D5_1n维Euclid空间中点集初步知识

(2) 什么样的集合对极限运算封闭？
定义1.3 设
称点集
为以 为中心、 为半径的开球或 邻域， 称
为点a的去心邻域.
注：点列 收敛于a可以描述为： 使得
定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 a的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即
使得
于是由
取
且
于是 注： 若 则 为闭集。
第五章
多元函数微分学及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 n维Euclid空间中
点集的初步知识
1.1、 n 维Euclid空间
1.2、R n 中的点列的极限 1.3、R n 中的开集与闭集 1.4、R n 中的紧集与区域
Hale Waihona Puke Baidu
1.1、 n维Euclid空间R n
利用对偶原理：
(1) 空集φ于空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
1.4、R n 中的紧集与区域
设 是 中的一个点集， 若存在一个常数
使得对于所有的 都有
则称 是有界集。
否则称为无界集.
定义1.6 设 是 中的一个点集， 若 是有界
闭集，则称 为紧集。 定义1.7 设 是 中的一个点集， 若 中的任意
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作
规定： 加法
1
数乘
.
称为一个n 维实向量空间（实线性空间）。
1 、
若定义内积
n
成为一个n 维Euclid空间。
维
E
u
中的长度：
1.2、R n 中的点列的极限
定义1.1 设 一固定点，若当
是 中的一个点列，其中
又设 时，
是 中的 即
使得
则称点列 的极限存在，且称 为它的极限，记作
这时也称点列 收敛于a. 定理1.1 设点列
点 aRn, 则
都有 定理1.2 设 是 中的收敛点列，则
(1) 点列 的极限唯一； (2) 是有界点列，
(3) 若
则
(4) 若 收敛于 ，则它的任一子列也收敛于 定理1.3 中的有界点列必有收敛子列. ( 中的点列 的收敛子列的极限也称为 的极限点） 设 是 中的点列，若
使得 则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
注：
且三者不交。
对于 中的任一点集 必有
特别的，开球与它的边界之并称为闭球。 例1.2
定理1.6
是开集
注： 中的开区间
中的闭区间
是闭集.
注：一个点集是不是“非开即闭？”
定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
两点 都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则 称 是连通集. 连通的开集称为开区域. 开区域与它的边 界的并称为闭区域.
设 是 中的一个点集， 若连接 中的任意两点的
线段都属于 ，即若
则称 是 中的凸集.
凸集都是连通的.
作业
P10 1， 4(1)(3) , 5(2)(4)
第三节
感 谢
定理1.4 中点列 收敛于 中的点 是 中的Cauchy点列.
1.3、R n 中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作
集合
称为 的闭包.
若
但
则称 为 的孤立点. 若
则称 为闭集.
注： (1) 集合 的聚点一定属于 吗？