三角函数的定义域、值域

23
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
1. 定义域 2.
1. 2. 值域 3. 4.
备选题1
备选题2.
备选题3
备选题 4
函数 y＝sin x＋23π ，x∈ 0，π2 的值域是
()
－ 3，1 A. 2 2
－1， 3 B. 2 2
C. 23，1
D. 12，1
解：
∵0≤x≤π， 2
∴23π≤x＋23π≤76π.
∴sin
7π≤sin
x＋2π 3
≤sin
2π，
6
3
∴－12≤y≤ 23.故选 B.
总结：
y sinx 的值域求法如下：
练习
求使函数 y 3cos(2x ) 取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3sin z
化未知为已知
练习
求函数
y
3 2
sin
1 2
x
6
的最大值
因为有负号，
y 3 sin z 最大
三角函数的定义域、值域
回忆一下
1.正、余弦函数的定义域y和值域
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1]
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤1 | cos x |≤1
2.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x k , k Z}
2
值域： R
y
y tan x
值得注意
2
2
o 2
x 2
例
y sin x
y sinx 角
练习
1.已知函数y tan(2x ）
4
则定义域：
x
x
8
k
2
,
kzຫໍສະໝຸດ 例(sin x 1 )
练习 函数 y log2 2 的定义域为：
当 t＝12，即 sin x＝12时，ymin＝f(t)min＝34. ∴函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域为34，3.
小结 形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可
以通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在闭区间[－1,1]上 的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当 x∈R 时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1 对值域的影响．
y sin x
1
O
x
2
2
1
(2k ,2k 5 )k Z
6
6
关于三角函数的定义域：
1.正切函数的定义域 ； 2.与常见函数相结合，要解三角函数不等式
例
练习
例 求函数的最大值
使原函数取得最大值的集合是
和最小值
x
|
x
3
4k
,k
Z
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x