高中数学-单调性与最值
高中数学-单调性与最大（小）值说课稿
⾼中数学-单调性与最⼤（⼩）值说课稿《单调性与最⼤（⼩）值》说课稿说课⼈：张燕各位评委：⼤家好！今天我说课的内容是⼈教版⾼中数学必修1第⼀章第三节单调性与最⼤（⼩）值第⼀课时。
我将从教材分析、教学⽬标、重点难点、教学过程设计及教学评价等⽅⾯来对本节课的教学进⾏说明。
⼀、教材分析——教材的特点、地位与作⽤函数单调性是⾼中数学中相当重要的⼀个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本届内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学⽣的抽象思维能⼒及分析问题和解决问题的能⼒。
⼆、教学⽬标（1）知识与技能使学⽣理解函数单调性的概念，并能判断⼀些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）过程与⽅法从⽣活实际和已有旧知出发，引导学⽣探索函数的单调性的概念，应⽤图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学⽣领会数形结合的数学⽅法，培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒．(3）情感、态度与价值观使学⽣体验数学的严谨性，培养学⽣细⼼观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．三、教学的重点和难点（1）重点：①函数单调性的概念；②运⽤函数单调性的定义判断⼀些函数的单调性．（2）难点：①函数单调性的知识形成；②利⽤函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．四、教学过程设计为了完成教学⽬标，突出教学重点，突破教学难点，我将我的教学过程设计为由“创设情境、引⼊新课”、“发现问题、探求新知”、“知识总结、及时体验”、“归纳总结、知识整合”、“课后延续、作业布置”五个环节。
（1）创设情境、引⼊新课利⽤课件展⽰⼏个函数图像，观察各个函数的图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些变化特征码？由教师引导，借助对⼏个函数图像的观察，对所观察到得特征进⾏归类，引⼊函数的单调性研究。
设计意图：通过⼏何直观，引导学⽣关注图像所反映出的特征。
（2）发现问题、探求新知问题1：观察⼀次函数和⼆次函数的图像，说说随着⾃变量的增⼤，图像的升降情况。
高中数学 函数的单调性与最值
专题 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(6)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)考点一求函数的单调性(区间)A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．答案：(－∞，0)(3)判断并证明函数f(x)＝axx2－1(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．（二次除以一次的处理；拓展一次除以一次）[方法引航]判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.(2)利用复合函数关系：简称“同增异减”.(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.(4)性质法：增函数与减函数的加减问题。
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x C．y＝ln x D．y＝|x|选B.2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞选B.3．已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax (x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（掌握对勾函数；明确对勾函数的特征）考点二 利用函数的单调性求最值[例2] (1)函数f (x )＝2x x ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．答案：43，1(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________. 答案：251．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.考点三 函数单调性的应用[例3] （1）已知11122x y⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等关系一定成立的是（ ）A ．22x y <B ．22log log x y <C ．33x y > D ．cos cos x y <(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2[方法引航] (1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①任意子区间上也是单调的；②注意衔接点的取值.1.在本例(2)中，若f (x )不变且a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.解不等式f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)．f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，74.2.定义在R 上的函数()f x =25,1,, 1.x ax x a x x---≤>⎧⎨⎩ 对任意12xx ≠都有，1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [－3,－2]B. [－3,0)C.(－∞,－2]D. (－∞,0)[易错警示]定义域的请求——求函数单调区间先求我1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．[典例1] 函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间为________．[答案] [2，＋∞)[警示] 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结． 2．利用函数单调性解不等式时也要先求定义域．[典例2] 已知，定义在[－2,3]上的函数f (x )是减函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是________． [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3[警示] 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组．[高考真题体验]1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x选项D 符合题意．2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 故选A.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－x故选A. 4．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案：25．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减解析：选C.2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) x 的取值范围是x ＞1或x ＜0.3．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14 B ．a ≥－14 C ．－14≤a ＜0 D ．－14≤a ≤0综上所述得－14≤a ≤0.5．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3选C.6．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(0,1)7．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________．答案：(－∞，－1]，[0,1]8．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 答案：(－∞，1]9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值． g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t ＜1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t ＞2).(2)画出g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证（判断）f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．B 组 能力突破1．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＞f (2) B ．f (a ＋1)＜f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定选A.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0) C ．(0,2) D ．(－2,0)选A.3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.（函数背景是什么？） (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵[2,9]⊆(0，＋∞)，∴f (x )在[2,9]上为减函数f (x )min ＝f (9)．由题意可知f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋f (x 2)，∴f (9)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＋f (3)＝2f (3)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.专题 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√)(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(6)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (7)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (8)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()A．y＝1x B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x答案：B(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(2)f(x)＝lg 1－x1＋x.（其它底数）（其它变形形式）原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1) 答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2019)＝________.答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求f (－2 017)＋f (2 019)的值．f (－2 017)＋f (2 019)＝2.拓展延伸：已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B.考点三 函数奇偶性的综合应用[例3] (1)若函数f (x )＝2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案：C （注重多种解法） (2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. ①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0. 解：①a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x2，经检验适合题意．②证明：（略）f (x )在(－1,1)上为增函数． ③0＜t ＜12.3.设奇函数()f x 在(0，＋∞)上为增函数，且)1(f ＝0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(4)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 满足不等式f＜0的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析] 第一步：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． (赋值法)：令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0.令x ＋y ＝0，∴y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )． ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．第二步：∵f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数． 第三步：由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2) ⇒f (x ＋4)＝f (x )，(代换法)∴周期T ＝4，即f (x )为周期函数．第四步：f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．(代换法) 又∵f (x )为奇函数，∴f (2－x )＝f (x )，∴关于x ＝1对称．第五步：由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称， ∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)．(赋值法) [答案] ①②③④[回顾反思] 此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数选C.2．已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x解析：选B.2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：选A.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)B 组 能力突破1．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：选D.4．定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，则f(2 028)＝________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，则函数f(x)是以12为周期的函数．又∵f(2 016)＝2 016，∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．专题二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质y＝(1)二次函数的图象和性质R ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(4)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)考点一二次函数解析式________.答案：x2＋2x[方法引航]根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案：－2x2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；解：(1) f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解； (3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f(x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围．解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立， 即2a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号． ∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.综合运用：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) 注重巧解 A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3}解析：选D.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．3答案：B (3)已知f (x )＝，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (a )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.2．若，则实数a 的取值范围是________．（陷阱） 解析：不等式等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32[规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．[典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分 ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分 (3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0.第二层：开口方向a>0和a<0.第三层：对称轴x＝1a与区间[0,1]的位置关系，左、内、右．(2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A.2．(2015·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：选C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|解析：选C.4．设函数则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案：(－∞，8]5．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.13B.12C.23D.43解析：选A.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2 B ．－2＜a ＜2 C ．a ＞2或a ＜－2 D ．1＜a ＜3解析：选C.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a . 结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14.答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ac －4＝0.答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞，所以m 8≤2，即m ≤16.答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b2a ＝－1，∴2a －b ＝0.当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0. ∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b . 3．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5. 答案：(3,5)5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．(×)(2)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)(4)当x＞0时，y＝a x＞1.(×)(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．(×)考点一指数幂的运算解：[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9解析：选B.－(－1)0＝－1＝8－1＝7.考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0答案：D(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B.f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，故选B. 2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]考点三 指数函数的性质 [例3] (1)(2017·天津模拟)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2答案：D (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 答案：{x |－1＜x ＜4} (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：①令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.②由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．解析：构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得y 2＜y 3，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故，即y 1＞y 3，∴y 1＞y 3＞y 2.答案：D2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 解：当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． 3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解． 解析：当a ＝1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－4x ＋3＝1∴x 2－4x ＋3＝0，∴x ＝1或x ＝3. 答案：1或3[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________． [答案]3＋ 2二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题 [解析] ∵67x ＝27,603y ＝81，[答案] －2三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.[解析] ∵a 2－3a ＋1＝0，∵a ≠0，∴a ＋1a ＝3.[答案]5四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.[答案] 1 五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[解析] 因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a 解析：选B.3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：选B.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 答案：－326．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________． 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C.2．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选A4．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析：选A.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选C.6．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2. 答案：(1,2)7．计算：＝________.答案：28．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 解析：选B.3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论： 答案：－1 4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m∈R满足f(m)＞f(m2＋2m－2)，求m的范围．解：(1)当a＞1时，a2－1＞0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a －x为增函数．所以f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x 为减函数．所以f(x)为增函数．故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(2)由(1)知函数f(x)在R上单调递增．∴由f(m)＞f(m2＋2m－2)得m＞m2＋2m－2，即m2＋m－2＜0，(m＋2)(m－1)＜0，∴－2＜m＜1.故m的范围为(－2,1)．对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log m a M n＝nm log a M.(2)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质(1)定义域：(0，＋∞)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．5．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN＞0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)其它底数呢？(3)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)(4)log2x2＝2log2x.(×)(5)当x＞1时，log a x＞0.(×)(6)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.(×)考点一 对数式的运算[例1] (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( ) A.94 B.54 C.103 D.43答案：D(2) 2lg 2－lg 125的值为( ) （略） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B[方法引航] (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案：102．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72 解析：选A.。
高中数学《单调性与最大小值函数的单调性》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
（3）增函数、减函数的定义.
增（减）函数：如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
，当x1<x2时都有f（x1）<f（x2）
（f（x1பைடு நூலகம்>f（x2））就说函数f（x）在区间D上是增（减）函数.
二、概念深化
（1）强调定义中“任意”二字，它仅
对于区间D而不是定义域I.
（1）锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备，让学生从形的角度认识函数的性质.
/(2)培养学生数形结合的思想.
（3）从形象到抽象，培养
学生的逻辑思维能力，类比归纳能力.
（4）理解增减性定义.
为证明单调性打下基础
掌握证明单调性的方法
理解证明单调性的歨骤
通过分层作业使学生巩
固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
学生练习教材练习1,2.
（2）教材例2
学生练习教材练习3.
用定义法证明增（减）函数的步骤.
/
四、归纳小结
（1）知识：
/①概念：增（减）函数；
②证明增（减）函数（定义法）步骤：
取值（设）→作差变形→定号→
结论
（2）方法.
五、布置作业
（1）教材习题1.3A组1、2、3题.
（2）补充题：函数f（x）=/卡的定义
（2）一致性：自变量x1，x2与因变
量f（x1），f（.x2），若x1<.x2且f（x1）<f（x2）则为增函数，反之为减函数.
（3）如果对于定义域Ⅱ内某个区间
D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1≠x2时，总有/（或<）0，那么就说函数f(x）在区间D上是增（或减）函数.
高中数学必修一：函数的单调性与最值
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2 6．函数 f(x)＝ 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为_____． x－ 1
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数， 2 4 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－ －(－2)＝ . 3 3
4 答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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3．谨防 3 种失误 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义 域优先”为原则．(如冲关演练第 1 题) (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． (3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，” 连接，不能用“∪”连接．
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[冲关演练] 1．(2017· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(4，＋∞) )
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考点一
确定函数的单调性区间
[考什么·怎么考]
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是 高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现， 但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
ax 1．试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
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x－1＋1 1 1 ＋ 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1
为减函数， 为增函数；
3 x∈2，＋∞时，f(x)＝x2－3x
1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数； x＋1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
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3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是 A．[1,2] C．[0,2] B．[－1,0] D．[2，＋∞)
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1 < 4， 1 > (4)
类似地：
(1, (1))
(4, (4))
2 < 3， 2 > (3)
3.5 < 5， 3.5 > (5)
活动探究
追问1
由y随x增大而减小，任取两个
不同的x值，就能根据他们的大
小关系，写出函数值的大小关
系．那么，这个描述反过来是
否成立呢？
都考察一遍呢？如果不能，那又该怎样定量描述这种变化．
“所有”=“全部”=“任意”=“每个”
任取两个
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
当1 < 2 时，都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
活动探究
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
活动探究
追问2
在之前的数学学习中，你还见过哪些类似这样的变化特征呢？
函数值随自变量的增大而增大或减小
增减性
(初中)
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
1
y=
在(−∞, 0)和(0, +∞) 内，
都是y随着x的增大而减小．
活动探究
追问3
你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗？
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
并指定大小关系，比如1 < 2 ；
第二步，作差变形
计算 1 与 2 的差，对表达式进行变形整理，改写
成一些因式乘积的形式；
第三步，判断符号
结合1 ，2 的大小关系，判断出上一步中得到的式子的
正负，从而确定 1 与 2 的大小关系；
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
高中数学 2.2函数的单调性与最值
高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值思维升华确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法．(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”．(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(4)具有单调性函数的加减．高中数学导学案 | 《 第二章：函数 》 第二课时：函数的单调性与最值姓名： 学校： 年级： 备课人：题型二 函数的最值(值域)1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关2．设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是( )A ．2B ．1 C.34 D.233．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ln x ，x ＞1，2x ＋a ，x ≤1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例3 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 命题点2 解函数不等式例4 若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8) 命题点3 求参数范围(或值)例5 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1 (2)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：(2)图象法：(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．单调性应用的类型 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．1．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥5 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13 4．已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f ()f (x )－ln x ＝1，则f (e)等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．e5．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log ax ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．9．函数f (x )＝4－2x ＋x 的值域为________．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值10.已知函数f(x)＝2x高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值。
高中数学高考第2节 函数的单调性与最值 课件
限
时
课
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，
集 训
堂
考 点
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．
探
究
返 首 页
32
考点2 函数的最值
课
前 自
求函数最值的五种常用方法及其思路
主
回 顾
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
课 后
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求
D
上是增函数；
课 后
限
课 fxx11－－xf2x2＜0⇔f(x)在 D 上是减函数．
时 集 训
堂
考 点 探
(2)对勾函数 y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋
究
∞)，减区间为[－ a，0)和(0， a]．
返
首
页
9
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和
课
前 自
点
探
究
返 首 页
21
(2)令u＝x2＋x－6，
课 前
则y＝ x2＋x－6 可以看作是由y＝ u 与u＝x2＋x－6复合而成的
自
主 函数．
回
课
顾
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
后 限
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增
时 集
课
训
堂 考
函数，而y＝
u在[0，＋∞)上是增函数，
限 时 集
课
堂
即f(x2)＞f(x1)，
训
考
点 探
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿
高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿高中数学《单调性与最大(小)值》说课稿以下是小编整理的高中数学《单调性与最大(小)值》(数学必修一)》说课稿，希望对大家有帮助!一、教材分析1.教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，。
2. 教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
3.教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。
教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程.4.学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.二、目标分析(一)知识目标：1.知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。
2.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。
3.情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。
高中数学《三角函数的单调性与最值》教学课件
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在 R 上都是单调函数. ( )
(2)存在 x∈R 满足 cos x＝1.2.( )
(3)函数 y＝－12sin x，x∈0，π2的最大值为 0.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)√
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
由 z∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，
得 x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，
即 x∈2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)，
故函数 y＝2sinx－π3的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)． 同 理 可 求 函 数 y ＝ 2sin x－π3 的 单 调 递 减 区 间 为
cos－147π＝cos147π＝cos4π＋π4＝cosπ4. ∵0＜π4＜35π＜π，且 y＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，
∴cos35π＜cosπ4，
即 cos－253π＜cos－147π.
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
[跟进训练] 1．(1)函数 y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数 y＝cos3π－2x，则它的单调递减区间为________．
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点1、函数单调性的定义：对于某区间内任意给定的两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) ，则f(x)在该区间上是增函数；而如果总有f(x1)≥f(x2) ，则f(x)在该区间上是减函数；特别地，如果总有f(x1)＜f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格增函数；如果总有f(x1)＞f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格减函数。
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
3、利用定义证明函数单调性的步骤：①取值x1和x2，并令x1<x2；②做差f(x1)-f(x2) 并变形，通过因式分解/通分/配方/分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向（即因式相乘/除的形式）变形；③判断f(x1)-f(x2)符号，有参数时，需要分类讨论；④得出结论。
4、判断含参数的函数的单调性时，注意对参数进行分类讨论。
函数的单调区间可以直接由图像判断，从左到右是上升的，则是单调递增区间，从左到右是下降的，则是单调递减区间。
5、复合函数的单调性：同增异减。
即对于复合函数y=f[g(x)]，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相异，则y=f[g(x)]是减函数。
6、基础函数的单调性：①一次函数y=kx+b，k＞0时是增函数，k＜0时是减函数。
②反比例函数y=k/x，当k＞0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，k＜0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是增函数。
③二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时开口向上，对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，当a＜0时开口向下，对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
④幂函数y=x a，a＞0时，在第一象限是增函数，a＜0时，在第一象限是减函数，其他象限的情况根据奇偶性来判断。
⑤指数函数y=a x，0＜a＜1时，是减函数，a＞1时，是增函数。
高中数学总复习 函数的单调性和最值
命题点2 利用定义证明函数的单调性 例 2 试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
方法一 定义法 设－1<x1<x2<1， 因为 f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， 所以 f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝x1a－x12－xx2－1 1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
定义 当x1<x2时，都有_f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 那么就称函数f(x)在区间I上单 调递增
当x1<x2时，都有_f_(x_1_)_>_f(_x_2)_，那么 就称函数f(x)在区间I上单调递减
知识梳理
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识梳理
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ，那么就称函数y＝f(x) 在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间.
则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2，
则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
(2)若函数 f(x)＝x＋x－a－1 3在(a，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为 ___[1_,_2_) __.
f(x)＝x＋x－a－1 3＝x－1x－＋1a－2＝1＋ax－－12， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴aa≥ －12<0， ⇒1≤a<2.
命题点2 求函数的最值 例 4 (2023·四川外国语大学附中模拟)函数 f(x)＝x－2x＋1 在[1,4]上的值域为
数学人教版高中一年级必修1 1.3.1单调性与最值
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
y 5
X=1
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-3 -4
单调减区间： ，1
无单调减区间： ，1
单调增区间：1，
单调增区间：2,4
ymin f 1 4
ym
不存在
ax
ymin f 2 3 ymax f 4 5
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一， 制造时一般是期望在它达到最高点时爆 裂。如果烟花距地面的高度h m与时间 t s之间的关系为h(t) 4.9t2 14.7t 18， 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的 最佳时刻？这时距离地面的高度是多 少（精确到1m）？
取值 作差 变形 定号 下结论
课堂练习
判断函数 y x 在1区间 x
上的1,单调性并证明.
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
则
1
1
f
(x1)
f
( x2 )
( x1
x1 ) ( x2
) x2
作差
11 (x1 x2 ) ( x1 x2 )
2a
4a
y
若a<0 抛物线开口向下
0
x 则当x= b 时，y有最大值 4ac b2
2a
4a
观察：
y
16
f (x) x2 1
9
4
1
o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 思考：指出它的最高点或最低点，它能体现函数的什 么特征？
函数 f (x) x2 1 的图像上有最低点 （0，1）
f (x1) f (x2 ) 0 即
5.4第二课时三角函数单调性与最值 高中数学人教A版必修第一册
内容 索引
问题导学预习教材
01
必备知识探究
互动合作研析题型
02
关键能力提升
拓展延伸分层精练
03
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教 材 必备知识探究
二次函数的单调性求值域(最值).
训练 3 已知函数 y＝a－bcos2x＋π6(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求a，b的值；
解 易知－1≤cos2x＋π6≤1. 因为 b>0，所以－b<0， 所以ymax＝b＋a＝32，
ymin＝－b＋a＝－12. 所以 a＝21，b＝1.
(2)求函数 g(x)＝－4asinbx－π3的最小值，并求出对应的 x 的取值集合. 解 由(1)知 g(x)＝－2sinx－π3， 因为 sinx－π3∈[－1，1]，
A.32π，52π
B.π2，32π
C.－π2，π2
D.[π，2π]
解析 y＝sin x 的单调增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，
取 k＝0，得区间－π2，π2；
取 k＝1，得区间32π，52π.
二、正弦、余弦函数的最值 1.问题 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线，回答问题：
正弦曲线：
余弦曲线：
一、正弦、余弦函数的单调性 1.问题 观察正弦函数 y＝sin x，x∈－π2，32π的图象，回答问题：
(1)函数图象有什么特征？函数值是怎样变化的？ 提示 当 x 由－π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1 增大到 1. 当 x 由π2增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 的值由 1 减小到－1.
高中数学函数的单调性与最值
突破点一
突破点二
课时达标检测
函数的单调性与最值 结 束
应用(三) 求参数的取值范围 [例 4] (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是单
突破点一
突破点二
课时达标检测
函数的单调性与最值 结 束
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与 f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)， y＝f1x单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝ fx 单 调性相同；
因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函数 t
在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数 f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] B
突破点一
突破点二
课时达标检测
函数的单调性与最值 结 束
[易错提醒] (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立
某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
定义 当x1<x2时，都有
当x1<x2时，都有
_f(_x_1_)<__f(_x_2_) ，那么就说函数 f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，那么就说函数
f(x)在区间D上是增函数 f(x)在区间D上是减函数
图象 描述
自左向右看图象是_上__升__的 自左向右看图象是下__降__的
B．[1,4]
C．[4，＋∞)
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1.3.1 单调性与最大（小）值
各位老师，大家好！
今天我说课的课题是：人教版高中数学必修模块一第一章第三节“函数的基本性质”中“单调性与最大（小）值”的第一课时，下面，我将从教材分析、学法分析、教法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等六个方面对本课时的教学设计进行说明.
一、教材分析
（一）教材特点、教材的地位与作用
1、教材特点
本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
2、教材的地位与作用
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。
在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。
可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位。
此外函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法。
这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。
首先借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画。
（二）教学内容
本学时的主要学习内容是：
1、通过图象判断函数的单调性，理解函数单调性的概念；
2、掌握用定义判断一些简单函数的单调性；
（三）重点、难点
1、本课时的教学重点是：形成增减函数的形式化定义
2、本课时的教学难点是：形成增减函数感念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
（四）教学目标
1、知识与技能
（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2、过程与方法
（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
3、情感、态度与价值观：理性描述生活中的增长、递减现象。
二、学法分析
学生已有的认知基础是：初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某种运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步认识到函数是两个数集之间的对应，了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图像对函数特征加以直观观察。
此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例韩式等几个简单而具体的函数，了解他们的图像及性质。
尤其值得注意的事，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验，仅就图像角度直观描述函数单调性特征，学生并不感到困难，困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来。
教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图像及数值变化特征的研究，
初步提出单调递增的说法，通过讨论、交流，让学生尝试，就一把情况进行刻画，进一步给出函数单调性的定义，然后通过辨析、联系等帮助学生理解这一概念。
三、教法分析
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。
对函数单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程的难点，因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步得认识，并且在今后的学习中有所用；使用函数单调性定义证明具体函数的单调性又是一个难点，使用函数的单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解，给出一定的步骤“作差、变形、定号”是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后学习的不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，对今后的教学做一定的铺垫。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数，学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。
四、教辅手段
以PPT和板书相结合，使学生更直观地掌握本课时的学习内容，而且可以扩大教学容量五、教学过程
本课时的教学过程是由“创设情境、引入新课”、“合作学习、问题探究”、“知识总结、及时体验”、“归纳总结、知识整合”、“课后作业、巩固提高”五个环节来体现和达到教学目标.
（一）创设情境、引入新课
1、利用课件展示几个函数图像，观察各个函数的图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些变化特征码？由教师引导，借助对几个函数图像的观察，对所观察到得特征进行归类，引入函数的单调性研究。
设计意图：通过几何直观，引导学生关注图像所反映出的特征。
（二）合作学习、问题探究
问题1：如图观察一次函数和二次函数的图像，说说随着自变量的增大，图像的升降情况。
引导学生利用图像描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度认识函数的单调性。
设计意图：通过几何直观，引导学生关注图像所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图像上的表现。
问题2：观察下面的表格，描述二次函数随自变量增大函数值的变化特征。
引导学生从数值变化角度描述变化规律，图像上升（下降），也就是随着x的增大y也增大（或减小）。
设计意图：从一个特殊例子，结合前面的图像特征，从数值变化角度认识函数的单调性。
问题3：对于一般函数，如果在区间（0，+∞）上有“图像上升”“随着x的增大，相应的f(x)值也增大”的特点，那么应该如何刻画呢？在这个过程中，二次函数的特征是一个具体的载体，可以起到验证、支持的作用。
如果学生主动提出函数单调性的一般定义，则可以讨论“为什么”，让学生以二次函数为例解释定义的合理性。
设计意图：从形象到抽象，从具体到一般。
先然学生尝试描述一般函数在（0，+∞）上“图像上升”“随着x的增大，相应的f(x)值也增大”的特征。
（三）知识总结、及时体验
给出函数单调性的一般定义：一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
师生互动：引导学生学习定义，强调关键词句：定义域I内某个区间D、任意、都有。
设计意图：使学生明白函数的单调性是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调区间是函数定义域的一个子集。
给出单调性概念的应用的例题。
引导学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：取值、作差、判断、结论。
（四）归纳总结、知识整合
1、增函数、减函数的定义
要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；
2、判断函数的单调性
1）、从图象上直观判断
2）、根据定义判定
其一般步骤为：
①取值：任取；
②作差：对其进行因式分解，要注意变形的程度；
③判断：判断上述差的符号，即得到（或）, （要注意说理的充分性）；
④结论：若为，则在区间D内为增函数；若为，则在区间D内为减函数.
（五）课后延续
1、回顾本课所学的内容，整理学习笔记.
2、P43页习题1.3
3、预习作业：函数的最大值与最小值。
预习题纲：函数最大值与最小值的含义是什么？
函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？
（六）板书设计。