第5章微积分问题的计算机求解
js微积分运算
js微积分运算JS微积分运算微积分是数学中的一门重要学科，它涉及到函数、极限、导数、积分等概念和运算。
在计算机科学领域，微积分在很多领域都有应用，特别是在编程语言中，如JavaScript（JS）中的微积分运算。
一、函数与极限在JS中，我们可以定义各种函数来进行微积分运算。
函数是一种映射关系，它将一个自变量映射到一个因变量。
在微积分中，我们关注的是函数在某一点的变化情况，即函数的极限。
通过使用JS中的函数定义和极限计算方法，我们可以求解函数在某一点的极限值。
二、导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的切线斜率。
在JS中，我们可以使用差商的方法来计算导数。
差商是通过取函数在某一点附近两个点的函数值之差，除以这两个点之间的距离来近似表示函数的变化率。
通过使用JS中的差商计算方法，我们可以得到函数在某一点的导数值。
微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点的变化情况。
在JS 中，我们可以使用微分的概念来进行函数的近似计算。
微分是通过函数在某一点的导数值与自变量的变化量的乘积来近似表示函数的变化量。
通过使用JS中的微分计算方法，我们可以得到函数在某一点的近似变化量。
三、积分与面积积分是求解函数在某一区间上的面积的工具，它描述了函数在该区间上的累积效应。
在JS中，我们可以使用定积分的方法来计算函数在某一区间上的面积。
定积分是通过将区间划分为无穷多个小区间，并对每个小区间上的函数值乘以该小区间的宽度来求和，从而近似表示函数在整个区间上的面积。
通过使用JS中的定积分计算方法，我们可以得到函数在某一区间上的近似面积。
总结在JS中进行微积分运算，我们可以通过定义函数、计算极限、求解导数和积分等方法来完成。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化规律、描述函数的变化率、近似计算函数的变化量和求解函数的面积等问题。
通过运用微积分的知识和JS编程技巧，我们可以更好地理解和应用数学在计算机科学中的重要性和价值。
计算机数值方法第五章常微分方程数值解法lz
hf ( x j 1, y j 1 )
yi1 yi hf xi1, yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
（P170）例1：取h=0.1，分别用显式Euler法、隐式
Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题
2 xi yi 1 yi h( yi ) 解： yi Evaluation 2 xi 1 用预测校正系统求解，有： y only. ) i 1 yi h( yi 1 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 y y0=1 i 1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 x1 2 x0 y2 y1 h( y1 y ) 1.1827 y1 y0 h( y0 y ) 1.1 1 0 y y h( y 2 x1 ) 1.0918 y 2 y1 h( y2 2 x2 ) 1.1763 1 0 1 y2 y1
引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 (Initial-Value Problem ):
dy f ( x , y ) x [a , b ] dx Evaluation only. y ( a ) y0 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
2 xi yi 1 yi hfEvaluation ( xi , yi ) yi only. h( yi ) yi Profile 5.2 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client 22004-2011 x0 2 0 Ltd. Copyright Aspose Pty y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 (1 ) 1.1 y0 1
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
Matlab微积分问题计算机求解实验
>> q2=quad('quad1',0,1)
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
数值积分
3、编写被积函数表达式，函数名为f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）
trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快， 但精度差。
syms x; f=abs(x)/x;%给出待展开的函数 xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]);
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20
[A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
K ex2dx 0
计算积分
21
( x1)2
练习：
e 2 dx,
0 2
e2t 2 x 2 1
dx
cost (2 x 2 3 x 1)2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn): symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
例：计算级数
S 1 及其前100项的部2 分和 n n 1
>> syms n; f=1/n^2;
>> S=symsum(f,n,1,inf)
>> S100=symsum(f,n,1,100)
微积分问题的计算机求解资料
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【例3-10】
用diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。
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对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
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3.1.2.3 多元函数的Jacobi矩阵
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X是自变量构成的向量， Y是由各个函数构成的向量。
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3.1.1.2 多变量函数的极限
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【例3-3】求出二元函数极限值
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3.1.2 函数导数的解析解
3.1.2.1 函数的导数和高阶导数
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【例3-25】 求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的1～4 阶 导数，并和解析解比较精度。
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【第3章】微积分问题的计算机求解
【第3章】微积分问题的计算机求解极限问题的解析解单变量函数的极限假设已知函数f(x),则极限问题⼀般描述为L=limx→x0f(x)此外，还有单边极限问题L=limx→x−0f(x)左极限L=limx→x+0f(x)右极限matlab同样可以做这些极限运算L=limit(fun,x,x0) %求极限L=limit(fun,x,x0,'left'或'right') %求单边极限举个例⼦试求解极限问题lim x→∞sin(x) xmatlab代码syms x; f=sin(x)/x;limit(f,x,0)运⾏结果截图多变量函数的极限若想求出⼆元函数的极限L=limx→x0y→y0f(x)我们可以嵌套使⽤limit()函数。
L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，⽽是另⼀个变量的函数，例如x→g(y) ，则上述极限求取顺序不能交换。
函数导数的解析解函数的导数和⾼阶导数如果函数fun和⾃变量x都已知，且均为符号变量，则可以⽤diff()函数解出给定函数的各阶导数。
y=diff(fun,x) %求导y=diff(fun,x,n) %求n阶导例：给出如下函数，试求出其⼀阶导数f(x)=sinxx2+4x+3matlab代码syms x;f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,1);latex(f1)最后得出结果如下cos(x)x2+4x+3−sin(x)(2x+4) x2+4x+32复合泛函求导例：给出如下函数，试求出其三阶导数公式，以及f(t)=e−t时的结果关键将f(t)声明为符号变量F(t)=t2sintf(t) matlab代码syms t f(t);G=simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))simplify(subs(G,f,exp(-t))),simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-ans)()最后得出结果如下G(t)=6*cos(t)*f(t) + 6*sin(t)*diff(f(t), t) + 3*t^2*cos(t)*diff(f(t), t, t) + 12*t*cos(t)*diff(f(t), t) - 6*t*f(t)*sin(t) + t^2*sin(t)*diff(f(t), t, t, t) - 3*t^2*sin(t)*diff(f(t), t) + 6*t*sin(t)*diff(f(t), t, t) - t^2*cos(t)*f(t)ans(t) =2*exp(-t)*(3*cos(t) - 3*sin(t) + t^2*cos(t) + t^2*sin(t) - 6*t*cos(t))ans(t) =0矩阵函数的求导矩阵的求导：H (x )=4sin (5x )e −4x23x 2+4x +1√4x 2+2可以对每个元素分别求导syms x;H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)];H1=diff(H,x,3)运⾏结果：H1 =[ -500*cos(5*x), 192*x*exp(-4*x^2) - 512*x^3*exp(-4*x^2)][ 0, (24*2^(1/2)*x^3)/(2*x^2 + 1)^(5/2) - (12*2^(1/2)*x)/(2*x^2 + 1)^(3/2)]参数⽅程的导数matlab中没有直接能够求解参数⽅程的函数，但我们可以根据其在数学上的定义来求：根据递推公式，我们可以从中看出了，它的形式与我们之前学习的递归调⽤有很⼤的相似性，因此我们可以编写⼀个这样的函数paradiff(y,x,t,n)来求参数⽅程的n 阶导数%paradiff.mfunction result=paradiff(y,x,t,n)if mod(n,1)~=0, error('n should positive integer, please correct')else, if n==1, result=diff(y,t)/diff(x,t);else, result=diff(paradiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t);end, end例：已知参数⽅程如下，求其三阶导数y =sint(t +1)3x =cost(t +1)3matlab 代码syms t;y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; f=paradiff(y,x,t,3);[n,d]=numden(f); %提取分⼦和分母，进⾏单独化简F=simplify(n)/simplify(d)运⾏结果F =(3*(t + 1)^7*(23*cos(t) + 24*sin(t) - 6*t^2*cos(t) - 4*t^3*cos(t) - t^4*cos(t) + 12*t^2*sin(t) + 4*t^3*sin(t) - 4*t*cos(t) + 32*t*sin(t)))/(3*cos(t) + sin(t) + t*sin(t))^5多元函数的偏导数matlab 中没有求取偏导数的专门函数，但我们仍可以通过diff()函数直接实现。
数学：利用微积分求解问题的方法探讨
数学：利用微积分求解问题的方法探讨微积分是数学的一个重要分支，它是研究函数导数和积分的学科。
微积分在众多学科中都有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等等。
本文将探讨利用微积分求解问题的方法，并且将结合一些具体的例子来说明。
一、求函数极值求解函数的极值是微积分中最基本的问题之一。
函数在局部最值的位置处导数为零，这是判断函数局部最大值或最小值的标志。
其中最大值和最小值统称为极值。
下面以一个简单的例子来说明如何求解函数的极值。
假设有一个函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，如何求解函数$f(x)$的极值？首先，求函数的导数$f'(x)=3x^2-12x+9$，然后求解方程$f'(x)=0$。
通过解方程可以得到函数$f(x)$的极值点：当$x=1$时，$f'(x)=0$，$f(1)=5$，故此时$f(x)$取得极小值。
当$x=3$时，$f'(x)=0$，$f(3)=1$，故此时$f(x)$取得极大值。
二、求曲线长度在微积分中，曲线长度的求解是一个常见的问题。
对于一条曲线$L$来说，如果它的方程是$y=f(x)$，则它的弧长可以表示为：$$L=\\int _a^b\\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$a$和$b$是曲线$L$所覆盖的$x$轴区间的端点。
这个公式可以理解为是无数个小曲线段长度的累加和。
下面以一个简单的例子来说明如何求解曲线长度。
假设有一个曲线$y=x^2$，当$x\\in[0,1]$时，如何求解曲线长度？首先，计算出曲线的导数$f'(x)=2x$。
然后将导数代入公式中，得到曲线$y=x^2$在$x\\in[0,1]$时的弧长：$$L=\\int _0^1\\sqrt{1+(2x)^2}dx=\\int _0^1\\sqrt{4x^2+1}dx$$做一个 $u$ 替换，这样可以把积分变成标准形式：$$ u=4x^2+1$$$$L=\\frac{1}{4}\\int \\sqrt udu=\\frac{1}{4}\\cdot\\frac{\\sqrt{u^2}}{2}+\\frac{1}{4}\\ln\\m id\\sqrt{u}+u\\mid+C$$$$L=\\frac{1}{8}\\sqrt{(4x^2+1)^2}+\\frac{1}{8}\\ln\\mid\\sqrt{ 4x^2+1}+4x^2+1\\mid+C$$这个积分可能不太好算，因此我们可以使用数值积分法，例如Simpson法则进行数值计算。
高等数学工程类教材
高等数学工程类教材第一章：导言高等数学是工程类学生必修的一门专业课程。
它作为计算机科学、机械工程、土木工程和电子工程等学科的重要基础，为学生提供了解决实际问题所需的数学工具和方法。
本教材旨在系统地介绍高等数学在工程领域的应用，帮助学生打下坚实的数学基础。
第二章：函数与极限2.1 函数的基本概念与性质2.1.1 函数的定义与表示2.1.2 基本初等函数2.1.3 函数的性质与分类2.2 逼近与极限2.2.1 数列的极限2.2.2 函数的极限2.2.3 极限的运算法则2.3 连续与间断2.3.1 连续函数的定义与性质2.3.2 间断点与间断类型2.3.3 连续函数的运算法则第三章：微分学3.1 导数的概念与计算3.1.1 导数的定义3.1.2 基本初等函数的导数3.1.3 复合函数的导数3.2 微分与微分近似3.2.1 微分的概念与计算3.2.2 微分中值定理3.2.3 线性逼近与切线方程3.3 高阶导数与应用3.3.1 高阶导数的定义与计算3.3.2 凹凸性与拐点3.3.3 相关速率问题与最值问题第四章：积分学4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的概念与计算4.1.2 定积分的概念与计算4.1.3 积分与导数的关系4.2 定积分的应用4.2.1 几何应用：曲线长度、曲面面积4.2.2 物理应用：质量、质心、弹簧振动4.2.3 统计应用：概率密度函数与期望值4.3 微积分基本定理与不定积分的计算4.3.1 微积分基本定理4.3.2 不定积分的计算方法4.3.3 含参数积分与定积分第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 常微分方程的一阶与高阶5.1.3 齐次与非齐次微分方程5.2 一阶常微分方程的解法5.2.1 可分离变量方程5.2.2 线性方程5.2.3 齐次方程与一阶线性齐次方程5.3 高阶常微分方程5.3.1 带常数系数的二阶齐次方程5.3.2 变量分离的高阶微分方程5.3.3 古典振动问题与阻尼振动问题第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与表示6.1.1 多元函数的定义与性质6.1.2 高维空间与坐标系6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分的概念与应用6.2.3 隐函数与参数方程6.3 多元函数的极值6.3.1 条件极值与无条件极值6.3.2 边界上的极值6.3.3 极值存在条件与求解方法结语通过对高等数学工程类教材的详细阐述，希望学生能够逐步掌握高等数学的基本概念、方法和应用，并能够将其灵活运用于实际工程问题的解决中。
电脑搜微积分大一下知识点
电脑搜微积分大一下知识点微积分是数学中的一门重要分支，涵盖了微分和积分两个方面的内容。
作为大一下学期的学习内容，微积分承上启下，对于后续课程的学习具有关键性的作用。
本文将为你介绍电脑搜微积分大一下的知识点。
一、导数与微分在微积分的学习中，导数是一个重要的概念。
导数描述了函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的计算可以借助计算机进行，通过电脑搜微积分相关软件或在线工具，可以快速计算函数的导数，例如MATLAB、Wolfram Alpha等。
二、函数的图像与一阶导数的关系通过电脑搜微积分工具，我们可以绘制函数的图像，并对其进行分析。
对于一元函数，通过计算一阶导数可以得到函数的极值点、增减性和凹凸性等信息。
通过观察函数图像和一阶导数，可以帮助我们更好地理解函数的特性和行为。
三、多项式函数与导数在大一下学期的微积分学习中，多项式函数是重要的研究对象。
通过电脑搜微积分工具，我们可以计算多项式函数的导数，并在图像上展示其特点。
对于n次多项式函数，其一阶导数是n-1次多项式函数，二阶导数是n-2次多项式函数，以此类推。
通过计算多项式函数的导数，我们可以研究函数的变化规律和性质。
四、复合函数与链式法则复合函数是微积分中的重要概念，也称为复合运算。
在计算复合函数的导数时，我们需要借助链式法则。
链式法则是导数计算中的一项重要技巧，可以快速且准确地计算复合函数的导数。
通过电脑搜微积分工具，我们可以进行复合函数导数的计算和图像展示。
五、定积分和不定积分除了导数的计算，电脑搜微积分工具还可以帮助我们计算函数的定积分和不定积分。
定积分可以理解为函数在某个区间上的累积值，不定积分可以理解为函数的原函数。
通过电脑搜微积分工具，我们可以进行积分的计算，并得到准确的结果。
常用的电脑搜微积分工具还可以提供符号计算功能，例如计算不定积分时给出带有常数项的表达式。
六、微分方程微分方程是微积分中的重要内容，也是与工程、物理等学科密切相关的一门学科。
微积分问题的计算机求解
3.1 极限问题的解析解
应用 MATLAB 语言的符号运算工具箱， 可以很容易地求解极限问题、 微分问题、 积分问题 等微积分基本问题。 利用本节和后面两节介绍的方法， 读者应该能立即具备依赖 MATLAB 语言 及其符号运算工具箱中提供的强大函数直接求解一般微积分运算问题的能力。 本节主要侧重各 种极限问题的求解方法， 包括单变量极限、 单边极限和多重极限等问题。
例 3-1 先考虑一个非常简单问题的求解： lim sin x/x。
x→0
解 学过微积分的人都知道该极限为 1。 可以用这个例子来演示本书介绍的三步求解方法： 了解该极限的含义； 将问题用 MATLAB 描述出来； 调用 MATLAB 函数求解。 即使对没有学过极限的概念读者而言， 也可以用语言解释明白函数极限的物理意义， 就是当 x 接近 0 时 sin x/x 函数接近的值——这就很自然地完成了三步求解方法中的第一步。 第二步需要 做的是先声明符号变量 x， 再将函数 sin x/x 表示出来， 第三步， 调用 limit() 函数求极限的值。 用 MATLAB 语句可以直接求解原问题， 得出其解为 1。 >> syms x; f=sin(x)/x; limit(f,x,0) % 直接求解极限问题 . 由于在符号表达式 f 中， x 为标量型符号变量， 所以没有必要使用点运算。 另外由于 x 是唯一变 量， 所以该问题可以更简单地用下面的语句直接求解 >> v=symvar(f), L=limit(f,0) % 第一个语句只用于演示变量提取， 不必给出 . 例 3-2 试求解极限问题 lim x (1 + a/x) sin(b/x)。
x→x− 0 x→x+ 0
（3-1-2）
微积分中的牛顿法与迭代计算
微积分中的牛顿法与迭代计算在微积分中，牛顿法与迭代计算是两个重要的概念和工具。
它们在数学和科学领域中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种复杂的问题。
牛顿法，也被称为牛顿-拉弗森方法，是一种求解方程的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代逼近函数的零点。
具体来说，对于一个函数f(x)，我们可以通过选择一个初始近似值x0，然后使用以下迭代公式来逐步逼近方程f(x)=0的解：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)...xn = xn-1 - f(xn-1)/f'(xn-1)其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过不断迭代，我们可以逐渐接近方程的解。
牛顿法的优势在于它的收敛速度很快，通常可以在几步内得到较为精确的结果。
迭代计算是一种通过重复应用一个算法来逼近问题解的方法。
它在数值计算中有着广泛的应用，尤其是在解决无法用解析方法求解的问题时。
迭代计算的基本思想是通过不断迭代一个函数或算法，使得结果逐渐接近问题的解。
迭代计算可以应用于各种问题，例如求解线性方程组、求解非线性方程、求解微分方程等。
牛顿法和迭代计算在微积分中的应用非常广泛。
它们可以用于求解函数的零点、极值点和拐点等问题。
例如，我们可以使用牛顿法来求解一个复杂的方程，或者使用迭代计算来求解一个无法用解析方法求解的微分方程。
除了在数学中的应用，牛顿法和迭代计算还在科学研究和工程领域中发挥着重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用牛顿法来求解运动方程，从而得到物体的运动轨迹和速度等信息。
在工程中，我们可以使用迭代计算来优化设计方案，找到最优解。
牛顿法和迭代计算的应用不仅仅局限于数学和科学领域，它们也可以用于解决现实生活中的问题。
例如，在金融领域，我们可以使用牛顿法来计算股票的收益率，或者使用迭代计算来优化投资组合。
在计算机科学中，我们可以使用迭代计算来解决图像处理、模式识别和机器学习等问题。
微积分问题的计算机求解
（2）定积分与无穷积分计算
有些函数不定积分可能不存在，但在实际应 用中需要求取它的具体定积分值或无穷积 分的值。例如：erf（x）函数。在Matlab语 言中仍然可以使用 int（）函数来求解定积 分或无穷积分问题，其调用格式为： I= int (f, x, a , b ) 注：x为自变量，（a，b）为定积分的积分区间，
该函数的调用格式为： [A，B，F]=fseries（f，x，n，a，b） 注：其中 f 为给定函数，x为自变量，n为展 开项数，a，b为x 的区间，可以省略取其 默认值为[-pi，pi]，得出的A ，B为 Fourier系数，F为展开式。 当然，仿照上述函数不难写出其数值版。
（3）级数求和的计算
微积分问题的计算机求解
一.微积分问题的解析解 二.函数的级数展开与级数求和问题求 解 三.数值微分 四.数值积分问题 五.曲线积分与曲面积分的计算
一微积分问题的求解
• 1. 极限问题的解析解 (1). 单变量函数的极限
调用格式: L=limit(fun , x, x0) 求极限 L=limit(fun , x, x0, ‘left’ 或’right’) 求单边极 限 注: 在求解之前应申明自变量,再定义极限表达式fun, 若x0为无穷,则可以用 inf 直接表示. 如果需要求解左 右极限问题还需要给出左右选项.
2 双重积分问题的数值解 调用函数格式：
y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM) 矩形区 域重积分 y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM，usilon) 限定精 度的双重积分
计算机科学导论-思想与方法 第3版 第5章
函数是程序设计的基础
程序定义了计算函数的算法。 而定义函数的方法又影响着程序语言的设计。 好的程序设计语言一般都便于函数的计算。
关系
每个关系对应于一个谓词；该谓词的定义域是由k元组组成 的集合，值域为{0, 1}。
二元关系：由有序对组成的集合。 对于每个有序对，称其第一个元素与第二个元素具有相应
集合的补
设I为全集，A为I的任意一子集，则将I–A则为A的补集。
表示为：A =｛x｜x∈I 并且 xA｝。
求补集的运算称为补运算。
例5.4 若I= {x｜–5﹤x﹤5}, A={x｜0﹤x﹤1}，求 A。 解：A = I–A = {x｜–5﹤x﹤0∨1﹤x﹤5}
集合的运算
集合的乘积
等价关系
对于集合A上的任一二元关系R (即R A×A)，如果R满足以下3 个条件，则称R为A上的一个等价关系：
自反性：对于集合中的每个元素a都有aRa； 对称性：对于集合中的任意两个元素a和b，aRb成立当且仅当bRa成
立； 传递性：对于集合中的任意元素a, b, c，如果aRb和bRc成立，则
练习
血缘关系是不是等价关系？ 分析：血缘关系满足自反性和对称性，但不满足传递性，
因此不是等价关系。
“相似”关系 “平行”关系 “相等”关系 “”关系 “朋友”关系 “同学”关系
等价类
等价关系的一个重要应用在于对集合进行等价划分。
集合A上的一个等价关系R可以将A划分为若干个互不相交的 子集；
例5.5 若A={1，2，3}，B={a，b}，求A×B
解：A×B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Mathematica简易教程
Page 21
使用条件运算符，基本格式为：f[x_]:=expr/;condition，当condition条件满足 时才把expr赋给f(x)。
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当然，使用If命令也可以定义上面的函数，If语句的格式为If[条件，值1，值 2]，如果条件成立取“值1”，否则取“值2”，用If语句定义如下：
mathematicapage目录第一章mathematica简介第二章mathematica的基本量第三章mathematica的基本运算第四章函数作图第五章微积分的基本操作page第一章mathematica简介mathematica由美国物理学家stephenwolfram领导开发的他们组建wolfram研究公司mathematica是一个计算机代数系统把符号运算数值计算与图形显示集一体可以完成上述三项功能更重要的是它把这些功能融合在一个系统里使它们成为一个整体
3.2.4 解条件方程
在作方程计算时，可以把一个方程看做你要处理的主要方程，而把其 他方程作为必须满足的辅助条件，你就会发现这样处理很方便。 在Mathematica中，我们通常是首先命名辅助条件组，然后用名字把辅 助条件包含在你要用函数Solve[]求解的方程组中。
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3.3 求和与求积
Mathematica简介与入门
目录
第一章 Mathematica简介 第二章 Mathematica的基本量
第三章 Mathematica的基本运算
第四章 函数作图 第五章 微积分的基本操作
Page 2
第一章 Mathematica简介
Mathematica由美国物理学家Stephen Wolfram领导开发的，他们组建Wolfram 研究公司 Mathematica是一个计算机代数系统，把 符号运算、数值计算与图形显示集一体， 可以完成上述三项功能，更重要的是它把 这些功能融合在一个系统里，使它们成为 一个整体．此外，Mathematica还是一个 易于扩充的系统，即实际上提供了功能强 大的程序设计语言，可以定义用户需要的 各种函数，完成用户需要的各种工作，系 统本身还提供了一大批用这个语言写出的 专门程序或软件包 Mathematica的发布标志着现代科技计算 的开始。Mathematica是世界上通用计算 系统中最强大的系统。自从1988发布以来， 它已经对如何在科技和其它领域运用计算 机产生了深刻的影响
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.9.1) Taylor展开和近似计算
一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。
免积分超清晰可编辑微分方程问题的计算机求解ppt 共131页
高等应用数学问题的MATLAB求解
53
7.3 特殊微分方程的数值解
刚性微分方程的求解 隐式微分方程求解 微分代数方程的求解 延迟微分方程求解
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
54
7.3.1 刚性微分方程的求解
【例7-14】
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
69
【例7-20】
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
70
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
71
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
72
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
73
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
第7 章 微分方程问题的
计算机求解
薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的 MATLAB求解》，清华大学出版社2019
CAI课件开发：刘莹莹、薛定宇
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
1
主要内容
常系数线性微分方程的解析解方法 微分方程问题的数值解法 特殊微分方程的数值解 边值问题的计算机求解 偏微分方程求解入门 微分方程的框图求解
35
7.2.3.3 MATLAB 下带有附加参数的 微分方程求解
【例7-9】
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
36
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
37
2019/7/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
综合应用一微积分问题的计算机求解
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
28
【例3-11】证明
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
29
3.1.3.2 定积分与无穷积分计算
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
30
【例3-13】
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学验－兰州城市学院－数学系
45
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
46
3.2.2 Fourier 级数展开
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
47
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
48
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
49
【例3-19】
18
【例3-6】
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
19
3.1.2.3 多元函数的Jacobi矩阵
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
20
X是自变量构成的向量， Y是由各个函数构成的向量。
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
21
【例3-7】 试推导其 Jacobi 矩阵
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
22
3.1.2.4 隐函数的偏导数
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
23
【例3-8】
2019/9/14
数学实验－兰州城市学院－数学系
24
3.1.2.5 参数方程的导数
已知参数方程
，求
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MATLAB语言与应用
9
【例5-4】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
10
函数及其一阶导数图形：
>> f4=diff(f, x, 4); pretty(f4)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
11
5.1.2.2 多元函数的偏导
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
12
【例5-5】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
13
三维曲面： 引力线：
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
14
【例5-6】
syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); df=diff (diff (diff (f, x, 2), y), z); df=simple(df)
MATLAB语言与应用
28
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
29
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
30
【例5-15】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
31
5.2 数值积分问题
5.2.1 由给定数据进行梯形求积 5.2.2 单变量数值积分问题求解 5.2.3 双重积分问题的数值解 5.2.4 三重定积分的数值求解
y4=diff(y,4); y0=int( int( int( int( y4) ) ) ); simplify(y0)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
22
【例5-10】证明
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
23
【例5-11】不可积问题 f (x) ex2 /2 的积分问题求解。
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
24
5.1.3.2 定积分与无穷积分计算
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
25
【例5-12】求当a＝0，b＝1.5或 时f (x) ex2 /2 的定积分值。
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
26
【例5-13】
38
【例5-18】 第一种: 一般函数方法
第二种：inline 函数 第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
39
用inline函数定义:
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
40
【例5-19】
提高求解精度。
y1=quadl(f, 0, 1.5, 1e-16) abs([y1-y0, y-y0])
MATLAB语言与应用
20
【例5-9】
用diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。
syms x; y=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
21
对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
3
5.1.1 极限问题的解析解
5.1.1.1单变量函数的极限
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
4
【例5-1】试求解极限问题
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
5
【例5-2】求解单边极限问题
2020年10月11日2时10分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
32
5.2.1 由给定数据进行梯形求积
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
33
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
34
【例5-16】
x1=[0:pi/30:pi]’ y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
41
【例5-20】求解 绘制函数:
第5 章 微积分问题的计算机求解
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
1
主要内容
微积分问题的解析解 数值积分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
2
5.1 微积分问题的解析解
5.1.1 极限问题的解析解 5.1.2 函数导数的解析解 5.1.3 积分问题的解析解
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
15
5.1.2.3 隐函数的偏导数
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
16
【例5-7】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
17
5.1.2.4 参数方程的导数
已知参数方程
,求
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
6
5.1.1.2 多变量函数的极限
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
7
【例5-3】求出二元函数极限值
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
8
5.1.2 函数导数的解析解
5.1.2.1 函数的导数和高阶导数
2020年10月11日2时10分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
35
【例5-17】
画图：
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
36
求理论值：
不同步距
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
37
5.2.2 单变量数值积分问题求解
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
-
syms x t; f=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2; I=simple( int( f, x, cos(t), exp(-2*t) ) )
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
27
5.1.3.3多重积分问题的MATLAB求解
【例5-14】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
18
【例5-8】
syms t; y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; d4=diff(y,t,4)/diff(x,t,4)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
19
5.1.3 积分问题的解析解
5.1.3.1 不定积分的推导
2020年10月11日2时10分