，由于正切函数的图像没有任何界限，因此它的x、y值域也是
无穷的。
总而言之，三角函数的值域可以通过角度变换和图形观察两种方法来求解。
计算正弦、余弦和正切函数的值域时，都可以从克利夫值域推出具体的值域。
而且，计算三角函数值域可以使用数学表达式。
为了更好地理解三角函数的值域，我们还可以通过举例来更深入地讨论这一问题。
例如，给定一个角为60度的三角形，三条边的长度分别为a、b和c，根据余弦定理可以求出三角函数的值域。
下面列出的函数就是求出的三角函数的值域：
正弦函数：sin(60°) = b/c = 0.86602540378
余弦函数：cos(60°) = a/c = 0.5
正切函数：tan(60°) = b/a = 1.73205080757
最后，对于三角函数的值域计算更加深入，我们可以使用积分和微分法，考虑函数更一般的情况，比如，三角函数的变换、函数的无穷值递增以及函数的微分关系等。
以上就是关于三角函数值域的介绍，三角函数的值域的计算是一个重要的数学问题，设计出正确的计算方法对今后的科学发展有着重要的意义。