三角形方位角习题
解直角三角形的应方位角 、坡角
3x
45° 60° x D
300m
C
B
课堂小结:
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念 的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应， 只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化 为数学问题． 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形， 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题． 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单， 且不易出错． 4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目 中要求的精确度确定答案以及注明单位．
解直角三角形的应用
方位角问题
方向角
北 58
北偏东 58° A 东
西 28 南偏西 28° B 南
例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东 60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 ° 的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
北
西 东
南
A
某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的 方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 °的方向 上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
新概念：坡度、坡比
如图：坡面的垂直高度h和
B h α A L
水平宽度L的比叫坡度
h i ， 用字母表示为 L
（或叫坡比） 则tanα =
坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）
h i L
练习：
3 （1）一段坡面的坡角为60° ，
坡面长为 2 3
练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 5 2.236 的坡面距离约为（ ） A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
解直角三角形的应用典型习题(方位角)
1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。
（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。
2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险3.如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈）4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位）5.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.6.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题
中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。
浙教版七年级下册数学第1章 解直角三角形 用解直角三角形解方位角问题
(2) 渔船到达距离小岛 B 最近点后，按原航向继续航行 20 6n mile 到点 C 处时突然发生事故，渔船马上向小 岛 B 上的救援队求救，问救援队从 B 处出发沿着哪个 方向航行到达事故地点航行路程最短？最短航行路程 是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt△BDC 中，tan∠C＝BDDC＝2200
解：如图，作点B关于MN的对称点G，则点B， D，E，G在一条直线上，连结AG交MN于点P， 连结PB，点P即为体育馆． 此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG， 即A，B两所学校到体育馆的距离之和最短为 AG的长．
在 Rt△ADG 中，AD＝3 km， DG＝DE＋EG＝DE＋BE＝4＋6＝10(km)， ∠ADG＝90°， ∴AG＝ AD2＋DG2＝ 32＋102＝ 109(km)． 答：最短距离为 109km.
(2)小船从点P处沿射线AP的方向以3千米/时的速度进行 沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测 得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
解：如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F.
根据题意得∠ABC＝90°＋15°＝105°，
在 Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
10 如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 观 测站在 B 观测站的正东方向，有一艘小船在点 P 处，从 A 处测得小船在北偏西 60°方向，从 B 处测得小船在北 偏东 45°方向，点 P 到点 B 的距离是 3 2千米．(注：结 果有根号的保留根号)
(1)求 A，B 两观测站之间的距离；
高限速 60 千米/时，此车__没__有__超__速____．(填“超速”或“没 有超速”)(参考数据： 3≈1.732)
3 【中考·绵阳】一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处 测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南航行
解直角三角形3----方位角
28.2.3解直角三角形（3）方位角问题
编制:
一、自主学习：
(1)方位角的定义是什么？
(2)画出以下方位角；南偏东300；南偏西600；东北方向。
(3)A点在B点的南偏东360，，则B点在A点的什么方向？
二、自学测评：
如果太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
三、典型例题
1、海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行。
在B 点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口。
已知两船同时出发。
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
四、当堂测评
如图，海关缉私艇在A处接到情报，在A的北偏西60°方向的B处发现一可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，于是该艇立即沿北偏西45°方向前进，经过1小时航行，恰好在C处截住可疑船只，求缉私艇的速度。
五、小练习A组
2.
B组
C组。
解直角三角形的应用-方向角问题-初中数学习题集含答案
一．填空题（共 5 小题） 1．（2018 秋•顺义区期末）轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于
南偏东 75 方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在观测灯塔 A 北偏东 60 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 海里．
2．（2019 秋•东城区校级期中）如图，某货船以 24 海里 / 时的速度从 A 处向正东方向的 D 处航行，在点 A 处测得某 岛 C 在北偏东 60 的方向．该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时测得该岛在北偏东 30 的方向上．则货船在航行中 离小岛 C 的最短距离是 ．
3．（2017 春•西城区校级期中）如图，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60 方向上，且距 A 点18 3 海里，某船以每小时 36 海里的速度从点 A 向正东方向航行，航行半小时后到达 B 点，此时测得岛 C 在北偏东 30 方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁． B 点与 C 岛的距离是 B 点暗礁区域 （填内或外）
7．（2016•延庆县一模）如图，甲船在港口 P 的南偏西 60 方向，距港口 86 海里的 A 处，沿 AP 方向以每小时 15 海 里的速度匀速驶向港口 P ．乙船从港口 P 出发，沿南偏东 45 方向匀速驶离港口 PC 2x ，现两船同时出发，2 小 时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236)
【分析】根据题中所给信息，求出 BCA 90 ，再求出 CBA 45 ，从而得到 ABC 为等腰直角三角形，然后根据 解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，得 1 2 30 ， Q ACD 60 ， ACB 30 60 90 ， CBA 75 30 45 ， ABC 为等腰直角三角形， Q BC 50 0.5 25 ， AC BC 25 （海里）． 故答案为：25．
最新沪科版23.2解直角三角形及其应用(第三课时)--方向角、方位角、坡比等问题
察站A相距10 2
海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45°
CD ∵sinB = CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
2 =5 2 sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· 2 ∵在Rt△DAC中，
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0
45°
B
10
C
55 3
10 2
E
10
北
x1 5 5 3, x2 5 5
CD CD ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，BD= ， tan 45 tan 30 CD CD =1000， ∵AD+BD= tan 30 tan 45
解得CD= 1000 =500（ 3 1 ）m≈366m．
3 1
答：建筑物C到公路AB的距离约为366m.
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
B
D
F 30°
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
25.4 解直角三角形的应用(2)
25.4 解直角三角形的应用（2）[方位角]第一组 25-151、某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30º处，下图25-15-1正确的是（ ）2、海面上有A 、B 两个灯塔，已知灯塔A 位于B 的北偏东30º方向，那么灯塔B 位于灯塔A 的（ ）A 、南偏西60ºB 、南偏西30ºC 、北偏东30ºD 、北偏东60º3、某人在离水平面a m 的山上测得地面B 点的俯角为α，此时此人与地面B 点之间的水平距离是（ ）m 。
A 、a cot α B 、a sin αC 、a tan αD 、acos α4、如图25-15-2，已知小明外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40º，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A 、南偏东50º B 、南偏东40º C 、北偏东50º D 、北偏东40º5、如图25-15-3，当太阳光线与地面成30º时，测得旗杆AB 在地面上的影子BC 长为15m ，那么旗杆AB 的高度是 m 。
（保留根号）图 25 - 15 - 1(D)A CA C CA CA 图 25 - 15 - 2小明家学校北北图 25 - 15 - 3BA太阳光C6、某人从A 点出发，向北偏东45º方向走到B 点，再从B 点出发，向南偏西15º方向走到C 点，那么∠ABC= 。
7、如图25-15-4，点B 在点A 北偏西30º方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东60º方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离是 。
8、如图25-15-5，一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B 处，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里。
【浙教版】2022年九年级(上)期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用(方位角问题)(原卷)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练解直角三角形的应用（方位角问题）1．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？2．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18√2km/ℎ的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3．（2022·浙江宁波·一模）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现∠BAC=20°，A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4．（2021·浙江丽水·一模）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）5．（2022·浙江·一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D 点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）6．（2022·浙江金华·一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．(1)求∠BCA的度数．(2)求BC的长．7．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70∘方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45∘方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70∘≈0.94,cos70∘≈0.34,tan70∘≈2.75,√2≈1.41）(1)求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25∘继续航行，通过计算说明船是否安全？8．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD∠BC于点D，则sinB=ADc ，sinC=ADb，即AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是c sin B＝b sin C，即bsinB=csinC．同理有：csinC =asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）9．（2020·浙江衢州·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m 到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）10．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m 到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C 地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m 区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：√3≈1.73,√2≈1.41,√6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．11．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）如图，一位自行车爱好者沿宿鸭湖湖边正东方向笔直的公路BC骑行，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min 后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向，如果此自行车爱好者的速度为60km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）【分母有理化：√3+1=√3−1(√3+1）)(√3-−1)=√3−12】12．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的B处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往C岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知C岛在基地A的南偏东α的方向，且在B处南偏东β的方向，巡逻快艇从B处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：tanα=158，sinβ=45）13．（2022·山东青岛·九年级期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C 地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：√2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．15．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.732．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．18．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．19．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）20．（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校二模）如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，√3≈1.732，√2≈1.414，√6≈2.449）21．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图，海中有一个小岛A，它周围8n mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60∘方向上，航行12n mile 到达D点，这时测得小岛A在北偏东30∘方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？24．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A 出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）26．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r 为10(3+√3)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√5海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．(1)求A、P之间的距离AP；(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．27．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60√2海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.73）28．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB，BC，CA跑步（小路的宽度不计），观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B 在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)求坡面CB 的坡度；(2)求基站塔AB 的高．30．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A ，B ，C 三个港口，B 港口在C 港口正西方向33.2nmile （nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40nmile 处，在A 港口北偏东53°方向且位于C 港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）。
仰角、俯角和方位角
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
300
D 60° F x
E
30°
C
x
B
3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
30米30°
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂 线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为 解直角三角形问题。 （3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知 数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设 图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三 角形联系密切的特殊线段为未知数。
·
F
·
12
11
10
30°
9
B
·
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里内有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
问题的本质：
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是 直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
第6课 解直角三角形的应用——方位角(课时作业)
第6课解直角三角形的应用（二）方向角（作业）1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60° 方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔最近的位置．2．如图，一艘轮船以每小时10海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．(结果保留根号)3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为多少海里．(结果保留根号)4．如图，在东西方向的海岸线MN 上有A 、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号，已知船P 在船A 的北偏东60°方向，船P 在船B 的北偏西35°方向，AP 的距离为30海里．求PB 的长．(精确到0.1海里，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82)5. 如图，海平面上灯塔O 方圆100千米范围内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，在点A 处测得灯塔O 在北偏东60°方向，继续航行100千米后，在点B 处测得灯塔O 在北偏东37°方向．请判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？(参考数据：sin 37°≈0.6， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，√3≈1.73)6.一艘轮船以每小时10海里的速度在B 点沿正南方向航行，在灯塔A 处测得B 在北偏东26°方向，轮船航行2小时后到达C 处，在A 处测得C 在北偏东45°方向，当轮船到达灯塔A 的正东方向D 时，求此时轮船与灯塔A 的距离. (参考数据：sin 26°≈0.4， cos 26°≈0.9，tan 37°≈0.5)CA。
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
解直角三角形(方位角问题)
第五章 空间与图形5.7 解直角三角形【基础巩固】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：222c b a =+。
逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=解直角三角形 勾股定理锐角三角函数考查内容考查角度方向角问题楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度图 1图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值3.仰角与俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．4. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。
用字母i 表示， 即A lhi tan ==5.方位角与方向角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
与三角形有关的角的计算之方位角
祖π数学
新人教 八年级上册
之精讲精练 1
三角形的内角与方位角
如图，A 点在B 点的北偏东40°方向，C 点在B 点的北偏东75°方向，A 点在C 点的北偏西50°方向.求从A 点观测B ，C 两点的视角∠BAC 的度数.
【变式训练】
1.如图,B 处在A 处的南偏西45°，C 处在A 处的南偏东15°，C 在B 处的北偏东80°. 求∠ACB 的度数.
2.如图，小明在东西方向的滨海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，他向东走400米至B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上，则从灯塔P 观测A ，B 两处的视角∠P 的度数是多少？
3.如图，A ，B ，C 三个岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35°方向，B 岛在A 岛的北偏东65°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向.
(1)求C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数.
(2)小敏发现解决第(1)问，可以不用“B 岛在A 岛的北偏东65°方向”这个条件，你能求吗？。
07-26.4 解直角三角形的应用-课时1 仰角、俯角与方位角问题九年级上册数学冀教版
6.[2023郴州中考]如图，某次军事演习中，一艘船以 的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东 方向，后到达 处，测得小岛在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛 的最近距离.（参考数据：，．结果精确到 ）
解：由题意,得 ， ， .如图，过点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于点 ，当船航行至点处时，与小岛 的距离最近，此时
第4题图
【解析】 如图，设出发小时后甲船在乙船的正东方向,此时甲船行驶到 点，乙船行驶到点，此时海里，海里.连接 , 交于点.在中， ，（海里）.在 中， ， 海里，，解得 .
5.新情境[2024唐山期中]为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图， 为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本 的俯角为 ，身体离书桌距离 ，眼睛到桌面的距离 ．
①③④
害．其中正确的是________．（填写序号,参考数值：, ）
【解析】 过点作，垂足为，则， 米，在中， ， （米），（米）， （米），故②不正确；在中， （米）， （米），故①正确；（米），， 若直接从点 处砍伐，树干倒向教学楼 方向，会对教学楼有影响，故③正确；（米），， 若第一次在距点 米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害，故④正确.
B
第1题图
A. 海里 B. 海里 C.50 海里 D.25 海里
【解析】 如图，根据题意，得 ， ， ， ， 为等腰直角三角形. （海里）， （海里）．
【归纳总结】 解答这类问题的关键是分清方位角，将已知的条件进行整合，利用三角函数的相关知识将已知和未知联系起来.
第2题图
2.[2023泰安中考]在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前 处，测得该塔顶端的仰角为 ，后退到 处有一平台，在高的平台上的处，测得 的
解直角三角形方位角坡度角
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比 ），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tanAFi1： 1.5
BF
i=1:1. 5
α B
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
tanDEi1:3
CE
18.4
AD 6m FE
i=1:3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
65° A P
C
34°
解直角三角形(方位角)
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点 测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到 达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上， 如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触 礁的危险？
A
30° 60°
B
12
D
F
1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
课前热身
1．(2004年· 宁夏)在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相 邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的坡 面距离为 2 3 米.
B A C
2．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度 i=1∶1.5，且AB= 13 m. C
A
2m
B
五、（2003.哈尔滨）今年入夏以来，松花江哈尔滨段 水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江 某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东 60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北 偏东45°方向上，在以航标C为圆心，120米长为半径 的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有 被浅滩阻碍的危险？
C
合作与探究
一轮船以30海里/时的速度由南向北航 行，在A处看见灯塔S在船的北偏东30°方 向上，半小时后航行到B处，看见灯塔S在 船的东北方向，求灯塔S与B的距离。
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2
3 1
A
B
C
D
E
O
1、如图所示，已知点O 是直线AB 上一点，CO ⊥AB ，∠EOD=90° 那么图中互余的角的对数是（ ）
A 、3对
B 、4对
C 、5对
D 、6对
2、A 看B 的方向是北偏东30°，那么B 看A 的方向是（ ）
（A ）南偏东60° （B ）南偏西60° （C ）南偏东30° （D ）南偏西30° 3、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，则这个角的度数
4、OA 表示北偏东32°方向线， OB 表示南偏东43°方向线，则∠AOB 等于
5、∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则∠3=
6、O 为直线AB 上的一点，OD 垂直于AB 且平分∠COE ，已知∠COE = 90 °，则∠BOC = ，∠COD =
7、 如图，直线AB 、CD 交于O 点，OE 为AOC ∠的平分线，且∠1=30 °，则=∠2 ,=∠3 .
8、已知∠а和∠β互为余角，则∠а的补角和∠β的补角之和为（ ）
A.90°
B.180°
C.270°
D.360°
9、如图所示，点O 在直线AB 上，∠COB=∠DOE=90°，那么图中相等角的对数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.7 10、下列说法中正确的是（ ） A.一个锐角的余角比这个角的补角小90° B.如果一个角有补角，那么这个角必是钝角 C.若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互为补角
D.如果∠а和∠β互为余角，∠β与∠γ互为余角，那么∠а与∠γ也互为余角
11、如图所示，小明从A 处出发沿北偏东60°方向走到B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）. A.右转80° B.左转80° C.右转100° D.左转100°
学校
医院
D
F C
A
E
B
70︒
15︒
东
北
C
A
B
12、如图所示，∠BOD=90°，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是
（）
A.相等
B.互余
C.互补
D.以上均错
13、在一张城市地图上有学校、医院、图书馆三地，但图书馆周围已被墨迹覆盖，辨别不清，
但知道图书馆在学校的南偏西15°方向上，在医院的北偏东60°方向上,你能根据学校、医院
的位置在图中确定图书馆的位置吗？
14、如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( )
A.90°<n<180°
B.0°<n<90°
C.n=90°
D.n=180°
15、如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发
向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85°
B.160°
C.125°
D.105°
16、如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
17、如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，
∠AOC=90°，求∠EOC的度数
18、一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．
19、如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．。