人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (26)(含答案解析)
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等n 边形,所以n 条边的边长都相等,即这n 个向量的模都相等.2.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,则 ( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 D .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC.所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.3.(多选题)下列说法正确的是( )A.1 021 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B.若O 是直线l 上的一点,单位长度已选定,则l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A 向东走500 m 到达点B,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移1021cm 时,1021cm 长的有向线段刚好表示单位向量,故A 不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量,故B 正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C 正确;根据位移的定义,可知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移,故D 正确.4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD,且AB ∥CD,即四边形ABCD 为平行四边形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ | B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D .CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,因此|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |一定成立,故A 符合题意;对于B,根据菱形的性质,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线一定成立,故B 符合题意;对于C,因为BD 与EH 不一定平行,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定共线,故C 不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模相等, 因此CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗ 一定成立,故D 符合题意.故选ABD.6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .A,B,C 三点不共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 又因为m ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m=0.7.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是 .,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.O 为圆心的单位圆8.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个.9.一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D. (1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.如图所示.(2)由题意,易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=CD,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=200千米.。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用(含答案)
人教A版高中数学必修第二册第六章 平面向量及其应用全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案 5π6解析 因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案 16解析 因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案 1,解析 因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析 (1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析 (1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。
高中数学(人教A版)必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共71页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.（1）求2a b +；（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；（2）()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=； （3） 因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.【答案】（1）9-；（2）3a =或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a 的值.【详解】（1）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：3BC ==，所以()3,0B ，()0,4A ，所以()()3,43,09AB BC ⋅=-⋅-=-（2）()(1,)(3,1)4,1BC AB AC a a =-=--=--， ①π2A ∠=，此时(3,1)(1,)30AC a a AB ⋅=⋅-=-+=，解得：3a =； ②π2B ∠=，此时()(3,1)4,11210AB B a a C ⋅=⋅--=-+-=，解得：13a =； ③π2C ∠=，此时()2(1,)4,140AC a a BC a a ⋅=-⋅--=+-=，因为∆<0，无解； 综上：3a =或133．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求角C ；（2）若ABC 2c =，求ABC 的周长.【答案】（1）3π （2）6【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. （1）sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b c A B C R R R===试卷第3页，共71页222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=. （2）由（1）可知3C π=.1sin 2ABC S ab C ==4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=. ABC ∴的周长为6.4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A 14=，若a =4，b +c =6，且b <c ，求b ，c 的值.【答案】2,4b c ==【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即()22215516236422b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-，则8bc =， 因为b c <，则可解得2,4b c ==.5．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC ；（2）求顶点A 的坐标.【答案】（1）()4,1BC =（2）()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解BC 的坐标；（2）设顶点A 的坐标为(),x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC AD =，从而即可求解.（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以()()()3,41,34,1BC =--=；（2）解：设顶点A 的坐标为(),x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），所以BC AD =，即()()4,12,2x y =--，所以2421x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， 所以顶点A 的坐标为()2,1-.6．已知||1a =，||2b =，a b 与的夹角是60°，计算（1）计算a b ⋅，||a b +；（2）求a b +和a 的夹角的余弦值.【答案】（1）1a b ⋅=，||7a b +=（2 【分析】 （1）利用数量积的定义可求出a b ⋅，先求出2||a b +，即可得出||a b +； （2）先求出()a b a +⋅，根据向量夹角关系即可求出. （1） 由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=， 222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=，所以||7a b +=；试卷第5页，共71页（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+=， 设a b +和a 的夹角为θ，所以()2cos 71a b a a b a θ+⋅==⨯+⋅7．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a，b ，c ，已知a =6，A =60°，B =75°.（1）求角C ；（2）求边c .【答案】（1）C =45°（2）c =【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC 中，因为A =60°，B =75°，所以角180180607545C A B =--=--=； （2）解：在△ABC 中，因为a =6，A =60°，又由（1）知C =45°，所以由正弦定理有sin sin a c A C ==c = 8．已知向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π.（1）求a b +；（2）求()()23a b a b +⋅-.【答案】（1【分析】（1）由cos 33a b a b π⋅=⋅=，结合222?a b a ab b +=++，即可求解；（2）由()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅-，即可求解. （1） 解：由题意，向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π， 可得1cos 32332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=，又由2222?32a b a ab b +=++=+⨯ （2）解：因为向量3a =，2b =，且3a b ⋅=，所以()()222236336418a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-.9．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．（1）求AC 的长；（2）如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？ 【答案】（1）AC =（2）沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，试卷第7页，共71页（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2） 解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即2sin 2s in BC A B BC CA AC∠====∠ 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒n mile 即可到达C 处. 10．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行见此岛在北偏东30︒，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得AD ，与8进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC =，907515ABC ∠=︒︒=︒－，6045BAC ABC ∠=︒∠=︒－. 由正弦定理，得sin15AC ︒＝sin 45BC ︒， 所以AC10（海里）故A到航线的距离为sin6010=︒==.AD AC因为8>，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与OA、OB、OC相等的向量；（2）分别写出与OD、OE、OF共线的向量；（3）分别写出OD与OB，OD与OE的夹角；（4）分别写出OD与AB，OD与FA的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与OA相等的向量有：DO、试卷第9页，共71页 EF、CB ，与OB 相等的向量有：EO 、FA 、DC ，与OC 相等的向量有：FO 、AB 、ED .（2） 解：与OD 共线的向量有：DO 、AO 、OA 、AD 、DA 、EF、FE 、BC 、CB ， 与OB 共线的向量有BO 、EO 、OE 、CD 、DC 、BE 、EB 、FA 、AF ， 与OF 共线的向量有：FO 、OC 、CO 、CF 、FC 、ED 、DE 、AB 、BA . （3）解：OD 与OB 的夹角120，OD 与OE 的夹角60. （4）解：OD 与AB 的夹角为60，OD 与FA 的夹角120.12．已知|a |5=，|b |4=，（1）若a 与b 的夹角为120.θ=︒①求a ⋅b ；②求a 在b 上的投影向量．（2）若a //b ，求a ⋅b .【答案】（1）①10-；②58-b （2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案. （2）根据a ，b 的夹角进行分类讨论，由此求得a ⋅b . （1） ①cos12010a b a b ⋅=⋅⋅︒=-.②a 在b 上的投影向量为15cos1205248b b a b⎛⎫⋅︒⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭b . （2）a //b ， ∴a 与b 的夹角为0θ=︒或180.θ=︒ 当0θ=︒时，cos020a b a b ⋅=⋅⋅︒=. 当180θ=︒时，cos18020a b a b ⋅=⋅⋅︒=-. 13．如图，O 为ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：（1）b +c -a ；（2）a -b -c .【答案】 （1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （1）试卷第11页，共71页设D 是BC 的中点，连接OD 并延长，使OD DE =. b +c -a OE OA AE =-=.（2）a -b -c =a -△b +c △OA OE EA =-=.14．已知向量a ，b ，c ，d 分别表示下列位移：“向北10km ”△“向南5km ”△“向西10km ”△“向东5km ”．请说明向量a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义． 【答案】答案见解析 【分析】根据a ，b ，c ，d 的意义对a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义进行说明. 【详解】向量a b +表示“向北5km”； 向量b b +表示“向南10km”；向量a c +表示“”； 向量2a b b a b ++=+，表示没有位移；向量2a d d a d ++=+，表示“”．15．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径R 满足2222cos .R ac B a c +=+（1）求B 的大小； （2）若2b =，512C π=，求ABC 的面积． 【答案】 （1）6π（2）2+【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得R b =，再根据正弦定理，即可求出结果． （2）由三角形内角和可知A C =，进而可得a c =，由余弦定理即可求出2a ，再根据211sin sin 22ABCSac B a B ==，即可求出结果. （1）解：2222cos R ac B a c +=+，22222cos R a c ac B b ∴=+-=， 2sin bR b B ∴==，1sin 2B ∴=， 又B 为锐角，.6B π∴= （2） 解：6B π=，512C π=， 55()61212A ππππ∴=-+=，a c ∴=，又2b =,由余弦定理，得(22222cos 2b a c ac B a =+-=，24(2a ∴=，211sin sin 222ABCSac B a B ∴===16．在)1cos cos 2A A A ⋅-=；②cos cos 2A aC b c=-两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4b c +=，求a 的最小值．试卷第13页，共71页【答案】选择①或②a 的最小值为2. 【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得cos A 的值进而可得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值. 【详解】选择①：)1cos cos 2A A A ⋅-=可得：2sin 2cos 1A A A -=，1cos 22212AA +-⨯=，2cos22A A -=，所以π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ112,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=，当且仅当b=c等号成立即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2， 选择②：cos cos 2A aC b c=-， 由正弦定理化边为角可得：sin cos cos 2sin sin A C B CA=-，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2. 17．在△3A π=，a =b =△1a =，b =6A π=；△a =b =3B π=这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析 【分析】选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可得出C ，再利用正弦定理即可求出c ；选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可求出C 和c ；选择条件△：利用正弦定理求出A ，即可求出C 和c . 【详解】 选择条件△： 因为3A π=，a =b =由正弦定理得sin sin a b A B==所以sin B 4B π=或34B π=（舍去），所以53412C ππππ=--=，因为5sinsin sin cos cos sin 126464644πππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin c aC A===，则c =. 选择条件△：因为1a =，b =6A π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即112=所以sin B =，解得3B π=或23B π=，符合题意，当3B π=时，632C ππππ=--=，则2c =，当23B π=时，2636C ππππ=--=，则1c a ==； 选择条件△：因为a =b =3B π=，试卷第15页，共71页由正弦定理得sin sin a bA B =，即sin 2A = 则sin 1A =，所以2A π=，所以236C ππππ=--=，c =18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1）cos sin sin B C C B =，进而得tan C =在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【答案】（1）()2,4b =或()2,4b =--. （2）π4θ=. 【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. （1）解：设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①又25b =，所以2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--． （2）解：由()()243a c a c +⊥-，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4θ=.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】试卷第17页，共71页（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=. 由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cab=．（1）求角B ；（2）若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】 （1）6B π=（2）3 【分析】 (1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ． （1）ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B =． 又0B π<<，所以6B π=．（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos6a c ac π=+-，即223a c +=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==22．在ABC 中，点P 是AB 上一点，且23CP CA =+13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，且CM =tCP ，求t 的值．【答案】34【分析】由2133CP CA CB =+，化简为2AP PB =，得到点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点），再根据A ，M ，Q 三点共线，设AM AQ λ=，然后用,AB AC 分别表示向量,CM CP ，再根据CM =tCP 求解. 【详解】 如图所示：因为2133CP CA CB =+，所以32CP CA CB =+， 所以()2CP CA CB CP -=-， 即2AP PB =，所以点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点）， 又因为A ，M ，Q 三点共线，且Q 为BC 的中点，试卷第19页，共71页设AM AQ λ=，则CM AM AC AQ AC λ=-=-()2222AB AC AC AB AC λλλ-=+-=+， 13CP AP AC AB AC =-=-， 因为CM =tCP ， 所以21223AB AC t AB AC λλ-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2322t tλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得1234t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以t 的值是34.23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x =+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ．//CD BO ，某人从C 沿CD 走到D 用了10min ，从D 沿DA 走到A 用了6min ．若此人步行的速度为每分钟50m ，求该扇形的半径OA 的长．（精确到1m ）【答案】445m 【分析】设OA r =，连接OC ，在OCD 中利用余弦定理列方程求解即得. 【详解】设扇形半径OA r =m ，连接OC ，如图，依题意，300DA =m ，500CD =m ，在OCD 中，(300)OD r =-m ，60CDO ∠=， 由余弦定理得：2222cos OC OD CD OD CD CDO =+-⋅∠，即试卷第21页，共71页222(300)5002(300)500cos 60r r r =-+--⨯⨯，化简整理得：49000011000r -=，解得：490044511r =≈(m)， 所以该扇形的半径OA 的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2）35min 37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求得sin B ，然后由正弦定理求得AB .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d 的最小值.（3）根据“两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意5sin 13A =，4sin 5C =，在ABC 中，()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得1040m AB =.所以，索道AB 的长为1040m. （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时甲行走了()1005t +，乙距离A 处130t ，由余弦定理得()()()222121005013021301005013d t t t t =++-⨯⨯+ ()2200377050t t =-+，因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 则当35min 37t =时，甲、乙两游客之间距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sin 500m sin AC BC AB ==， 乙从B 出发时，甲已走了()50281550m ++=，还需要走710m 才能到达C ， 设乙步行的速度为m min v ， 由题意得500710125062533504314v v -≤-≤⇒≤≤， 所以为了使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ， 乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m min ）范围之内. 26．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.（1）若4A π=，求b .（2）若______，求c 的值及ABC 的面积.请从①b =sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】（1；（2）选14ABCc S ==：， 26ABCc S==：，【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. （1）试卷第23页，共71页334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin a b B A =⨯== （2）选①：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选②：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=27．已知向量a 与b 的夹角为θ，5a =，4b =，分别求在下列条件下的a b ⋅： （1）120θ；（2）//a b ； （3）a b ⊥． 【答案】 （1）10- （2）20或20- （3）0 【分析】（1）根据=cos a b a b θ⋅⋅，代入数值，即可求出结果；（2）因为//a b ，所以0θ=︒或180︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果； （3）因为a b ⊥，所以90θ=︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果. （1）解：因为5a =，4b =，120θ，所以1=cos 54102a b a b θ⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：因为//a b ，所以0θ=︒或180︒， 当0θ=︒时，=cos054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=；当180θ=︒时，()=cos18054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯-=-； 所以a b ⋅的值为20或20-.（3）解：因为a b ⊥，所以90θ=︒， 所以=cos905400a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=.28．已知()3,1a =-，()1,2b =-，求a b ⋅，a ，b ，,a b <>． 【答案】5a b ⋅=，10a =，5b =，,4a b π<>=.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知：()()()()3,11,231125a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-=， (23a a a =⋅=+=(21b b b =⋅=+=又因为2c 1os 0,5a b a b a b=<>=⨯⋅=0,a b π≤<>≤，所以,4a b π<>=. 29．已知O 为坐标原点，()3,1OA =，()1,2OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求点C 的坐标． 【答案】()14,7. 【分析】设(),C x y ，根据OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】解：设(),C x y ，则()(),,1,2OC x y BC OC OB x y ==-=+-， 因为OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，所以()201320x y x y -+=⎧⎨+--=⎩，解得147x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()14,7.30．已知()110e ,=，()20,1e ，一动点P 从()012P -,开始，沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为12m /s e e +.另一动点Q 从()02,1Q --开始，沿着与向量1232e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为1232m /s e e +，设P ，Q 在0s t =时分别在0P ，0Q 处，问当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为多少？试卷第25页，共71页【答案】2s 【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知()120121212e e OP OP t e e t e e e e +-=+⋅=++，()12012121233323232e e OQ OQ t e e t e e e e +-=+⋅=++，两式相减得，()00122PQ P Q t e e -=+，由()001,3PQ =--，()110e ,=，()20,1e =，得()()0012212,3PQ P Q t e e t t =++=-+-+， 因为00PQ PQ ⊥，所以()()00112330PQ PQ t t ⋅=-⨯-+-⨯-+=，解得2s =t . 故当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为2s .31．两个力1F i j =+，245F i j =-作用于同一质点，使该质点从点()20,15A 移动到点()7,0B （其中i 、j 分别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）.求：（1）1F ，2F 分别对该质点做的功； （2）1F ，2F 的合力F 对该质点做的功. 【答案】（1）1F 对该质点做的功为28-（N m ⋅），2F 对该质点做的功23（N m ⋅）； （2）5-（N m ⋅）. 【分析】（1）根据题意，求出位移AB ，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解. （1）根据题意，()11,1F i j =+=，()2454,5F i j =-=-，()13,15AB =--， 故1F 对该质点做的功11131528W F AB =⋅=--=-（N m ⋅）；2F 对该质点做的功()2213415523W F AB =⋅=-⨯-⨯-=（N m ⋅）. （2）根据题意，1F ，2F 的合力()125,4F F F =+=-，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功()()5134155W F AB =⋅=⨯--⨯-=-（N m ⋅）. 32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力1F ，2F ，3F 的作用，沿北偏东45的方向移动了8m ，其中12N F =，方向为北偏东30 ；24N F =，方向为北偏东60；36N F =，方向为北偏西30，求合力F 所做的功.【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出1F ，2F ，3F 以及位移s 的坐标，进而可得合力123F F F F =++的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W F s =⋅即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得(11,F =，()223,2F =，(3F =-，位移(42,s =，所以(12322,2F F F F =++=+，所以合力F 所做的功为()(2322W F s =⋅=⨯+⨯=，33．在ABC 中，已知4cos 5A =，65a =.试卷第27页，共71页（1）当3B π=时，求b 的值；（2）设02B x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求函数22xy b =+的值域．【答案】 （1（2）(24++ 【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得4sin 3y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再由正弦函数的性质即可求解. （1） 4cos 5A =，0A π<<，所以3sin 5A =， 当3B π=时，由正弦定理sin sin a bA B=， 可得65sin sin b A B =，解得b =（2）由正弦定理可得65sin 2sin sin b B xA=⋅=，所以22x y b =+)2sin 1cos x x =++2sin x x =+++4sin 3x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为02x π<<，所以3365x πππ<+<， 所以1sin 123x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以24sin 43x π⎛⎫+<+++ ⎪⎝⎭所以函数22xy b =+的值域为(24++. 34．在ABC 中，AB a =，BC b =，当0a b ⋅≥时，判断ABC 的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得0,2a b π<≤，即有2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，由此可得答案. 【详解】解：因为在ABC 中，AB a =，BC b =， 0a b ⋅≥，所以cos ,0a b a b ⋅⋅≥，即cos ,0a b ≥，又[],0a b π∈，，所以0,2a b π<≤，即02ABC ππ<-∠≤，所以2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，所以ABC 是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点． （1）求BA 在CD 上的投影向量； （2）求CD 在BA 上的投影向量． 【答案】（1）DC （或BD ） （2）34BA -【分析】（1）先求出BA 在CD 上的投影，然后乘以与CD 同向的单位向量即得； （2）先求出CD 在BA 上的投影，然后乘以与BA 同向的单位向量即得． （1）如图，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．则AD BC ⊥，1AD =，AD CD ==所以,150BA CD <>=︒，23BA CD ⋅=︒=-，BA 在CD 上的投影为BA CD CD⋅-==BA 在CD 上的投影向量为CDCD DC CD=-=BD =；试卷第29页，共71页（2）CD 在BA 上的投影为3322BA CD BA⋅-==-， CD 在BA 上的投影向量为3324BA BA BA -⨯=-． 36．如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：（1）AC ； （2）AD ； （3）AD AB -； （4）AB CF +； （5）BF BD -． 【答案】 （1）c a →→- （2）d a →→- （3）d b →→- （4）b a f c →→→→-+- （5）f d→→- 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.37．已知a b ⊥，且2=a ，1b =，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得()3a b t +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值．【答案】916- 【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，再由()3a b t +-与ka tb -+垂直，转化得234t tk -=，结合二次函数性质可求k 的最小值． 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又()3a b t +-与ka tb -+垂直，所以()()30a b ka tb t ⎡⎤+-⋅=⎣⎦-+，即()()22330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+-+--⋅=⎣⎦，又2=a ，1b =，所以()430k t t -+-=，234t tk -=，当32t =时，k 取到最小值916-. 38．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=.求DC BC +与CD BC +． 【答案】3DC BC +=1CD BC += 【分析】首先根据已知条件得到四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，根据DC BC AC +=，CD BC BD +=，再求其模长即可.【详解】试卷第31页，共71页因为0OA OC OB OD +=+=，所以OA OC =-，OB OD =-，即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为1AB AD ==，则四边形ABCD 为菱形，如图所示：1cos 2DAB ∠=，0DAB π<∠<，所以3DAB π∠=. 23DC BC AD DC AC AO +=+===. 1CD BC CD CB BD +=-==. 39．是否存在a ，b ，使a b a b +==？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出a 与b 的夹角，即可得解； 【详解】 解：因为a b a b +==，所以22a b a +=，即2222a a b b a +⋅+=，即2222a a b b a +⋅+=，即212a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，即当a 与b 的夹角为23π且a 与b 的模相等时，满足a bab +==， 图形如下所示：40．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a +b +c ．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则， a +b +c 如图，41．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.试卷第33页，共71页42．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC=，(BD -= 【分析】 依题意B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义， 得1cos30x ︒==，11sin 302y ︒==，△12B ⎫⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，2sin120y ︒==△12D ⎛- ⎝⎭． ()0,0A △3122AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12AD ⎛=- ⎝⎭． ∴3(2AC AB AD=+=，(BD AD AB -=-=43．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()6,1AB →=，(),BC x y →=，()2,3CD →=--，且BC AD →→∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若AC BD →→⊥，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）20x y +=（2）2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出AD →，BC →的坐标，利用平行关系即可得到x 与y 间的关系.（2）由（1）得到x 与y 间的关系以及利用AC BD →→⊥数量积为0，通过联立方程分别解出,x y ，并确定AC →，BD →坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得()4,2AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，(),BC x y →=，因为BC AD →→∥，所以()()420x y y x +--=，即20x y +=……① （2）由题意得()6,1AC AB BC x y →→→=+=++，()2,3BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以0AC BD →→⋅=，即()()()()62130x x y y +-++-=， 整理得2242150x y x y ++--=……②联立①②2242150{20x y x y x y ++--=+=,解得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩. 记四边形ABCD 面积为S当2,1,x y =⎧⎨=-⎩时，()8,0AC →=，()0,4BD →=-，则1162S AC BD →→==， 当6,3x y =-⎧⎨=⎩时，()0,4AC →=，()8,0BD →=-，则1162S AC BD →→==试卷第35页，共71页 综上2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 44．已知向量()8,4a →=-，(),1b x →=.△a →，b →共线，△a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭. （1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x 的值；（2）当2x =时，求a →与b →夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择△，2x =-；选择△，212x =； （2）35. 【分析】（1）选择△，根据,a b →→共线即可得出840x +=，解出x 即可；选择△，先求出(8,5)a b x →→-=--，根据a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭即可得出()0a b a →→→-=，然后进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）2x =时，可得出向量b →的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ． （1）解：如果选择△，,a b →→共线，840x ∴+=，解得2x =-；如果选择△，(8,5)a b x →→-=--，且a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴()8(8)200a b a x →→→-=-+=，解得212x =. （2）解：当2x =时，(2,1)b →=，∴12a b →→=，|||a b →→= ∴123cos 545||||a ba b θ→→→→==． 45．已知O 为坐标原点，()2,5OA →=，()3,1OB →=，()6,3OC →=，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA MB →→⊥若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】假设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤,求出,MA MB →→的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出λ,最后求出点M 坐标.【详解】解：设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤()26,53MA λλ→=--，()36,13MB λλ→=--, 因为MA MB →→⊥,所以0MA MB →→⋅=,有()()()()2126365313045481103λλλλλλλ--+--=⇒-+=⇒=或1115λ= ()2,1OM →∴=或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意. 46．已知a 、b 、c 为同一平面内的三个向量，其中()1,2a =（1）若()2,c k =-，且c a ∥，求c ；（2）若()1,b m =，且a 与b 垂直，求b .【答案】（1）()2,4c =--（2）11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由a 与b 垂直，可得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （1）解：∵()2,c k =-，()1,2a =且//c a ，∴()2210k -⨯-⨯=，∴4k =-，∴()2,4c =--.（2）解：由a 与b 垂直，得0a b ⋅=，即1120m ⨯+⨯= ∴12m =-. 47．如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==.设OP xOA yOB =+.试卷第37页，共71页（1）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）； （2）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：___________； （3）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ， ①图形G 是___________；A△线段 B△射线 C△直线 D△圆②在图2中作出图形G .【答案】（1）答案见解析（2）x y =且0,0x y ≤≤（3）① A ；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点P 的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点P 在射线OC 上”的一个充要条件； （3）根据向量共线定理的推论确定P 的轨迹形状，并画图.（1）图中点P 即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得x y =且0,0x y ≤≤；（3）①因为OP xOA yOB =+，24x y +=且0xy ≥， 所以4242x y OP OA OB =⋅+⋅，其中142x y +=， 设4OD OA =，2OE OB =，则42x y OP OD OE =+，142x y +=,又0xy ≥ 所以点P 所构成的图形为线段DE故选：A ；②图中线段DE 即为所求.48．已知5a =，4b =， a 与b 的夹角为60，问：当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？【答案】1415. 【分析】根据数量积的定义可得a b ⋅的值，再利用数量积的定义和性质计算()()20ka b a b -⋅+=即可求解.【详解】 因为5a =，4b =， a 与b 的夹角为60， 所以1cos6054102a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 若()()2ka b a b -⊥+，则()()20ka b a b -⋅+=，即()222120ka k a b b +-⋅-=，所以()222120k a k a b b +-⋅-=， 所以()2521102160k k +-⨯-⨯=，可得：1415k =.试卷第39页，共71页49．已知()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈．（1）若a b ∥，求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值； （2）若a b ⊥，且3sin 5β=，()0,βπ∈，求sin()αβ+的值． 【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得tan 2α=，再利用二倍角公式及同角关系式可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--22tan tan tan 2ααα=+-，即求； （2）由题可得cos 2sin 0αα+=，再利用同角关系式及两角和公式即求. （1）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈，a b ∥，∴2cos sin 0αα-=，即tan 2α=， ∴222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-. （2）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，，a b ⊥∴cos 2sin 0αα+=，()0,απ∈，∴25sin 1,sin 0αα=>，∴sin αα== 又3sin 5β=，()0,βπ∈， ∴4cos 5β=±， 当4cos 5β=时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355== 当4cos 5β=-时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355==. 50．已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为23π，设27,m ta b n a b =+=+．（1）求(2)a a b ⋅+的值；（2）若m 与n 的夹角是锐角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒ 【分析】(1)将(2)a a b ⋅+展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒ （1）2221(2)2||2||||cos 4221232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）△m 与n 的夹角是锐角，△0m n ⋅>且m 与n 不共线．△()222(27)()2||277||m n ta b a tb t a t a b t b ⋅=++=++⋅+22827721570t t t t t =--+=-+->，△221570t t -+<，解得172t <<． 当m 与n 共线时，则存在实数λ，使27()ta b a tb λ+=+，△2,7t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t =±．综上所述，实数t 的取值范围是114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 51．如图，正三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别在线段,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，DE DF ⊥.试卷第41页，共71页（1）若60BDE ∠=︒，求三角形DEF 的面积. （2）求三角形DEF 面积的最小值. 【答案】 （1（2）12- 【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设BDE θ∠=，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解. （1）根据题意，知2AD BD ==，因为60BDE ∠=，所以2DE =，又因为DE DF ⊥，所以30ADF ∠=， 因此cos303DF AD ==，故12DEFS DE DF =⋅= （2）根据题意，设BDE θ∠=，090θ≤≤.在BDE 和ADF 中，由正弦定理知()sin 60sin 120DE BD θ=-，()sin 60sin 30DF ADθ=+， 化简得)3sin 60DE θ=+，)3sin 30DF θ=+，故()()1322sin 60sin 30DEFSDE DF θθ=⋅=++， 因为()()311sin 60sin 30sincos 222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 22θ= 所以12DEF S =- 52．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 1b =，120C =． （1）求B 的大小； （2）求ABC 的面积S 【答案】 （1）30；（2 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，c =1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即1si 20n B =，所以1sin 2B ==， 因为b c <，所以B C <， 因为060B <<，所以30B = （2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 1sin 30224S bc A ==⨯=.53．已知()1,2a =，()3,1b =- （1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； （3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值 【答案】 （1）()7,0；（2）10-；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解. （1）因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=. （2）因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，试卷第43页，共71页所以21cos 1a b a bθ⨯⋅===⋅+（3）由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=， 即221k =，解得：k =. 54．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．【答案】()8,15- 【分析】根据点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=，3)2(2-+，6)(8-=，15)-．所以点P 的坐标为()8,15-55．已知ABCD 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，求顶点D 的坐标． 【答案】(1，5)﹒ 【分析】由平行四边形可得：DC AB =，于是OD OC AB =-． 【详解】设坐标原点为O ，由平行四边形可得：DC AB =，(5OD OC AB =-=，6)(4-，1)(1=，5)．∴D 的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形ABCD ，点O 为任一点，设OA a =，OB b =，OC c =，试。
高中数学必修二6.1《平面向量的概念》高频考点练习题目含答案解析
第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。
人教A版(2019)数学必修第二册 第六章平面向量及其应用
人教A 版（2019）数学必修第二册 第六章平面向量及其应用一、单选题(共16题；共32分)1．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 a ⃗ −b ⃗ =(1,−5) ， a⃗ +2b ⃗ =(−2,1) 则 b ⃗ = （ ） A ．(1,2) B ．(1,−2) C ．(−1,2) D ．(−1,−2)2．（2分）在 ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若 A =π4 ， a =√5 ， b =√2 ，则 ΔABC 的面积等于（ ） A ．12 或 32B ．12C ．√22D ．323．（2分）在△ ABC 中， a =4,A =30∘ ， B =60∘ ，则 b 等于( )A ．4√3B ．6C ．√3D ．94．（2分）已知向量 a⃗ ＝(1，0)， b ⃗ ＝(-3，4)的夹角为 θ ，则sin2 θ 等于 ( ) A ．−725B ．725C ．−2425D ．24255．（2分）已知向量 a ⃗ =(1,2) ， b ⃗ =(m,−1) ，若 a ⃗ ∥(a ⃗ +b⃗ ) ，则实数 m = （ ） A ．12B ．−12C ．3D ．6．（2分）已知向量 a ⃗ =(x −1,2),b ⃗ =(2,1) ,则 a ⃗ ⊥b⃗ 的充要条件是 （ ） A ．x =−12B ．x =−1C ．x =5D ．x =07．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 的夹角为60°， |a |=1 ， |b ⃗ |=2 ，则 |2a −b⃗ |= （ ） A ．2B ．2√3C ．√7D ．18．（2分）在 ΔABC 中， AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足 AN ⇀=12NM ⇀ ，则 BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9．（2分）已知 a ⃗ =(x,−4,2) ， b ⃗ =(3,y,−5) ，若 a ⃗ ⊥b⃗ ，则 x 2+y 2 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[3,+∞) C ．[4,+∞) D ．[5,+∞)10．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=2 ， |b ⃗ |=1 ， |a +2b⃗ |=2√3 ，那么 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°11．（2分）已知非零向量 a ⇀ ， b ⇀ 满足 |b ⇀|=4|a ⇀| ，且 a ⇀⊥(2a ⇀+b ⇀) ，则 a ⇀ 与 b ⇀ 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π612．（2分）ΔABC 中所在的平面上的点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 13．（2分）若向量 a ⃗ 与向量 b ⃗ 满足：| a ⃗ |=2，| b ⃗ |=3，且当λ∈R 时，| b ⃗ −λa ⃗ |的最小值为2 √2 ，则向量 a ⃗ +b⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为（ ） A ．1 或2 B ．2 C ．1 或3 D ．314．（2分）ΔABC 中， AB =5 ， AC =10 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25 ，点 P 是 ΔABC 内（包括边界）的一动点，且 AP⇀=35AB ⇀−25λAC ⇀(λ∈R) ，则 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是（ ） A ．√41 B ．√39 C ．3D ．3√3215．（2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 √32a 的军事基地 C 和 D ，测得红军的两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且 ∠ADB =30° ， ∠BDC =30° ， ∠DCA =60° ， ∠ACB =45° ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）A ．√64aB ．√62aC ．38aD ．√32a16．（2分）一艘客船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距8 √2 海里，则灯塔S 在B 处的（ ） A ．北偏东75° B ．北偏东75°或东偏南75° C ．东偏南75°D ．以上方位都不对二、填空题(共4题；共4分)17．（1分）已知向量 a ⇀=(x,2) ， b ⇀=(2,1) ，且 a ⇀//b ⇀ ，则 |a ⇀|=18．（1分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=1 ， b ⃗ =(1,√3) ，若 a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=2 ，则 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 .19．（1分）如图，在单位圆 C 中， A 为圆上的一个定点， B 为圆上的一个动点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .20．（1分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，CB=2，ΔACD为正三角形，则ΔBCD面积的最大值为．三、解答题(共4题；共30分)21．（5分）已知平面向量a⃗=(2,2), b⃗=(x,−1)（I）若a⃗∥b⃗,求x；（Ⅱ）若a⃗⊥(a⃗−2b⃗),求a⃗与b⃗所成夹角的余弦值．22．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3acosC=(2b−√3c)cosA (Ⅰ )求角A的大小；(Ⅱ )若a=2，求△ABC面积的最大值．23．（10分）已知ΔABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．用向量的方法解答：（1）（5分）求AD的长度；（2）（5分）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足AE⇀=xAB⇀，AF⇀=yAC⇀，求：1x+2y的值，并说明理由．24．（10分）在ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，记m→=(2sinB,−√3)，n→=(cos2B,2cos2B2−1)，且m→∥n→.（1）（5分）求锐角∠B的大小；（2）（5分）若b=2，求SΔABC的最大值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】 ∵a −b⃗ =(1,−5)① a⃗ +2b ⃗ =(−2,1)② ②—①得 3b⃗ =(−3,6) ，所以 b ⃗ =(−1,2) . 故答案为： C【分析】由题意两式作差即可求出 b ⃗ 的坐标。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精讲)(含答案)
6.1 平面向量的概念（精讲）考法一向量与数量的区别【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（）A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（）A．力B．速度C．质量D．加速度【答案】C【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D3．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.考法二向量的几何表示【例2】（2020·全国高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量AB，BC，CD；（2）求AD的模．AD=【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）作出向量AB，BC，CD；如图所示：（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，AD=.所以AD＝米)，所以|5【一隅三反】1.（2021·江苏高一）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的AC=，画出所有的向量AC.顶点，且5【答案】见解析AC=，∴C点落在以A C为小正方形的顶点，【解析】∵||5根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量AC，如图所示：2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：OA=,点A在点O正南方向；（1）||4OB=点B在点O北偏西45︒方向；（2）||22OC=,点C在点O南偏西30︒方向.（3）||2【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】如图.3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方.（1）作出向量AB ，BC ，CD （图中1个单位长度表示100m ）； （2）求向量DA 的模.【答案】（1）作图见解析（2） 【解析】（1）如图，,,AB BC CD 即为所求.（2）如图，作向量DA ，由题意可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴||DA BC ==.考法三相等向量与共线向量【例3】（2020·全国）如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.（1）图中与AB共线的向量有________；（2）图中与AB相等的向量有________；（3）图中与AB模相等的向量有_________________；（4）图中EC与BD是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）AB与BA相等吗？【答案】（1）BE，CD，AE（2）BE（3）BC，CD，DA，BE（4）相等（5）不相等【解析】根据题意得，（1）图中与AB共线的向量为BE、DC、AE；（2）与AB相等的向量有BE；（3）图中与AB模相等的向量有BC，CD，DA，BE；（4）相等；（5）AB与BA不相等；故答案为：（1）BE，CD，AE（2）BE（3）BC，CD，DA，BE（4）相等（5）不相等【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）如图，ABC ∆和A B C ∆''是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设ABC ∆的边长为a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则（1）与向量GH 相等的向量有______；（2）与向量GH 共线，且模相等的向量有______； （3）与向量EA 共线，且模相等的向量有________.【答案】,LB HC ' ,,,,EC LE LB GB HC '' ,,,,EF FB HA HK KB '' 【解析】（1）与向量GH 相等的向量有,LB HC '；（2）与向量GH 共线，且模相等的向量有,,,,EC LE LB GB HC ''； （3）与向量EA 共线，且模相等的向量有,,,,EF FB HA HK KB ''. 故答案为：,LB HC '；,,,,EC LE LB GB HC ''；,,,,EF FB HA HK KB ''2．（2020·全国高一）在如图所示的向量,,,,a b c d e 中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______； （2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】a和d，e和b a和d，b和e,,a c d【解析】（1）a d∥，故a和d，e和b是共线向量.∥，e b（2）a和d，b和e是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有,,a c d.故答案为：（1）a和d，e和b；（2）a和d，b和e；（3）,,a c d.3．（2020·全国高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c.相等的向量．【答案】（1）OD，BC，AO，FE .（2）EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.（3）与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.考法四 平面向量概念的区分【例4】（2020·天津静海区·高一学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >.其中正确的序号为（ ） A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（4） D ．（3）【答案】D【解析】零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；当向量a 为零向量时，其方向是任意的，不能说a 与b 的方向相同或相反，故（2）错误； 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a →∥,b b →→∥c →，则b →∥c →． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【解析】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0． 故选：A ．2．（2020·安徽六安市·六安一中高一期末）下列说法不正确的是（ ） A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同 【答案】D【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A 正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B 正确；a a 的模长为1，10a >，则aa是一个与a 同向的单位向量，C 正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D 错误；故选：D 2．（2021·甘肃兰州市）下列命题中正确的个数为（ ） ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB 与CD 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a b =；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有AB CD =； ⑤//a b ，则a 、b 方向相同或相反. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，∴命题①是假命题；②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量AB 与CD 共线且直线AB 与CD 平行时，A 、B 、C 、D 四点不共线，∴命题②是假命题；③若非零向量a 与b 共线，则存在非零实数λ，使得b a λ=，∴命题③是假命题；=，∴命题④是真命题；④四边形ABCD是平行四边形，则AB DC=，由相等向量的定义可知AB DC⑤若a为非零向量，0b=，则a、b方向无法确定，∴命题⑤是假命题.故选：B.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算课后训练巩固提升1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向( ) A.与向量a 方向相同 B.与向量a 方向相反 C.与向量b 方向相同D.不确定a 和b 方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a 的模大于b 的模,那么它们的和的方向与a 的方向相同.3.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .CD⃗⃗⃗⃗⃗ B .OC⃗⃗⃗⃗⃗ C .DA ⃗⃗⃗⃗⃗D .CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 是矩形.5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗ D .MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG⃗⃗⃗⃗⃗项,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; B 项,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; D 项,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.若a 表示“向东走8 km”,b 表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b 的方向是 .,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.√2 km 东北方向7.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)a+b+c= ; (2)b+d+c= .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 8.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是 .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.9.如图,请在图中直接标出:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ .,(1)向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ . 10.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴以OA,OB 为邻边所作的▱OACB 为菱形.连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴在Rt △OBD 中,OD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=3√32×2=3√3.1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式成立的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.在矩形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度等于( ) A.2√5B.4√5C.12D.6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的2倍. 又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22=2√5, 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为4√5.3.已知P 为△ABC 所在平面内一点,当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 成立时,点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在△ABC 的外部.4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列结论正确的是( ) A.a ∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且b 为任一非零向量, ∴A,B,D 均正确.5.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .,以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵在Rt △OAC 中,∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°, ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3, ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上6.设P 为▱ABCD 所在平面内一点,则:①PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ .其中成立的为 .(填序号)PA,PC 为邻边作平行四边形PAEC,则PE 与AC 交于AC 的中点O,同样以PB,PD 为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD 与PF 交于BD 的中点O',因为O 与O'重合,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .7.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列式子:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)∵F,E,D 分别是AB,AC,BC 的中点, ∴FE ⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .。
人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (20)(含答案解析)
必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (20)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1. 已知平面上一定点O ，不共线的三点A ，B ，C ，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，求证：P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．2. 已知向量a ⃗ =(−12,√32)，b ⃗ =(2cosθ,2sinθ)，0<θ<π．(1)若a ⃗ //b ⃗ ，求cosθ的值；(2)若|a ⃗ +b ⃗ |=|b ⃗ |，求sin (θ+π6)的值．3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ⃗⃗⃗ =(cos 3A 2,sin3A2)，n⃗ =(cos A 2,sin A2)，且满足|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |=√3。
(1)求角A 的大小；(2)若b+c=√3a，试判断△ABC的形状。
4.如图，A1，A2，⋯⋯A8是圆O上的8个等分点，则在以A1，A2，⋯⋯，A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个⋅模等于半径√2倍的向量有多少个⋅5.已知向量a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√2，a⃗、b⃗ 的夹角为45°，c⃗=a⃗+b⃗ ，d⃗=a⃗−b⃗ ，求c⃗在d⃗方向上的数量投影．6. 在平面直角坐标系中，已知三点A(−1,0)、B(t,2)、C(2,t)，t ∈R ，O 为坐标原点(I)若△ABC 是∠B 为直角的直角三角形，求t 的值 (Ⅱ)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值 7. ．如图在矩形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1。
(1)若M 是AB 的中点，求证：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线； (2)在线段AB 上是否存在点M ，使得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；(3)若动点P 在矩形ABCD 上运动，试求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值及取得最大值时P 点的位置。
高中数学(人教A版)必修第二册《第六章 平面向量及其应用》填空题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共44页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》填空题专项练习（含答案解析）一、填空题1．如图，在正六边形ABCDEF 中，记向量FA a =，ED b =，则向量BC =______．（用a ，b 表示）【答案】b a -## 【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得ED FA BC -=，进而得到结果. 【详解】由正六边形的性质知：ED FA BC -=， ∴BC b a =-. 故答案为：b a -.2．已知平面向量m ，n 的夹角为6π，且3m =，2n =，在△ABC 中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 的中点，则AD =______．【答案】2 【分析】用,m n 表示出AD ，由已知条件结合向量数量积的运算律求 AD . 【详解】△ABC 中，由D 为BC 的中点，则1()222AD AB AC m n =+=-，又||3,||2m n ==，平面向量m ，n 的夹角为6π，∴22|2()22AD m n m n =-=-=. 故答案为：2.3．已知非零向量a ，b满足2b a =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为______________． 【答案】34π## 【分析】由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解. 【详解】由()()32a b a b -⊥+可得()()320a b a b -⋅+=，即22203a b a b --⋅=，因为2b a =，不妨令1a =，则2b =，2222032032cos ,a b a b a b a b a b --⋅=⇔--⋅⋅=，代值化简得2cos ,2a b =-，因为向量夹角范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π. 故答案为：34π 4．在ABC 中，∠A =60°，AB =1，AC =2，则BC =___________.【分析】根据给定条件利用余弦定理计算作答. 【详解】在ABC 中，60A ∠=︒，AB =1，AC =2，由余弦定理得：222222cos 12212cos603BC AB AC AB AC A =+-⋅∠=+-⨯⨯=，则BC =所以BC =5．∠ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cos B =a cos B +b cos A ，b =2，则∠ABC 的面积的最大值是___________.【分析】由余弦定理得出3B π=，222a c b ac +-=，由基本不等式得出4ac ≤，最后由三角形面积公式得出面积的最大值. 【详解】因为2c cos B =a cos B +b cos A ，由余弦定理可得2222222222222a c b a c b b c a c a b ac ac bc+-+-+-⋅=⋅+⋅，化简可得222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,)222a cb ac B B ac ac π+-===∈，3B π∴=，由222a c b ac +-=，b =2，得试卷第3页，共44页出22a c 4ac +-=，所以2242ac a c ac +=+（当且仅当a c =时，取等号），即4ac ≤，故11sin 4222ABC S acB =⨯⨯=△△ABC 6．已知两点A （-2，2），B （4，4）的中点坐标为___________. 【答案】()1,3 【分析】利用中点坐标公式求解即可. 【详解】(2,2),(4,4)A B -的中点坐标为()2424,1,322-++⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：()1,37．设向量()sin ,1a θ=，()cos ,2b θ=，若a b ∥，则tan θ=___________. 【答案】12 【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果. 【详解】因为a b ∥，所以cos 2sin θθ=， 所以sin 1tan cos 2θθθ==. 故答案为：128．ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，若1a =，3c =，2cos 3B =，则b =___________. 【分析】利用余弦定理建立方程，可求b . 【详解】因为1a =，3c =，2cos 3B =， 所以22222cos 1921363b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =.9．已知向量()2,1m →=，(),2n x →=，若4m n →→+与m n →→-共线，则实数x =________．【答案】4 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出4m n →→+，m n →→-，根据向量共线建立方程即可求解. 【详解】()2,1m →=，(),2n x →=，4(24,9),(2,1)m n x m n x →→→→∴+=+-=--，由4m n →→+与m n →→-共线，可知，(24)9(2)x x -+=-， 解得4x =， 故答案为：410．设向量,a b 满足||2,||1,,60a b a b ===，则2a b +=___________.【答案】【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可. 【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，则223a b +=.故答案为：11．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 . 【答案】70 【分析】画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ，试卷第5页，共44页则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：70AC ==米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故答案为：70.12．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且,2BD DC AE EC ==，若DE x AB y AC =+，则x y +=___________.【答案】13-【分析】根据向量的加减运算化简可得. 【详解】因为,2BD DC AE EC ==， 则()111111232326DE DC CE BC AC AC AB AC AB AC =+=-=--=-+， 所以11,26x y =-=，则13x y +=-.故答案为：13-.13．在ABC中，AB =1BC =，2AC =，D 是AC 的中点，则AD 与BD的夹角为______． 【答案】120︒ 【分析】根据向量的夹角的定义求解． 【详解】如图， ABC 中，222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒，而AB =1BC =，2AC =，所以30,60A C =︒=︒，D 是AC 的中点，则AD DC BD ==，120ADB ∠=︒， 所以AD 与BD 的夹角等于120ADB ∠=︒． 故答案为：120︒．14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有______个；（2______； （3）与AB 相等的向量有______；【答案】8 1A D 、1DA 、1AD 、1D A 、1B C 、1CB 、1BC 、1C B ; 11A B 、DC 、11DC 【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解. 【详解】（1）、由题意可知，1111=1AA BB CC DD ===，所以单位向量有1AA 、1BB 、1CC 、1DD 、1A A 、1B B 、1C C 、1D D 共8个；试卷第7页，共44页（2）、由图可知，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AD =，11AA =，所以左右两个侧面1111A D AD BC BC ===1A D 、1DA 、1AD 、1D A 、1B C 、1CB 、1BC 、1C B ;（3）、由图可知，与AB 相等的向量除它本身外有11A B 、DC 、11DC 共3个.故答案为： 8；1A D 、1DA 、1AD 、1D A 、1B C 、1CB 、1BC 、1C B ；11A B 、DC 、11DC 15．下列命题中正确的是______．∠空间向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ②单位向量一定是相等向量； ③相反向量一定不相等；④,,,A B C D 四点不共线，则ABCD 为平行四边形的充要条件是AB DC =， ⑤模为0的向量方向是不确定的．【答案】△△ 【分析】根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上，所以△不正确．由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以△不正确． 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以△不正确，． 若AB DC =，可得AB DC =且//AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 当ABCD 为平行四边形时，可得AB DC =，所以△正确． 由模为0的向量为0，其中0的方向是不确定的，所以△正确． 故答案为：△△.16．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则λμ+=______． 【答案】43【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭，由平面向量基本定理可得1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得()()AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++= 11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22AB AD μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+，所以1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而3()22λμ+=，即43λμ+=.故答案为：43.17．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°，从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =500m ，则山高MN =______m .【答案】750 【分析】试卷第9页，共44页利用直角三角形求出AC ，再由正弦定理求出AM ，然后利用直角三角形求出MN 【详解】在Rt ABC 中，45,500CAB BC m ∠=︒=，所以AC =， 在AMC 中，75,60MAC MCA ∠=︒∠=︒，则45AMC ∠=︒， 由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，所以AM ==，在Rt MNA △中，,60AM MAN =∠=︒，所以sin 60750MN AM m =︒==， 故答案为：75018．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量.已知AB =60m ，BC =120m ，于A 处测得水深AD =120m ，于B 处测得水深BE =200m ，于C 处测得水深CF =150m ，则cos∠DEF =_______.【答案】1665- 【分析】先利用勾股定理分别求得,,DF DE EF ，进而利用余弦定理求得结果 【详解】如图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，则DF100DE ,130EF =，在DEF 中，由余弦定理得222221001303330016cos 2210013065DE EF DF DEF DE EF +-+-∠===-⋅⨯⨯,故答案为：1665-19．在四边形ABCD 中，若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形（________） 【答案】真命题 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】解：：在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以该命题为真命题， 故答案为：真命题. 20．已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若0a b ⋅=，则实数k 的值为______． 【答案】54【分析】由0a b ⋅=，结合数量积公式转化，即可求解k 值. 【详解】因为0a b ⋅=，所以()()121202e e ke e ⋅=-+，即()22222120ke e k e e 11-+-⋅=，又因为1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，所以22222211,cos 32e e e e e e π111==⋅=⋅⋅=-，所以54k =.试卷第11页，共44页故答案为：5421．若向量a ，b 不共线，且4a =，7b =，则a b +的取值范围是______． 【答案】(3,11) 【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，利用()2a b a b+=+展开计算，再将1cos θ1代入，写出a b +的范围. 【详解】设向量a ，b 的夹角为θ，因为4a =，7b =，所以()2222cos 1624a b a b a a b b θ+=+=++=+⨯⨯又向量a ，b 不共线，所以1cos θ1，所以311<，即311a b <+<. 故答案为：(3,11).22．在边长为1的正方形ABCD 中，AB BC -=______． 【分析】直接利用向量的减法计算，然后求模即可. 【详解】2AB BC AB AD DB -==-=23．设a 、b 为单位向量，若1a b +=，则a b -=______. 【分析】把已知模平方求得a b ⋅，再利用平方求a b -．【详解】由已知2222()21211a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=，12a b ⋅=-，所以222()23a b a b a a b b -=-=-⋅+=．24．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．DE DC ⋅的最大值为______． 【答案】1 【分析】设()01AE AB λλ=≤≤，将DE 用DA 和AB 表示，根据数量积的定义即可得结果. 【详解】设()01AE AB λλ=≤≤， 所以DE DA AE DA AB λ=+=+，所以()2DA AB DC D D B E A A C DC D λλλ=+⋅=⋅+=⋅，所以DE DC ⋅的最大值为1. 故答案为：1.25．已知四边形ABCD 是矩形，设点集{},,,M A B C D =，集合{,T PQ P Q M =∈且P ，Q 不重合}，用列举法表示集合T=___________ 【答案】{,,,,,,,,,,,}AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC 【分析】根据集合T 的元素特征，列出集合T 的所有元素，由此可得集合T . 【详解】∵ {,T PQ P Q M =∈且P ，Q 不重合}，{},,,M A B C D =，试卷第13页，共44页△={,,,,,,,,,,,}T AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC ， 故答案为：{,,,,,,,,,,,}AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC 26．在ABC 中，若面积2224b c a S +-=，则A ∠=______．【答案】π4##【分析】结合三角形面积公式与余弦定理得sin cos A A =，进而得答案. 【详解】解：由三角形的面积公式得1sin 2S bc A =，2224b c a S +-=所以2221sin 42b c a bc A +-=， 因为2222cos b c a bc A +-=， 所以2cos 1sin 42bc A bc A =，即sin cos A A =， 因为()0,A π∈，所以4A π=故答案为：4π27．已知向量()1,2a →=，()2,4b →=--，c →若52a b c →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则a →与c →的夹角的大小为______. 【答案】120## 【分析】由向量坐标运算可求得522x y +=-，代入向量夹角公式可求得1cos ,2a c →→<>=-，由此可得结果. 【详解】解：由题意得：()1,2a b →→+=--，a →=设(),c x y →=，则522a b c x y →→→⎛⎫+⋅=--= ⎪⎝⎭，即522x y +=-1cos ,2a ca c a c→→→→→→⋅∴<>==- ,120a c →→∴<>= 故答案为：12028．若23a b i j -=-，3119a b i j +=+，则向量a 、b 的夹角为______．【答案】4π 【分析】根据向量的线性运算可得a 与b ，进而可得向量a 、b 的夹角. 【详解】由题意可知233119a b i ja b i j ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩，解得233a i b i j ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，a ∴用坐标表示为()2,0，b 用坐标表示为()3,3，设θ为a ，b 的夹角，则22cos 20a b a bθ⋅⨯===⋅+4πθ∴=，故答案为：4π. 29．若23a i j =+，3b i j =-+，则⋅=a b ______． 【答案】3- 【分析】根据向量数量积的运算直接可得a b ⋅. 【详解】由已知a 的坐标表示为()2,3，b 的坐标表示为()3,1-， 所以()23313a b ⋅=⨯-+⨯=-， 故答案为：3-.30．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物AB ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 、楼顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD 为_________m.试卷第15页，共44页【答案】【分析】由图中所示，可求出MCA ∠，CAM ∠，利用正弦定理求出CM ，在直角△CMD 中求解即可. 【详解】在△ABM 中，15AMB ∠=︒，则sin15ABAM ==︒m ）， 在△ACM 中，因为151530CAM ∠=︒+︒=︒，()1806015105CMA ∠=︒-︒+︒=︒， 所以1801053045MCA ∠=︒-︒-︒=︒. 因为sin sin CM AMMAC MCA=∠∠，所以602CM =（m ），故sin 60CD CM ︒==m ）.故答案为：31．已知O 为ABC 的外心，且12OA OB OC =+，则cos ∠=BOC ________.【答案】14-##【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案. 【详解】设圆O 为三角形ABC 的外接圆，半径为2， 由于12OA OB OC =+，所以11,,/2/2CA C OA OC OB OB OB A -==，112CA OB ==.设BOC θ∠=，则OCA πθ∠=-，在三角形OAC 中，由余弦定理得()222122111cos ,cos ,cos 212444πθθθ+--==-==-⨯⨯.故答案为：14-.32．已知||5,||3a b ==，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影向量的模等于________． 【答案】4 【分析】根据向量的数量积定义公式即可求解出a 在b 上投影的模：|cos ,|a a b =||||a b b ⋅﹒ 【详解】由于||5,||3a b ==，且12a b ⋅=-，△向量a 在向量b 上的投影向量的模|cos ,|a a b =1243a b b⋅==， 故向量a 在向量b 上的投影向量的模等于4． 故答案为：4．33．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：2a b cS p ++=；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC 的面积为___________．【答案】试卷第17页，共44页【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． 【详解】∵sin :sin :sin 2:A B C =，::2:a b c ∴= ∴ABC周长为10+10a b c ++=+ ∴4a =，6b =，c =5p ∴ ∴ABC的面积S =故答案为：34．点P 为ABC 内一点，340PA PB PC →→→→++=，则,,APB APC BPC 的面积之比是___________. 【答案】4:3:1 【分析】先将已知的向量关系式化为3()PA PC PB PC →→→→+=-+，设F 为AC 中点，G 为BC 中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出3PF PG →→=-，从而可知F P G 、、三点共线，且3PF PG =，进而得出3348PF GF AB ==，1148PG GF AB ==，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比. 【详解】解：因为340PA PB PC →→→→++=，所以3()PA PC PB PC →→→→+=-+，设F 为AC 中点，G 为BC 中点，GF 为三角形ABC 的中位线，则2GF AB 1=， 因为2,2PA PC PF PB PC PG →→→→→→+=+=，可得3PF PG →→=-，所以F P G 、、三点共线，且3PF PG =， 则3348PF GF AB ==，1148PG GF AB ==，分别设1234,,,,ABP APF CPF CPG BPG S S S S S S S S S S =====△△△△△， 由图可知，12S S ，34S S =， 则138S PF S AB ==，所以138S S =，而418S PG S AB ==，所以418S S =， 所以121324APC S S S S S =+==△，344124BPC S S S S S =+==△，所以31::::4:3:144APB APC BPC S S S S S S ==△△△，即,,APB APC BPC 的面积之比等于4:3:1. 故答案为：4:3:1.35．在ABC 中，若60A =，BC =AC =B 的大小为__________【答案】45## 【分析】在ABC 中，利用正弦定理即可求解. 【详解】在ABC 中，60A =，BC =AC =由正弦定理可得sin sin AC BC B A =360=，所以4sin2B ===，因为AC BC <，所以B A <， 因为0180B <<，所以45B =， 故答案为：45.36．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2cos 2cos 22sin A B C -=，则ABC 的形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】利用二倍角公式以及正弦定理、勾股定理，即可判断三角形的形状． 【详解】解：由二倍角公式，2cos2cos22sin A B C -=可化为1﹣2sin 2A ﹣1+2sin 2B ＝2sin 2C ， 即sin 2A +sin 2C ＝sin 2B ．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，试卷第19页，共44页由正弦定理可得a 2+c 2＝b 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形． 故答案为：直角三角形37．已知向量a ，b ，c 满足0a b ⋅=，1c =，13a c b c -=-=，则a b -的最大值是______________. 【答案】6 【分析】设(),0A a ，()0,B b ，()cos ,sin C θθ，根据已知条件可得()22cos sin 13a θθ-+=，()22cos sin13b θθ+-=，整理可得22242cos 2sin a b a b θθ+-=+≤.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，()cos ,sin C θθ，OA a =，OB b =，OC c =，则()22cos sin 13CA a c a θθ=-=-+=，()22cos sin 13CB b c b θθ=-=+-=，整理得：222cos 2sin 24a ba b θθ+--=，所以()2224a b θϕ+-=+， 则2224a b +-≤46-， 所以(max max6a b a -==，故答案为：6.38．已知()3,a m =-，()4,1b =-，若()//2a a b -，则实数m 的值为______.【答案】34【分析】先用向量的坐标运算法则求出2a b -，再根据向量平行所满足的公式进行求解. 【详解】()()()23,8,211,2a b m m -=---=-+，由于()//2a a b -，所以()32110m m -++=，解得：34m =故答案为：3439．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________.【答案】43【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立. 【详解】解：如下图所示，由平面向量的加法法则可得AC AB AD =+， 12AF AB BF AB AD =+=+，12AE AD DE AB AD =+=+， 因为11121222AC AE AF AB AD AD AB AD AB λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝⎭⎝，所以，112112λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23λμ==，因此，43λμ+=.故答案为：43.40．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4,5,6a b c ===，则sin 2sin AC=______ 【答案】1 【分析】利用正余弦定理求cos A 、sin sin AC ，结合二倍角正弦公式即可求sin 2sin A C. 【详解】由题设，2223cos 24b c a A bc +-==，而sin 2sin 3A a C c ==， ∴sin 22sin cos 2321sin sin 34A A A C C ==⨯⨯=. 故答案为：141．已知正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，则向量AE 与BD 的夹角的余弦值为___________.试卷第21页，共44页【分析】向量坐标化，以A 为原点，,AB AD 分别为x 、y 轴正方向建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算处理.【详解】如图示，以A 为原点，,AB AD 分别为x 、y 轴正方向建立平面直角坐标系.不妨设正方形ABCD 的边长为2，则()00A ，，()20B ，，()22C ，，()02D ，，()12E ，. 则()()1222AE BD ==-，，，，所以向量AE 与BD 的夹角的余弦值为：(12c os ,14BDBD B AE AE AE D ⨯-===+⨯42．设向量()3,a x =，()0,2b =-，且a 在b 方向上的投影为()0,4，则x =___________.【答案】4【分析】根据向量的数量积的几何意义，结合投影的概念和图象，即可求解. 【详解】 如图所示，由向量()3,a x =，()0,2b =-，可得()()3,0,22a b x x ⋅=⋅-=-，且2b =，可得22a bx x b ⋅-==-， 因为a 在b 方向上的投影为()0,4，可得4x -=-，即4x =.故答案为：4.43．如图，在ABC 中，4AB =，8AC =，60BAC ∠=︒，若延长CB 到点D ，使BA BD =，当点E 在线段AB 上移动时，设AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，λμ-的值是___________.2##【分析】由向量的数量积运算求得BC ，得AB BC ⊥，从而求得AD ，设AB x AD y AC =+，由1x y +=及AB CD ⋅0=求得,x y ，而AE AC AD k AB λμ=+=，λ最大，则最大，最大值为1，由此得,λμ，从而得差．【详解】48cos6016AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 2222()28BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=-=+-⋅= 所以222AB BC AC +=，所以90,30ABC ACB ∠=︒∠=︒，又4BD AB ==，所以AC =45DAB ∠=︒，设AB x AD y AC =+，由于B 在CD 上，所以1x y +=，又22()()()0AB CD xAD yAC AD AC xAD y x AD AC yAC ⋅=+⋅-=+-⋅-=，即32()8cos(4560)640x y x y +-⨯︒+︒-=，化简得x =，试卷第23页，共44页由1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以333122AB AD AC --=+， AE AC AD k AB λμ=+=（01k ≤≤），所以k k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1k =时max λ=，μ=2λμ-=． 2．44．已知点()3,1A -，()4,2B --，点P 是直线AB 上一点，且满足2AP PB =，则点P 的坐标是___________.【答案】55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】先求出AP 的坐标，再得点P 坐标．【详解】由已知(7,1)AB =--，由2AP PB =得2142(,)333AP AB ==--， 所以P 点坐标为14255(,)(3,1)(,)3333--+-=--． 故答案为：55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 45．已知5a =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a 的坐标是___________.【答案】()2,1或【分析】设(),a xy =，则由题意可得20x y -+=⎪⎩，解方程组即可求出结果. 【详解】设(),ax y =，则由题意可得20x y -+=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，则()2,1a =或()2,1a =--，故答案为：()2,1或()2,1--.46．若向量()3,21a x x =--，()2,5b =，且a b ∥，则x =___________.【答案】13利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =--，()2,5b =， a b ∥，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1347．已知向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c 用a 与b 可表示为c =___________. 【答案】1322a b 【分析】设c ma nb =+，根据题意，列出方程，即可求得m ，n 的值，即可得答案.【详解】设c ma nb =+，则12m n m n -=+⎧⎨=-⎩，解得1232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以1322c a b =-. 故答案为：1322a b 48．若向量()1,3a =-，()2,4b =-，()0,5c =，则3a b c -+=___________.【答案】()5,8-【分析】由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】由已知3a b c -+=(3,9)(2,4)(0,5)(5,8)---+=-．故答案为：(5,8)-．49．若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =___________.【答案】()2,4--【分析】由向量加减法坐标运算求解．试卷第25页，共44页(2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC BA CA =+=-=-=--．故答案为：(2,4)--．50．在ABC 中，60A ∠=︒，:8:5AB AC =，若三角形面积为AB =______．【答案】8【分析】由已知，先按比例设出边长，再利用面积公式即可求出边长【详解】由已知:8:5AB AC =，则可设8,5(0)AB t AC t t ==>，记ABC 面积为S则211sin 8522S AB AC A t t =⨯⨯⨯=⨯⨯==可得1t = 所以8AB =故答案为：851．在ABC 中，60B ∠=，2c =，14a ≤≤，则sin C 的取值范围是______． 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】在ABC 中，由余弦定理可得b再由正弦定理可得sin C =由14a ≤≤结合二次函数的性质以及不等式的性质即可求解.【详解】在ABC 中，由余弦定理可得：22222cos 24b a c ac B a a =+-⋅=-+，所以b 由正弦定理可得：sin sin c b C B =即sin sin c B C b ==， 因为14a ≤≤，所以()[]2224133,12a a a -+=-+∈，，1sin ,12C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 52．两个大小相等的共点力1F 与2F ，若当它们的夹角为90︒时合力大小为20N ，则当它们的夹角为120︒时合力大小为______．【答案】【分析】先由已知根据平行四边形法则求出分力的大小，当夹角为120°时，再根据三角形法则求出合力的大小．【详解】对于两个大小相等的共点力1F，2F，当它们的夹角为90︒，合力的大小为20N时，由平行四边形法则可知，这两个力的大小都是，当它们的夹角为120︒时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为102N．故答案为：102N．53．若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a b+表示______．【答案】【分析】利用向量加法的几何意义解答即可.【详解】若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a b+即a b+.千米.-=______．54．在边长为1的等边ABC中，AB AC【答案】1试卷第27页，共44页直接利用向量的减法计算，然后求模即可.【详解】1AB AC CB -== 故答案为：1.55．已知8AB =，12AC =，则BC 的取值范围是______．【答案】[]4,20 【分析】 由于BC AC AB =-，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当三点共线时取等号，可得答案. 【详解】 由已知BC AC AB =-， 又AC AB AC AB AC AB -≤-≤+420BC ∴≤≤当,AC AB 反向，BC 取到最大值，当,AC AB 同向，BC 取到最小值 故答案为：[]4,20. 56．化简：AB CA BC ++=______．【答案】0【分析】利用向量的加法运算即可求解.【详解】解：0AB CA BC AB BC CA AC CA ++=++=+=故答案为：0.57．为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点A 和B ，观测对岸标记物C ，测得45CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，120m AB =，则河宽为______米． 【答案】60+【分析】利用正弦定理，把边化角求出AB BC，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD ．在ABC 中，45CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，∴∠ACB =60︒，由正弦定理得sin sin 60sin sin 45AB C BC A ︒===︒ ∵sin sin AC AB B C =，∴120sin sin AB B AC C ⋅=== 作CD AB ⊥，则CD 的长为河宽，在Rt ADC 中，45CAB ∠=︒，∴sin 602CD AC CAD =⋅∠==+故答案为：60+58．如图，墙上三角架的一端C 处悬挂一个重为10N 的物体，则边BC 上点B 处的受力情况是___________.【答案】大小为10N ，方向与BC 相同【分析】从点C 处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.【详解】解：如图，在点C 处进行受力分析，由已知条件有10G N =，试卷第29页，共44页根据平衡条件有12cos45F F =⋅︒，2sin 45G F =⋅︒， 则110F G N ==，方向水平向右.则边BC 上点B 处的受力情况是大小为10N ，方向与BC 相同.故答案为：大小为10N ，方向与BC 相同.59．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,2A ，()3,1B ，()4,3C ，且在点A 、B 、C 处分别放置质量为1kg ､2kg ､1kg 的物体，则此时ABC 重心G 的坐标为___________. 【答案】8,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设ABC 重心G 的坐标为(),x y ，AC 的中点为D ，连接BD ，根据2BG GD =，()12GD GA GC =+可得BG GA GC =+，再利用坐标表示以及坐标运算求出x ，y 的值即可求解.【详解】设ABC 重心G 的坐标为(),x y ，AC 的中点为D ，连接BD ，因为G 是ABC 的重心，所以2BG GD =， 因为()12GD GA GC =+，所以BG GA GC =+， 所以()()()3,11,24,3x y x y x y --=--+--，所以314123x x x y y y -=-+-⎧⎨-=-+-⎩，可得832x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以ABC 重心G 的坐标为8,23⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：8,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.60．某人在静水中游泳时速度为4km/h ，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h ，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.【答案】120【分析】首先设OA 表示人游泳的速度，OB 表示水速，然后画出示意图，根据4OA =，2OB =可求出30AOC ∠=︒，从而可求出答案.【详解】 设OA 表示人游泳的速度，OB 表示水速，由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速度OC 方向为正北， 因为4OA =，2OB =，所以30AOC ∠=︒，所以120AOB ∠=︒，即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.故答案为：120.61．已知()15,4f =，()21,2f =作用于同一质点，使其由原点移动到点()6,4A ，则合力f 对质点所做的功为___________.【答案】60【分析】先求合力，然后根据公式W f OA =⋅即可求出合力对质点做的功.【详解】因为()15,4f =，()21,2f =，所以()216,6f f f =+=，所以60W f OA =⋅=.故答案为：60.试卷第31页，共44页62．在ABC 中，若2247a b =，则sin :sin A B =______．2##【分析】由正弦定理求解．【详解】 ABC 中，由2247a b =得a b = 由正弦定理得sin sin a b A B =得sin sin A B =．2．63．在钝角ABC 中，90B ∠>︒，25a x =-，1b x =+，4c =，则x 的取值范围是______． 【答案】10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据条件，利用cos 0B <以及三角形两边和大于第三边列不等式组求解即可.【详解】90B ∠>︒，()()()2222541cos 0825250102541x x B x x x x x ⎧-+-+=<⎪-⎪⎪∴⎨->⎪+>⎪⎪-+>+⎩ 解得1043x << 故答案为：10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭. 64．在ABC 中，若1a =，b =2A+C =B ，则ABC 的面积是______．【分析】 先结合三角形的内角和定理求出3B π=，再利用余弦定理求出2c =，结合三角形面积公式求解即可.【详解】因为2A+C =B ，且A C B π++=，所以3B π=， 由余弦定理，得222cos 2a c b B ac+-=，即211322c c +-=，整理，得220c c --=，由0c >，得2c =，所以1sin 2S ac B ==65．在锐角ABC 中，1a =，2b =，则边长c 的取值范围是______．【答案】 【分析】根据三角形三边的大小关系可得23c >，结合余弦定理可得25c <，解两个不等式即可.【详解】∵a =1，b =2，△ABC 是一个锐角三角形∴22-12<c 2，且222cos 02a b c C ab +-=>， 解得3＜c 2＜5，∴c 的范围是故答案为. 66．在锐角ABC 中，7a =，6c =，且223cos cos 20A A +=，则b =______．【答案】5【分析】 根据二倍角的余弦公式求得1cos 5A =，结合余弦定理即可求出b . 【详解】由2223cos cos 20cos 22cos 1A A A A +==-，，得225cos 1A =，又090A ︒<<， 所以1cos 5A =； 由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=， 即236491125b b +-=，由0b >，解得5b =. 故答案为：567．在ABC 中，已知6a =，8b =，1cos 2C =-，则c =______．【答案】【分析】根据余弦定理，列出方程，即可求解.试卷第33页，共44页【详解】 由余弦定理得2222212cos 682681482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =故答案为：68．在ABC中，已知a =2c =，30C =，则b =______．【答案】2或【分析】在ABC 中，由正弦定理求得sin A 的值，即可得角A ，再由三角形的内角和可得角B ，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得边b 的值.【详解】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a c A C =2sin 30=， 所以303sin A ==60A =或120， 所以90B =或30，当90B =时，22212416b a c =+=+=，所以4b =，当30B =时，2b c ==，所以b =2或4.故答案为：2或4.69．设i ､j 分别是与x 轴､y 轴的正方向同向的两个单位向量，42AB i j =-，74AC i j =+，则ABC 的面积是___________.【答案】15【分析】先由已知条件求出BC ，从而可得AB BC ⊥，然后求出,AB BC ，进而可求出三角形的面积【详解】 因为42AB i j =-，74AC i j =+，所以74(42)36BC AC AB i j i j i j =-=+--=+，所以(3,6)BC =，因为(4,2)AB =-，所以0AB BC ⋅=，所以AB BC ⊥，因为24AB =23BC =所以 ABC 的面积为111522AB BC ⋅=⨯=故答案为：1570．已知()12,4P -，()25,3P ，点P 在12PP 延长线上，且122PP P P =，则点P 的坐标为___________. 【答案】(12,2)【分析】由已知可得122PP P P =，设(,)P x y ，再由上面的式子列方程组可求得答案 【详解】设(,)P x y ，则12(2,4),(5,3)PP x y P P x y =+-=--因为点P 在12PP 延长线上，且122PP P P =， 所以122PP P P =，所以(2,4)2(5,3)x y x y +-=--，所以2210426x x y y +=-⎧⎨-=-⎩，得122x y =⎧⎨=⎩， 所以点P 的坐标为(12,2)，故答案为：(12,2)71．ABC 的三个内角A ､B ､C 所对的三边a ､b ､c 满足20a b c -+=，320a b c +-=，则sin :sin :sin A B C =___________.【答案】3:5:7【分析】先用c 表示出,a b ，再利用正弦定理的性质可得答案【详解】由20a b c -+=，320a b c +-=，得35,77a cbc ==， 所以35sin :sin :sin ::::3:5:777A B C a b c c c c ===， 故答案为：3:5:7 72．在四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，BC c =，则CD =______．试卷第35页，共44页【答案】a b c -+-【分析】由向量的运算法则即得.【详解】由题得CD CB BA AD c a b =++=--+.故答案为：a b c -+-.73．已知43AP AB →→=，且AP k BP →→=，则实数k =___________. 【答案】4【分析】根据向量共线和向量数乘求解即可.【详解】 解：因为43AP AB →→=， 所以,,A B P 三点共线，其位置关系如图，其中点B 在线段AP 的四等分点靠近P 点的位置，所以4AP BP →→=，所以4k =故答案为：4 74．已知()11,6OP =--，()23,0OP =，点P 在21P P 延长线上，且11213PP PP =，则OP 的坐标为______．【答案】7,83⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.【详解】 ∵点P 在21P P 延长线上，且11213PP PP =， ∴11213PP PP =， ∴()12113OP OP OP OP -=-即124133OP OP OP =-，又()11,6OP =--，()23,0OP =， ∴()()4171,63,0,8333OP ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭.故答案为：7,83⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 75．已知()4,6A ，()3,2B -，23AP PB =-，则P 的坐标为______． 【答案】()18,14【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算．【详解】设(,)P x y ，由23AP PB =-得2(4,6)(3,2)3x y x y --=----， 即24(3)326(2)3x x y y ⎧-=---⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得1814x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：(18,14)．76．已知1==a b ，a 与b 的夹角大小为2π3，则23a b -=______． 【分析】 根据题意，结合模长公式以及数量积的运算律，即可求解.【详解】 根据题意，得()22223234912a b a b a b ab -=-=+-⋅222912cos 43a b a b π=+-⋅= 77．在ABC 中，2AB =，1BC =，1AB BC ⋅=，则B ∠=______．【答案】23π## 【分析】根据题意，结合数量积的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，由cos 1AB BC BA BC BA BC B ⋅=-⋅=-⋅∠=， 得111cos 212B BA BC--∠===-⨯⋅，因为()0,B π∠∈，所以2π3B ∠=. 故答案为：23π.试卷第37页，共44页78．已知向量a →与b →满足1a →=，a b →→-=a →与b →的夹角大小为60°，则b →=______． 【答案】12##【分析】 由题得出222324a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=，再结合条件并利用平面向量的数量积运算，即可求出结果.【详解】 解：由题可知，1a →=，a b →→-=a →与b →的夹角大小为60°， 则222324a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=，即2232cos604a a b b →→→→︒-⋅+=， 则2314b b →→-+=，解得：12b →=. 故答案为：12. 79．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，且ABC 的内角B 为直角，则k 的值为______． 【答案】113【分析】根据题意，求出向量BC 的坐标，结合0BC AB ⋅=，即可求解.【详解】根据题意，得()1,3BC k =--，因为B 为直角，所以()2330BC AB k ⋅=-+-=，即113k =. 故答案为：113. 80．已知()2,3a =，()4,7b =-，则a 在b 方向上的数量投影为______．【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】根据题意，可知a 在b 方向上的数量投影为(2cos ,16a b a a b b ⨯-⋅〈〉===81．若()5,a y =，()6,4b =--，且2a b ⋅=-，则y =______．【答案】7-【分析】直接利用向量数量积的坐标运算列方程直接求解.【详解】因为()5,a y =，()6,4b =--，且2a b ⋅=-，所以()()5642y ⨯-+-=-，解得：y =-7.故答案为：-7.82．若()3,1a =，(),3b x =，且a b ⊥，则x =______．【答案】1-【分析】利用向量垂直的充要条件列方程即可求解.【详解】因为()3,1a =，(),3b x =，且a b ⊥，所以3x +3=0，解得：1x =-.故答案为：-1.83．如图，在ABC 中，点D ､E ､F 分别是边BC ､CA ､AB 的中点，在以A ､B ､C ､D ､E ､F 为端点的向量中，与向量DF 的模相等的向量的个数是___________.【答案】5【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与DF 模相等的向量，即知个数.【详解】由图知：与向量DF 的模相等的向量有,,,,FD AE EA EC CE ，∴共有5个.试卷第39页，共44页故答案为：5.84．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 是对角线AD ､BE ､CF 的交点，在以A ､B ､C ､D ､E ､F ､O 为端点的向量中与向量OA 相等的向量的个数是___________.【答案】3【分析】由相等向量的模长、方向均相同，结合几何图形写出OA 的相等向量，即知个数.【详解】由题图知：与向量OA 相等的向量有,,DO CB EF ，∴共有3个.故答案为：385．与向量a 的模相等，方向相反的向量叫做向量a 的负向量，记作：___________.【答案】a -【分析】根据相反向量的定义可得结果.【详解】由题意可知，与向量a 的模相等，方向相反的向量叫做向量a 的负向量，该向量为a 的相反向量，记为：a -.故答案为：a -.86．在四边形ABCD 中，若AB DC =，则此四边形一定是___________.【答案】平行四边形【分析】由题设，根据向量共线的定义、数乘的几何含义知//AB CD 且AB CD =，即可判断四边形的形状.【详解】由AB DC =可知：//AB CD 且AB CD =，∴此四边形一定是平行四边形.。
2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用课时练习题含答案解析
第六章平面向量及其应用练习题1、平面向量的概念 (1)2、向量的加法运算 (7)3、向量的减法运算 (13)4、向量的数乘运算 (20)5、向量的数量积 (26)6、平面向量基本定理 (32)7、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (39)8、平面向量数乘运算的坐标表示 (45)9、平面向量数量积的坐标表示 (51)10、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例 (58)11、余弦定理 (67)12、余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 (74)13、余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 (83)1、平面向量的概念【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法不正确的是( )A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同【解析】选D.根据向量的有关概念易判断，D项错误．2．(2021·淄博高一检测)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A．一组 B．二组 C．三组 D．四组【解析】选A.△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，在如图所示的向量中，相等向量是CE → 和EA →，有一组． 3．下面几个命题： ①若a ＝b ，则|a |＝|b |； ②若|a |＝0，则a ＝0； ③若|a |＝|b |，则a ＝b ；④若向量a ，b 满足⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥b ， 则a ＝b.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.①正确．②正确．③错误.a 与b 的方向不一定相同．④错误．a 与b 的方向有可能相反．4．如图，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定不成立的是( )A.|AB→ |＝|EF → |B ．AB → 与FH → 共线C ．BD → 与FH → 共线 D ．CD → ＝FG →【解析】选C.对于A ，因为四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，因此|AB → |＝|EF → |一定成立，故A 不符合题意；对于B ，根据菱形的性质，AB → 与FH → 共线一定成立，故B 不符合题意；对于D ，根据菱形的性质，CD → 与FG → 方向相同且模相等，因此CD → ＝FG → 一定成立，故D 不符合题意． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，AO → 是某人行走的路线，那么AO → 的几何意义是某人从A 点沿西偏南________方向行走了________km.【解析】由已知图形可知，AO → 的几何意义是从A 点沿西偏南60°方向，行走了2 km.答案：60° 26．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL → 相等的向量是________．【解析】如图，因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，连接AC ，所以KL∥AC，KL ＝12AC ，同理MN∥AC，MN ＝12 AC ，所以KL∥MN，KL ＝MN ， 所以KL → ＝NM → .答案：NM → 三、解答题7．(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B.点C 为小正方形的顶点，且|AC→ |＝ 5 .(1)画出所有的向量AC → ； (2)求||BC → 的最大值与最小值．【解析】(1)画出所有的向量AC →如图所示；(2)由(1)所画的图知，①当点C 在点C 1或C 2时，||BC → 取得最小值 12＋22 ＝ 5 ；②当点C 在点C 5或C 6时，||BC → 取得最大值 42＋52 ＝41 .所以||BC → 的最大值为41 ，最小值为 5 . 【加固训练】在如图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a .(1)试以点B 为终点画一个向量b ，使b ＝a .(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝ 5 ，并画出向量c 的终点组成的图形．【解析】(1)如图所示，向量OB → 即为所求向量b .(2)向量AC → 即为一个所求向量c ，向量c 的终点组成的图形是一个以点A 为圆心，以 5 为半径的圆，如图所示．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．若|AB → |＝|AD → |且BA → ＝CD → ，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形【解析】选C.由BA → ＝CD → ，知AB ＝CD 且AB∥CD，即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB→ |＝|AD → |，所以平行四边形ABCD 为菱形． 2．(多选题)在下列结论中，正确的结论为( ) A ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件 B ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的既不充分也不必要条件 C ．a 与b 方向相同且|a |＝|b |是a ＝b 的充要条件 D ．a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件【解析】选ACD.若a ＝b ，则a 与b 方向相同，模相等，所以A 对B 错；a 与b 方向相同且|a|＝|b|⇔a ＝b ，所以C 对；对于D ，a 与b 方向相反⇒a≠b ，|a|≠|b|⇒a ≠b ，所以充分性成立；但a≠bD ⇒/a 与b 方向相反，a ≠bD ⇒/|a|≠|b|，所以不必要，D 对． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB → 是平行向量，与BC → 是共线向量，则m ＝________．【解析】因为A ，B ，C 三点不共线， 所以AB → 与BC → 不共线，又因为m ∥AB → 且m ∥BC → ，所以m ＝0. 答案：04．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)所标向量中，与向量ED → 相等的向量有________； (2)若|AB→ |＝3，则|EC → |＝________． 【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED → 相等的向量有AB → ，DC → .(2)因为|AB → |＝3，|EC → |＝2|AB → |，所以|EC →|＝6.答案：(1)AB → ，DC → (2)6 【加固训练】如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是__________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是__________，它们的模的和等于________．【解析】(1)模相等的两个向量是CH → ，AE → ， |CH→ |＝|AE → |＝12＋32 ＝10 .(2)共线的向量是DG → ，HF →，且|DG→ |＋|HF → |＝2 2 ＋3 2 ＝5 2 . 答案：(1)CH → ，AE →10 (2)DG → ，HF →5 22、向量的加法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC → 的是( ) A ．BA → ＋AD → ＋DC → B ．BD → ＋DA → ＋AC → C ．AB → ＋BD → ＋DC → D ．DC → ＋BA → ＋AD →【解析】选C.在A 中，BA → ＋AD → ＋DC → ＝BD → ＋DC → ＝BC → ； 在B 中，BD → ＋DA → ＋AC → ＝BA → ＋AC → ＝BC → ； 在C 中，AB → ＋BD → ＋DC → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ；在D 中，DC → ＋BA → ＋AD → ＝DC → ＋BD → ＝BD → ＋DC → ＝BC → . 2．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB → ＋BA → ＝0； ③AC → ＝DC → ＋AB → ＋BD → .A ．②③ B．② C．① D．③【解析】选B.②错误，AB → ＋BA → ＝0，①③正确．3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB → ＋FE →＋CD → |等于( )A.1 B ． 2 C ． 3 D ．2【解析】选D.正六边形ABCDEF 中，AB → ＝ED → ，CD → ＝AF → ，所以AB → ＋FE → ＋CD → ＝ED →＋FE → ＋AF →＝AF → ＋FE → ＋ED → ＝AD → ， 因为|AB→ |＝1，所以|AD → |＝2. 4．在平行四边形ABCD 中，若|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定【解析】选B.依题意，平行四边形ABCD 中，|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB → |，则平行四边形ABCD 的两条对角线相等．故四边形ABCD 为矩形． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．化简：(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝________．【解析】(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝(AB → ＋BC → )＋(BO → ＋OM → ＋MB → )＝AC → ＋0＝AC → . 答案：AC →6．如图所示，O(0，0)，A(－2，－1)，B(0，1)， 则|OA → ＋OB → |＝________．【解析】如图所示，由平行四边形法则知，OA →＋OB → ＝OC → ，点C 的坐标为(－2，0)， 所以|OA → ＋OB → |＝2. 答案：2 三、解答题7．(10分)如图，四边形ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC ＝BD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点．试求：(1)AB → ＋AE → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → . 【解析】由已知得四边形ACEB ，四边形ABDE 均为平行四边形． (1)AB → ＋AE → ＝AD → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ＝AE → ＋EC → ＝AC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝CE → ＋ED → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝(CE → ＋EC → )＋(ED → ＋DB → )＋AC →＝EB → ＋AC → ＝CA → ＋AC → ＝0. 【加固训练】如图，已知三个向量a ，b ，c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a ＋b ＋c .【解析】利用三角形法则作a ＋b ＋c ，如图①所示，作OA → ＝a ，以A 为起点，作AB → ＝b ，再以B 为起点，作BC → ＝c ，则OC → ＝OB → ＋BC → ＝OA → ＋AB → ＋BC →＝a ＋b ＋c .利用平行四边形法则作a ＋b ＋c ，如图②所示，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，以OA →，OB → 为邻边作▱OADB ，则OD → ＝a ＋b ，再以OD → ，OC → 为邻边作▱ODEC ，则OE → ＝OD →＋OC → ＝a ＋b ＋c .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．(多选题)已知平行四边形ABCD ，设AB → ＋CD → ＋BC → ＋DA → ＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |<|a |＋|b |【解析】选AC.因为在▱ABCD 中，AB → ＋CD → ＝0，BC → ＋DA → ＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A ，C 正确，B 错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，D 错误．2．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB → ＋AC → |＝ 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．等腰直角三角形【解析】选D.设线段BC 的中点为O ，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB → ＋AC → |＝2|AO → |，又|AB → ＋AC → |＝ 2 ，故|AO→ |＝22 ，又BO ＝CO ＝22 ， 所以△ABO 和△ACO 都是等腰直角三角形， 所以△ABC 是等腰直角三角形． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE → ＋EA →＝________； (2)BE → ＋AB → ＋EA → ＝________； (3)DE → ＋CB → ＋EC → ＝________； (4)BA → ＋DB → ＋EC → ＋AE → ＝________． 答案：(1)DA→ (2)0 (3)DB → (4)DC → 4．如图，一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km 后到达B 地，然后向C 地飞行，已知C 地在A 地北偏东60°方向处，且|BC→ |＝300 2 km ，则飞机从B 地向C 地飞行的方向是南偏东____________，|AB → ＋BC →|＝________ km.【解析】由题意和图形可知∠BAC＝90°，因为|AB → |＝300 km ，|BC →|＝300 2 km ， 所以|AC→ |＝300 km ， 因为∠ABC＝45°，A 地在B 地南偏东30°的方向处， 所以C 地在B 地南偏东75°的方向处． 故飞机从B 地向C 地飞行的方向为南偏东75°. 答案：75° 300 【加固训练】如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ．绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为______，方向为________________．【解析】以OA → ，OB → 为邻边作平行四边形BOAC ，则F 1＋F 2＝F ，即OA → ＋OB → ＝OC → ，则∠OAC＝60°，|OA → |＝24，|AC → |＝|OB → |＝12， 所以∠ACO＝90°，所以|OC→ |＝12 3 . 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上． 答案：12 3 N 竖直向上 三、解答题5．(10分)已知在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF →＋EF → ＝AB → ＋DC → .【证明】如图，在平面内取点O ，连接AO ，EO ，DO ，CO ，FO ，BO.EF →＝EO → ＋OF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ， AB →＝AO → ＋OB → ，DC →＝DO → ＋OC → ＝DE → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋FC → . 因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点， 所以DE → ＝EA → ，BF → ＝FC → .所以EF → ＋EF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＝DE → ＋AO → ＋OB → ＋FC →＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF →＝(AO → ＋OB → )＋(DE → ＋FC → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ) ＝AB → ＋DC → .3、向量的减法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，BC → ＝a ，CA → ＝b ，则AB → 等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －b D ．b －a【解析】选B.AB → ＝CB → －CA → ＝－a －b ＝－a ＋(－b ). 【加固训练】AC → 可以写成：①AO → ＋OC → ；②AO → －OC → ；③OA → －OC → ；④OC → －OA → ，其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】选D.由向量的加法及减法定义可知①④符合．2．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，则EF → 等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c【解析】选D.EF → ＝OA → ＝CB → ＝OB → －OC → ＝b －c .3．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF → －DB → 等于( )A.FD → B ．FC → C ．FE → D ．DF →【解析】选 D.由题图易知AF → ＝DE → ，所以AF → －DB → ＝DE → －DB → ＝BE → ，又BE → ＝DF →，所以AF → －DB → ＝DF → .4．在四边形ABCD 中，AB → ＝DC → ，若|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】选B.因为AB → ＝DC → ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，所以|BD → |＝|AC → |. 所以四边形ABCD 为矩形．二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，若|OA → |＝12，|OB → |＝5，且∠AOB＝90°，则|a －b |的值为____________．【解析】a ，b ，a －b 构成了一个直角三角形，则 |a －b |＝|a |2＋|b |2 ＝122＋52 ＝13. 答案：13 【加固训练】在△ABC 中，|AB → |＝|BC → |＝|CA → |＝1，则|AB → －BC → |＝________. 【解析】延长CB 到D ，使CB ＝BD ，连接AD ，如图．在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD＝120°， AB →－BC → ＝AB → ＋CB → ＝AB → ＋BD → ＝AD → . 易求得AD ＝ 3 ，即|AD → |＝ 3 . 所以|AB → －BC → |＝ 3 . 答案： 36．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB → ＝c ，AC → ＝b ，BD → ＝a ；AD → ＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．【解析】根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD → －BD → ＝AD → ＋DB → ＝AB → ＝c .d ＋a ＝AD → ＋BD → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ＝b . 答案：c b三、解答题7．(10分)如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB → ＝a ，BC → ＝b ，AC → ＝c ，试作向量：(1)a －b ；(2)a －b ＋c .【解析】(1)在正方形ABCD 中，a －b ＝AB → －BC → ＝AB → －AD → ＝DB → .连接BD ，箭头指向B ，即可作出a －b .(2)过B 作BF∥AC，交DC 的延长线于F ，连接AF ，则四边形ABFC 为平行四边形， 所以a ＋c ＝AB → ＋AC → ＝AF → .在△ADF 中，DF → ＝AF → －AD → ＝a ＋c －b ＝a －b ＋c ，所以DF → 即为所求． 【加固训练】如图，在正五边形ABCDE 中，若AB → ＝a ，BC → ＝b ，CD → ＝c ，DE → ＝d ，EA → ＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .【解析】a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB → ＋BC → )－(CD → ＋DE → ＋EA → )＝AC → －CA → ＝AC → ＋AC → .如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ， 则CF → ＝AC → ，所以AF → ＝AC → ＋AC → ， 即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分) 1．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b |； ④|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选A.①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 方向相同时成立． 2．(多选题)(2021·泰安高一检测)下列各式中结果为零向量的是( ) A ．AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → B ．AB → ＋BC → ＋CA → C ．OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → D ．AB → －AC → ＋BD → －CD →【解析】选BD.由向量加法的法则得A ：AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AB → ＋MB → ＋BM → ＝AB → ， 故结果不为零向量；B ：AB → ＋BC → ＋CA → ＝AC → ＋CA →＝0，结果为零向量；C ：OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → ＝BO → ＋OA → ＝BA → ，结果不为零向量；D ：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＝AB → ＋BD → －(AC → ＋CD → )＝AD → －AD → ＝0，结果为零向量． 【加固训练】(多选题)下列说法正确的是( ) A ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → －OE → ＝OD → B ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → ＋DO → ＝OE → C ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OD → －EO → ＝OM → D ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝OM →【解析】选ABC.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定义知，若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝－OD → －OE → ＝－(OD → ＋OE → )＝－OM → ，故D 错误．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，OD → ＝c ，则OB → ＝__________．【解析】由于OB → ＝DB → －DO → ，而DB → ＝AB → －AD → ＝a －b ，DO → ＝－OD → ＝－c ，所以OB → ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c4．已知菱形ABCD 的边长为2，则向量AB → －CB → ＋CD → 的模为________，|AC → |的范围是____________． 【解析】因为AB → －CB → ＋CD →＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AD → ，又因为|AD→ |＝2，所以|AB → －CB → ＋CD → |＝|AD →|＝2.又因为AC → ＝AB → ＋AD → ，且在菱形ABCD 中，|AB → |＝2，所以||AB → |－|AD → ||<|AC →|＝|AB → ＋AD → |<|AB → |＋|AD → | 即0<|AC→ |<4. 答案：2 (0，4) 三、解答题5．(10分)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求|a ＋b ||a －b | .【解析】设OA → ＝a ，OB → ＝b ，则BA → ＝OA → －OB → ＝a －b . 因为|a |＝|b |＝|a －b |， 所以BA ＝OA ＝OB.所以△OAB 为正三角形．设其边长为1， 则|a －b |＝|BA→ |＝1，|a ＋b |＝2×32 ＝ 3 . 所以|a ＋b ||a －b | ＝31 ＝ 3 .【加固训练】已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM → ＝a ，CA → ＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |；(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA ＝CB. 又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM. (1)因为CM → －CA → ＝AM → ，又|AM→ |＝|CM → |，所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM → ＝MB → ，所以a ＋(a －b )＝CM → ＋(CM → －CA → )＝CM → ＋AM → ＝CM → ＋MB → ＝CB → ，因为|CA → |＝|CB→ |， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.4、向量的数乘运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，那么向量12AB →＋AD → 等于( )A.AE → B ．AC → C ．DC → D ．BC → 【解析】选A.因为E 为CD 的中点，所以， 则12AB → ＋AD → ＝DE → ＋AD → ＝AE → . 2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【解析】选D.根据图形可看出2a ＋b ＝c ；满足2a ＋b 与c 共线，所以λ＝2.3．在四边形ABCD 中，若AB → ＝3e ，CD → ＝－5e ，且|AD → |＝|BC → |，则四边形ABCD是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形【解析】选C.因为AB → ＝－35 CD → ，所以AB∥CD，且|AB → |≠|CD → |.而|AD→ |＝|BC → |，所以四边形ABCD 为等腰梯形．4．(2021·新乡高一检测)已知MN → ＝a ＋5b ，NP → ＝－2(a －4b )，PQ → ＝3(a －b )，则( )A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【解析】选B.NQ → ＝NP → ＋PQ → ＝a ＋5b ＝MN → ，所以M ，N ，Q 三点共线． 【加固训练】已知向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【解析】选A.AB → ＋BC → ＋CD → ＝a ＋2b ＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝AD → ＝3AB→ ，所以A ，B ，D 三点共线． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．若|a |＝m ，b 与a 方向相反，|b |＝2，则a ＝______b . 【解析】因为2|a |＝m|b |，a 与b 方向相反，所以a ＝－m2 b .答案：－m2【加固训练】已知2a －b ＝m ，a ＋3b ＝n ，那么a ，b 用m ，n 可以表示为a ＝________，b ＝________．【解析】由2a －b ＝m ，可得2a －m ＝b ， 代入a ＋3b ＝n 可得a ＋3(2a －m )＝n ，解得a ＝37 m ＋17 n ，代入2a －m ＝b 可得b ＝－17 m ＋27 n .答案：37 m ＋17 n －17 m ＋27n6．已知向量a ，b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ等于________．【解析】因为向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，所以(a ＋λb )∥(b ＋λa )，即存在一个负实数m ，使得a ＋λb ＝m(b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b . 因为a 与b 不共线，所以1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1. 答案：－1 三、解答题7．(10分)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC → ＝a ，BD → ＝b ，试用a ，b 分别表示DE → ，CE → ，MN → .【解析】由三角形中位线定理，知DE 綊12 BC ，故DE → ＝12 BC → ，即DE →＝12 a .CE → ＝CB → ＋BD → ＋DE →＝－a ＋b ＋12 a ＝－12 a ＋b .MN → ＝MD → ＋DB → ＋BN → ＝12 ED → ＋DB →＋12 BC →＝－14 a －b ＋12 a ＝14a －b .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则MN → ＝( )A.a ＋b B ．2a －3b C ．3a ＝2b D ．2b －2a【解析】选D.因为OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ， 所以AB 是△MSN 的中位线，所以MN → ＝2AB → ＝2(OB → －OA → )＝2b －2a . 【加固训练】(2021·焦作高一检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且OA → －BO → ＋3OC → ＝0，那么( ) A ．CO → ＝23 OP → B ．CO → ＝13 OP →C ．CO → ＝32 OP →D ．CO → ＝12OP →【解析】选A.O 是△ABC 所在平面内一点，因为P 是AB 边中点． 则OA → ＋OB → －3CO → ＝0⇒OA → ＋OB → ＝3CO → ，⇒2OP → ＝3CO → ⇒CO → ＝23OP → .2．(多选题)(2021·德州高一检测)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．当x ＋y ＝0时，x a ＋y b ＝0D ．已知梯形ABCD ，其中AB → ＝a ，CD →＝b【解析】选AB.A.联立2a －3b ＝4e 和a ＋2b ＝－2e 消去向量e 可得出4a ＋b ＝0，所以b ＝－4a ，且a ≠0，所以a ，b 共线；B ．因为a ，b 都是非零向量，且λ≠μ，λa －μb ＝0，所以λ，μ都不为0，所以a ＝μλb ，所以a ，b 共线；C ．当x ＝y ＝0时，满足x ＋y ＝0，此时对任意的向量a ，b 都有x a ＋y b ＝0，所以得不出a ，b 共线；D ．因为AB 与CD 不一定平行，所以得不出a ，b 共线． 二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2021·淄博高一检测)C 在线段AB 上，且AC CB ＝32 ，则AC → ＝____AB → ，BC →＝____AB→ .【解析】因为AC CB ＝32 ，所以AC → ＝35 AB → ，BC → ＝－25 AB →.答案：35 －254．如图，四边形ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD → |，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→ ＝____________； (2)MN→ ＝____________． 【解析】(1)因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD → |，所以AB → ＝2DC → ，DC →＝12 AB → .AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →＝－12 DC → －AD → ＋12 AB → ＝－14 e 1－e 2＋12 e 1＝14e 1－e 2. 答案：(1)e 2＋12 e 1 (2)14 e 1－e 2【一题多变】在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN → .【解析】因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN → ，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN → ，所以2MN → ＝(MD → ＋MC →)＋DA → ＋CB → ＋(AN → ＋BN → ).又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点， 所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN → ＝0. 所以2MN → ＝DA → ＋CB → ，所以MN → ＝12 (－AD → －BC → )＝－12 e 2－12 e 1.三、解答题5．(10分)(2021·忻州高一检测)已知△OAB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设AB → ＝a ，AO → ＝b . (1)用向量a 与b 表示向量OC → ，CD → ； (2)若OE → ＝45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线．【解析】(1)因为AB → ＝a ，AO → ＝b ， 所以OC → ＝OA → ＋AC → ＝－a －b ，CD → ＝CB → ＋BD → ＝CB → ＋13 BO → ＝CB → ＋13(BA → ＋AO → )＝2a ＋13 (－a ＋b )＝53 a ＋13 b .(2)因为CE → ＝OE → －OC → ＝45 (－b )＋a ＋b＝a ＋15 b ＝35CD → ，所以CE → 与CD → 共线，又因为CE → 与CD → 有公共点C ，所以C ，D ，E 三点共线．5、向量的数量积【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·广州高一检测)已知向量a ，b 满足|a |＝ 3 ，|b |＝2 3 ，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是( )A ．150° B．120° C．60° D．30° 【解析】选B.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝－33×23＝－12 ，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.2．(2021·台州高一检测)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3 ，那么|a －4b |等于( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12 【解析】选B.因为(a －4b )2＝a 2－8a·b ＋16b 2 ＝|a |2－8|a |·|b |cos π3＋16|b |2＝4－8＋16＝12，所以|a －4b |＝2 3 .3．在△ABC 中，若AB → ·BC → ＋AB → 2＝0，则BC → 在BA → 上的投影向量为( )A ．BA →B ．12 AB →C ．AC →D ．12CA →【解析】选A.因为0＝AB → ·BC → ＋AB → 2＝AB → ·(BC → ＋AB → )＝AB → ·AC → ，所以AB → ⊥AC → ，又BC → 与BA → 的夹角为锐角，所以BC → 在BA → 上的投影向量为BA → . 4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 【解析】选D.由已知可得：a·b ＝||a ·||b ·cos 60°＝1×1×12 ＝12 .A ：因为(a ＋2b )·b ＝a·b ＋2b 2＝12 ＋2×1＝52 ≠0，所以本选项不符合题意；B ：因为(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2×12 ＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；C ：因为(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝12 －2×1＝－32≠0，所以本选项不符合题意；D ：因为(2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝2×12 －1＝0，所以本选项符合题意．二、填空题(每小题5分，共10分)5．在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，|AB → |＝ 3 ，|CB → |＝1，则AC →与CB → 的夹角θ＝________．【解析】在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝ 3 ，CB ＝1，所以tan ∠ACB＝AB CB＝ 3 ，所以∠ACB＝60°，即CB → 与CA → 的夹角为60°， 所以AC → 与CB → 的夹角为120°.答案：120°6．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB → ·BC → 等于________．【解析】因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝ 3 ，所以AB → ·BC → ＝1× 3 ×cos 150°＝－32 .答案：－32三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在▱ABCD 中，|AB→ |＝4，|AD → |＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD → ·BC → ； (2)AB → ·DA → .【解析】(1)因为AD → ∥BC → ，且方向相同， 所以AD → 与BC → 的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC → |·cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB → 与AD → 的夹角为60°， 所以AB → 与DA → 的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－6.8．已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．【解析】设a 与b 的夹角为θ，由已知条件得⎩⎨⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎨⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， 所以2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a ·b |a ||b | ＝12b 2|b |2 ＝12 .因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3【解析】选A.|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝ 3 ， 设向量a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a －b ）|a ||a －b | ＝22－12×3 ＝32 ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 2．(多选题)已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足AB → ＝2a ，AD → ＝2a ＋b ，则( )A ．|b |＝2 2B ．a⊥bC ．a·b ＝2D ．(4a ＋b )⊥b【解析】选AD.由条件可得：b ＝AD → －AB → ＝BD → ， 所以|b |＝|BD→ |＝2 2 ，A 正确； a ＝12 AB → ，与BD → 不垂直，B 错误； a·b ＝12AB →·BD → ＝－2，C 错误；4a ＋b ＝AB → ＋AD → ＝AC →，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以(4a ＋b )⊥b ，D 项正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA → ＝4，BF → ·CF → ＝－1，则BE → ·CE → 的值是________．【解析】设BD → ＝a ，DF → ＝b ，则BA → ·CA → ＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF → ·CF → ＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b|2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138 ，|b |2＝58，则BE → ·CE → ＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78 .答案：784．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 上的投影向量的模等于________． 【解析】a ·b ＝|a ||b |co s 45°＝4|b |cos 45°＝2 2 |b |，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12 a ·b －3|b |2＝16＋ 2 |b |－3|b |2＝12，解得|b |＝ 2 或|b |＝－223 (舍去).b 在a 上的投影向量的模为||b |cos 45°| ＝ 2 cos 45°＝1. 答案： 2 1三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设P ，Q 满足AP → ＝λAB → ，AQ →＝(1－λ)AC →(λ∈R )，若BQ → ·CP →＝－32 ，求实数λ的值．【解析】因为BQ → ＝BA → ＋AQ → ，CP → ＝CA → ＋AP → ， 所以BQ → ·CP → ＝(BA → ＋AQ → )·(CA → ＋AP → ) ＝AB → ·AC → －AB → ·AP → －AC → ·AQ → ＋AQ → ·AP →＝AB → ·AC → －λAB → 2－(1－λ)AC → 2＋λ(1－λ)AB → ·AC →＝2－4λ－4(1－λ)＋2λ(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－32 ，所以λ＝12 .6．(2021·黄冈高一检测)已知向量n 与向量m 的夹角为π3，且|n |＝1，|m |＝3，n ·(n －λm )＝0. (1)求λ的值；(2)记向量n 与向量3n －m 的夹角为θ，求cos 2θ. 【解析】(1)由n ·(n －λm )＝n 2－λm ·n ＝1－λ×3×1×cos π3＝0，所以λ＝23. (2)因为n ·(3n －m )＝3n 2－m ·n ＝3－3×1×12 ＝32|3n －m |＝（3n －m ）2 ＝9n 2－6m ·n ＋m 2 ＝9－6×32＋9 ＝3，所以cos θ＝n ·()3n －m ||n ·||3n －m ＝321×3 ＝12， 所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－1＝－12 .6、平面向量基本定理【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．设{e 1，e 2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1 B ．2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2 C ．e 1＋2e 2与2e 1－e 2 D ．－12 e 1＋18 e 2与e 1－14e 2【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A 、B 、D 中的两个向量都是共线的，不可以作为基底．选项C 中的两个向量不共线，可作为基底． 2．(2021·成都高一检测)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a ＝λe 1＋μe 2，则λ＋μ＝( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】选A.根据图象可知a ＝－3e 1＋(e 2＋e 1)＝－2e 1＋e 2，所以λ＝－2，μ＝1，λ＋μ＝－2＋1＝－1.3.在△ABC 中，AE → ＝15 AB → ，EF∥BC，EF 交AC 于F ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则BF →等于( )A ．－a ＋15 bB ．a －15 bC ．23 a －13 bD ．13 a ＋23b【解析】选A.因为AE →＝15 AB → ，所以BE → ＝－45AB →.又因为EF∥BC，所以EF → ＝15 BC → ＝15(AC →－AB → )，所以BF → ＝BE → ＋EF → ＝－45 AB → ＋15 (AC → －AB → )＝15 AC → －AB → ＝－a ＋15 b .【加固训练】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34 AB → ＋14 AD → B ．14 AB → ＋34 AD →C ．12 AB → ＋AD → D ．34 AB → ＋12AD → 【解析】选D.根据题意得：AF →＝12 (AC → ＋AE → )，又AC → ＝AB → ＋AD → ，AE →＝12 AB → ，所以AF →＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34 AB → ＋12AD →. 4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ，则3r ＋s 的值为( )A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】选C.因为CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ， 所以CD → ＝45 CB → ＝45(AB → －AC → )＝rAB→ ＋sAC → ，所以r ＝45 ，s ＝－45 .所以3r ＋s ＝125 －45 ＝85. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在正方形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，BD → ＝c ，则在以{a ，b }为基底时，AC → 可表示为________，在以{a ，c }为基底时，AC → 可表示为________．【解析】以{a ，b }为基底时，由平行四边形法则得AC → ＝a ＋b .以{a ，c }为基底时，将BD → 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则得AC → ＝2a ＋c . 答案：a ＋b 2a ＋c6．已知e 1，e 2不共线，且a ＝k e 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则实数k 等于________．【解析】因为a ，b 不能作为基底，所以a ，b 共线，可设a ＝λb ，λ∈R ，则k e 1－e 2＝λ()e 2－e 1 ，即k e 1－e 2＝λe 2－λe 1，因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧k ＝－λ，－1＝λ，所以k ＝1. 答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2021·大连高一检测)如图，已知M ，N ，P 是△ABC 三边BC ，CA ，AB 上的点，且BM → ＝14 BC → ，CN → ＝14 CA → ，AP → ＝14 AB →，若AB → ＝a ，AC → ＝b ，试用基底{a ，b }表示向量NP → ，AM → .【解答】因为CN →＝14 CA → ，所以AN → ＝34AC →，所以NP → ＝AP → －AN → ＝14 AB → －34 AC → ＝14 a －34 b ，AM →＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋14 BC → ＝AB →＋14 (AC → －AB → )＝34 AB → ＋14 AC → ＝34 a ＋14b .8．如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA → ＝a ，BC → ＝b .试以{a ，b }为基底表示EF → ，DF → .【解析】连接FA ，DF. 因为AD∥BC，且AD ＝13BC ，所以AD → ＝13 BC → ＝13 b ，所以AE → ＝12 AD → ＝16 b .因为BF → ＝12 BC → ，所以BF → ＝12 b ，所以FA → ＝BA → －BF → ＝a －12 b .所以EF → ＝EA → ＋AF → ＝－AE → －FA → ＝－16 b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝13 b －a ，DF → ＝DA → ＋AF → ＝－(AD → ＋FA →) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝16 b －a .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知非零向量OA → ，OB → 不共线，且2OP → ＝xOA → ＋yOB → ，若PA → ＝λAB → (λ∈R )，则x ，y 满足的关系式是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x ＋y －2＝0 【解析】选A.由PA → ＝λAB → ， 得OA → －OP → ＝λ(OB → －OA → )， 即OP → ＝(1＋λ)OA → －λOB → . 又2OP→ ＝xOA → ＋yOB → ， 所以⎩⎨⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ， 消去λ得x ＋y ＝2.2．(多选题)(2021·岳阳高一检测)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB∥CD，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．AC → ＝AD → ＋12 AB → B ．MC → ＝12 AC → ＋12 BC →C ．MN → ＝AD → ＋14 AB → D ．BC → ＝AD → －12AB →【解析】选ABD.AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12 AB → ，A 正确；MC →＝MA → ＋AC → ＝12 BA → ＋AC → ＝12 ()BC →－AC → ＋AC → ＝12 AC → ＋12 BC → ，B 正确；MN → ＝MA → ＋AD → ＋DN → ＝－12AB → ＋AD → ＋14 AB → ＝AD → －14 AB → ，C 错误；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝AD → －12 AB → ，D 正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．方格纸中向量a ，b ，c 如图所示，若c ＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．【解析】设水平向右，竖直向上的单位向量分别为e 1，e 2， 则a ＝e 1＋3e 2，b ＝3e 1－e 2，c ＝5e 1＋5e 2， 又c ＝λa ＋μb ，所以⎩⎨⎧λ＋3μ＝5，3λ－μ＝5，所以⎩⎨⎧λ＝2，μ＝1， 即λ＋μ＝3.答案：34．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO → ＝3DM → ，线段CO 上有点N 满足OC → ＝λON → (λ＞0)，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，已知MN → ＝μa －16b ，则λ＝________，μ＝________．【解析】依题意得BD → ＝b －a ，AC →＝a ＋b ，且DM → ＝16 DB → ＝16 (a －b )＝16 a －16 b ，AN →＝AO → ＋ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )，所以AM → ＝AD → ＋DM → ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16 a ＋56 b ，AN → ＝AM → ＋MN → ＝16 a ＋56 b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μa －16b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，即AN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝3，μ＝12．答案：312三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23 AD → ，AB →＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】(1)延长AD 到点G ，使AG → ＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG → ＝a ＋b ，AD → ＝12 AG → ＝12 (a ＋b )，AE → ＝23 AD → ＝13 (a ＋b )，AF →＝12 AC → ＝12b ，BE → ＝AE → －AB → ＝13 (a ＋b )－a ＝13 (b －2a )，BF → ＝AF → －AB → ＝12 b －a ＝12 (b－2a ).(2)由(1)知，BE →＝23 BF → ，所以BE → ，BF → 共线．又BE → ，BF → 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．6．(2021·六盘山高一检测)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF → ＝λAB → ＋μAD →，求λ＋μ的值． (2)若AB ＝2，当AE → ·BF → ＝1时，求DF 的长．【解析】(1)因为点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点， 所以CF → ＝－13 DC → ＝－13 AB → ，EC → ＝12 BC → ＝12 AD → ，所以EF → ＝EC → ＋CF → ＝－13 AB → ＋12 AD →，所以λ＝－13 ，μ＝12 ，故λ＋μ＝－13 ＋12 ＝16.(2)设CF → ＝λCD → ，则BF → ＝BC → ＋CF → ＝AD → －λAB → ，又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋12AD →，AB → ·AD → ＝0，所以AE → ·BF → ＝(AB → ＋12 AD → )·(AD → －λAB → )＝－λAB → 2＋12 AD → 2＝－4λ＋2＝1，故λ＝14 ，所以DF ＝(1－λ)×2＝32.7、平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量a ＝(1，2)，a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(5，6) D ．(2，0) 【解析】选D.b ＝(3，2)－a ＝(3，2)－(1，2)＝(2，0).2．已知AB → ＝(－2，4)，则下面说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是(－2，4) B ．B 点的坐标是(－2，4)C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知．当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4).故D 项说法正确．3．(2021·淮安高一检测)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量AC → ＝(2，1)，则向量BC → ＝( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0)【解析】选A.AB → ＝(2，2)，AC → ＝(2，1)； 所以BC → ＝AC → －AB → ＝(0，－1). 【加固训练】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB → ＝(2，4)，AC → ＝(1，3)，则DA → ＝( )A ．(2，4)B ．(3，5)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 【解析】选C.DA → ＝－AD → ＝－BC → ＝－(AC → －AB → )＝(1，1).4．(2021·开封高一检测)已知M(3，－2)，N(5，－1)，若NP → ＝MN →，则P 点的坐标为( )A ．(3，2)B ．(3，－1)C ．(7，0)D ．(1，0)【解析】选C.设点P 的坐标为(x ，y)，则NP → ＝(x －5，y ＋1)，MN → ＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，由NP → ＝MN → ，所以(x －5，y ＋1)＝(2，1)，解得x ＝7，y ＝0；所以点P(7，0).二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·长沙高一检测)如图所示，在平面直角坐标系中，CD → ＝(2，－3)，则点D 的坐标为________．【解析】设点D 的坐标为(x ，y)，则CD → ＝OD → －OC →＝(x －2，y －4)＝(2，－3)， 即⎩⎨⎧x －2＝2y －4＝－3，解得x ＝4，y ＝1； 所以点D 的坐标为(4，1). 答案：(4，1)6．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB → 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x ＝________．【解析】易得AB → ＝(2，0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎨⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB → ，AC → ，BC → ，BD → 的坐标．【解析】正三角形ABC 的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， 所以C(1， 3 )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 ，所以AB → ＝(2，0)，AC →＝(1， 3 )， BC →＝(1－2， 3 －0)＝(－1， 3 )， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 .8．已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R )，C(4，5).若AP → ＝AB → ＋AC → ，试求λ为何值时：(1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第一象限内．【解析】设点P 的坐标为(x ，y)，则AP → ＝(x ，y)－(λ，3)＝(x －λ，y －3)，又因为AB → ＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，AC → ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，所以AP → ＝AB → ＋AC → ＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)， 所以⎩⎨⎧x －λ＝9－2λ，y －3＝2λ－1. 则⎩⎨⎧x ＝9－λ，y ＝2λ＋2. (1)若P 在一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，所以λ＝73 .(2)若P 在第一象限内，则⎩⎨⎧9－λ>0，2λ＋2>0.所以－1<λ<9.所以λ＝73 时，点P 在一、三象限角平分线上；－1<λ<9时，点P 在第一象限内．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知i ，j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA → ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x∈R )，则点A 位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限。
高中数学必修二 第六章 平面向量 章末总结 练习(含答案)
第六章 平面向量一、单选题1．已知向量()1,2a =，向量()3,4b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．2【答案】B【解析】由题意可得：()()2213245,345a b b ⋅=⨯+⨯-=-=+-= ，则：向量a 在向量b 方向上的投影为5cos ,15a b a a b b⋅-〈〉===- . 本题选择B 选项.2．已知向量a ⃗=(1 ， 2)，b ⃗⃗=(x ， 4)，若向量，则x =（ ）A ．2B ．−2C ．8D ．−8 【答案】D【解析】.，故选D.3．已知向量()()1,2,2,t ==-a b ，且a b ∥，则a b +=A BC D ．5【答案】B【解析】根据题意可得()122t ⨯=⨯-，可得4t =-，所以()1,2a b +=--，从而可求得a b +== B.4．在四边形ABCD 中，2AB a b =+，43BC a b =--，55CD a b =--，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】∵86AD AB BC CD a b =++=--，∴2AD BC =，∴AD BC ∥，由题知AB CD ≠，四边形ABCD 是梯形. 故选：C .5．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C ==,又cos cos cos a b cA B C==，所以有tan A tanB tanC ==，即B C A ==. 所以ABC ∆是等边三角形. 故选C6．已知点(8,1),(1,3),A B --若点(21,2)C m m -+在直线AB 上，则实数=m （ ） A ．－12 B ．13C ．－13D ．12【答案】C【解析】向量,AB AC 共线，()()7297,2,29,3,,1323m AB AC m m m m -=--=-+==-+，选C 7．设的内角所对边的长分别为, 若且的面积为2，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵，且的面积为2，∴S Δ=12×a ×c ×sinB =2，即12×1×4√2×sinB =2，∴sinB =√22，∴∠B =450或1350，当B=135°时AC 2=12+(4√2)2−2×1×4√2×cos1350=41，AC =√41，6＜AC ＜7，a +c =1+4√2＜6＜AC （舍）∴AC 2=12+(4√2)2−2×1×4√2×cos450=25，即AC =5，∴AC sinB=AB sinC，即5sin450=4√2sinC，∴sinC =45．8．已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[]1,3- B ．[]2,6-C ．[]0,1D ．[]0,3【答案】B【解析】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OM AB ⊥，由勾股定理可得221OM OA AM=-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MA PM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-.PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-. 故选：B. 二、多选题9．下列四式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的是（ ） A ．()AB CD BC ++B ．()()AB MB CM BC +++C ．()MB AD BM +- D ．()OC OA CD -+【答案】AD【解析】()AB CD BC ++AB BC CD AD =++=，A 正确；()()AB MB CM BC AB MB CM BC AB BC CM MB +++=+++=+++AC CB AB =+=，B 错误； ()2MB AD BM MB AD MB MB AD +-=++=+，C 错误；()AO A OC OA CD OC CD OC CD A O D -+=++=++=，D 正确．故选：AD ．10．已知非零向量1e ，2e ，a ，b 满足122a e e =-，12()b ke e k R =+∈，则以下结论正确的是（ ） A ．若1e 与2e 不共线，a 与b 共线，则2k =- B ．若1e 与2e 不共线，a 与b 共线，则2k = C ．存在k ，使得a 与b 不共线，1e 与2e 共线 D ．不存在k ，使得a 与b 不共线，1e 与2e 共线 【答案】AD【解析】非零向量1e ，2e ，a ，b 满足122a e e =-，12()ke e b k R +=∈若1e 与2e 不共线，a 与b 共线，可得()a b R λλ=∈，即2k λ=，1λ-=，解得2k =-．所以A 正确，B 错误．若1e 与2e 共线，可得12()e me m R =∈，1222(21)a e e m e =-=-，122(1)b ke e km e =+=+，可得a 与b 共线，所以C 错误，D 正确． 故选:AD ．11．若点D ，E ，F 分别为ABC ∆的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CA b =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AD a b =-- B ．12BE a b =+C ．1122CF a b =-+ D ．12EF a =【答案】ABC 【解析】如图，在ABC ∆中，1122AD AC CD CA CB b a =+=-+=--，故A 正确； 12BE BC CE a b =+=+，故B 正确；AB AC CB b a =+=--，1111()2222CF CA AB b b a a b =+=+⨯--=-+，故C 正确；1122EF CB a ==-，故D 不正确．故选：ABC12．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ACD【解析】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+，所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确.三、填空题13．在ΔABC 中，已知三边a,b,c 满足b 2+a 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 【答案】π6【解析】试题分析：∵b 2+a 2−c 2=√3ab ，∴cos∠C =a 2+b 2−c 22ab=√3ab 2ab=√32， 所以在ΔABC 中∠C =π6．14．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若===B c a ,2,3365π，则b ＝ ． 【答案】7【解析】由余弦定理得2222252cos 222cos496b ac ac B π=+-=+-⨯=，所以7b =． 15．在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，则AC DB ⋅=__________． 【答案】-7【解析】在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，,AC AB AD DB AB AD =+=-，则()()229167AC DB AB ADAB AD AB AD ⋅=+-=-=-=-.16．若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= . 【答案】5【解析】由题意可知：，所以.17．已知向量a 、b 满足：1a =，6b =，()2a b a ⋅-=.求：（1）向量a 与b 的夹角； （2）2a b -.【答案】（1）3π；（2） 【解析】（1）设向量a 与b 的夹角为θ，a ⃗∙b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=6cosθ， ∴a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙(b ⃗⃗−a ⃗)=a ⃗∙b ⃗⃗−a ⃗2=6cosθ−1=2，解得1cos 2θ=，∵θϵ[0,π]，3πθ∴=； （2）|2a ⃗−b ⃗⃗|=√(2a ⃗−b ⃗⃗)2=√4a ⃗2−4a ⃗∙b ⃗⃗+b ⃗⃗2=√4−12+36=2√7. 18．如图所示，平行四边形AOBD 中，设向量OA a =，OB b =，且13BM BC =，13CN CD =，用,a b 表示OM 、ON 、MN ．【答案】OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a +56b ⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +23b ⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −16b ⃗ 【解析】 ＝－＝a －b ⃗ ∴＝＋＝＋＝＋＝16a +56b ⃗ . 又＝a＋b ⃗ .＝＋＝＋＝＝23a+23b ⃗ ， ∴＝－＝a ＋b ⃗ －a －b ⃗ ＝12a −16b ⃗ .19．已知：、、A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量()()3,cos 1,sin ,1A n A π=+=-，n π⊥ （1）求角A 的大小；（2）若，2,cos 3a B ==，求b 的长.【答案】（1）23A π=（2 【解析】（1）∵()()3,cos 1,sin ,1A n Aπ=+=-，n π⊥，cos 10A A --=cos 1A A +=，整理得：12cos 122A A ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即132sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴566A ππ+=，则23A π=； （2）由cos 3B =，得到sin 3B =，∵2,sin 2a A ==，∴由正弦定理sin sin abA B=得：2sin sin 3a B b A ===.20．已知向量()()4,5cos ,3,4tan ,0,,2a b a b πααα⎛⎫==-∈⊥ ⎪⎝⎭，求： (1)a b +；(2) cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）（2.【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈(0，2π)，所以cos α＝45，tan α＝3cos 4sin αα=，所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b |=(2)cos(α＋4π)＝cos αcos 4π－sin αsin 43455π=-= 21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求C ；（2）若ABC ∆c =ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=；（2）【解析】（1）根据正弦定理sin sin sin sin a A b B c C a B +=+，故222a b c ab +=+ 根据余弦定理2222cos a b c ab C =++，故1cos 2C =，3C π=.（2）1sin 42S ab C ab ===∴=，22210a b c ab +=+=，即()222218,a b a b ab a b +=++=+=22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. （1）求B ；（2）若b =3a =，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求BD 的长度.【答案】（1）3B π=（2）BD =【解析】（1）∵(2,)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，∴(2)cos cos a c B b C -=.即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+= 即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）b =3a =，3B π=，在△ABC 中，由余弦定理得：22229631cos 2232a cbc B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=. 则9c =或6c =-（舍去）.∴222cos2a b c C ab +-===AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∴13DC b == 在△BDC 中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，∴BD =。
高中数学第六章平面向量及其应用 平面向量基本定理课后提能训练新人教A版必修第二册
第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1,e 2是平面内两个向量,则有( ) A ．e 1,e 2一定平行 B ．e 1,e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ,都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)D ．若e 1,e 2不共线,则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R) 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2021年达州模拟)(多选)已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,能作为一组基底的是( )A ．{e 1＋e 2,e 1－e 2}B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1}C ．{e 1＋2e 2,e 2＋2e 1}D ．{e 2,e 1＋e 2}【答案】ACD【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2),∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线．A 、C 、D 选项均可．3．(2021年福建模拟)设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2xe 2,则实数x ,y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4【答案】D【解析】因为e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3,y ＝4.4．(2021年天津期末)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD →＝2DC →,设AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →可用基底a ,b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b ) 【答案】C【解析】AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(AC →－AB →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C ．5．如图,在正方形ABCD 中,点E 满足AE →＝ED →,点F 满足CF →＝2FB →,那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在△ABC 的边BC 上,且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85 D ．45 【答案】C【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45,s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85. 7．设{e 1,e 2}是平面内的一个基底,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 8．如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝______．【答案】34【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →,所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12,μ＝14,λ＋μ＝34. 9．如图所示,D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →,AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点, 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ,b }可以作为一个基底； (2)以{a ,b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R),则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线,{a ,b }可以作为一个基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ,n ∈R),则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．(2021年南通模拟)(多选)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法错误的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ,μ有无数多对C ．若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ,μ,使λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理,可知A,D 说法正确,B 说法错误．对于C,当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时,这样的λ有无数个,故C 说法错误．12．(2021年上海模拟)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,若BE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ＝( )A ．－34B ．－12C ．34D ．1【答案】B【解析】∵AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,∴BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∵BE →＝λAB →＋μAC →,∴λ＝－34,μ＝14,∴λ＋μ＝－12,故选B ．13．(2021年杭州模拟)已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0,＋∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】AB→|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0,＋∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14．若OP 1→＝a ,OP 2→＝b ,P 1P →＝λPP 2→,则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb1＋λ【答案】D【解析】∵P 1P →＝λPP 2→,∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →),(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a1＋λ.15．△ABC 中,D 为AC 上的一点,满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点,满足AP →＝mAB →＋nAC→(m >0,n >0),则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】11616【解析】因为AD →＝13DC →,所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAD →.因为B ,P ,D 三点共线,所以m ＋4n ＝1,则4mn ≤（m ＋4n ）24＝14,则mn ≤116,即mn 最大值为116,当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n＝(m ＋4n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n＋8≥216＋8＝16,当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116,16.16．已知平行四边形ABCD 中,E 为CD 的中点,AP →＝yAD →,AQ →＝xAB →,其中x ,y ∈R,且均不为0.若PQ →∥BE →,则xy＝________．【答案】12【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →,由PQ →∥BE →,可设PQ →＝λBE →,即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD 中,已知AB →＝a ,AD →＝b ,E 、F 分别是边CD 和BC 上的点,满足DC →＝3DE →,BC →＝3BF →.(1)分别用a ,b 表示向量AE →,AF →；(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,求出λ＋μ的值．解：(1)AE →＝AD →＋13DC →＝13a ＋b ,AF →＝AB →＋13BC →＝a ＋13b .(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,则λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a ＋b ,∴⎝⎛⎭⎪⎫λ3＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ3b ＝a ＋b .∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＋μ＝1，λ＋μ3＝1，解得λ＋μ＝32.18．(2021年天门模拟)如图所示,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,BM ＝23BC ,AN ＝14AB ．(1)试用向量a ,b 来表示DN →,AM →； (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值．解：(1)因为AN ＝14AB ,所以AN →＝14AB →＝14a ,所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ,所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ,所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ,O ,M 三点共线,所以AO →∥AM →,设AO →＝λAM →,则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λa ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ,O ,N 三点共线,所以DO →∥DN →,存在实数μ使DO →＝μDN →,则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ,b 不共线,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →,OM →＝1114AM →,所以AO ∶OM ＝3∶11.C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45 D ．54【答案】C【解析】(方法一)连接AC (图略),由AB →＝λAM →＋μAN →,得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC→＋AB →),则μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AC →＝0,得μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AD →＋12AB →＝0,得14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →,AD →不共线,所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN 并延长,交AB 的延长线于点T ,由已知易得AB ＝45AT ,所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ,M ,N 三点共线,所以λ＋μ＝45.20．如图,在△ABC 中,设AB →＝a ,AC →＝b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP →＝ma ＋nb ,则m ＝________,n ＝________．【答案】27 47【解析】根据已知条件,得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ,CR →＝BR→－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ,∴QP →＝m 2a ＋n 2b ,RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ,RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47.。
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.1平面向量的概念含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.1平面向量的概念含解析第六章平面向量及其应用6．1平面向量的概念[目标] 1。
记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念,并能找共线向量．[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念,会表示向量．[难点］向量的概念，平行向量．要点整合夯基础知识点一向量的概念和表示方法[填一填］1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具—-有向线段．有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．(2)表示方法:向量可以用有向线段错误!表示,向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或称模），记作｜错误!|。
向量可以用字母a,b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：错误!，错误!.［答一答]1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．2．两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．知识点二向量的长度（或称模）与特殊向量[填一填］1．向量的长度定义：向量的大小．2．向量的长度表示:向量错误!的长度记作：|错误!｜;向量a的长度记作：|a｜.3．特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．［答一答］3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗?提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．知识点三相等向量与共线向量［填一填]1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b。
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果向量a，b 平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此，平行向量也叫做共线向量．3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 平面向量的概念含配套练习答案
6．1 平面向量的概念问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )(5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量． 解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量． 解：画出图形，如图所示．(1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →. (3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D.4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE 綊FD ， 所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ， 所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →， 如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．6．2 平面向量的运算 6．2.1 向量的加法运算问题导学预习教材P7－P10的内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＋BA →＝( )A ．aB ．bC ．0D ．a ＋b答案：B在正方形ABCD 中，|AB →|＝1，则|AB →＋AD →|＝________． 答案： 2平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ， 则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ； (3)再作向量OD →＝c ； (4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .解：(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)． (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)． (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．平面向量的加法运算化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB → ＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．1．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．2.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解：(1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →.由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)，其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →解析：选B.OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13. 答案：134.已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →； (2)DE →＋BA →.解：(1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ， 则向量AF →为所求．(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →解析：选A.因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析：选B.由正六边形知FE →＝BC →， 所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向 B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向 C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向 D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________． 解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形， 又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1， 所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 答案：18．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |. 其中正确的是________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．答案：①③9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状： (1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形， 连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ， 设垂足为D . 因为∠AOB ＝60°， 所以AB ＝|OA →|＝3. 所以在Rt △BDC 中，CD ＝332. 所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.[B 能力提升]11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( ) A ．|AB →＋CD →|>|AB →| B ．|AB →＋CD →|≥|CD →| C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝______.解析：因为P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， 所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.因此∠ACB ＝120°. 答案：120°13．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ， 所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|. ②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③14．如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →， 因为e 为单位向量，所以点B 在以点A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.[C 拓展探究]15．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．2.2 向量的减法运算问题导学预习教材P11－P12的内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． (3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.( ) (2)两个相反向量之差等于0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( )(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0答案：C设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量在平行四边形ABCD 中，向量AB →的相反向量为________． 答案：BA →，CD →向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法1．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④解析：选A.因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B.故选A.2．化简下列向量表达式： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．解：(1)OM →－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →.向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ， 连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ， 则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC →＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .。
人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (22)(含答案解析)
必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (22)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的中点，写出与DF⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量．2. 某人从A 点出发向西走了200 m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了400 m 到达C 点，然后又改变方向向东走了200 m 到达D 点．(1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 cm 表示200 m)；(2)求DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模．3. 已知平面上点A(4,1)，B(3,6)，D(2,0)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)若点M(−1,4)，用基底{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)是否存在常数k ，使得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．5. 已知a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(4,−2)．(1)当a ⃗ //b⃗ 时，求x 的值； (2)当a ⃗ ⊥b ⃗ 时，求|2a ⃗ −b ⃗ |．6. 设向量a ⃗ =(cos2x,cosx )，b ⃗ =(2sinx,√3)，c ⃗ =(2−2sinx,−5√3)，x ∈[0,π3]．(1)若a⃗//b⃗ ，求|c⃗|的值；(2)设f(x)=a⃗⋅(b⃗ +c⃗ )，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．7.已知向量、的夹角为π，且|a→|=1，|b→|=√2．(1)求|a→+b→|的值；4(2)求a→与a→+b→的夹角的余弦．8.已知向量a⃗，b⃗ 满足：|a⃗|=2，|b⃗ |=4，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=−8．(1)求a⃗与b⃗ 的夹角；(2)求|a⃗−2b⃗ |．9.设平面上有两个向量a⃗=(cosα,sinα)(0°≤α<360°)，b⃗ =(−12,√3 2)(1)求证：向量a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 垂直；(2)当向量√3a⃗+b⃗ 与a⃗−√3b⃗ 的模相等时，求α的大小．10.已知向量m⃗⃗⃗ =(sin α−2,−cos α),n⃗=(−sin α,cos α),其中α∈R(1)若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗,求角α；(2)若|m⃗⃗⃗ −n⃗|=√2,求cos2α的值。
人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (1)(含答案解析)
必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (1)一、解答题（本大题共29小题，共348.0分）1.已知两个不共线的向量a⃗,b⃗ 夹角为θ，且|a⃗|=3,|b⃗ |=1，x为正实数．(1)若(a⃗+2b⃗ )(a⃗−4b⃗ )=0，求cosθ的值；(2)若θ=π，求|x a⃗−b⃗ |的最小值及对应的x的值，并指出此时向量a⃗与x a⃗−b⃗ 的位置关系．6(3)若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x a⃗−b⃗ |=|m a⃗|两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．2.已知非零向量a⃗ ，b⃗．(1)若|a⃗ |=√7+1，|b⃗|=√7−1，且|a⃗ −b⃗|=4，求|a⃗ +b⃗|的值；(2)若|a⃗ |=|b⃗|=1，且|a⃗ −b⃗|=√2，求|a⃗ +b⃗|．3. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是边AB 的中点．(1)求GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n b ⃗ ，求证：1m +1n =3．4. 已知向量a ⃗ =(cos 32x,sin 32x)，b ⃗ =(cos x 2,−sin x 2)，其中x ∈[0,π2]. (1)求a ⃗ ·b ⃗ 及｜a⃗ +b ⃗ ｜； (2)若f(x)=a ⃗ ·b ⃗ −2λ｜a ⃗ +b ⃗ ｜的最小值是−32，求λ的值．5. 已知点A(1,−2)和向量a⃗ =(2,3)． (1)若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 同向，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，求点B 的坐标；(2)若向量a ⃗ 与向量b ⃗ =(−3,k)的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．6.已知向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(2,1)，c⃗=(3,−1)，t∈R．(1)求|a⃗+t b⃗ |的最小值；(2)若a⃗−t b⃗ 与c⃗共线，求t的值．7.已知：a⃗、b⃗ 、c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗=(1,2)(1)若|c⃗|=2√5，且c⃗//a⃗，求c⃗的坐标；(2)若b⃗ =(1,1)，且a⃗与a⃗+λb⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．8.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为 135°，且|a⃗|=√2，|b⃗ |=2，c⃗=a⃗+x b⃗ (其中x∈R)。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (52)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 A ={与a ⃗共线的向量}，B ={与a ⃗长度相等的向量}，C ={与a ⃗长度相等,方向相反的向量}，其中 a ⃗ 为非零向量，则下列关系中错误的是 ( ) A ． C ⫋A B ． A ∩B ={a ⃗}C ． C ⫋BD ． A ∩B ⫌{a ⃗}2. 向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． (−2,−4) B ． (2,4) C ． (6,10)D ． (−6,−10)3. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 a ⃗⋅(a ⃗+b ⃗⃗)=2，且 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，则向量 a ⃗，b ⃗⃗ 的关系是 ( ) A ．互相垂直 B ．方向相同 C ．方向相反D ．夹角为 120∘4. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=e 1⃗⃗⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5e 1⃗⃗⃗⃗，且 ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，则四边形 ABCD 是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形5. 已知平行四边形 ABCD ，则下列各组向量中，可以表示该平面内所有向量的基底的是 ( ) A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ． BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 已知向量 a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(0,1)，则 a ⃗−2b⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． (−1,1)B ． (−1,0)C ． (−1,4)D ． (−2,3)7. 若从平行四边形 ABCD 的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为 ( ) A ． 6 B ． 8 C ． 10 D ． 128. 在平行四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ． CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ． BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ． DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗9. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 5710. 已知 a ⃗=(4,2)，b ⃗⃗=(3,9)，则 a ⃗ 在 a ⃗−b⃗⃗ 方向上的投影为 ( )A．−√2B．−√5C．−√22D．−√103二、填空题（共6题）11.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(m,2)，且a⃗⋅b⃗⃗=1，则m的值为，a⃗与b⃗⃗夹角的余弦值等于．12.思考辨析，判断正误若b⃗⃗=λa⃗，则a⃗与b⃗⃗共线．( )13.已知平面向量a⃗=(32,2)，b⃗⃗=(2x−1,4)，若a⃗∥b⃗⃗，则∣b∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=．14.当时，λa⃗=0⃗⃗．15.思考辨析，判断正误．若a⋅b<0，则a与b的夹角为钝角．( )16.若向量a⃗，b⃗⃗满足∣a⃗∣=4，∣b⃗⃗∣=2√2，(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=8，则a⃗，b⃗⃗的夹角为，∣a⃗+b⃗⃗∣=．三、解答题（共6题）17.已知∣a⃗∣=3，∣∣b⃗⃗∣∣=4，a⃗和b⃗⃗的夹角120∘，求∣∣2a⃗+3b⃗⃗∣∣．18.如图，已知a⃗，b⃗⃗，求作a⃗−b⃗⃗．19.如图，半圆的直径AB=6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD=1，BE=4，DE=3．(1) 求证：向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2) 求 ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣．20. 如图所示的方格纸是由若干个边长为 1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有 A ，B 两个定点，点 C 为小正方形的顶点，且 ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=√5．(1) 作出所有的向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗． (2) 求 ∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 的最大值与最小值．21. 已知四边形 ABCD 的四个顶点坐标为 A (1,1)，B (2,0)，C (3,1)，D (2,2)．用向量的方法证明：四边形 ABCD 是正方形．22. 已知点 A (−1,1)，B (2,y )，向量 a ⃗=(1,2)，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥a ⃗，则实数 y 的值为 ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 A ∩B 中含有与 a ⃗ 长度相等、方向相反的向量，所以B 选项错误． 【知识点】平面向量的概念与表示2. 【答案】B【解析】 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)． 【知识点】平面向量和与差的坐标运算3. 【答案】C【解析】设向量 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为 θ， 则 a ⃗⋅(a ⃗+b ⃗⃗)=a ⃗2+a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣2+∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cosθ=2， 即 4+2cosθ=2， 得 cosθ=−1． 因为 0∘≤θ≤180∘， 所以 θ=180∘．因此，向量 a ⃗，b ⃗⃗ 方向相反． 【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】C【知识点】平面向量的数乘及其几何意义5. 【答案】D【解析】因为平行四边形 ABCD 所在平面内，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可以是一组基底． 【知识点】平面向量的分解6. 【答案】B【知识点】平面向量和与差的坐标运算7. 【答案】B【解析】如图，两两互不相等的向量有：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，共 8 个．故选B ．【知识点】平面向量的概念与表示8. 【答案】A【解析】因为 ABCD 为平行四边形，故 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义9. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53． 【知识点】正弦定理10. 【答案】A【解析】因为 a ⃗=(4,2)，b⃗⃗=(3,9)， 所以 a ⃗−b⃗⃗=(1,−7)， 所以 a ⃗ 在 a ⃗−b ⃗⃗ 方向上的投影为 a ⃗⃗⋅(a ⃗⃗−b ⃗⃗)∣∣a⃗⃗−b ⃗⃗∣∣=√12+(−7)2=5√2=−√2． 故选：A ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】−1；√1010【知识点】平面向量数量积的坐标运算12. 【答案】 √【知识点】平面向量的数乘及其几何意义13. 【答案】 5【解析】因为 a ⃗∥b⃗⃗， 所以 x =2，则 b ⃗⃗=(3,4)，故 ∣b ∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=5． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗【解析】若 λa ⃗=0⃗⃗，则 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义15. 【答案】 ×【知识点】平面向量的数量积与垂直16. 【答案】3π4； 2√2【解析】依题意 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=8，a ⃗2+a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣2+∣a ⃗∣⋅∣b ⃗⃗∣⋅cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=8， 解得 cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩=−√22， 所以 ⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=3π4．∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√(a ⃗+b ⃗⃗)2=√a ⃗2+2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=√∣a ⃗∣2+2⋅∣a ⃗∣⋅∣b ⃗⃗∣⋅cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩+∣b ⃗⃗∣2=2√2.【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】∣∣2a ⃗+3b ⃗⃗∣∣=√(2a⃗+3b ⃗⃗)2=√4a ⃗2+12a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2=6√3.【知识点】平面向量的数量积与垂直18. 【答案】如图，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的 a ⃗−b⃗⃗． 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义19. 【答案】(1) 由题意知，在 △BED 中，BD =5，DE =3，BE =4， 所以 ∠DEB =90∘．又点 C 为半圆上一点，则 ∠ACB =90∘．所以 AC ∥DE ，故 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． (2) 由 AC ∥DE 知 △ABC ∽△DBE ． 所以 ACDE =ABBD ，即 AC 3=65．所以 AC =185，即 ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=185．【知识点】平面向量的概念与表示20. 【答案】(1) 作出所有的向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，如图所示． (2) 由（1）所画的图知，①当点 C 位于点 C 1 或 C 2 时，∣BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 取得最小值，为 √12+22=√5； ②当点 C 位于点 C 5 或 C 6 时，∣BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 取得最大值，为 √42+52=√41． 所以 ∣BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 的最大值为 √41，最小值为 √5． 【知识点】平面向量的分解、平面向量的概念与表示21. 【答案】因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)，DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1)， 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以四边形 ABCD 是平行四边形，又 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0， 所以平行四边形 ABCD 是矩形，又 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣， 所以矩形 ABCD 是正方形． 【知识点】平面向量的数量积与垂直22. 【答案】 7【知识点】平面向量数乘的坐标运算。
高中数学人教A版(2019)必修二 第六章 平面向量基本定理
高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量基本定理一、单选题(共12题；共60分)1．（5分）已知 AB⇀=(5,−3) ， C(−1,3) ， CD ⇀=2AB ⇀ ，则点 D 的坐标是（ ） A ．(11,−3) B ．(9,−3) C ．(9,3) D ．(4,0)2．（5分）已知向量 a ⇀,b ⇀ 满足 |a ⇀|=5,|b ⇀|=4,|b ⇀−a ⇀|=√61 ,则 a ⇀ 与 b ⇀ 的夹角 θ= ( ) A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．（5分）若向量 a ⇀=(1，1) ， b ⃗ =(1,−1) ， c ⃗ =(−1，2) ，则用 a ⃗ ,b ⃗ 表示 c ⃗ 为（ ） A ．c ⃗ =12a ⃗ −32b ⃗ B ．c ⃗ =−12a ⃗ +32b ⃗ C ．c ⃗ =32a ⃗ −12b ⃗ D ．c ⃗ =−32a ⃗ +12b⃗ 4．（5分）已知 A(3,−1) ， B(3,2) ， O 为坐标原点， OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R) .点 P 在 x 轴上，则 λ 的值为（ ） A ．0B ．1C ．−1D ．−25．（5分）在下列向量组中，可以把向量 a ⃗ =(3，2) 表示出来的是（ ）A ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(0，0) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(−1，2) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(5，−2)C ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(3，5) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(6，10)D ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(2，−3) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(−2，3)6．（5分）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则 AF⇀= （ ）A ．34AB⇀+14AD ⇀ B ．14AB ⇀+34AD ⇀ C ．12AB ⇀+AD ⇀ D ．34AB ⇀+12AD ⇀ 7．（5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ， |a +b ⃗ |=m|a | ，若 a ⃗ +b ⃗ 与 a ⃗ −b ⃗ 的夹角为 2π3，则m 的值为 ( )A ．2B ．√3C ．1D ．128．（5分）在平面内，已知向量 a ⇀=(1,0) ， b ⇀=(0,1) ， c ⇀=(1,1) ，若非负实数 x,y,z 满足 x +y +z =1 ，且 p ⇀=xa ⇀+2yb ⇀+3zc ⇀ ，则（ ） A ．|p ⇀| 的最小值为 2√55B ．|p ⇀| 的最大值为 2√3C ．|p ⇀| 的最小值为 √55D ．|p ⇀| 的最大值为 3√39．（5分）已知 △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值是 ( ) A ．−2B ．−32C ．−43D ．−110．（5分）已知 a ⇀=(−1，√3)，|b⇀|=5 ，且 a ⇀⋅b ⇀=10 ，则向量 b ⇀ 在向量 a ⇀ 方向上的投影（ ） A ．2B ．5C ．4D ．1011．（5分）如图：正方形 ABCD 中， E 为 DC 中点，若 AD⇀=λAC ⇀+μAE ⇀ ，则 λ−μ 的值为 （ ）A ．-3B ．1C ．2D ．312．（5分）在梯形 ABCD 中，已知 AB ∥CD ， AB =2CD =2 ， AD ⇀|AD ⇀|•AB ⇀|AB ⇀|=12 ，动点 E 和F 分布在线段 CD 和 BC 上，且 BA⇀•BE ⇀ 的最大值为 72，则 AC ⇀•AF ⇀ 的取值范围为（ ） A ．[74，52]B ．[32，72]C ．(−54，3]D ．[54，4]二、多选题(共2题；共10分)13．（5分）在下列向量组中，不能把向量 a ⃗ =(3,2) 表示出来的是（ ） A ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2) B ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(−1,2) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(5,−2) C ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(3,5) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(6,10)D ．e 1⃗⃗⃗⃗ =(2,−3) ， e 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)14．（5分）设 a ⃗ 、 b ⃗ 、 c ⃗ 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．0⃗ ⋅a ⃗ =0⃗ B ．(a ⋅b ⃗ )⋅c =a ⋅(b ⃗ ⋅c )C ．a ⃗ ⋅b ⃗ =0⇒a⃗ ⊥b ⃗D．(a+b⃗)⋅(a−b⃗)=|a |2−|b⃗|2三、填空题(共4题；共20分)15．（5分）已知a⇀=(2,0)，b⇀=(1,2)，实数λ满足|a⇀−λb⇀|=√5，则λ=.16．（5分）若两个非零向量a⃗、b⃗满足|a+b⃗|=|a−b⃗|=2|a |，则向量a⃗与a⃗+b⃗的夹角为．17．（5分）已知向量a⃗=(m,1)，b⃗=(3,3).若(a−b⃗)⊥b⃗，则实数m=. 18．（5分）平面向量a⃗=(√3，−1)，b⃗=(x，y)(x>0)，|b⃗|=1．若对任意实数t都有|ta−b⃗|≥1，则向量b⃗=.四、解答题(共6题；共60分)19．（8分）已知|a |=4，|b⃗|=3，(2a−3b⃗)⋅(2a+b⃗)=61.（1）（3分）求a⃗与b⃗的夹角θ；（2）（5分）求|a−b⃗|.20．（10分）已知a⃗=(cosα,sinα)，b⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π.（Ⅰ）求证：向量a⃗+b⃗与a⃗−b⃗垂直；（Ⅱ）若ka+b⃗与a⃗−kb⃗的模相等，求β−α的值（其中k为非零实数）.21．（10分）已知向量a⃗，b⃗，c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗=(1，−1).（Ⅰ）若|c|=3√2，且c⃗//a⃗，求向量c⃗的坐标；（Ⅱ）若|b⃗|=1，且a⃗⊥(a⃗−2b⃗)，求a⃗与b⃗的夹角θ.22．（10分）已知两个单位向量a⇀，b⇀的夹角为60°.（1）（5分）若c⇀=λa⇀+(3−λ22)b⇀(λ∈R)，且b⇀⋅c⇀=0，求λ的值；（2）（5分）求向量a⇀+b⇀在b⇀方向上的投影.23．（10分）已知向量a⃗=(−3,2),b⃗=(2,1),c⃗=(3,−1),t∈R.（1）（5分）求|a+tb⃗|的最小值及相应的t值；（2）（5分）若a⃗−tb⃗与c⃗共线，求实数t.24．（12分）已知OA⇀=(−1，1)，OB⇀=(0，−1)，OC⇀=(1，m)(m∈R).（1）（5分）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）（7分）证明：对任意实数m，恒有CA⇀⋅CB⇀≥1成立.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】设点D(x,y)，所以 CD ⇀= （x+1,y-3）， 2AB ⇀ =（10，-6），所以 {x +1=10y −3=−6 ，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）. 故答案为：B【分析】设点D(x,y)，根据向量的坐标运算得到 CD ⇀= （x+1,y-3）， 2AB ⇀ =（10，-6），根据向量相等的概念得到x=9,y=-3，进而得到结果.2．【答案】B【解析】【解答】由 |b ⃗ −a |=√61 有 (b ⃗ −a ⃗ )2=61⇒a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b⃗ +b ⃗ 2=61⇒25−2×5×4cosθ+16=61 .解得 cosθ=−12.因为 θ∈[0,180°] ,故 θ= 120°.故答案为：B【分析】将 |b ⃗ −a |=√61 两边平方求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】设 c ⃗ =x 1a ⃗ +x 2b⃗ ， 因为向量 a ⇀=(1，1) ， b⃗ =(1,−1) ， c ⃗ =(−1，2) ， 所以 (−1,2)=(x 1+x 2,x 1−x 2) ,{x 1+x 2=−1x 1−x 2=2,解得 {x 1=12x 2=−32 所以 c ⃗ =12a ⃗ −32b ⃗ ,故答案为：A【分析】利用向量的坐标运算和向量的坐标表示结合平面向量基本定理求出用 a ⃗ ,b⃗ 表示 c ⃗ 的式子。
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念练习含解析新人教A版必修第二册
第六章 6.1A 级——基础过关练1．下列说法中，正确的个数是( ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B 【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【答案】ABC 【解析】很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D ．AD →＝FC →【答案】D 【解析】由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →，FC →的方向不同，故AD →≠FC →.故选D ．4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A ．AD →与CB → B ．OB →与OD →C ．AC →与BD → D ．AO →与OC →【答案】D 【解析】∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，则AO ＝OC ，即AO →＝OC →. 5．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________，与OA →相等的向量是________．【答案】2 CO → 【解析】易知|OA →|＝12|CA →|＝12×22＝2，CO →与OA →的模相等，方向相同．6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________(填序号)．【答案】①③④ 【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．【答案】3π 【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π. 8．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．解：(1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →.(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →. (3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3.9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个？(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？ 解：(1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级——能力提升练10．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →【答案】D 【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.11．(多选)如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法正确的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰为DA →的模的3倍 D ．CB →与DA →不共线【答案】ABC 【解析】由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项A ，B 正确；而Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB →与DA→是共线的，故选项D 错误．12．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【答案】梯形 【解析】∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ．∴四边形ABCD 是梯形．13．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.【答案】23 【解析】易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.14．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ．若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．【答案】32【解析】如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.15．设向量a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a |a |＋b |b |＋c|c |，试探讨|p |的取值范围．解：因为a |a |，b |b |，c|c |是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p |取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p |的最小值为0.并且|p |随着向量a ，b ，c 的变化而变化，可以取到0到3之间的一个值，因此|p |的取值范围[0,3]．16．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解：(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．C 级——探索创新练17．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A 处跳到A 1处，用向量AA 1→表示马走了“一步”，也可以跳到A 2处，用向量AA 2→表示．请在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解：如图，马在B 处只有3步可走，马在C 处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．。
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必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (26)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1. 已知向量a ⃗ =(cosα,1+sinα)，b ⃗ =(1+cosα,sinα)，α∈[0,π]．(1)若|a ⃗ +b ⃗ |=2，求sinα−cosα的值；(2)设c ⃗ =(−cosα,m +sinα)，m ∈R ，求(a ⃗ +c ⃗ )⋅b ⃗ 的最大值．2. 已知空间三点A(−2,0，2)，B(−1,1，2)，C(−3,0，4)，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若|c ⃗ |=3，c ⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求c⃗ ； (2)若k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −2b ⃗ 互相垂直，求k ；(3)若向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +k b ⃗ 平行，求k ．3. 在锐角ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知3cos2C =2sin (A +B )−1．(1)求cosC ；(2)若边AB上的中线CD=1，a+b=√5，求ΔABC的面积．4.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=3，(2a⃗−3b⃗ )·(2a⃗+b⃗ )=61．(1)求a⃗与b⃗ 的夹角θ；(2)求|a⃗+b⃗ |.5.已知向量a⃗=(2cosθ,sinθ)，b⃗ =(1,−2)．(1)若a⃗//b⃗ ，求3sinθ−2cosθ的值；2sinθ+cosθ(2)若θ=45°，2a⃗−t b⃗ 与√2a⃗+b⃗ 垂直，求实数t的值．6. 已知点P (1,32)，a ⃗ =(x −1,y )，b ⃗ =(x +1,y )且|a ⃗ |+|b ⃗ |=4，满足条件的Q (x,y )点的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在过点(0,−1)的直线l ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，使得|PM|=|PN|?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．7. 已知：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,k),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)．(1)若A 、C 、D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值．8. 设直线l:(3+2λ)x +(4+λ)y −6λ−19=0(λ∈R)(1)求证：直线l 恒过定点M ，并求出定点M 坐标；(2)设直线l 与x 轴､y 轴的正半轴交于点A ，B ，求当|MA |⋅|MB |(点M 为(1)中的定点)取得最小值时直线l 的方程．9.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)求对角线AC1的长；(3)求二面角C1−AB1−D1的平面角的余弦值的大小．10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,sinA)，向量n⃗=(√2−sinA,cosA)，|m⃗⃗⃗ +n⃗|=2．(1)求角A的大小；(2)若b =4√2，c =√2a ，求c ．11. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,1)．(1)若，求实数x 的值；(2)若，求与的夹角．12. 已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求a ⃗ 和b⃗ 的夹角θ的余弦值： (2)若向量(k a ⃗ +b ⃗ )，(k a ⃗ −2b ⃗ )互相垂直，求k 的值．13.已知平面向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(2x+3,−x)(x∈R)．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求x的值；(2)若a⃗//b⃗ ，求|a⃗−b⃗ |..14.已知两个不共线的向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,√3)，b⃗ =(cosθ,sinθ)，θ∈R．(1)若2a⃗−b⃗ 与a⃗−7b⃗ 垂直，求|a⃗+b⃗ |的值；]时，若存在两个不同的θ使得|a⃗+√3b⃗ |=|m a⃗|成立，求正数m的取值范围．(2)当θ∈[0,π215.已知|a⃗|=√2，|b⃗ |=2，向量a⃗，b⃗ 的夹角为135°．(1)求|a⃗+b⃗ |；(2)当|a⃗+x b⃗ |取得最小值时，求实数x的值；(3)当|a⃗+x b⃗ |取得最小值时，求a⃗+x b⃗ 与b⃗ 的夹角的大小．16.已知向量a⃗=(cos3x2,sin3x2)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[−π3,π4]．(1)求a⃗·b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗·b⃗ −|a⃗+b⃗ |，求f(x)的最大值和最小值．17.已知向量a⃗=(sinx,1)，b⃗ =(12,cosx)，其中x∈(0,π)．(1)若a⃗//b⃗ ，求x的值；(2)若tanx=−2，求|a⃗+b⃗ |的值．18. 如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C ．(1)当C 为圆弧AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)当C 在圆弧AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．19. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t)(t ∈R)，O 是坐标原点． (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值．(2)当t 取何值时，MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值，并求出最小值．20. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2) (Ⅰ)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，，求x,y 的值；(Ⅱ)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．21. 在平面内，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．22. 已知向量a →=(4,3)，b →=(1,2)，(1)设a →与b →的夹角为θ，求cosθ的值；(2)若a →−λb →与2a →+b →平行，求实数λ的值．23. 已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为2x +y =0，且顶点到渐近线的距离为2√55．(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△AOB 的面积．(O 为坐标原点)．24. 设向量a ⃗ =(cosx,1)，b ⃗ =(√3,4sinx)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求tanx 的值；(2)若(a ⃗ +b ⃗ )//b ⃗ ，且x ∈[0,π4]，求向量b ⃗ 的模．25. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)．(1)求|3a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若，求λ的值．26.已知向量a⃗=(2,1，−2)，c⃗=(−1,0，1)，若向量b⃗ 同时满足下列三个条件： ①a⃗⋅b⃗ =−1; ②|b⃗ |=3; ③b⃗ 与c⃗垂直．(1)求向量b⃗ 的坐标;,1)共线，求向量a⃗−b⃗ 与2b⃗ +3c⃗夹角的余弦值．(2)若向量b⃗ 与向量d⃗=(1,−1227.已知平面向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(2x+3,−x)，x∈R．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求x的值；(2)若a⃗//b⃗ ，求|a⃗−b⃗ |.28.已知向量a⃗=2e1⃗⃗⃗ −3e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，其中e1⃗⃗⃗ =(1,1)，e2⃗⃗⃗ =(0,1)，求：(Ⅰ)a⃗·b⃗ ，|a⃗+b⃗ |；(Ⅱ)a⃗与b⃗ 的夹角的余弦值．29.已知向量a⃗=(−3,2)，b⃗ =(2,1)，c⃗=(3,−1)，m，t∈R．(1)求|a⃗+t b⃗ |的最小值及相应的t的值；(2)若a⃗−m b⃗ 与c⃗共线，求实数m．30.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为12(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM⇀=2MB⇀，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：解：(1)因a⃗+b⃗ =(1+2cosα,1+2sinα)，|a⃗+b⃗ |=√(1)2()2 =√6+4(sinα+cosα)=2，∴sinα+cosα=−1 2两边平方得1+2sinαcosα=14，∴2sinα⋅cosα=−34，则α∈(π2,π)，sinα−cosα>0，又∵(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=1+34=74，故sinα−cosα=√72．(2)因a⃗+c⃗=(0,1+m+2sinα)，∴(a⃗+c⃗ )⋅b⃗ =2sin2α+(m+1)sinα，令t=sinα，t∈[0,1]，令g(t)=2t2+(m+1)t，t∈[0,1]，∵对称轴为t=−m+14 ①当−m+14≤12，即m≥−3时，g(t)max=g(1)=m+3． ②当−m+14>12，即m<−3时，g(t)max=g(0)=0．综上：当m≥−3时，最大值为m+3;当m<−3时，最大值为0．解析：本题主要考查了向量的模及数量积的坐标运算，涉及同角三角函数基本关系式、二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．(1)求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量的模的计算得到sinα+cosα=−12，进而求得结果．(2)先计算(a⃗+c⃗)·b⃗ ，再令t=sinα得到函数g(t)=2t2+(m+1)t，t∈[0,1]，分类讨论求得函数的最大值即可．2.答案：解：(1)点A(−2,0，2)，B(−1,1，2)，C(−3,0，4)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)，由c⃗//BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，设c⃗=(−2x,−x,2x)，且x≠0，∴|c⃗|2=4x2+x2+4x2=9x2=9，解得x=±1，∴c⃗=(2,1，−2)或c⃗=(−2,−1,2)；(2)a⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，b⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，若k a⃗+b⃗ 与k a⃗−2b⃗ 互相垂直，则(k a⃗+b⃗ )⋅(k a⃗−2b⃗ )=0，∴k2a⃗2−k a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0，即k2⋅(12+12+02)−k⋅(−1+0+0)−2⋅[(−1)2+02+22]=0，化简得2k2+k−10=0，解得k=−52或k=2；(3)向量k a⃗+b⃗ =(k−1,k，2)，a⃗+k b⃗ =(1−k,1，2k)，由向量k a⃗+b⃗ 与a⃗+k b⃗ 平行，则{k−1=λ(1−k) k=λ2=2λk，解得k=1或k=−1．解析：(1)根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出c⃗；(2)利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值；(3)根据向量共线定理，列出方程求出k的值．本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是中档题．3.答案：解：(1)因为3cos 2C=2sin (A+B)−1，A+B+C=π，6cos2 C−2sin C−2=0，∵sin2 C+cos2 C=1，∴3sin2 C+sin C−2=0，∵0<C<π2，∴sin C=23，∴cos C=√1−sin2 C=√53；(2)因为CD 是边AB 上的中线，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a 2+b 2+2abcos C =4|CD|2=4，∴(a +b)2−2ab +2√53ab =4， ∵a +b =√5，∴ab =3(3+√5)8， ∴S =12absin C =12×3(3+√5)8×23=3+√58．解析：本题考查三角形面积公式及向量的模、数量积，考查二倍角公式应用，属于中档题．(1)由条件结合同角三角函数关系及二倍角公式可求得cos C ；(2)由CD 是边AB 上的中线，可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合条件可求得ab ，根据三角形面积公式即可求得.4.答案：解(1)因为(2a ⃗ −3b ⃗ )·(2a ⃗ +b ⃗ )=61，所以4|a ⃗ |2−4a ⃗ ·b ⃗ −3|b ⃗ |2=61．又|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，所以64−4a ⃗ ·b⃗ −27=61， 所以a ⃗ ·b ⃗ =−6，所以cos θ=a ⃗ ·b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=−64×3=−12． 又0≤θ≤π，所以θ=23π.(2)|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=|a ⃗ |2+2a ⃗ ·b⃗ +|b ⃗ |2 =42+2×(−6)+32=13，所以|a ⃗ +b ⃗ |=√13．解析：本题考查平面向量数量积运算，考查向量的模的运算，以及向量的夹角运算，属于基础题．(1)由题意求出a⃗·b⃗ =−6，代入cosθ=a⃗ ·b⃗|a⃗||b⃗|即可求解；(2)将|a⃗+b⃗ |两边平方，利用向量的数量积运算求解即可．5.答案：解：(1)∵向量a⃗=(2cosθ,sinθ)，b⃗ =(1,−2)，a⃗//b⃗ ，∴2cosθ1=sinθ−2，∴tanθ=−4，∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．(2)∵θ=45°，∴a⃗=(√2,√22)，∴2a⃗−t b⃗ =(2√2−t,√2+2t)，√2a⃗+b⃗ =(3,−1)，∵2a⃗−t b⃗ 与√2a⃗+b⃗ 垂直，∴(2a⃗−t b⃗ )⋅(√2a⃗+b⃗ )=(2√2−t)×3+(√2+2t)×(−1)=0，解得t=√2．解析：(1)由a⃗//b⃗ ，得tanθ=−4，由3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1，能求出结果．(2)由θ=45°，得a⃗=(√2,√22)，利用向量坐标运算法则求出2a⃗−t b⃗ 和√2a⃗+b⃗ ，再由2a⃗−t b⃗ 与√2a⃗+b⃗ 垂直，能求出t．本题考查三角函数值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行、向量垂直、向量坐标运算法则、同角三角函数关系式的合理运用．6.答案：解：(1)设F1(−1,0)，F2(1,0)，由a⃗=(x−1,y)，b=(x+1,y)，|a⃗|+|b⃗ |=4．可得√(x−1)+y2+√(x+1)2+y2=4，即为|QF1|+|QF2|=4，由4>|F1F2|，可得Q的轨迹是以F1(−1,0)，F2(1,0)为焦点，且2a=4的椭圆，由c=1，a=2，可得b=√a2−c2=√3，可得曲线C的方程为x24+y23=1;(2)假设存在过点(0,−1)的直线l符合题意．当直线l的斜率不存在，设方程为x=0，可得M，N为短轴的两个端点，|PM|=|PN|不成立;当直线l 的斜率存在时，设方程为y =kx −1，A(x 1,kx 1−1)，B(x 2,kx 2−1)由|PM|=|PN|，可得k PM +k PN =0，即k PA +k PB =0，可得kx 1−52x 1−1+kx 2−52x 2−1=0，化为2kx 1x 2−(k +52)(x 1+x 2)+5=0， 由{y =kx −13x 2+4y 2=12可得(3+4k)2x 2−8kx −8=0， 由(0,−1)在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，x 1+x 2=8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，则2k(−83+4k 2)−(k +52)(8k 3+4k 2)+5=0化为−16k −8k(k +52)+5(3+4k 2)=0，即为4k 2−12k +5=0．解得k =12或k =52，当k =52时，直线l 方程为y =52x −1，此时直线过点P ，且点P 为椭圆C 上一点，即点P 与点A 或B 重合，不合题意，所以存在直线l 符合题意，且方程为y =12x −1．解析：本题考查曲线的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由题意和椭圆定义可得曲线方程；(2)分类讨论：当当直线l 的斜率不存在，不合题意，当直线l 的斜率存在时，设方程为y =kx −1，A(x 1,kx 1−1)，B(x 2,kx 2−1)，联立直线与椭圆方程由韦达定理整体可得答案．7.答案：解：(1)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,k +1)，由题意A 、C 、D 三点共线∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴10×1+(−2)(k +1)=0，即k =4；(2)∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，故向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦为：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2√5=3√1010．解析：(1)利用向量的运算法则求出AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用三点共线时由三点确定的两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程求出k 的值．(2)求出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．解决三点共线问题常转化为由三点确定的两个向量共线，利用向量共线的充要条件解决；求两个向量的夹角问题，常用的工具就是利用向量的数量积公式．8.答案：解：(1)l:3x +4y −19+λ(2x +y −6)=0，由{3x +4y −19=02x +y −6=0，解得{x =1y =4，则定点M 为(1,4)； (2)设A(a,0)，B(0,b)(a >0,b >0)，则直线l 的方程可设为x a +y b =1，又直线l 过点M(1,4)，则1a +4b =1，而|MA|·|MB|=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a,4)⋅(−1,b −4)=a +4b −17=(a +4b)(1a +4b)−17 =4b a +4a b ⩾2√4b a ⋅4a b =8，当且仅当a =b =5时等号成立，此时直线l 的方程为x +y −5=0．解析：本题考查直线过定点问题、基本不等式求最值和直线方程的求法，属于一般题．(1)由{3x +4y −19=02x +y −6=0，即可求出定点坐标； (2)设直线l 的方程可设为x a +y b =1，由直线l 过点M(1,4)，得1a +4b =1，再利用基本不等式即可求解．9.答案：解：(1)∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1−A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1) =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1−A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1−A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4+2×2×12−4−0−2×2×12=0，∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1；∴A 1C ⊥B 1D 1．(2)连接B 1D 1与A 1C 1交点记为O ，在△AB 1D 1中，易得AO =√2，又A 1O =√2，AA 1=2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ，又AO ⊥B 1D 1，A 1O ∩B 1D 1=O ，A 1O,B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，又∵OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2；(3)由(2)可知，AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，以OA 1，OB 1，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0，√2)，B 1(0,√2,0)，C 1(−√2,0，0)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,−√2)，则平面AB 1D 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面AB 1C 1的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{n 2⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x −√2z =0,, 令x =1，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)∴平面AB 1C 1的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)，∴|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×√3=√33， 由题意可知，所求的角为锐角，∴所求的角的余弦值为√33．解析：本题主要考查了向量的运算法则，数量积，利用空间向量来判定线线垂直关系，线面垂直的判定和性质，利用空间向量来求面面夹角的余弦值，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．(1)利用向量的运算法则，通过证明A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1+A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1−A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1)=0，得出A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1；(2)在△AB 1D 1中，易得AO 的值，又A 1O =√2，AA 1=2，通过勾股定理的逆定理易得AO ⊥A 1O ，通过证明AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，得出AO ⊥OC 1，进而得出AC 1的值；(3)以点O 为原点，以OA 1，OB 1，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，通过得到平面AB 1D 1的法向量和平面AB 1C 1的法向量，利用向量法得出二面角C 1−AB 1−D 1的平面角的余弦值． 10.答案：解：(1)∵m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(√2+cosA −sinA,cosA +sinA)，∴|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |2=(√2+cosA −sinA)2+(cosA +sinA)2=2+2√2(cosA −sinA)+(cosA −sinA)2+(cosA +sinA)2=2+2√2(cosA −sinA)+2=4−4sin(A −π4)，∵|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |=2，∴4−4sin(A −π4)=4， sin(A −π4)=0，又∵0<A <π，∴−π4<A −π4<3π4，∴A −π4=0， ∴A =π4；(2)由余弦定理，由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得：a 2=32+2a 2−2×4√2×√2a ⋅√22，即a 2−8√2a +32=0,解得a =4√2∴c =8．解析：本题考查向量的模、余弦定理的应用．(1)先根据向量模的运算表示出|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |2 ，然后利用同角三角函数关系式及辅助角公式化简成y =Asin(ωx +φ)+b 的形式，再根据正弦函数的性质即可求出A 的值．(2)根据余弦定理求出a ，进而可得c 的值．11.答案：解：(1)因为a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,1)，所以2a ⃗ −b ⃗ =(2−x,3)，a ⃗ +b ⃗ =(1+x,3)．因为|2a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，所以√(2−x)2+9=√(1+x)2+9，解得x =12．(2)当x =2时，2a ⃗ −b ⃗ =(0,3)，a ⃗ +b ⃗ =(3,3)，所以(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0×3+3×3=9，|2a ⃗ −b ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=3√2．设2a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b⃗ 的夹角为θ． 则cosθ=(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b⃗ )|2a ⃗ −b ⃗ ||a ⃗ +b ⃗ |=3×32=√22． 又θ∈[0,π]， 所以θ=π4，即2a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b 的夹角为π4．解析：本题考查向量的模、向量的夹角以及平面向量的坐标运算，属于中档题；(1)因为a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,1)，可得2a ⃗ −b ⃗ =(2−x,3)，a ⃗ +b ⃗ =(1+x,3)．利用|2a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b⃗ |，即可求解； (2)当x =2时，2a ⃗ −b ⃗ =(0,3)，a ⃗ +b ⃗ =(3,3)，设2a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ．则cosθ=(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )|2a ⃗ −b ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |即可求解； 12.答案：解：(1)∵ a →=(1,1，0)，b → =(−1,0，2)，∴a ⃗ ·b ⃗ =1×(−1)+1×0+0×2=−1，又|a →|=√12+12+02=√2，|b →|=√(−1)2+02+22=√5， ，即向量a →与向量b →的夹角的余弦值为−√1010． (2) ∵k a ⃗ +b ⃗ =(k −1,k ，2)．k a ⃗ −2b ⃗ =(k +2,k ，−4)，且k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −2b⃗ 互相垂直， ∴(k −1)(k +2)+k 2+2×(−4)=0，∴k =2或k =−52，∴当k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −2b ⃗ 互相垂直时，实数k 的值为2或−52．解析：本题主要考查了利用空间向量的夹角以及空间向量的数量积及运算律，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．(1)由空间向量夹角的计算公式计算即可；(2)由k a ⃗ +b ⃗ 与k a ⃗ −2b ⃗ 互相垂直得出(k −1)(k +2)+k 2+2×(−4)=0，求出k 的值．13.答案：解：(1)由a ⃗ ⊥b ⃗ 得，a ⃗ ·b ⃗ =0，则2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a⃗−b⃗ |=2；当x=−2时，a⃗=(1,−2),b⃗ =(−1,2)，则a⃗−b⃗ =(2,−4)，故|a⃗−b⃗ |=√22+(−4)2=2√5，综上所述，|a⃗−b⃗ |为2或2√5．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量平行、垂直的性质，以及向量模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用两个向量互相垂直，可得a⃗·b⃗ =0，从而可求出x的值；(2)由两个向量的互相平行先求出x的值，进而再求模长．14.答案：解：(1)由条件知|a⃗|=2，|b⃗ |=1，又2a⃗−b⃗ 与a⃗−7b⃗ 垂直，所以(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗−7b⃗ )=8−15a⃗⋅b⃗ +7=0，所以a⃗⋅b⃗ =1．所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=4+2+1=7，故|a⃗+b⃗ |=√7．(2)由|a⃗+√3b⃗ |=|m a⃗|，得|a⃗+√3b⃗ |2=|m a⃗|2，即|a⃗|2+2√3a⃗⋅b⃗ +3|b⃗ |2=m2|a⃗|2，即4+2√3a⃗⋅b⃗ +3=4m2，7+2√3(cosθ+√3sinθ)=4m2，)=4m2−7．所以4√3sin(θ+π6由θ∈[0,π2]得θ+π6∈[π6,2π3]，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，6≤4m2−7<4√3，即134≤m2<7+4√34，又因为m>0，所以√132≤m<2+√32．所以m的取值范围为[√132,2+√32)．解析：本题主要考查平面向量的数量积以及利用向量和三角函数之间的关系的化简和求值，综合性较强，属于中档题．(1)利用条件2a⃗−b⃗ 与a⃗−7b⃗ 垂直，建立方程关系，先求a⃗·b⃗ ，然后求向量夹角．(2)利用三角函数的性质得到关于θ的方程，结合三角函数的图象进行化简求范围．15.答案：解：由于|a⃗|=√2，|b⃗ |=2，向量a⃗，b⃗ 的夹角为135°，则a⃗·b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos135°=√2×2×(−√22)=−2，(1)|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )·(a⃗+b⃗ )，=√a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2，=√√22+2×(−2)+22=√2，(2)|a⃗+x b⃗ |=√(a⃗+x b⃗ )·(a⃗+x b⃗ )，=√a⃗2+2x×a⃗·b⃗ +x2b⃗ 2，=√√22+2x×(−2)+22x2，=√4x2−4x+2，当x=12时，|a⃗+x b⃗ |取得最小值，最小值为1．(3)由(2)知，此时x =12，a⃗ +x b ⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ， 由于(a +12b)·b ⃗ =a ⃗ ·b ⃗ +12b ⃗ 2=−2+2=0， 因此a ⃗ +x b ⃗ ⊥b ⃗ ，即a ⃗ +x b ⃗ 与b ⃗ 的夹角π2．解析：平面向量的模与夹角的最值或范围的求解，一般是应用函数思想，即先将模或夹角(某个三角函数值)表示为某个变量的函数，然后去求此函数的最值或范围，其中用到数量积计算时，可以应用数量积定义计算，也可以利用坐标计算．16.答案：解析：(1)a ⃗ ·b ⃗ =cos 3x 2cos x 2 −sin 3x 2 ·sin x 2 =cos 2x ． ∵a ⃗ +b ⃗ =(cos 3x 2+cos x 2,sin 3x 2−sin x 2)，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√(cos 3x 2+cos x 2)2+(sin 3x 2−sin x 2)2=√2+2cos 2x =2|cos x|． ∵x ∈[−π3,π4]，∴cos x >0，∴|a ⃗ +b ⃗ |=2cos x ．(2)f (x)=cos 2x −2cos x =2cos 2x −2cos x −1=2(cos x −12)2−32． ∵x ∈[−π3,π4]，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，f (x)取得最小值−32；当cos x =1时，f (x)取得最大值−1．解析：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路一般是：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．17.答案：解：(1)因为a ⃗ //b ⃗ ，所以sinxcosx =12，即sin2x =1， 因为x ∈(0,π)，所以x =π4；(2)因为tan x =sin x cos x =−2，所以sin x =−2cos x ，因为a⃗ +b ⃗ =(sin x +12,1+cos x)， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=√(sin x +12)2+(1+cos x)2 =√94+sin x +2cos x =32．解析：本题考查了平面向量和三角函数的结合问题．(1)根据a ⃗ //b ⃗ ，得出函数关系，进而解得x 的值；(2)根据tan x =−2，得出sin x =−2cos x 的关系，先写出a ⃗ +b⃗ 的坐标，再根据sin x =−2cos x 求得|a ⃗ +b ⃗ |的结果．18.答案：解：以O 为原点，以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，C (−√22,√22)， 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22+t,√22)， 所以|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12−√2t +t 2+12=t 2−√2t +1=(t −√22)2+12(0≤t ≤1)， 当t =√22时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√22； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，0≤α≤3π2，E (0,−12)，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12)−(cosα,sinα)=(−cosα,−12−sinα)， 又因为D (12,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(cosα+12+sinα)=√22sin (α+π4)+14， 因为0≤α≤3π2，所以π4≤α+π4≤7π4， 则√22sin (α+π4)+14∈[14−√22,14+√22]． 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[14−√22,14+√22]．解析：本题考查向量的数量积，向量的表示方法，三角运算，考查转化思想，计算能力．(1)以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系，设D(t,0)(0≤t ≤1)，求出C 坐标，推出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −√22,√22)，然后求出模的最小值； (2)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，0≤α≤3π2，求出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，即可求出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 19.答案：解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −1,t)． ∵A ，B ，M 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴−t −(t −1)=0，∴t =12． (2)∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t,−t)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,1−t)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 2−2t =2(t −12)2−12， ∴易知当t =12时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−12．解析：本题考查了向量的数量积与向量的共线．(1)利用向量的坐标运算与向量的共线可得关于t 的方程，解方程可得答案；(2)由向量的数量积得到关于t 的二次函数，然后由二次函数的知识求解．20.答案：解(Ⅰ)由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9+x,2+y)，又若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +y =0，−(9+x)+2(2+y)=0；解得x =−1，y =2(Ⅱ)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3得−x +2y =2 即x =2y −2，∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2=√(2y −2)2+y 2=√5y 2−8y +4=√5(y −45)2+45，则当y =45时，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值2√55．解析：(Ⅰ)根据向量的垂直和平行即可求出，(Ⅱ)根据向量的数量积可得x =2y −2，再根据向量的模和二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的数量积，以及向量的平行垂直和向量的模，属于基础题．21.答案：解：如图所示：根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 设|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，点O 的坐标为(x,y)，则点P 的坐标为(a,b)，由 |OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= |OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，得： {(x −a )2+y 2=1x 2+(y −b )2=1， 则:{(x −a )2=1−y 2(y −b )2=1−x 2， ∵|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12，∴(x −a )2+(y −b )2<14， ∴1−x 2+1−y 2<14，∴x 2+y 2>74 ①，∵(x −a )2+y 2=1∴y 2=1−(x −a )2≤1，∴y 2≤1，同理x 2≤1，∴x 2+y 2≤2②，由①②知 74<x 2+y 2≤2，∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2+y 2，∴ √72<|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2．∴|OA →|的取值范围是(√72,√2].解析：本题考查了平面向量的基本定理及坐标表示，同时也考查了平面向量的位置关系等知识点． 建立坐标系，利用向量的坐标运算解答本题．22.答案：解：(1)向量a ⃗ =(4,3)，b ⃗ =(1,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1+3×2=10，且|a ⃗ |=√42+32=5，|b ⃗ |=√12+22=√5；设a⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则 cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b ⃗ |=5×5=2√55；(2)若a ⃗ −λb ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗ 平行，则存在非零实数μ，使得a ⃗ −λb ⃗ =μ(2a ⃗ +b⃗ )， (4−λ,3−2λ)=μ(9,8)，即{4−λ=9μ3−2λ=8μ，解得μ=12,λ=−12， 故λ=−12．解析：本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，以及向量共线的条件，属于中档题．(1)根据平面向量的坐标表示与数量积运算，即可求出a ⃗ 、b ⃗ 的夹角余弦值；(2)根据两向量平行，得到a ⃗ −λb ⃗ =μ(2a ⃗ +b ⃗ )，即{4−λ=9μ3−2λ=8μ，即可求出λ的值．23.答案：(1)依题意得{ab =2,5=2√55,解得{a =2,b =1,故双曲线的方程为y 24−x 2=1． (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y =±2x ，设A(m,2m)，B(−n,2n)，其中m >0，n >0， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得点P 的坐标为(m−n 2,m +n).将点P 的坐标代入y 24−x 2=1，整理得mn =1.设∠AOB =2θ，∵tan (π2−θ)=2，则tanθ=12，从而sin2θ=45.又OA =√5m ，OB =√5n ，∴S △AOB =12OA ·OBsin2θ=2mn =2．解析：解略24.答案：解：(1)因为a⃗⊥b⃗ ，所以，因为cosx≠0，所以，即．(2)因为(a⃗+b⃗ )//b⃗ ，即，所以，即，所以，因为，所以2x∈[0,π2]，所以2x=π3，即x=π6，此时b⃗ =(√3,2)，所以|b⃗ |=√(√3)2+22=√7．解析：本题考查平面向量的坐标运算，向量平行垂直的条件以及二倍角公式和同角三角函数关系，属于中档题．(1)由a⃗⊥b⃗ 得出，求出tan x即可；(2)由(a⃗+b⃗ )//b⃗ 得出关系式求出x的值，得出b⃗ =(√3,2)求出|b⃗ |即可．25.答案：解：(1)因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)，则3a⃗−b⃗ =(6,2)，则|3a⃗−b⃗ |=√62+22=2√10．(2)因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)，则a⃗+λb⃗ =(1−3λ,2+4λ)，若a⃗⊥(a⃗+λb⃗ )，则a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=1×(1−3λ)+2×(2+4λ)=5+5λ=0，解得λ=−1．解析：本题考查向量的模，向量垂直的坐标运算，属于基础题．(1)由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)，可得3a⃗−b⃗ ，再根据向量的模的公式计算即可；(2)根据向量坐标可得a⃗+λb⃗ 的坐标，由a⃗⊥(a⃗+λb⃗ )可得a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=0，计算即可求得λ的值．26.答案：解(1)设b⃗ =(x,y，z)，则由题意可知{2x+y−2z=−1,x2+y2+z2=9,−x+z=0,解得{x=2,y=−1,或z=2{x=−2,y=−1,z=−2.∴b⃗ =(2,−1,2)或b⃗ =(−2,−1,−2)．(2)∵向量b⃗ 与向量d⃗=(1,−12,1)共线，∴b⃗ =(2,−1,2)．又∵a⃗=(2,1，−2)，c⃗=(−1,0，1)，∴a⃗−b⃗ =(0,2，−4)，2b⃗ +3c⃗=(1,−2,7)，∴(a⃗−b⃗ )⋅(2b⃗ +3c⃗ )=−32，且|a⃗−b⃗ |=2√5，|2b⃗ +3c⃗|=3√6，∴a⃗−b⃗ 与2b⃗ +3c⃗夹角的余弦值为cos<a⃗−b⃗ ，2b⃗ +3c⃗>=(a⃗ −b⃗)⋅(2b⃗+3c⃗ )|a⃗ −b⃗||2b⃗+3c⃗ |=−8√3045．解析：略27.答案：解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，a⃗·b⃗ =0，则2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a⃗−b⃗ |=2；当x=−2时，a⃗=(1,−2),b⃗ =(−1,2)，则a⃗−b⃗ =(2,−4)，故|a⃗−b⃗ |=√22+(−4)2=2√5，综上所述，|a⃗−b⃗ |=2或2√5．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量平行、垂直的性质，以及向量模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用两个向量互相垂直，可得a⃗·b⃗ =0，从而可求出x的值；(2)由两个向量的互相平行先求出x的值，进而再求模长．28.答案：解：(Ⅰ)a⃗=2(1,1)−3(0,1)=(2,−1)，b⃗ =(1,1)+2(0,1)=(1,3)，则a⃗⋅b⃗ =2×1+(−1)×3=−1．∵|a⃗+b⃗ |2=(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=|a⃗|2−2+|b⃗ |2=5−2+10=13，∴|a⃗+b⃗ |=√13．(Ⅱ)由上得|a⃗|=√5，|b⃗ |=√10，所以cos ⟨a⃗,b⃗ ⟩=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5⋅√10=−√210．解析：本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算．属基础题．(Ⅰ)先根据e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，的值表示出向量a⃗ 、b ⃗ ，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．(Ⅱ)先求出向量a ⃗ 、b ⃗ 的模，然后根据cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |，将数值代入即可得到答案． 29.答案：解：(1)因为a ⃗ +t b ⃗ =(−3+2t,2+t)，所以|a ⃗ +t b ⃗ |=√(−3+2t)2+(2+t)2=√5t 2−8t +13=√5(t −45)2+495⩾√495=7√55， 当且仅当t =45时取等号，故|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值为7√55，此时t =45． (2)由题知a ⃗ −m b ⃗ =(−3,2)−m(2,1)=(−3−2m,2−m)，且a ⃗ −m b ⃗ 与c⃗ 共线，c ⃗ =(3,−1)， 即(−3−2m)×(−1)−(2−m)×3=0，解得m =35．解析：本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属于基础题．(1)利用求模公式表示出|a ⃗ +t b ⃗ |，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t 值；(2)利用向量共线定理可得关于m 的方程，解出即得m 值；30.答案：解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，因为焦距为2，所以c =1，e =c a =12，所以a =2，b =√3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +1，则由{y =kx +1,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，且Δ>0．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 1=−2x 2，又{x 1+x 2=−8k 3+4k 2,x 1⋅x 2=−83+4k 2,所以{−x 2=−8k 3+4k 2,−2x 22=−83+4k 2. 消去x 2，得(8k 3+4k 2)2=43+4k 2． 解得k 2=14，所以k =±12，所以直线l 的方程为y =±12x +1，即x −2y +2=0或x +2y −2=0．解析：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．(1)根据椭圆的焦距为2，离心率为12，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；(2)设直线l 方程为y =kx +1，代入椭圆方程，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得x 1=−2x 2，利用韦达定理，化简可求出k ，即可求直线l 的方程．。