高二上学期期中考试

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山东省泰安市2023-2024学年度上学期高二期中考试语文试题【含答案】

山东省泰安市2023-2024学年度上学期高二期中考试语文试题高二语文试题2023．11本试卷共150分，考试时间150分钟。

注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（37分）(一)现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一:就广义的书写而言，胜迹所关联的历史、文学、宗教甚至神话、民俗都至关重要，但最终既体现“文”而又显现为“迹”的，无疑是具有物质性的题刻，尤其是摩崖石刻。

题刻的原始动力可能来自文本，但促使人们前往观赏的却不仅文本，还有作为遗迹的文字书写。

对于胜迹而言，题刻显然不仅具有指认的作用，对其塑造也有一定的意义，尤其是山东境内那些以摩崖石刻著名的山川:泰山经石峪金刚经、四山摩崖与云峰山刻石。

尽管宋人已经注意到泰山经石峪所刻的《金刚经》并留下题名，但文人的到访与题刻，在旅游成为风气的明代嘉隆以后才明显增多。

而由于金石学在清代的风行，这些摩崖题刻甚至超越地方风景的图绘与刊印，在胜迹的塑造中起到直接的作用。

在更多的情形下，摩崖与环境可能并不是一种协作的关系，而是互相提示的关系。

摩崖石刻的特点在于不可移动，因而是真正嵌入自然山水之中的文字，与名胜的关系更为密切。

诚如白谦慎先生所说，摩崖与特定的历史时间和地理空间联系，从而成为一个地区的历史文化遗产。

可见，要准确解释摩崖石刻的文字形式，我们确需将之置诸环境之中加以观察。

嘉庆二年（1797）二月初，黄易访碑岱麓，他不仅关心摩崖，也关心“奇观”，从他的描述中，我们发现他一会儿看自然风光，一会儿看石刻。

在登山时，他记录了道路两侧山石树木，奇峭逼人，有愈上愈妙之感。

嗣至玉皇顶，俯视周边山峦，盛称此乃“天下奇观”。

高二上学期期中考试试卷

第一学期期中练习高二化学考生须知 1．本卷共8页，包括 19小题，满分为100分。

练习时间90分钟。

2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

3．本试卷中可能用到的相对原子质量有H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ni 59第I 卷选择题（共42分。

每道试题仅有1个正确答案）1．下列过程或装置能实现电能转化为化学能的是A ．电动汽车充电B ．火力发电C ．燃料燃烧D ．火星车太阳能帆板2．一定温度和压强下，2 mol H 2和1 mol O 2分别以点燃和形成氢氧燃料电池这两种方式发生化学反应，生成2 mol 液态水。

下列说法正确的是A ．放出的热量相等B ．体系内能变化相等C ．反应速率相等D ．反应的活化能相等3．下列实验装置或操作，能达到实验目的的是选项A B C D 装置或操作目的电解法制金属钠测定中和反应的反应热防止铁片被腐蚀测定锌与稀硫酸反应速率4．下列事实不能．．用平衡移动原理解释的是 A ．铁质器件附有铜质配件，久置，在接触处铁易生锈B ．在NO 2和N 2O 4组成的体系中，恒温缩小容积，气体颜色先变深后变浅C ．向FeCl 3溶液中滴加几滴KSCN 溶液，溶液呈红色，再加入少量铁粉，溶液红色变浅D．工业上用熔融的KCl和金属钠发生置换反应，可以分离出钾蒸气5．已知下列热化学方程式，所得结论正确的是A．N2(g)+3H2(g)2NH3(g) ∆H=－92.4kJ∙mol-1则一定条件下将2 mol N2和6mol H2置于一密闭容器中充分反应，放出的热量为184.8 kJ B．C(石墨，s)C(金刚石，s) ∆H>0 则金刚石比石墨稳定C．H+(aq)+OH－(aq)H2O(l) ∆H=－57.3 kJ∙mol-1则将含1mol CH3COOH的溶液与含1mol NH3·H2O的溶液混合，放出的热量为57.3 kJ D．S(s)+O2(g)SO2(g) ∆H1；S(g)+O2(g)SO2(g) ∆H2；则∆H2 <∆H16．下图为电镀实验装置，下列有关叙述不正确．．．的是A．电镀时，待镀铁制品应与直流电源负极相连B．通电后，溶液中的SO42-移向阳极C．镀铜时，理论上阳极和阴极质量变化在数值上相等D．待镀铁制品增重2.56 g，电路中通过的电子为0.04 mol7．碱性锌锰电池是普通锌锰电池的升级换代产品，图1、图2分别为碱性锌锰电池和普通锌锰电池的构造图。

高二语文期中考试试卷及答案上册

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音完全正确的一项是（）A. 沉默不语（yǔ）B. 雕梁画栋（diāo）C. 毛遂自荐（xuàn）D.美轮美奂（huàn）2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 他的学习成绩在短时间内得到了显著提高，这主要得益于他自己的刻苦努力。

B. 随着科技的发展，人们的生活水平日益提高，同时也带来了许多社会问题。

C. 在这次比赛中，他的表现非常出色，赢得了观众的一致好评。

D. 由于天气原因，火车晚点了两个小时，导致许多乘客错过了航班。

3. 下列各句中，加点的词语使用不正确的一项是（）A. 他这次考试成绩优异，足以证明他的实力。

B. 这个项目对于我国来说具有重要的战略意义。

C. 他的言辞锋利，让人不敢反驳。

D. 她的厨艺精湛，做出的菜肴色香味俱佳。

4. 下列各句中，括号中的成语使用不恰当的一项是（）A. 他的作品风格独特，独树一帜。

B. 她的演讲慷慨激昂，感染了在场的每一个人。

C. 他为人正直，光明磊落，深受同事们的尊敬。

D. 那位领导工作能力强，运筹帷幄，把公司治理得井井有条。

5. 下列各句中，句式变换不正确的一项是（）A. 原句：他每天都坚持锻炼身体。

变换后：他锻炼身体已经成为他日常生活的一部分。

B. 原句：这本书对于我来说非常有价值。

变换后：我对这本书的价值有了更深刻的认识。

C. 原句：我国经济持续健康发展。

变换后：我国经济的持续健康发展是全体人民的共同愿望。

D. 原句：他非常喜欢阅读。

变换后：阅读是他最喜欢的活动之一。

6. 下列各句中，修辞手法使用不恰当的一项是（）A. 月亮升上了树梢，好像一个大玉盘。

B. 那座山像一头雄狮，屹立在远方。

C. 他的歌声像泉水一样清澈，像山风一样悠扬。

D. 他的眼神像一把利剑，直刺人心。

7. 下列各句中，表达不准确的一项是（）A. 这本书是我最喜欢的书籍之一。

B. 他是一位非常有才华的作家。

(整理版)高二上学期期中考试

高二上学期期中考试数学试题第一卷〔选择题共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．〕1、111242n +++=〔〕 A 、1212--n B 、n 212- C 、1211--n D 、n211-2、不等式0322≥-+x x 的解集为〔〕A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}31|{-≤≥x x x 或D 、}13|{≤≤-x x3、n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，a S n n +=3，那么=1a 〔〕 A 、a +3 B 、1- C 、2 D 、14、设等差数列}{n a 的前n 项之和为n S ，10100S =，那么47a a +=〔〕 A 、12 B 、20 C 、40 D 、1005、等差数列}{n a 和等比数列}{n b ，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，那么2a 与2b 的大小关系为〔〕A 、22b a ≤B 、22b a ≥C 、22b a <D 、22b a >6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，那么c 的值为〔〕。

A 、2B 、1C 、1或2D 、3或27．在△ABC 中，假设2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，那么△ABC 的形状是〔〕 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 8、下面结论正确的选项是〔〕 A 、假设b a >，那么有ba 11<， B 、假设b a >，那么有||||c b c a >， C 、假设b a >，那么有b a >||， D 、假设b a >，那么有1>ba。

安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。

江苏省扬州中学2023-2024学年高二上学期11月期中试题数学

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。

河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期11月期中语文试题含解析

河北省高二上学期期中考试语文（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：部编版选择性必修上册。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：中华文明作为原生性的文明，延续数千年且历久而弥新，显示了极为强大的生命力。

中华文明特有的生命线，值得我们深入探究和深切体认。

以人为本位，而不是以超越人间的神明为本位，这是贯穿整个中华文明的第一道生命线。

春秋战国时期诸子学一个重要的贡献，就是他们用以现实的人为中心的真实世界取代了先前巫术以神统人的虚拟世界。

《尚书·泰誓》记述周武王一段名言：“惟天地万物父母，惟人万物之灵。

”《左传·庄公三十二年》记载：“吾闻之：国将兴，听于民；将亡，听于神。

”这更明白无误地说明决定国家命运的是民众而非神灵。

《老子》中强调：“天地无常心，以百姓心为心。

”在这里，现实中的平民百姓才具有至高无上的决定性地位，而不是天地、神明。

在中华文明中，人是一个社会性的存在，是一个群体性的存在。

人的本质，从来都是各种社会关系的总和。

中华文明的不断发展，就是人的群体联系的不断扩大、不断强化，社会关系越来越复杂化，人越来越能够自觉地和合理地处理好这些关系。

樊迟问仁，孔子说：“爱人。

”樊迟又问仁，孔子说：“夫仁者，已欲立而立人，己欲达而达人。

”仲弓问仁，孔子说：“已所不欲，勿施于人。

”人作为社会群体中的一员，具有其他生物所没有的社会性。

作为社会群体中一个成员的人，对于社会群体中的其他人能够做到爱人、立人、达人，能够做到已所不欲，勿施于人。

北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期中语文试题含答案

大兴区2023～2024学年度第一学期期中检测高二语文（答案在最后）2023.11考生须知：1.本试卷共8页，共五道大题，23道小题，满分150分。

考试时间150分钟。

2.试题答案一律涂或写在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答，在试卷上作答无效。

3.考试结束，只需上交答题卡。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成小题。

材料一民政部养老服务司副司长李邦华介绍，截至2021年年底，全国60岁及以上老年人口达2.67亿，占总人口的18.9%。

预计“十四五”时期，60岁及以上老年人口总量将突破3亿，占比将超过20%，我国将进入中度老龄化阶段。

养老服务已经成为积极应对人口老龄化的重要内容。

“养老”一词，最早见于《礼记·王制》：“凡养老，有虞氏以燕礼，夏后氏以飨礼，殷人以食礼，周人修而兼用之。

”燕、飨、食等礼仪都是借祭祀鬼神之日，以宴会的形式编排长幼序列，演示敬老之礼。

这里的“养老”还并不是常规意义上的养老行为。

周代养老的仪式除了设置公宴外，还给国老颁发上顶端镶有木雕鸠鸟形状的黑色木制拐杖——鸠杖（同王杖、玉杖）。

鸠鸟食道宽，吞咽顺利，意在祝福老年人吃好吃饱；鸠杖象征着一种权利和荣誉，持杖老人凭杖就可以享受一定的待遇。

汉代至南北朝时期，国家实行了一系列的养老优抚政策，除给予老人一些荣誉之外，还向社会颁布养老的法令，明确养老范围，建立了具体的保障监督措施，比如汉代就明确规定“子孙为国而死的父祖”等四类人归社会养老。

唐宋时期，敬老和崇文并举，国家建立了“文学馆”等文史研究机构，组织老年学士修史编志，起草皇帝诏书，协助科举考试。

《唐书》中还有国家为高龄老人配备家庭服务人员的记载。

北宋出现了最先用财政资金救助“老疾孤穷丐”的机构——“福田院”。

明代除参照汉代做法外，还积极组织老年人参加政权建设，并在多地设立了养济院。

清代沿用了明朝的养济制度。

我国古代养老文化的核心是“孝”，而以“孝”为核心的古代养老文化，从诞生之日起，就具有了强大的生命力。

北京市2024-2025学年高二上学期期中英语试题含答案

2024～2025学年度第一学期高二年级期中练习英语（答案在最后）2024年11月6日制卷人：说明：本试卷共8页，共100分；考试时间90分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上。

考生务必在答题卡指定区域作答，在试卷上作答无效。

第一部分：知识运用（共两节，30分）第一节（共10小题；每小题1.5分，共15分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

My brother and I were driving home together and we were deep in conversation.Because of his1my brother took a wrong turn,taking us towards a bridge and we had no way to turn back.2,my brother paid the bridge fee and drove on.He was clearly frustrated by the mistake and the3waste of$4.We eventually reached an exit slipway and,as we took it,my brother4a beat-up black car parked by the side of the road.A young guy was standing nearby5someone.I was busy trying to figure out which way we went next but my brother6and asked the guy if he needed any help.And he did.He had a(n)7tire and needed a tool to get it off.My brother gave it to him and then proceeded to help him change the tire.After we finished the job,he thanked us again and again,pulled out$20and tried to give it to us.“No.”my brother said.“We were never8to even get on that bridge.We took a wrong turn.But now we know why we did.It was to help you.Thank you for turning our mistake into a(n)9to serve.”What I loved most was watching my brother throughout this process.He was able to see a chance to help even in an otherwise10situation,which can only come from a calm mind and an open heart.1.A.happiness B.carelessness C.selfishness D.weakness2.A.Nervously B.Immediately C.Unwillingly D.Unfortunately3.A.unusual B.hateful C.hopeless D.needless4.A.repaired B.noticed C.struck D.helped5.A.phoning B.reminding C.greeting D.recalling6.A.pulled together B.pulled away C.pulled over D.pulled through7.A.flat B.empty C.old D.dirty8.A.supposed B.forced C.allowed D.required9.A.wish B.ability C.belief D.opportunity10.A.dangerous B.destructive C.expensive D.negative第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）阅读下列短文，根据短文内容填空。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题含解析

上虞2023学年第一学期高二数学期中测试（答案在最后）注意事项：1.考试时间：120分钟；2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合要求）1.若直线l 经过坐标原点和()3,3-，则它的倾斜角是（）A.45-︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．【详解】由题意可知，直线l 的斜率为30130k --==--，设直线l 的倾斜角为θ，则0180θ︒≤<︒，显然90θ≠︒，所以tan 1θ=-，得135θ=︒．故选：C ．2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2c 的值为（）A.9B.11或9- C.11- D.9或11-【答案】B 【解析】【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值.【详解】解：直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为∴=，解得：c=11或c=-9.故选B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.3.方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则实数a 的值为A.0B.1C.1-D.2【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到a 的值，从而可得到不能表示圆时a 的值.【详解】方程22210x y ax y +-++=能表示圆，则22()2410a -+-⨯>，解得20a >，即0a ≠.所以，若方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则0a =.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.4.若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.5.已知R m ∈，则“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m 的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件.6.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(3)2x y -+=上，则ABP 面积的最小值为（）A.6B.C.12D.【答案】A 【解析】【分析】确定A ，B 两点坐标，再根据点到直线距离确定P 到AB 距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详解】(3,0)A -，(0,3)B -，∴AB ==，圆22(3)2x y -+=的圆心到直线30x y ++=的距离d ==∴P 到AB 距离的最小值为，∴ABP 面积的最小值为162⨯=，故选：A.7.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为（）A.12B.2C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，()()111,0,0,0,1,0,,022B C N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，sin PN nPN nθ⋅∴==⋅，当12λ=时，max (sin )5θ=，此时角θ最大．故选：D．8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，P 为AB 的中点，1134|,tan 2F P AB APF =∠=，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2C.2D.【答案】B 【解析】【分析】在1AF P △中，由余弦定理可得1AF 的长度，进而根据边的关系得1AF P △为直角三角形，根据焦点三角形即可得,a c 关系.【详解】设20AB x,x =>则AP BP x ==，所以114|=2F P AB F P x =⇒由于13tan 02APF ∠=>，所以1APF ∠为锐角，故1cos APF ∠=在1AF P △中，由余弦定理得132AF x ==，因此22211AF AP PF +=,故1AF P △为直角三角形，所以152BF x ===，由1AF B △的周长为35242223a x x x x a =++Þ=，所以121322AF x a,AF a AF a,===-=故1222F F c e ==Þ=，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下面四个结论正确的是（）A.向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=B.若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线C.已知向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，若//a b，则2x =-D.任意向量a ，b满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A ，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B ，根据空间向量共线的坐标表示可判断C ，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A ：因为0,0a b ≠≠r r r r，a b ⊥ ，则0a b ⋅=，正确；对于B ：因为1344PC PA PB =+ ，则11334444PC PA PB PC -=-，即3AC CB = ，又AC 与CB有公共点，所以,,A B C 三点共线，正确；对于C ：因为向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，//a b，所以存在R λ∈，使得b a λ=，即()()2,,41,1,x x λ-=，则2114x x λλλ-=⨯⎧⎪=⨯⎨⎪=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩，正确；对于D ：()a b c ⋅⋅ 表示平行于c 的向量，()a b c ⋅⋅表示平行于a 的向量，当a 与c不平行时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅ 一定不成立，错误.故选：ABC10.关于直线l ：0ax y a ++=，以下说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,0-B.若1a =-，直线l 与20x y +-=垂直C.a<0时，直线l 不过第一象限D.0a >时，直线l 过第二，三，四象限【答案】ABD 【解析】【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.【详解】直线l ：0ax y a ++=可变形为：(1)0a x y ++=，由100x y +=⎧⎨=⎩解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,0-，故A 正确；当1a =-，直线l ：10x y -+-=，所以l 与直线20x y +-=的斜率之积为1-，即两直线垂直，故B 正确；对于C 选项，直线l ：0ax y a ++=可变形为：=--y ax a ，当a<0时，0a ->，直线l 经过第一，二，三，象限，故C 错误；对于D 选项，直线l ：=--y ax a ，当0a >时，0a -<，直线l 经过第二，三，四象限，故D 正确；故选：ABD ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -，若动点P 满足124PF PF +=，则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F △面积的最大值为C.对任意的点P ，都有2||3PA PF +> D.有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆为22143x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-，验证C 选项；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =，椭圆方程为22143x y +=，当点P 为椭圆右顶点时，21PF a c =-=，故A 正确；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，为1212F F b ⋅=B正确；2112244PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==因43<，故C 错误；设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF =1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=，联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=，则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ABD12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B.存在点M ，使得1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.H 为线段1AA 的中点，//MH ACE 平面【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，当M 位于1BD 中点时，AD 与1C M 共面；对于选项B 和D 可采用空间向量计算，对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，易证所以四面体EMAC 的体积为定值，由面面平行的判定定理得出平面1//BHD 平面AEC ，进而可得//MH 平面AEC .【详解】解：对于A 选项，连接1AC 交1BD 与O ，当点M 在O 点时，直线AD 与直线1C M 相交，故A 选项不正确；对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故C 选项正确；以D 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B对于B 选项，存在点M ，使得1B M AE ⊥，则()2,0,1AE =-，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+---=--- ，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-= ，得13λ=，故当M 满足12D M MB =时，1B M AE ⊥，故B 选项正确；对于D 选项，连接1,,,,AE CE AC BH D H ，如下图所示：因为H 为AA 1的中点，E 为DD 1的中点，所以1//,//,CE BH D H AE 1,,AE CE E BH D H H ⋂=⋂=所以平面1//BHD 平面AEC ，MH ⊂平面1BHD ，所以//MH 平面AEC ，故D 选项正确；故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1:20l mx y +-=与直线2:21l y x =-平行，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】直线1l 的方程可化为2y mx =-+，因为12//l l ，则2m -=，解得2m =-.故答案为：2-.14.椭圆C ：22214x y m+=的焦距为4，则C 的长轴长为____________【答案】【解析】【分析】设椭圆的长轴长为2a ，由题意有2a >，22242m a ==+，即可得出．【详解】设椭圆的长轴长为2a ，由椭圆22214x y m+=的焦距为4，可得2a >．因此椭圆的焦点只能在y 轴上，可得22242m a ==+，解得a =所以椭圆C的长轴长为2a =.故答案为：15.设A 为圆2220x y x +-=上的动点，PA 是圆的切线且||1PA =，则P 点的轨迹方程是_________【答案】22(1)2x y -+=【解析】【分析】根据切线长可以求得P 点到圆心的距离，代入距离公式即可求得.【详解】由圆2220x y x +-=的方程可知，圆心为(1,0)，半径1r =，PA 是圆的切线且||1PA =，则点P设(,)P x y=，化简得22(1)2x y -+=.故答案为：22(1)2x y -+=16.已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上，则点P 到直线l 的距离d =；类比有：当点()00,P x y 在函数()y f x =图像上时，距离公式变为d =，根据该公式可求33x x ++-+的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依题意可得，33x x+--+=，令y=+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，再结合图象进行求解.【详解】解：依题意可得，33x x+-+，令y=()2210x y y+=≥，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径的半圆，表示该半圆上的点到直线1:30l x y-+=的距离，表示该半圆上的点到直线2:30l x y+-=的距离，+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，如图所示：结合图象，当点P 运动到点(0,1)M 时，此时d 取得取小值，则min 0310312222+--+==d 则223131x x x x +-+-+-的最小值为224=.故答案为：4.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线l 过点P (2，3)，根据下列条件分别求出直线l 的方程:（1）直线l 的倾斜角为120°；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0.【答案】（13x +y -3-23；（2）3x -2y =0或x -y +1=0.【解析】【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况讨论，分别设直线为y kx =，x a +-ya=1(a ≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l 的倾斜角为120°，可得斜率k =tan 120°=3，由直线的点斜式方程可得，y -3=3(x -2)，化简得直线l 3+y 3（2）当直线l 经过原点时，在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l 的方程为y =32x ，即3x -2y =0；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a +ya-=1(a ≠0).因为P (2，3)在直线l 上，所以2a +3a-=1，解得a =1-，则直线l 的方程为x -y +1=0.综上所述，直线l 的方程为3x -2y =0或x -y +1=0.18.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）0x =或3480x y +-=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB 的中点为D ，求出D 的坐标，求出直线CD 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，由圆心的位置分析可得a 的值，进而计算可得r 的值，据此分析可得答案；（2）设F 为MN 的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB K K ⨯=-，得1CD K =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =-+，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；（2）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||1d CF ===，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =，解得34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，11CD CC ==，设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuur r ．（1）用a ，b ，c表示1AC 并求出1AC 的长度；（2）求异面直线1AC 与DA 所成角的余弦值．【答案】（1）1()AC a b c =-++ ，1||AC = ；（2）3．【解析】【分析】（1）根据已知条件所给基底，利用向量的线性运算表示即可；（2）写出向量DA b =，代入公式求夹角即可.【小问1详解】因为11CA CD DA AA a b c =++=++ ，所以1()AC a b c =-++ .1AC ===.【小问2详解】由（1）可知，1()AC a b c =-++ ，DA b =，则1()cos ,()a b c bA C DA a b c b -++⋅<>==-++⋅11111116223-⨯⨯--⨯⨯=-，因为异面直线夹角的范围为(0,2π，故异面直线1AC 与DA所成角的余弦值为3.20.已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，且椭圆C 过点3,12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 上任意一点，求1211PF PF +的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]1,4.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合椭圆的性质得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出1211PF PF +()21424PF =--+，结合椭圆的性质得出1211PF PF +的取值范围．【小问1详解】已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，且c =22223a b c b =+=+①，又椭圆C 过点3,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以221314a b +=②，联立①②解得224,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=；【小问2详解】12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111244424424a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又1a c PF a c -≤≤+，即122PF ≤≤+，当12=PF 时，()2124PF --+最大，为4；当12PF =2+时，()2124PF --+最小，为1，即()2141424PF ≤≤--+，即121114PF PF ≤+≤，所以1211PF PF +的取值范围为[]1,4．21.如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求证:AE ∥平面DCF;(2)当AB 的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?【答案】(1)证明略(2)当AB 为时，二面角A—EF—C 的大小为60°【解析】【详解】方法一（1）过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ，连接DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因为AB=BH·tan∠AHB=×=，所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.方法二如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F（0，4，0）.设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式2c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k x kmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意0∆>，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则2c a =①过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=②把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a =所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==，O 到直线MN的距离d =，所以OMN21214||||214SMN d m k ∆=⋅==⋅+22||||||12m m m m m=⋅=⋅=，即OMN 的面积为定值1（ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得22M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN的面积为122122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形．。

高二上学期期中考试试卷语文答案

一、基础知识（每题2分，共20分）1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】A6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】A10. 【答案】B二、现代文阅读（每题3分，共15分）11. 【答案】（1）A. 美丽的风景（2）B. 精美的食物（3）C. 丰富的文化（4）D. 深厚的友谊12. 【答案】（1）作者通过对家乡的描写，表达了对家乡的热爱之情。

（2）通过引用诗句和描绘景物，使文章更具诗意和画面感。

（3）运用比喻、拟人等修辞手法，使文章生动形象。

13. 【答案】（1）文章通过对比手法，突出了科技发展对人们生活的影响。

（2）通过具体事例，展示了科技给人们带来的便利和挑战。

（3）作者呼吁人们要正确看待科技发展，既要享受科技带来的便利，也要警惕其带来的负面影响。

三、古诗文阅读（每题5分，共20分）14. 【答案】（1）A. 江南春（2）B. 渡荆门送别（3）C. 江雪（4）D. 酬乐天扬州初逢席上见赠15. 【答案】（1）日暮苍山远，天寒白屋贫。

（2）会当凌绝顶，一览众山小。

（3）床前明月光，疑是地上霜。

（4）独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。

16. 【答案】（1）作者通过描绘寒山、古寺、落日等景象，表达了对宁静、淡泊生活的向往。

（2）诗中运用了对比、夸张等手法，增强了诗歌的表现力。

（3）诗歌语言简洁，意境深远，富有哲理。

四、作文（50分）17. 【答案】标题：《科技的力量》开头：当今社会，科技发展日新月异，它改变了我们的生活方式，提高了我们的生活质量。

主体：1. 科技在医疗领域的应用，如人工智能辅助诊断、远程手术等，为患者带来了福音。

2. 科技在教育领域的应用，如在线教育、虚拟现实教学等，为教育资源共享提供了可能。

3. 科技在环保领域的应用，如太阳能、风能等清洁能源的开发，有助于缓解能源危机和环境污染。

结尾：科技是一把双刃剑，我们要正确看待科技发展，既要发挥其积极作用，也要警惕其负面影响，让科技为人类创造更美好的未来。

湖北省部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题含解析

湖北省部分重点中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟. 留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号精确地写在答题卡上。

2．全部试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必需用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知点(-3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（） A ．030B ．045C ．0135D ．01202.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列起先，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A ．36B ．16C ．11D ．143．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3A π=,4c =，26a =，则角C =( )A ．34π B ．4π C ．4π或34π D ．3π或23π4．已知αβ、是平面,l m 、是直线,αβ⊥且=l αβ，m α⊂，则“m β⊥”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20()m R ∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，则线段AB 的长度是( )A ．2B ．4C ．5D ．106．已知直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过定点(1,1)M ，则32a b +的最小值是（） A ．3222+ B ．526+C ．562+ D ．37．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育熬炼的时间（单位：min ），依据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )第7题图A ．B ．C ．D ．8．棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 上(点P 异于A 、D 两点)，线段DD 1的中点为点Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 长度的取值范围为（） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1[,1)3D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．下列说法正确的是（） A ．命题“x R∀∈，21x >-”的否定是“0x ∃∈R ，201x <-”B ．命题“0(3,)x ∃∈-+∞，209x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充分不必要条件D ．“5a >”是命题“2,0x R x ax a ∀∈++≥”为假命题的充分不必要条件10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事务A ,“向上的点数是1,2”为事务B ,“向上的点数是1,2,3”为事务C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事务D ,则下列关于事务A ，B ，C ，D 推断正确的是（） A ．A 与B 是互斥事务但不是对立事务 B ．A 与C 是互斥事务也是对立事务 C ．A 与D 是互斥事务 D ．C 与D 不是对立事务也不是互斥事务 11．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+ B ．直线3y ＋2＝0的倾斜角的范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有一条公切线，则4m =D ．设P 是直线20x y --=上的动点，过P 点作圆O :221x y +=的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则经过A ，P ，O 三点的圆必过两个定点。