数学建模案例分析-- 图与网络方法建模5最短投递路线的设计

§5 最短投递路线的设计

一、最优环游

邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点，然后再返回邮局。假设要求他至少一次走过他投递范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短的路线。

在一个网络),,(W E V N =中，经过它的每条边的链称为欧拉链，经过N 中每一边至少一次的闭链称为N 的环游，经过N 中每一边恰好一次的环游称为欧拉环游。一个图能一笔画就是该图有欧拉环游。显然上述问题就是在具有非负权的网络中找出一条权最小的环游，这种环游称为最优环游。

若N 有欧拉环游，则它的每一条欧拉环游具有相同的权，它也必然是最优环游。对有欧拉环游的网络，我们可以采用弗莱里（Fleury ）算法求得N 的最优环游。

弗莱里算法 计算步骤如下：

1、任意选取N 的一个顶点0v ，置0v Z =；

2、假设链i i v e v e v Z 110=已选定，从},,,{\21i e e e E 中按下述方法选取1+i e ： （1）1+i e 和i v 相关联；

（2）1+i e 尽量不选i G （是G 中去掉边i e e e ,,,21 而得到的图）的割边（即去掉此边后，图i G 变为不连通），除非没有非割边可选择。

3、设1+i e 另一关联点为1+i v 。若φ≠+},,,{\121i e e e E ，重复步骤2；否则11211++i i v e v e v 即为N 的一条欧拉环游。

若网络N 没有欧拉环游，此时最优环游通过的某些边将超过一次。下面是一种有关引进重复边的算法。将边e 的两个端点再用一条权为)(e W 的新边连接时，称为边e 的重复边。 因此，问题可以重新叙述如下：给定一个具有非负权的网络N ，

（1）用添重复边的方法求得N 的一个欧拉赋权母图*

N ，使得下式尽可能小；

∑∈)

(}\{*)(N E N e e W

（2）求*

N 的欧拉环游。

当点数较少时，可用奇偶点图上作业法求解，为此我们不加证明介绍下述两个结论。 结论1 网络N 有欧拉环游当且仅当N 中每一点的次为偶数。

结论2 最优环游具有这样的性质：（1）每条边至多重复一次；（2）每一圈上重复边的长度不超过该圈总长的一半。

当某一圈上重复边的长度超过该圈总长的一半时，将该圈中的所有重复边去掉，该圈中未重复的边重复，从而得奇偶点图上作业法如下：

（1）若N 每一点的次均为偶数，则用弗莱里算法求得其欧拉环游，此即为N 的最优环游。 （2）若不然，则用添重复边的办法得到N 的欧拉赋权母图*

N 。求得*

N 的欧拉环游（用弗莱里算法）。

（3）若某一条边在欧拉赋权母图*

N 中重复多次，只要去掉该边的偶数次重复边，总可以使得该边至多重复一次，这样的图仍为欧拉赋权母图。

（4）然后逐一检查*

N 的每一个圈，当某一圈上重复边的长度超过该圈总长的一半时，将该圈中的所有重复边去掉，该圈中未重复的边重复，所得到的图也是欧拉赋权母图。 二、应用举例

设某邮递员负责投递邮件的街道如图1（a ）所示，求出该邮递员的最短投递路线。

v2

v3

v5

v6 v8 v7

v9 v12 v13

v2 v5 v6

v8

v7 v9

v11 v12

v13

v2

v3

v5 v6 v8

v7 v9

v11 v13

v1 v4 v10 v1

v4 v10 图1(a)

图1(b)

图1(c)

4 5 7 4

4

4

2 2

4

5 1 1

2 5 2

v11 v3

v12

v10

v14v4

1

该网络有8个奇点: 2v 、4v 、5v 、7v 、8v 、9v 、11v 、12v ，用添重复边的办法得图1(b)。 按结论2进行调整,圈4v 10v 11v 5v 其总长为12,而重复边长为11,此时去掉重复边4v 10v 、

10v 11v 、 11v 5v ,添加重复边4v 5v 。同样在圈2v 3v 9v 7v 6v 2v 中其总长为21，重复边长为12也

超过一半。经调整后得到新的网络图1（c ）。

检查图1(c)的每一个圈,其重复边的长度均不大于该圈长的一半,因此用弗莱里算法求得图1（c ）中网络的欧拉环游即为要求的最优环游。