光波场描述
光学习题集(1-3章)
δ = (n − 1)α ，其中 n 是光楔的折射率， δ 是指入射光经过两折射面折射后，出射
光线与入射光线之间的夹角。 解： 如图所示， 入射光垂直第一个折射面入射， 光线不发生折射， 光线在第二个折射面折射， 光的折射定律有： 据几何关系有： 则： 因 α 很小，所以有： 有：
n sin i = sin i ' ； i =α ；
r 2
1．12 手头只有一个白炽灯，如何简便地估计一个凹面反射镜地曲率半径和焦距？ 答： 若将白炽灯放到凹面反射镜地焦点上，则经凹面反射镜反射地光为平行光。反射镜的 曲率半径等于两倍的焦距。 1．13 一双凸透镜的两表面半径均为 50cm，透镜材料折射率 n = 1.5 ,求该透镜位于空气中 和侵入水中（ n0 = 1.33 ）时的焦距分别为多少？ 解： （1）位于空气中时：
n sin α = sin i '
sin α ≈ α , sin i ' ≈ i '
n ⋅ α = i'
∴δ = i'−i = nα − α = (n − 1)α .
1．7 在甚么条件下，附图中夫人折射球面起汇聚作用，在甚么条件下起发散作用？ 解：表征单球面折光本领的量为光焦度 Φ ，
Φ=
n'−n r
1 1.5 1 − 1.5 − = p2 ' − 20 − 10
有：
p2 ' = −40cm
垂直轴放大率：
β2 =
n2 p2 ' 1.5 × (−40) = =3 n2 ' p2 1× (−20)
总垂直轴放大率：
β = β 1 ⋅ β 2 = −3
所以小物体经玻璃棒成像在第二球面前方 40cm 处，玻璃棒得垂直轴放大率为－3。 1．10 如图所示为通光口径为 R，材料折射率为 n 得平凸透镜。若要求对平行光轴得全部 光线（不受傍轴限制）均能聚焦于 F (0. f ' ) .试用费马原理导出透镜凸面的曲面方程 式。 解： 如图，标出各已知点的坐标 P( x, y, z ) ，选取曲面上任意点 P 的坐标为，据费马原理 光沿 ARF 传播的光程＝光沿 BPF 传播的光程
光波场的复振幅描述
z
0 x k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c. 为球面
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U(P) a0 ejkr r
(P(x,y,z)) y (rkLeabharlann 会聚点S z 0 x.
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U(P) a0 ejkr 取决于k与r是平行
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
.
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n. 严格单色光: n为常数
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同
光场变化的空间周期为l.
(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 .j(P)必须满足的关系
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布: I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平. 均值, 正比于电场振幅的平方
§1-1光波场的复振幅描述
2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心
物理学中的场和波
物理学中的场和波场和波是物理学中非常重要的概念。
在物理学中，场和波分别代表着不同的物理量。
场代表的是空间中某个量的分布，而波则代表这个量的随时间变化。
场场是物理学中的基本概念。
它是指空间中某个物理量的分布情况。
例如，电场就是指空间中电荷对电荷的相互作用所导致的力的分布情况，而磁场则是指磁物质所产生的力的分布情况。
在场的理论中，场可以通过一系列的基本方程来描述。
这些方程可以解释场在空间中的变化，并且可以用于预测场的行为。
例如，麦克斯韦方程就是用来描述电场和磁场的行为的基本方程。
场的理论在物理学中有着广泛的应用，例如在天文学、航空航天学、电子学和光学等领域。
在这些领域中，场的理论被用来解决很多实际问题。
波波是描述物理现象中频繁出现的另一个重要概念。
波是指某个物理量在空间中传播的过程。
例如，声波就是空气中振动的压力和密度所导致的一种波动。
光波则是一种电磁波，它在空间中的传播速度是光速。
波的理论同样也可以通过一系列的基本方程来描述。
这些方程可以预测波的行为，并且可以被应用于很多不同的领域。
例如，波的理论可以用于描述地震波和水波等自然现象。
物理学中，场和波的关系是非常密切的。
事实上，许多波都可以通过场的变化来解释。
例如，电磁波就可以通过电场和磁场的相互作用来描述。
同时，对场进行激发也可以产生波动。
例如，在声学中，将空气中的压力场激发后就可以产生声波。
结论场和波在物理学中有着非常广泛的应用。
它们帮助我们解决很多实际问题，并且可以用来理解自然现象的本质。
通过对场和波的研究，物理学家们不断地推动着科学发展的进程，使我们的生活变得更加便利。
中科院-普通物理(乙)
806《普通物理（乙）》中科院研究生院硕士研究生入学考试《普通物理（乙）》考试大纲一．考试内容：大学工科类专业的《大学物理》或《普通物理》课程的基本内容，包含力学、电学、光学、原子物理、热学等。
二．考试要求：(一) 力学1. 质点运动学:熟练掌握和灵活运用：矢径；参考系；运动方程；瞬时速度；瞬时加速度；切向加速度；法向加速度；圆周运动；运动的相对性。
2．质点动力学:熟练掌握和灵活运用：惯性参照系；牛顿运动定律；功；功率；质点的动能；弹性势能；重力势能；保守力；功能原理；机械能守恒与转化定律；动量、冲量、动量定理；动量守恒定律。
3．刚体的转动:熟练掌握和灵活运用：角速度矢量；质心；转动惯量；转动动能；转动定律；力矩；力矩的功；定轴转动中的转动动能定律；角动量和冲量矩；角动量定理；角动量守恒定律。
4．简谐振动和波:熟练掌握和灵活运用：运动学特征（位移、速度、加速度，简谐振动过程中的振幅、角频率、频率、位相、初位相、相位差、同相和反相）；动力学分析；振动方程；旋转矢量表示法；谐振动的能量；谐振动的合成；波的产生与传播；波的能量、能流密度；波的叠加与干涉；驻波；多普勒效应。
5．狭义相对论基础:理解并掌握：伽利略变换；经典力学的时空观；狭义相对论的相对性原理；光速不变原理；洛仑兹变换；同时性的相对性；狭义相对论的时空观；狭义相对论的动力学基础。
(二) 电磁学1.静电场：熟练掌握和灵活运用：库仑定律，静电场的电场强度及电势，场强与电势的叠加原理。
理解并掌握：高斯定理，环路定理，静电场中导体及电介质问题，电容、静电场能量。
了解：电磁学单位制,基本实验。
2.稳恒电流的磁场：熟练掌握和灵活运用：磁感应强度矢量，磁场的叠加原理，毕奥—萨伐尔定律及应用，磁场的高斯定理、安培环路定理及应用。
理解并掌握：磁场对载流导体的作用，安培定律。
运动电荷的磁场、洛仑兹力。
了解：磁介质, 介质的磁化问题, 电磁学单位制,基本实验。
3.电磁感应：熟练掌握和灵活运用：法拉第电磁感应定律，楞次定律，动生电动势。
光波的偏振方向即光波极化电场方向
光波的偏振方向即光波极化电场方向光波的偏振方向是指光波中电磁场振动的方向，也就是光波中电磁场的一个重要属性。
光波的偏振方向不同，对光波的传播和作用也有不同的影响。
光波极化电场方向是指光波中的电场在运动中的方向，也是光波中电场的另一个重要属性。
下面，我们将分步骤来阐述光波的偏振方向即光波极化电场方向的相关知识。
第一步：解析光波的偏振方向原理光波的偏振方向是指电磁波中电磁场振动的方向，它可以采用向量分析来描述。
光波的传播轴称为z轴，电场和磁场的振动方向分别为x轴和y轴，这些振动方向垂直于传播方向。
光波的偏振方向可以分为横向偏振和纵向偏振两种。
横向偏振是指电磁场振动方向垂直于传播方向的光波，而纵向偏振是指电磁场振动方向平行于传播方向的光波。
第二步：探讨光波极化电场方向的意义光波中的电场是一种矢量场，它的方向可以描述光波的极化状态。
光波极化电场方向指电磁场在振动中的方向，它可以沿着x轴或y轴方向振动，同时与z轴方向垂直。
光波极化电场方向的确定可以通过观察光的传播方向和电磁场振动方向的关系来进行。
当光波的电场振动方向和传播方向相同或垂直时，光波的极化状态将分别为水平或垂直偏振，这是光学上的两种标准极化方式，也是比较常见的光学现象。
第三步：总结光波偏振和极化电场方向的联系光波的偏振方向和极化电场方向紧密相关。
在光波中，电磁场发生振动，其导致的光波偏振状态决定了电场的振动方向。
不同偏振方向的光波在作用于物体时的效果也不同。
例如，镜面可以反射水平方向的横向偏振光，但不能反射纵向偏振光。
相反，偏振片可以选择和过滤具有特定偏振方向的光波，而不影响其它偏振方向的光波。
这些现象都说明了光波的偏振方向和极化电场方向的联系和作用。
综上所述，光波的偏振方向即光波极化电场方向是电磁场振动和光波传播的两个重要方向。
它们之间的联系和作用也是物理学中一个重要的研究内容。
深入理解光波偏振和极化电场方向的关系能够帮助我们更好地理解光学现象，也有助于我们更好地应用光学技术。
chap3光波的基本性质
EE 1E 2 E n.
n
光波的线性叠加的条件是： (1）线性媒质，（2）非强光光源.
2、两个频率相同、振动方 向相同的单色光波的迭加
合振动（波）
E E 1 E 2 E 0 [ c o s ( 1 t k 1 z ) c o s (2 t k 2 z ) ]
和差化积：
E 2 E 0 c o s 1 2 [ ( k 1 k 2 ) z (1 2 t) ] c o s 1 2 [ ( k 1 k 2 ) z (1 2 ) t]
平面电磁波
• 麦克斯韦方程组所描述的电磁波可以转化为 一个二阶偏微分方程。
• 要决定解的具体形式，必须根据 E,B满足的 边界条件和初始条件求解方程。
• 由于其是一个三维波，平面波是三维波的的 一种基本形式，故通过它来讨论电磁波的基 本性质是合理的、方便的。
• 电磁波的波动微分方程表明：电磁波是
光是一种电磁辐射，按能量供给的方式不同， 发光可分为两大类：
（1） 热辐射； （2） 光发射： 电致发光
化学发光
场致发光 光致发光
各种波长的电磁波中，能为人所感受的是 (400—700)nm的窄小范围． 对应的频率范围是
= （7.6 4.0）1014 HZ ．
这波段内电磁波叫可见光，在可见光范围内， 不同频率的光波引起人眼不同的颜色感觉．
二、平面波、球面波的复振幅 ：
称 E E 0 e ik r 0 E 0 e i k x c o s y c o s z c o s 0 平面
光学教案11
1 光波、光线与光子
1.1 光的波动性质
(5) 波函数与空间频率
1.1.3 波动的描述
波函数：表征波场的物理（振动）状态，是空间和时间的周期性函数。
① 任意简谐波的波函数
振源处： 或 场点处： 或 相位延迟：(1.1Leabharlann 1) (1.1-2) (1.1-3)
(1.1-4)
f0：源点处初相位；f (P) ：场点处初相位； f '(P) ：场点处相位延迟。
谐波。
(2) 光波场的传播速度与折射率
真空中的光速：
介质中的光速： (1.1-29) (1.1-30)
式中：e0：电磁场在真空中的介电常数； m0：电磁场在真空中的磁导率； er：介质中的相对介电常数； mr：介质中的相对磁导率，对于非 铁磁介质，mr≈1；n：介质相对于真空的折射率。
1 光波、光线与光子
度矢量均正交于传播方向，表明电磁波也是一种横波，具有偏振性质；
④ 用电磁场理论对光的各种偏振现象所作的理论解释均与实验观察结果
相符合。
1 光波、光线与光子
1.1 光的波动性质
(1) 光波场的描述
1.1.6 光波的电磁性质
对眼睛及其他光探测器有视觉反应的，主要是光波的电场强度矢量E，
故光波场的振动状态一般可由其电矢量表示，简称为光波电矢量或光矢量。 在标量场近似下，光波场的波函数就是光矢量的复振幅，单色光波即简
平面波是波面曲率半径趋于无限大时的球面波或柱面波。 说明： 讨论球面波和平面波问题具有普遍意义； 任何一个波源，都可以看成是由若干点波源组成的集合； 构成任何复杂波面的基元是球面波或平面波。
1 光波、光线与光子
1.1 光的波动性质
(3) 标量波与矢量波
单色光波场的一般数学描述
在 z=z0 平面上的复振幅分布为：
exp( j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
exp
j2
cos
x cos
exp jk x cos y cos
等相位线方程 x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U
x,
y, z
a
exp
j2
cos
x cos
y cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
x方向：空间频率
x x0 2 y y0 2 c 等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0)
c是任意常数 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U x, y, z a exp j kx cos ky cos kz cos
U x, y, z a exp jkz 1 cos2 cos2
fx
kx
2
cos
，
空间周期 dx
1 fx
cos
y方向：空间频率 f y
ky
2
cos
，
空间周期
dy
1 fy
cos
z方向：空间频率
fz
kz
2
cos
，
空间周期
dz
1 fz
cos
2
5.2 光的反射和折射的波动描述解析
1 '1 (5.2.8)
5.2.2菲涅耳公式
光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方向的 反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射光和 折射光之间的振幅、相位和能量关系。 光波中电矢量和磁场矢量的正方向规定
（1）在没有发生相位突变时，同一光波的波矢k， 电矢量E和磁矢量B之间都必须满足右手螺旋关系。
（2）所有垂直于入射面的场矢量的正向垂直于纸面 向外；
s 分量和p分量的正方向如图所示
E1 p
H 1s
n1
E '1p
k '1
H '1s
E1s
E '1s k '1
k1 1 '1
O
H1 p
n1 n2
k1 1 '1
O
H '1p
n2
2
H 2s k 2
E2p
2
H 2p
E2s k2
（3）两个场同相位或者反相位的规定 同相位：场量的振幅比为正值，则场矢量取规定的正方向 反相位：场量的振幅比为负值，则场矢量取规定的反方向 同相位和反相位都是相对于入射光波来说
证明：光在介质分界面上反射和折射的频率变化，传播方向 两中折射率分别为n1（ε1μ1）和n2（ε2μ2）的介质均为均匀、 透明、各向同性；入射光、反射光和折射光均为平面光波， 其电场分别表示为 k1 ' 入射光波：E1 A1 exp k1 i k1 r 1t ' 反射光波：E '1 A '1 exp i k ' r ' t 1 1 ˆ x
5.2 光的反射和折射的波动描述
当光波从一种介质传播到另外一种介质中的时候， 由于介质的物理性质不同，即折射率n不同，光在 两种电介质分界面上会发生传播方向、振幅、相位、 能量和偏振性的变化。这都来自于光与介质相互作 用的结果。
光波场的描述
的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有
关。在x轴方向，相距的波面在x轴上的截距为
x / cos ，同样，这两个波面在y轴上的截距为
(P0, t) Acos[(t kr0 0 )]
式中r0为O至P0的距离
x
现考察在某一时刻，同
k
一波面上任一点P(x,y,z)的
振动，因P与P0处于同一波 面，故P与P0点振动相同， 则P点的波函数取为：
o
r0
P0 • •P
r
y
z
波设函(OP至数, tP在)的P矢点A径的co为值s[r(，(tP则, t有k)r0r0Acr0o)s][kk(代t入上k式 r得：0 )]
若用复指数函数形式表示，则其复振幅为
复振幅
~( P )
Ae
i
(
k
r
0
)
若传播方向的 方向余 弦为(cos， cos， cos)，则
k
k
kxex k cos
ekxyey
kckozsez ey
的三个分量为：
k
cosez
kx
k cos
,
ky k cos ,
kz k cos
k r kx x ky y kzz
波位函 置数r ： 和描 时述 间波t 而动变过化程的中函被数传关播系的式物理(量r, 随t)。空间
1.1 一维平面简谐波
简谐波 — 简谐振动的传播。
平面简谐波 — 波面是平面的简谐波 。
（1）平面简谐波的波函数
设一维平面简谐波以速度 V 沿 z 轴正方向传
播，则其波函数：
ψ(z, t)
A cos[ω( t
k cos x k cos y k cos z
4 光的电磁场理论
4.1.2 电磁场基本方程
适用条件：
微分形式的方程组只在介质中物理性质连续的区域成 立，在不连续的界面，应该用积分形式的方程组。 由麦克斯韦方程组可知：不仅电荷和电流是产生电磁场 的源，而且时变电场和时变磁场互相激励，因此，时变 电场和时变磁场构成了不可分割的统一整体——电磁场。
第4章 光的电磁理论
10
4.1.2 电磁场基本方程
D E
B H
J E
式中，＝0r 为介电常数，描述媒质的电学性质，0
是真空中介电常数（8.854210-12 Fm-1），r 是相对
介电常数; ＝0r 为介质磁导率，描述媒质的磁学 性质，0 是真空中磁导率（410-7 Hm-1），r是相 对磁导率； 为电导率，描述媒质的导电特性, 理想 导体， ＝∞，理想电介质， ＝ 0 。
坡印廷矢量S，S的大小表示在任一点处垂直于传 播方向上的单位面积上、在单位时间内流过的能量。 S的方向就是该点处电磁波能量流动的方向。
S EH
第4章 光的电磁理论
17
4.1.2 电磁场基本方程
光强 --S的平均值
由于光的频率太高，在实用中都是用能流密度的时 间平均值表征光波的能量传播，称该时间平均值为 光强，以 I 表示。设光探测器的响应时间为 ，则
第4章 光的电磁理论
4
4.1.1 电磁波谱
名称 波长 长波 30000m ~3000m 中波 3000m~ 200m 中短 波 200m~ 50m 短波 50m~ 10m 6~30 MHz 无线电 广播、 电报通 讯 米波 10m~ 1m 30~300 MHz 微波 分米波 厘米波 毫米波 1m~ 10cm 10cm~ 1cm 1cm~ 0.1cm
光波场的复振幅描述
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表 示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测 n为常数,线性运算后亦不变 对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§1-1光波场的复振幅描述
亥姆霍兹（Helmholtz)方程
常数幅相因子, A
随x,y线性变化的 位相因子
U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
光波场的复振幅描述
4、平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布.等位相 线是平行直线族. 为简单计, 先看k在x-z平面内: cosb =0 复振幅分布:
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关; • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算, 满足叠加原理 • 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动: u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布: I = UU*
光波的描述
光波的描述
光波是一种电磁波，具有特定的频率、波长和能量。
以下是光波的一些主要描述：
1.频率：光波的频率是指单位时间内波动的次数，通常以赫兹（Hz）为单位表示。
频率是光波的一个关键参数，因为它决定了光波的能量和颜色。
2.波长：光波的波长是指两个相邻波峰之间的距离，通常以纳米（nm）为单位表示。
波长与频率成反比关系，即波长越长，频率越低；反之亦然。
3.能量：光波的能量是由其频率和振幅决定的。
高频率的光波具有更高的能量，而低频率的光波能量较低。
4.方向性：光波具有特定的传播方向，其方向与电场强度和磁感应强度垂直的方向相同。
5.相干性：当两束或多束光波在空间或时间上存在固定的相位差时，它们之间的相互干涉现象称为相干性。
6.偏振：光波的电场强度在传播方向上具有一定的振动方向，这种特性称为偏振。
偏振是光波的一个重要特性，它决定了光波在传播过程中的行为。
总之，光波是一种具有特定频率、波长和能量的电磁波，它具有特定的传播方向、相干性和偏振特性。
这些特性使得光波在许多领域中具有重要的应用，如通信、照明、成像等。
（二十五）光波的数学表达式——波函数
（⼆⼗五）光波的数学表达式——波函数光波的数学表达式——波函数光波的定义光波，通常是指中的可见光。
通常是指频率范围在3.9×1014~7.5×1014Hz 之间的电磁波（由于频率数值太⼤，通常会⽤波长表⽰），其真空中的波长约为400~760nm ，有些⼈甚⾄能感知到380nm-780nm 。
光在真空中的传播速度为c =3×108m/s ，是⾃然界中运动的最快速度。
（摘⾃百度百科）光波作为⼀种特定频段是，其与有关。
中紫光频率最⼤，最短。
红光则刚好相反。
光波的属性光波具有（是指某物质同时具备波的特质及粒⼦的特质）：也就是说从微观来看，由组成，具有粒⼦性；从宏观来看⼜表现出。
光波是横电磁波，其中E 和B （或H ）彼此相互垂直，并且都与传播⽅向垂直。
（看动图：https:///pic/%E5%85%89%E6%B3%A2/10730221/0/023b5bb5c9ea15ce0be0c16ab1003af33a87b242?fr=lemma&ct=single#aid=0&pic=023b5bb5c9ea15ce0be0c16ab1003af33a87b242）注：光的传播形态分类根据传播⽅向上有⽆分量或分量，可分为如下三类，任何光都可以这三种波的合成形式表⽰出来。
TEM波：在传播⽅向上没有电场和磁场分量，称为横电磁波。
TE波：在传播⽅向上有磁场分量但⽆电场分量，称为横电波。
TM波：在传播⽅向上有电场分量⽽⽆磁场分量，称为横磁波。
注：横波和纵波分别指的是：波的振动⽅向与传播⽅向垂直的波称为横波，电磁波就是横波；波的振动⽅向和传播⽅向⼀致的波叫做纵波，如声波光波的数学描述-波函数(描述光波场（电场）在时间和空间上的分布)波动的特征：波，振动的传播。
振动在空间的传播形成物理量在空间的分布，形成波场。
==》光波中包含有电场⽮量和磁场⽮量，从波的传输特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作⽤来看，其作⽤不同。
光波场的复振幅描述 (1)
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量 k.
等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg)
k 的方向余弦, 均为常量
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const. 故平面波复振幅表达式为:
第1章 现代光学的数学物理基础
Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction
§1-1 光波场的复振幅描述 1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]
振幅 频率 初位相
x-y 平面上等位相线方程为 : x x y y C
球面波中心 在原点:
U (x, y)
a0 exp( z
jk z)
exp
j
k 2z
(x2
y2
)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且 这些平面垂直于 光波传播矢量 k.
k 的方向余弦 均
光波场的数学描述
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l
等位相面与x-z平面相交 形成平行直线
沿x方向的等相线 间距:
z
2p l X k cos a cos a
复振幅分布:
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
U ( x, y,) exp( j
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
1 cos a fx X l
Y = ∞, fy=0 复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
平面波的空间频率: 一般情形
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
P点处的复振幅:U ( P )
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0,Fra biblioteky0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
光波的数学描述
将U(P)exp(-j2pn t)代入波动方程
52 光的反射和折射的波动描述解析PPT课件
1= 0的正入射情况(或1非零,小角度入射)
光疏介质传播到光密介质界面
由于rs< 0，反射光中的 s 分量与规定方向相反（即为 垂直纸面向内方向）；
由于rp> 0，反射光中的 p 分量与规定正方向相同（逆
着反射光线看，指向右侧）。
E 1p
E '1 p k '1
入射 n2 n1 反射
E 1s
E 1p
入射 E 1 p
E 1s
k1
E '1 p
k '1
E '1 s n1
n2
E 1p
E '1 p k '1
H 1s k 1
n1
1 '1
H '1 s
n2
O
2
E 2p
H 2s k 2
在入射点处，入射光矢量 E1 与反射光矢量 E’1 方向近 似相同，不产生半波损失。
相位变化总结
A、光在两种介质表面折射时不发生相位变化
光波发生全反射。
由折射定律知
sinc
n2 n1
n
(5.2.40)
全反射的反射比变化
当入射角大于 c时，反射比
永远等于1（光在界面上发生
全反射时确实不损失能量）
n2 n1
5.2.2 （5）倏逝波
全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层 内（约为光波波长），并沿着界面传播一段距离 （古斯一哈思斯位移），再返回第一个介质。这个 透入到第二个介质中表面层内的波叫倏逝波。
E 2p
H 2s k 2
E 1s
H 1p k 1
n1 n2
E '1 s k '1 1 '1 H '1 p
光波场的空间频率和空间频率谱
2 x
k
2 y
+
k
2 z
=
2π v
(90)
1. 空间频率
所以，在 k 的三个分量中只有两个是独立变量，只 要知道了 k 在 xOy 平面上的两个分量 kx 和 ky，即 可由
kz =
2πv 2
k
2 x
k
2 y
确定 kz ，从而也就确定了 k 。
1. 空间频率
因此，在任意 z＝z0 的 xz0y 平面上，平面光波的复 振幅可以表示为
在 θ 方向观察时，波的空间周期是 r，相应的空间 频率为
fr = 1 = cos
(82)
r
显然，当 ＝ / 2
时，沿 x 方向的
1. 空间频率
对于如图所示的、在 xOy 平面内沿 k 方向传播的 平面光波，
E = E0e i( t k r × 0 )
=E e i( t kx x ky y 0
Ø此时可以利用二维傅里叶变换，将E(x,y)这个二维 空间坐标函数分解成无数个形式为exp[i2 (fxx+fyy)] 的基元函数的线性组合，即
2. 空间频率谱
E% (x, y)=F－1[Eð(fx , f y )] = － E% (fx , f y )ei2π(fx＋fy )dfxdf y (92)
k T
1 v
1. 空间频率 空间频率，即
f =1
(81)
它表示光波场沿波矢 k 方向每增加单位长度，光波 场增加的周期数。
1. 空间频率
光波的空间频率是观察方向的函数。例如，对于图所 示的、沿 z 轴方向传播的平面光，在波传播方向（z）
上，波长是 ，空间频率是 f＝1 / 。
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第一节 简谐波的数学描述 第二节 波动方程和叠加原理 第三节 傅立叶分析 第四节 光波是电磁波 第五节 光的偏振态
波动的特征
• 波，振动的传播。振动在空间的传播形 成物理量在空间的分布，形成波场。
• 波动的最基本特征是具有周期性。
光波场具有时间和空间两重周期性
• 波场中任一点：具有振动的周期性，即 时间周期性，用振动的周期T描述。
周期
T
空间周期
频率 1 T
空间频率 f 1
角频率
2
2
空间角频率
k 2f
2
T
时空量联系
Tk
光波场的复振幅描述
• 由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦或正 弦函数，所以可以用复数来描述光波的振动。
U ~ (r,t) A (r)e i[(r) t]
指数取正号
A(r)ei(r)eit
• 定态光波的频率都是相等的，可以不写在表达 式中。
• 定态部分，即与时间无关部分为
U ~(r)A(r)ei(r)
复振幅包含了振幅和位相，直接表示了定态 光波在空间P点的振动，或者说复振幅表示了 波在空间的分布情况。所以，凡是需要用振 动描述的地方，都可以用复振幅代表。
• 光波场在r点的强度
I(r) A 2 (r) U ~ * (r)U ~ (r)
二. 三维平面简谐波 波矢(波矢量)： 方向指向波的传播方向
相位增大称为滞后 相位减小称为超前
等相面(波面) ：波场中相位相同点的集合
k z t 0 k ( z z ) ( t t ) 0 = 定值
波面推移速度 相速(波速) z
t k
• 时空周期性
EE0co2s([zT t)0]
z 空间周期
t T 时间周期
波的时间周期性 波的空间周期性
x
2
解： ,,
2
2
0
00k c2 /
2
4
z
sin
cos
fx , fy 0, fz
dx
dxsin,Fra biblioteky,dz
cos
k
E(x,y,z;t)E0co2 s[{ xco2s()yco2szco sc]t} E0co2 s([xsinzco sc)t]
沿Z轴正方向传播的平面波
,0,krkz
2
E (z,t) E 0co k z st (0 )
x
z k
Q r
P
r
y
k 2
传播(常)数
(P)(Q)
z
(Q )krt0
k r k r kxx kyy kzz
等相面： kr常量
三维平面简谐波波函数
E(r,t)E0co s(Q)E0coP s)(
E0coks(rωt0) E0coksxx(kyykzzt0)
EE 0cok(x sc[o syco szco ) st0] E 0co2s(c[o xsco y sco zsT t)0]
右旋圆（椭圆）偏振光
左旋圆（椭圆）偏振光
圆（椭圆）偏振光可看成两个同频率、振动方向相互垂直、 有固定相位差的线偏振光的合成。
y x
4
2
3
5
3
7
4
4
2
4
0 , 2
右旋
左旋
⑴ 圆偏振和自然光、椭圆偏振光和部分偏振光的区别在于：圆 偏振光和椭圆偏振光相互垂直的两线偏振光是相位相关的；
I
E2
EP
E0 r
E(r,t)E r0coks r(t0)
考察场点与光源距离远大于光源线度—球面波场 考察波场区域远远小于r，考察区域为平面波场
x
r
S(xs, ys,zs)
P(x, y,z)
平面波---球面波当 r
且所考察面积趋于零时的情形 z
y
r [x (x s ) 2 ( y y s ) 2 ( z z s ) 2 ] 1 /2
x
2
考察方向与波传播方向夹角
0 E ( r ,t) E 0 c2 o (fc s r[ o t) s0 ]
2
4 z
f
f
cos
cos
dx
k
d
1 f
cos
例2.1 真空中一波长为 ,振幅为 E0 平面波，其波矢方
向在 x-z 平面内，且与z 轴夹角为 。求波函数表达
式及 xyz 方向的空间频率和空间周期。
“∣”：平行振动分量（ p 分量） “ • ”：垂直振动分量（ s 分量）
2、部分偏振光：
光矢量在某一方向的振动强于垂直于该方向的振动。
3、线偏振光（平面偏振光、完全偏振光）：
光矢量的振动方向始终在一个平面内。
4、圆偏振光和椭圆偏振光：
若光矢量 E 随时间匀速旋转，其端点在垂直于传播方向的平面 上的轨迹为圆，则称为圆偏振光；如果轨迹为椭圆，则称为椭 圆偏振光。
• 会聚球面波
k方向指向球心的球面波 krkr
EE r0coksr (t0)
§2.5 光的偏振态
1、自然光：
每一分子（原子）发光是随机的、无规
律的。①振动面取各方向的几率相等，
②各波列间无相位关系。
y
自然光等效看作两个相互垂直的光振动。 x
z
①两个光振动具有相等的振幅（强度），
②两个光振动无固定相位关系。
空间周期
dxco s,dyco,sdzco s
三 空间频率
维
1 c os 1 co s 1 cos fxd x ,fyd y ,fzd z
空间角频率
k x 2fx,ky 2fy,k z 2fz
矢量表示
k2f
空间角频率矢量
空间频率矢量
基本关系： cos2 cos2 cos2 1
f
( fx2
f
2 y
1
fz2)2
1
k
(kx2
ky2
1
kz2)2
2
- -波数
尽管各方向的空间频率不同—沿波的传播方向波场
的空间周期恒为 。空间频率恒为 f 。1/
结论：一组空间频率对应于沿一定方向传播的一列单 色平面波。
波函数用空间频率表示
E (r,t)E 0co 2 (s fr [ t) 0] E 0co 2(sfxx [fyyfzzt)0]
沿Z轴负方向传播的平面波
,0,krkz
2
E(z,t)E0cosk(zt0) E0coksz(t0)
三. 球面波
• 发散球面波
k方向沿径向背离球心S
k r kr k r t 0
k
r
S
P
假设离球心（光源）单位距离处的光强为 I ，0 P点处光
强 ，I P球面面积为 4r 2
能量守恒： I0412IP4r2 IPr I0 2
• 任一时刻：波场具有空间分布的周期性， 即物理量在空间作周期分布，用波长λ描 述。
§2-1 简谐波的数学描述
一.一维平面简谐波
单色平面波—振幅与传播方向均不变
• 波函数：沿 z 轴正向传播的一维平面波
E (z,t) E 0co k z st (0 )
相位 kzt0 --随k, z变化 可用