数学建模案例分析-- 图与网络方法建模5最短投递路线的设计

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最短路径数学建模案例及详解

最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。

这个问题可以通过数学建模来解决。

以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。

现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。

假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。

解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。

这个变量需要求解。

- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。

设长度矩阵为A。

2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。

可以定义目标函数为：min x[i, j]。

- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。

这个约束条件保证了路径长度的传递性。

即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。

3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。

- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。

总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。

数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。

这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。

数学建模最短路径问题

数学建模最短路径问题
在数学建模中，最短路径问题是一个经典的问题，它在很多领域都有应用，如交通规划、网络路由等。

最短路径问题是寻找从一个起点到一个目标点的路径，使得路径上的总权重（或代价）最小。

最短路径问题有多种算法可以解决，以下是其中两个常见的算法：
1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即从一个起点到其他所有点的最短路径。

该算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点，不断更新节点的最短路径和最短距离，直到到达目标节点或者所有节点都被遍历。

2. Floyd-Warshall算法：
Floyd-Warshall算法用于解决全源最短路径问题，即任意两个节点之间的最短路径。

该算法采用动态规划的思想，通过逐步迭代更新节点之间的最短路径，最终得到所有节点之间的最短路径。

无论是Dijkstra算法还是Floyd-Warshall算法，都需要给定一个图的表示方式和节点之间的权重信息。

图可以使用邻接矩阵或邻接表表示，节点之间的权重可以是距离、时间、代价等。

在实际应用中，最短路径问题可以根据具体情况进行调整和扩展，例如考虑节点的容量限制、路径的约束条件等。

数学建模最短路径模型

数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。

在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。

例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。

所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。

最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。

其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。

解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。

具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。

（2）定义一个集合S，将起点加入S中。

（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。

（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。

若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。

（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。

（6）输出起点到终点的最短路径长度。

弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。

具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。

初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。

（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。

（3）输出起点到终点的最短路径长度。

以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。

无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。

初中数学建模的若干简要案例

初中数学建模的若干简要案例初中数学建模学习案例1 ：----- 与自行车有关的问题（小组学习实践）课题：了解自行车中的数学问题，应用学过的数学知识，解决以下问题。

问题1 ：用自己或同学的一辆自行车为观察对象，观察并解决下列问题：（ 1 ）我观察的这辆自行车是什么牌子的？（ 2 ）它的直径是_______cm ，轮子转动一周，在地面走过的距离是_______cm ，精确到1cm 。

（ 3 ）自行车中轴的大齿轮盘的齿数是_______齿，后轴的小齿轮（飞轮）的齿数是_______，中轴的大齿轮被踏动一周时，后轴的小齿轮在链条传动下，不计算惯性将转动_______周（保留2 位小数）。

问题2 ：如果你有自行车，并骑车上学，你能借助于自行车，测量出从你的家到学校的路程吗？请你设计一个测量方案，并尽可能地通过实际操作测量出从你的家到学校的路程。

问题3 ：如果你的（或你的朋友）自行车是可以变速的自行车（如山地车、多飞轮的自行车）、请你观察一下在这辆自行车上有几个（中轴上的）大轮盘，几个飞轮，它们都各有多少齿？记录这些数据。

如果你骑车时每一秒脚蹬一圈，请你根据上面测量的数据计算出这辆自行车运行时最大的速度和最小的速度各是每小时多少公里？：选做问题4 ：你认为对问题 3 中的自行车的各个齿轮的齿数安排的合理吗？你能发现或提出什么样的问题？如果有可能请你做设计改进的话，你会做什么？求解工作的表格省略初中数学数学建模案例 2 ：----- 线路设计问题（自学、探索、创新实践）课题：为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线, 、一个合理的保安巡逻路线。

实施建议：1: 按居住地成立4-6 人的小组，对你们要研究的小区, 进行观察, 收集必要的数据和信息,( 如平面图, 楼的门洞的朝向, 道路情况, 小区的进出口位置等). 发挥各自的特长，分工合作完成测量方案的设计、实测、作图、计算、论证、比较、计算机文稿录入、结果介绍等。

初中数学建模的若干简要案例

初中数学建模的若干简要案例1.找出一个公园内最短游览路径的问题假设一个公园有多个景点，每个景点之间有不同的距离，我们希望找到一条最短的路径，使得可以在最短时间内游览完所有的景点。

我们可以将每个景点表示为节点，距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法（如迪杰斯特拉算法）来解决这个问题。

2.优化一家快递公司的邮件投递路径假设一个快递公司需要投递邮件到不同的区域，每个区域的邮件数不同，我们希望找到一条最优的路径，使得快递员可以在最短时间内投递完所有的邮件。

我们可以将每个区域表示为节点，不同区域之间的距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法或者启发式算法（如A*算法）来解决这个问题。

3.设计一个购物车的最佳装载方案假设一个网上购物平台需要将一些商品装载到购物车中，每个商品有不同的体积和重量，而购物车有一定的容量限制。

我们希望找到一个最佳的装载方案，使得购物车可以装载尽可能多的商品。

我们可以将每个商品表示为节点，商品之间的限制条件（如体积和重量限制）表示为约束条件，然后利用线性规划算法（如简单的背包问题）来解决这个问题。

4.优化一条生产线的生产效率假设一个工厂有多个生产环节，每个生产环节有不同的效率和成本，我们希望找到一个最优的生产线配置方案，使得生产效率最高，成本最低。

我们可以将每个生产环节表示为节点，不同生产环节之间的依赖关系和成本表示为边，然后利用图论中的最优路径算法（如最小生成树算法）来解决这个问题。

5.设计一个最优的课程表假设一个学校有多个班级和多个教师，每个班级需要上不同的课程，每个教师可以同时教授多个班级的课程，我们希望找到一个最优的课程表，使得教师的利用率最高，学生的课程安排最优。

我们可以将每个班级和教师表示为节点，教师的教学能力和班级的需求表示为边的权重，然后利用图论中的最大流算法或者启发式算法（如基因算法）来解决这个问题。

这些案例都是初中数学建模的常见问题，通过数学建模的方法，可以帮助我们解决这些实际问题，提高问题的解决效率和准确性。

最短路径数学建模案例

最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
一、问题描述
假设从一座城市A出发，要到达另一座城市B，可以选择从A到B的6条路线中的一条，每条路线的里程数都不相同，试求出从A出发到B的最短路径。

二、数学模型
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，目标为： min z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)
s.t. {m1,m2,m3,m4,m5,m6>=0}
约束条件中：m1、m2、m3、m4、m5、m6>=0，表示每条路线的里程数都不小于0，即每条路线至少要有一定里程才能到达终点B。

三、求解方法
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，可将求解最短路径的问题转换为求解极值问题，即求解最优解
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)的极小值问题，可采用贪心算法求解。

具体步骤如下：
（1）从6条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m1；
（2）再从剩下的5条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m2；
（3）依次类推，从剩余的4条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m3；
（4）直到把所有的6条路线挑选完毕，最后求出最短路径，即
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)。

四、结论
根据以上步骤，可以求得从一座城市A出发，到另一座城市B的最短路径。

数学建模最短路径问题模型

数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。

最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。

这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。

最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。

Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。

2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。

3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。

5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。

Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。

它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。

2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。

3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。

4. 返回任意两个节点之间的最短路径。

除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。

这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。

此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。

这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。

对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。

数学模型最短路径问题(物流问题)

东北大学秦皇岛分校数学模型结课报告最短路径问题（物流路线设计）学院数学与统计学院小组成员513210 喻翔5133107赖巧明5133117楚文玉教师评语：指导教师签字：2015年12月14日1摘要现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务,针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证,得出如下结果：问题1:根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市,及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图,采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正,然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证,结果相吻合。

最终得到如下路线：（下横线不停靠）北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

（最短时间为61小时）问题2:要求问题1的花费最少,只需对前面模型做进一步优化即可,经过优化计算我们得到如下结果：最少花费为584250（元），路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京关键词：关键字：最短路径送货线路优化赋权连通简单无向图最小生成树2问题重述2.1 问题的背景现今社会网络越来越普及,网购已成为一种常见的消费方式,随之物流行业也渐渐兴盛,每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位,现有实业公司,该实业公司专业生产某专用设备产品,专用设备产品每件重达5吨（其长5米,宽4米,高6米）,该实业公司库房设在北京,所有货物均由一货机送货,该机种飞机翼展88.40米（机身可用宽20米）,机长84米（可用长50米）,机高18.2米（可用14米）,最多可装载250吨货物,起飞全重达600吨,平均速度为900公里/小时，将货物送至全国各个省辖市（图1所示红色圆点，除北京之外共19个省辖市），假定货机只能沿这些连通线路飞行,而不能走其它任何路线.但由于受重量和体积限制,货机可中途返回取货.经过的各个省市都要一定的停靠费用和停靠时间（停靠时间为常量2小时）,假设经过某个省市的停靠费用为：停靠费用=5000元×该省市的消费指数.2.2相关数据1．各城市之间的通路和权数图11．1上图1描述了中国各个省市之间的航班以及权重以图中标注为准；1．2有些省市之间是没有航班,需要中转.2．城市消费指数表表11．若图示中19个省辖市每个省辖市只要一件产品,请设计送货方案,使所用时间最少,标出送货线路。

最短路径数学建模

最短路径问题是一个非常能联系实际的问题，下面我们以具体例题来看看这类问题的解法例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。

某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用费用最少。

试编程序输出结果。

解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。

这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。

实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。

首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。

具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、BEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。

数学建模案例分析-- 图与网络方法建模5最短投递路线的设计

§5 最短投递路线的设计一、最优环游邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点，然后再返回邮局。

假设要求他至少一次走过他投递范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短的路线。

在一个网络),,(W E V N =中，经过它的每条边的链称为欧拉链，经过N 中每一边至少一次的闭链称为N 的环游，经过N 中每一边恰好一次的环游称为欧拉环游。

一个图能一笔画就是该图有欧拉环游。

显然上述问题就是在具有非负权的网络中找出一条权最小的环游，这种环游称为最优环游。

若N 有欧拉环游，则它的每一条欧拉环游具有相同的权，它也必然是最优环游。

对有欧拉环游的网络，我们可以采用弗莱里（Fleury ）算法求得N 的最优环游。

弗莱里算法计算步骤如下：1、任意选取N 的一个顶点0v ，置0v Z =；2、假设链i i v e v e v Z 110=已选定，从},,,{\21i e e e E 中按下述方法选取1+i e ：（1）1+i e 和i v 相关联；（2）1+i e 尽量不选i G （是G 中去掉边i e e e ,,,21 而得到的图）的割边（即去掉此边后，图i G 变为不连通），除非没有非割边可选择。

3、设1+i e 另一关联点为1+i v 。

若φ≠+},,,{\121i e e e E ，重复步骤2；否则11211++i i v e v e v 即为N 的一条欧拉环游。

若网络N 没有欧拉环游，此时最优环游通过的某些边将超过一次。

下面是一种有关引进重复边的算法。

将边e 的两个端点再用一条权为)(e W 的新边连接时，称为边e 的重复边。

因此，问题可以重新叙述如下：给定一个具有非负权的网络N ，（1）用添重复边的方法求得N 的一个欧拉赋权母图*N ，使得下式尽可能小；∑∈)(}\{*)(N E N e e W（2）求*N 的欧拉环游。

当点数较少时，可用奇偶点图上作业法求解，为此我们不加证明介绍下述两个结论。

最短路径问题-数学建模比赛

2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录1.摘要 (3)2.问题的重述及分析 (4)3.符号说明 (4)4.模型的分析，建立和求解 (5)5.模型的评价和改进 (10)6.参考文献 (10)7.附录 (11)最短路径问题摘要由于保安资源有限，根据学校的实际情况与需求，泉州师院数学专业新引进了智能机器人---大白，目的是让他自动在校园巡逻，以确保校园的安全。

对于题中所给的三个问题，研究在不同现实背景下的最优线路设计问题，即研究在约束条件下的最短路径问题。

针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，利用图论中的各种知识，采用数据结构里的最短路径算法,也叫Dijkstra 算法，对最优线路的设计进行建模并使用MATLAB 和lingo 软件进行编程求解。

数学建模最短路径问题

数学建模最短路径问题
在数学建模中，求解最短路径问题是一个经典的问题。

在一个有向、加权图中，最短路径指的是从起点到终点路径上的各边权值之和最小的路径。

下面介绍两种常用的最短路径求解方法：
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的单源最短路径算法。

它的基本思想是从起点开始，不断扩展到其他结点，每次选择当前路径中距离最小的结点进行扩展。

具体步骤如下：
初始化距离数组dist[]为正无穷，起点距离设为0；
将起点加入集合S；
重复以下过程，直到所有结点都被加入集合S：
在非S中的结点中选择距离起点最近的结点w，并将它加入集合S；
对S中结点可以直接到达的结点v，更新它们的距离dist[v]为min{dist[v], dist[w]+边(w,v)的权值}。

Floyd算法
Floyd算法是一种多源最短路径算法，它通过动态规划的方式求解任意两个结点之间的最短路径。

具体步骤如下：
初始化距离矩阵D，如果结点i和结点j有边相连，则D[i,j]为边的权值，否则为正无穷；
三重循环求解任意两个结点之间的最短路径：
对于每对结点i和结点j，考虑是否经过中间结点k可以获得更短的路径。

即D[i,j] = min{D[i,j], D[i,k]+D[k,j]}。

最后得到的距离矩阵D即为任意两个结点之间的最短路径长度。

送货路线设计问题--数学建模-优化

送货路线设计问题现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。

现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。

该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。

各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。

送货员的平均速度为24公里/小时。

假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。

现在送货员要将100件货物送到50个地点。

请完成以下问题。

1. 假设将1~30号货物送到指定地点并返回。

设计最快完成路线与方式。

给出结果。

要求标出送货线路。

2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。

要求标出送货线路。

3. 假设不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。

设计最快完成路线与方式。

要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。

由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。

可不考虑中午休息时间。

以上各问尽可能给出模型与算法。

图1 快递公司送货地点示意图O点为快递公司地点，O点坐标(11000,8250),单位：米表1 各货物号信息表货物号送达地点重量(公斤) 体积(立方米) 不超过时间1 13 9：002 18 9：003 31 9：304 26 12：005 21 12：006 14 12：007 17 12：008 23 12：009 32 12：0010 38 10：1511 45 9：3012 43 10：1513 39 12：0014 45 9：3015 42 10：1516 43 10：1517 32 12：00表2 50个位置点的坐标表3 相互到达信息快递公司送货策略一摘要：本文是关于快递公司送货策略的优化设计问题，即在给定送货地点和给定设计标准的条件下，确定所需业务员人数，每个业务员的运行线路，总的运行公里数，以及费用最省的策略。

送货问题数学建模

送货问题数学建模
假设有一家快递公司要负责在某个城市的所有街区进行送货，每个街区的大小和形状不一，但是已知每个街区的中心点以及该街区的货物数量。

快递公司需要设计一种送货路线，使得尽可能少的车辆能够将所有货物送到目的地，并且最大化运输效率，即尽可能短的送货时间。

为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：
1. 以每个街区的中心点为节点，构建一个无向图G，其中两个街区之间的距离可以用欧几里得距离计算。

2. 对于每个街区，将该街区的货物数量作为该节点的权重，并将G转化为一个带权无向图。

3. 选择一个起点和终点，设计一种遍历带权无向图的算法，以确保能够将所有节点遍历一遍并找出一条最短路径，并以此作为基础规划出可行的全局路线。

4. 将全局路线分为不同的区域，并分配给每个区域一个或多个配送车辆。

5. 为每个车辆规划出一条覆盖该区域内所有节点的最短路径，并考虑车速、交通状况等实时因素。

通过这种建模方法，快递公司可以最大程度地减少投入的车辆数量和送货时间，提高物流效率。

数学建模分组最短路径问题

数学建模分组最短路径问题
数学建模分组最短路径问题是一个经典的优化问题，其目标是找到一组路径，使得从起点到终点的总路径长度最短。

问题的输入包括起点、终点，以及中间的节点和与节点相关的边的信息。

每个节点都有一个特定的成本值，表示从一个节点到另一个节点的移动成本或距离。

解决这个问题的一种常见方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。

这些算法可以计算出从起点到任意节点的最短路径，然后可以根据问题的要求构建出一组最短路径。

在分组最短路径问题中，还需要考虑每个路径的长度限制。

可以通过修改Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来考虑这个限制。

一种方法是在计算最短路径时，将路径长度作为一个约束条件来考虑，只有在路径长度不超过限制时才选择该路径。

此外，还可以使用数学规划方法来解决分组最短路径问题。

可以将问题建模为一个线性规划模型，并使用线性规划求解器来求解最优解。

在这种方法中，可以定义一组决策变量来表示每条路径的选择与否，并将路径长度和路径长度限制作为约束条件。

总而言之，数学建模分组最短路径问题涉及到图论、算法和数学规划等多个领域，可以通过适当的算法和数学工具来求解最优解。

最短路径数学建模案例及详解

最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。

下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。

问题描述：假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。

我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。

数学建模：1. 数据准备：a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。

我们可以用一个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。

b. 节点间道路的时间数据。

这是一个关键的数据，可以通过实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。

2. 建立数学模型：a. 定义问题中的主要变量和约束条件。

- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。

- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。

b. 建立目标函数。

我们的目标是最小化路径上的时间，所以目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。

c. 建立约束条件。

- 定义起始节点和目标节点。

- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。

- 定义路径不能重复经过同一节点。

3. 解决模型：a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。

4. 结果分析和验证：找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。

我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。

总结：最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。

通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。

在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。

图论建模(结合案例分析)

e4 v1v4 ， e5 v3v4 ， e6 v3v4 .
（见图 2）
图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j 的弧，称 vi 为e的尾，称 v j 为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j ，称G为无向图.称边 e viv j 为无向边，称e连接 vi 和 v j ，顶点 vi 和 v j 称为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
2004A：奥运会临时超市网点的设计问题 • 题型：属于社会事业问题,主要包括观众的出行、用餐和购物的规律,各商区人流分布规律,以及各商区的大小超市的设计数量等问题。 • 特点：海量数据、数据冗余、结构复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。 • 方法：主题方法数据的处理、统计分析、数据挖掘、数学规划等。 • 结果：不唯一，对结果没有明确要求。
图的作用
图是一种表示工具，改变问题的描述方式,往往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标,有的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度,原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的描述方式, 可能会产生新思想.图论中的图提供了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和思考问题,激发我们的灵感.
v 来表示；
用 G (V (G ), E (G )) 表示图，简记 G (V , E ). 也用 vi v j 来表示边 (vi , v j ).
例设 G (V (G ), E (G )) ，其中：V (G) {v1, v2 , v3 , v4}，