图与网络模型及方法PPT

三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
时，称此链为圈。圈中只有重复点而无重复边者为简单圈，
既（除起点、终点重复外）无重复点也无重复边者为初等圈
v1 e1
• • v 6
e6 e7
e8
• e 5 v 5 e 4
•v 2 • e 9 e 2 v 3
• • e 2
v1
e1
v5
• v 2
e3 e4
• v 6 e 5
• vFra Baidu bibliotek3
•v 4
e6
d(v1)3, d(v2)1, d(v3) 4
d(v4)3, d(v5)0, d(v6) 1, v2、v6为悬挂点，e2、e5为悬挂边， v5为孤立点， v1、v2、v4、v6为奇点v， 5、v3为偶点
d(vi)12 ，G的边数m=6 即 图与网络模型d 及方(v 法i)2m
一个连通图中的生成圈
图与网络模型及方法
绪论
• 近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了 图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通 讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济学、社会 学等学科中。
图与网络模型及方法
绪论
• 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。 • 如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲
的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何 形象。 • 图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学 模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
图与网络模型及方法
哥尼斯堡七桥问题
这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联
图与网络模型及方法
绪论
• 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要 的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计 算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域
个数为偶数。
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四. 链、路、连通图 1.链：对于无向图G=(V，E)，若图G中有一个点与边的交替序列
μ={vi0,ei1,vi1,ei2,,vik-1,eik,vik}，且eit=(vit-1,vit)(t=1,2,…,k), 则称该交替序列 μ为连结vi0和vik的一条链。
简单链：μ中只有重复的点而无重复边者为简单链。 初等链：μ中没有重复的点和重复边者为初等链。 圈：无向图G中，连结 vi0与vik的一条链，当vi0与vik是同一个点
有向图——边e=(vi, vj)有方向vi为始点，vj为终点
图
此时(vi, vj)≠(vj,vi)
无向图——边e=(vi, vj)无方向，此时(vi, vj)=(vj,vi)
e1
有
• e 2
v1 e6
向 图
v2•
e3
e4
•v 4
v•3 e 5
e4=(v3，v4)≠(v4，v3） e5=(v4，v3)≠(v3，v4)
记V={vi}——点的集合，E= {ei}——边的集合 ek {vi,vj}
G={V，E} m(G)=|E|——G的边数， 简记为m n(G)= |V|——G的顶点数， 简记为n
• e 1 v 3 e 2 e 6
• • • v 1
e4 e3 v4 e5 v 5
• v 2
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m=6, n=5
无环也无多重边的图称为简单图。
v•3 e 5
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5、次：以点 vi为端点的边的条 点v数 i的称 次为 d， (vi)
6、悬挂点和悬挂边： 次为1的点称为悬挂点，与悬挂点相联的边称为悬挂边。
7、孤立点：次为0的点称为孤立点
8、奇点与偶点：
次为奇数的点称， 为次 奇为 点偶数的点点 称为偶
V1∩V2=Φ,有性质1， d (v i) d (v i) d (v i) 2 m ，因为V2
i V
i V 1
i V 2
是偶点的集合，d(vi)(i∈V2)均为偶数，所以 所以 d(vi)为偶数
iV2
d(vi )为偶,数 而V1是奇点的集,合d(vi)(iV1)均为奇数 iV1
只有偶数个奇数相加才能得到偶数，所以V1中的点，即奇点的
2、相邻点和相邻边：
一条边的两个端相 点邻 称点 为，简称邻点，
端点落在同一个边 顶称 点为 的相邻边，边 简称邻
3、多重边与环：
e1
具有相同端点的多 边重 称边 为或平行边； •v 1
两个端点落在同点 一的 个边 顶称为环e 2。
e6
4、多重图和简单图：
v 2 • e 3 e 4 •v 4
含有多重边的图称为多重图；
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1
• 图与子图 • 图的连通与割集 • 树与支撑树 • 最小树 • 最短有向路 • 最大流 • 最小费用流 • 最大对集
图与网络模型及方法
• 图与网络
无向图的基本概念 网络的基本概念
• 关联矩阵和邻接矩阵
关联矩阵 邻接矩阵 主要结论
• 子图
图与网络模型及方法
• 的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是 图与网络的基本问题。
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图的基本概念 一.图的概念 图------由若干个点和连接这些点的连线所组成的图形 G—— 一个图 vi——图中的点，称为顶点（代表具体事物，研究对象。 ei——图中的连线，称为边（对象之间的联系）
绪论
• 图论起源于18 世纪。 • 第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表
的“哥尼斯堡的七座桥”。 • 1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了
“树”的概念。
• 1857年，凯莱在计数烷n 2n+2 C H 的同分异构物
时，也发现了“树”。 • 哈密尔顿于1859 年提 • 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出
e1
• e 2
v1 e6
• v 2
e3
e4
无
•v 4 向
图
v•3 e 5
e4=(v3，v4）=(v4， v3） e5=(v3，v4）=(v4， v3）
图与网络模型及方法
二.常用名词：
1、端点和关联边：
若 ek{vi,vj}E,则称 vi、 v 点 j是e边 k的端点 ek是 ，边 点 vi和 vj的关联边