2-01 定态光波及复振幅描述
赵凯华光学1079186849178
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绪
论
把量子论贯穿到整个辐射和吸收过程中，提出了杰出的光量子（光子）理论，圆满解释了光电效应， 并为后来的许多实验例如康普顿效应所证实。1924年德布罗意（L.V.de Broglie，1892- ）创立了 物质波学说。他大胆地设想每一物质的粒子都和一定的波相联系 ，这一假设在1927年为戴维孙 （C.J.Davisson，1881-1958）和革末（L.H.Germer，1896-1971年）的电子束衍射实验所证实。 2.5现代光学时期 从本世纪六十年代起，特别在激光问世以后，由于光学与许多科学技术领域紧密结合、相互渗 透，一度沉寂的光学又焕发了青春，以空前的规模和速度飞速度飞速发展，它已成为现代物理学和 现代科学技术一块重要的前沿阵地，同时又派生了许多崭新的分支学科。 1958年肖络（A.L.Schawlow）和汤斯（C.H.Townes）等提出把微波量子放大器的原理推广到光 频率段中去，1960年梅曼（T.H.Maiman，1927- ），首先成功地制成了红宝石激光器。自此以后， 激光科学技术的发展突飞猛进，在激光物理、激光技术和激光技术和激光应用等各方面都取得了巨 大的进展。同时全息摄影术已在全息显微术、信息存贮、象差平衡、信息编码、全息干涉量度、声 波全息和红外全息等方面获得了越来越广泛的应用。光学纤维已发展成为一种新型的光学元件，为 光学窥视（传光传象）和光通讯的实现创造了条件，它已成为某些新型光学系统和某些特殊激光器 的组成部分。可以预期光计算机将成为新一代的计算机，想象中的光计算机，由于采取了光信息存 储，并充分吸收了光并行处理的特点，它的运算速度将会成千倍地增加，信息存储能力可望获得极 大的提高，甚至可能代替人脑的部分功能。总之，现代光学与其他科学和技术的结合，已在人们的 生产和生活中发挥着日益重大的作用和影响，正在成为人们认识自然、改造自然以及提高劳动生产 率的越来越强有力的武器。
哈尔滨工程大学-波动光学2-1波的基本性质
等相面为球面。 z P r y o x
相因子特点： 平面简谐波: 线性相因子
e
r r ik ⋅ r
=e
i(k x x + k y y + kz z)
球面简谐波: 非线性相因子
e
ikr
=e
ik
x2 + y2 + z2
或 ( 中心在(x0,y0,z0) 处)
e =e
ikr'
ik ( x−x0 )2 +( y−y0 )2 +(z−z0 )2
(+i) 表明是发散球面波。
Q
-R
z
例 4 求 U 3 ( x , y ) 的共轭波
~
~ ~ U 4 ( x , y ) = U 3* ( x , y )
~ U 4 ( x, y) =
a1 x2 + y2 + R2
exp( − ik x 2 + y 2 + R 2 )
~ U 3( x, y)
Q
x
(－i) 表明是汇聚球面 波。
美国ＵＣＳＤ的ＮＩＭ研究小组已经设计制成了具有负折射率的材料。 这种材料是由铜质方形裂环振荡器和一条细铜线嵌在玻璃纤维的底板 上形成的。铜质方形裂环振荡器（split ring resonator）和铜线分 别嵌在底板的两面。（如图所示）。将用这样的材料制成的棱镜与用 聚四氟乙烯（Teflon）制成的棱镜对比后发现，经两者折射的波偏离 主轴的方向相反。由此证明了这种材料具有负折射率的性质。
r r ↔ Acos(ω t − k ⋅ r − φ 0)
z
等相面 (波 面) 为平面。 k : 波矢, 沿等相面法线方向, 在各向同性介质中与光能传播 方向一致。 k=2π/λ x λ 为波长。 k P y
2-2定态光波
2.2.1定态光波： ⑴定态光波定义：
空间各点均为同频率的简谐振动； 空间各点振动的振幅不随时间变化。
⑵定态光波可用标量波来处理。 ⑶定态光波表示式：
U ( p, t ) A( p) cos[t ( p)]
2.2.2定态光波波函数中各个 物理量的含义
⑴ U ( p, t ) 电场矢量的瞬时值。 ⑵ A( p) 是电场矢量的振幅。 ⑶ ( p) 是初相位，与时间无关。 ⑷ 是简谐振动的频率。
2.2.Байду номын сангаас波矢、光程及相位：
r v 2 v ˆ ˆ k k kk r v 2 v ˆ ˆ k0 其中： k nk0 真空中的波矢： 0 k0 k0 k 0 v v ˆ 的方向为波的传播方向 ˆ 单位矢量 k 或 k0
0
Q
r
P
v v 2 v v 2 v v ˆ k r (k r ) (nk0 r ) k0 ( L)
⑴ 球面波的复振幅表达式：
( P) a ei ( P ) a exp(i ( P)) U r r v
v ( P) k r 0 kr 0
r ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
( P) a ei ( P ) a exp(i kr ) 发散球面波： U 0 r r 会聚球面波：U ( P) a ei ( P ) a exp(i kr 0 ) r r
U ( P) A( P)ei ( P ) A( P) exp(i ( P)) U ( P ) 称为定态光波的复振幅
⑵引入定态光波复振幅的意义： 为了运算的方便 ⑶注意： ①两种关系式只是对应关系， 不是相等关系 ②复振幅只用于运算 ③对应成相应的简谐式后 再讨论物理意义
PPT定态光波及其复振幅描述
i[ ( P )]
k x x k y y k z z 0
特点：振幅是常数，相位因子是坐标的线性函数
2) 球面波的复振幅表达式
a i[ ( P )] U ( P) e r
( P) k r 0 kr 0
y
S E H E
O
z
H
x
S
•对光波的描述：
波线
波面 （等相面） 球面波 --同心光束 点光源 平面波 --平行光
现代光学的思想就是要在复杂的波场中分 离出简单的成分—球面波和平面波。
3、定态光波
1）定态光波定义： 空间各点扰动均为同频率的简谐振动， （频率与振源相同） 空间各点振动的振幅不随时间变化。 在空间形成一个稳定的振幅分布。
--定态光波的复振幅
2）引入定态光波复振幅的意义： 为了运算的方便 3）注意： （1）两种关系式只是对应关系， 不是相等关系 （2）复振幅只用于运算 （3）对应成相应的简谐式后, 再讨论其物理意义
10、平面波和球面波的复振幅表达式
1）平面波的复振幅表达式
U ( P) Ae ( P) k r 0
2 2 2
r ( x x0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
振在波源上，形式会简单些。
3）复振幅与波形具有 一一对应的关系
已知波形可以写出其 复振幅表达式， 给出复振幅表达式能够 画出具体波形
11、光强度的复振幅表示式
A( P) cos[t (kr 0 )] A( P) cos[t ( P)]
5、平面波的具体表达式
1）选坐标原点为计算起点 X
《光学》教学大纲
《光学》教学大纲课程编号：102106课程名称：光学英文名称：Optics学分：4总学时：72实验（上机）学时：适用年级专业（学科类）：物理专业及相关专业,二年级第一、二学期一、课程说明（一）编写本大纲的指导思想为适应我校学分制教学计划的要求，体现科学性、思想性和实践性的基本要求，建立严谨的教学体系，特制定本大纲。
（二）课程目的和要求光学是普通物理中一个重要组成部分.通过本门课程的教学，使学生系统地掌握光的基本性质,基本原理和基本知识。
培养学生分析问题和解决问题的能力，本门课程一方面为后继课程的学习和专业训练提供必要的准备，另一方为学生将来从事科学研究,教学和其他工作打下良好的基础。
作为物理学的基本课程，应着重要求学生掌握物理学的基本概念和基本规律,使学生建立起鲜明的物理图象。
在教学中，还应通过分析、概括丰富的自然现象,联系科学发展和生产实际中的有关事例,注意采用演示实验、多媒体教学等手段，以及加强习题运算,课堂讨论等多种形式,贯彻理论联系实际的原则.了解光学的最新发展，体会到综合运用基础物理学知识联系实际、思索问题和解决问题的乐趣。
（三）教学的重点、难点：重点:共轴球面组成像光的干涉、衍射和偏振的基本原理及典型应用。
难点:运用菲涅耳公式解释半波损失问题偏振光的干涉旋光现象解释。
（四）知识范围及与相关课程的关系本课程研究光的传播规律以及光和物质相互作用问题. 学习本课程，应具备高等数学、力学及电磁学的基本理论。
同时本课程又与原子物理、电动力学、量子力学、激光原理、光纤通信、信息光电子学等后继课程有密切关系。
（五）教材及教学参考书的选用1、《光学》(上、下册), 赵凯华钟锡华,北京大学出版社，1996第五次印刷；2、《光学》，易明，高等教育出版社，1999年10月第一版；3、《光学》，章志鸣沈元华等，高等教育出版社，1995年5月第一版；4、《光学》，王楚汤俊雄，北京大学出版社，2001年7月第一版；5、《光学》，母国光战元令编，人民教育出版社，1979。
信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]
![信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/af5a75f44028915f804dc292.png)
2015/11/18§2‐1 二维光场分析1. 光振动的复振幅表示单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦(){}[2πνφ()],Re ()j t P u P t A P e--=用复指数函数表示上式：{}φ()2πνRe ()j P j tA P ee-=2015/11/18令-—复振幅()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场(){}φ()2πν,=Re ()j P j tu P t A P ee-00注：平方根二项式展开1 112b b +=+-2015/11/18)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。
Cy x =+βαcos cos 等相位线方程为可见，等位相线是一些平行直线。
2015/11/18π2yx-虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，——等相位线.2015/11/18如何理解空间频率、空间周期？2015/11/18若假设波矢k位于平面0x z exp[cos ]A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波2015/11/18空间频率与平面波的传播方向有关，——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，即在某方向上的空间频率就越小，——空间频率的最大值是波长的倒数。
2015/11/18尽管各方向的空间频率不同——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。
空间频率恒为λλ/1=f。
第二章波动光学引论.ppt
振动面上，又称线偏振光为平面偏振光。
线偏振光是偏振程度最强的光，又称线偏振
光为全偏振光。
3）线偏振光通过偏振片后的光强度
线偏振光
I0
P I
若入射的线偏振光强为：I 0
旋转偏振片P一周，
出射光强的变化为：I I0 0 I0
存在一个消光方向 , 在垂直 P 的透振方向上
y
E
O
x
2）椭圆偏振光通过偏振片后的光强度
P
椭圆振光
I I0
若入射的部分偏振光强为I 0
旋转偏振片P一周，出射光强的变化为：
I I M I m I M ,没有消光现象出现
I M与
I
的振动方向垂直。
m
3）椭圆偏振光能够分解成两束互相
垂直的线偏振光 y
E
Exiˆ
Ey
ˆj
Ex Ax cos(t)
3．光的五种偏振态
1）光是横波，才有不同的偏振状态
2）光波的五种偏振态： 线偏振光、自然光、部分偏振光、 圆偏振光和椭圆偏振光。
4．线偏振光
1)线偏振光的定义：
在垂直光传播方向的平面上，只有单一 方向的振动矢量，随着时间的推移，振 动矢量只改变大小、不改变方向。
2)振动面与平面偏振光
振动面：
线偏振光的传播方向与 振动方向构成的平面。
若两束线偏振光之间有稳定的相位差，
就能合成线偏振光、圆偏振光或椭圆偏 振光，不是自然光了。
9）部分偏振光能够分解成两束线偏振光
两束线偏振光的关系是：
（1）分解的方向可以任意，但两线偏振 光的方向必须互相垂直
（2）两束线偏振光的光强分别为 I M 与 I m
光波场的复振幅描述 PPT课件
球面波的等位相面: kr=c 为球面
源点S
z
0 x k: 传播矢量
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U (P) a0 e jkr r
练习 3
对于传播方向与z轴夹角为-30的情况,再 解上题.
光波场的复振幅描区分开
空间比时间更具体,更直观,是有形的 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等
空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向.
U (P) U (x, y)
a0 z
exp(
jk z)
exp
j
k 2z
(x x0 )2
(y
y0 )2
对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z > 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z < 0, 上式代表向 S 会聚的球面波.
sinq l
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 2
振幅为1, 波长为l 5nm 的单色平面波,
传播方向在xz平面内, 并与z轴夹角为30. 写出其复振幅表达siln式q , 并求出z = z1平面 上复振幅在x方向和y方向的空间周期Tx 和Ty, 以及相应的空间频率 fx 和 fy.
大学光学经典课件L6_定态光波及其复振幅描述
（平面波面）
3）振幅特点： A(P) A
8、相位的物理意义
1）相位表示一个振动的状态（振动 方向，大小，变化趋势）
2）可以比较两个振动的超前和落后 （谁先振动谁就超前）
3）通过比较初相位确定两个振动的 超前与落后
4）初相位 (P) 越小 振动越超前，初相位越大 振动越落后。
9、光程的表示式及其物理意义
面波的复振幅分布
1）已知一列平面波的传播方向平行于x z面，
与 z 轴成倾角 ，设坐标原点所在波面的位相
为 0 0 ，写出它在波前
振幅分布。
X
z k
0平面上的复
lP
x
Oz
Z
解：
E(P) Aexp(i(P))
首先分析在 z 0平面上的复振幅分布。
具体求解为：
X
k
(P) k r 0 kx x ky y kz z 0 l P
（1）两种关系式只是对应关系， 不是相等关系
（2）复振幅只用于运算 （3）对应成相应的简谐式后
再讨论物理意义
11、平面波和球面波的复振幅表达式
1) 球面波的复振幅表达式
E(P) a ei(P) a exp(i(P))
r
r
(P) k r 0 kr 0
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
r
QP
rrˆ
k kkˆ krˆ
(P) k r 0 kr 0 k r kr
（球面波面）
4）振幅特点：
A(P) a r
证明：由能量守恒定律：
I1 4r12 I 2 4r22
设：
r1 1 I1 a2 r2 r
A(P) a r
I1 r1
高等物理光学-2-1-无限大均匀各向同性介质中的光波场
E
B
k
概括平面电磁波的特性如下： 1. 2. 3. 电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直； E和B互相垂直，EB沿波矢k方向； E和B同相，振幅比为v．
v
1
1 0 r 0 r
c r r
式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们 是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速 度，这就是介质的色散现象。
亥姆霍兹在许多科学领域取得重要成就。 1847 年 发表关于能量守恒和转换定律的重要著作《论力的守 恒》，成为能量守恒学说的创立者之一。研究人眼的 光学结构，色视觉和色盲，发明了检眼镜。正确解释 耳骨的机制，研究耳蜗功能。把最小作用原理应用到 电动力学中，发展了电学理论，并研究电在导体中的 运动。对热力学也有贡献，首先把热力学原理应用于 化学方面。
平面波在x-y面上的等位相线
x cos y cos C
空间频率的物理意义
传播矢量
k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
对照振动周期T和频率v的关系可以看出，矢量 f 的大小 等于波长的倒数，反映了波动的空间频率(波长即空间周期)， 故称为平面光波的空间频率矢量。需要注意的是，与振动频 率不同，这里的空间频率f 是矢量，其方向代表该平面光波 的传播方向。波长相同但传播方向不同的平面光波，其空间 频率矢量f 也不同。 利用空间频率的概念，也可以 将平面光波的电场强度矢量表示 为下面的形式：
上式的一个解为：
2
E x E0e
ikx
ikx
或
E x E0 e
E
x
*
1.1 平面电磁波
2-01 定态光波及复振幅描述
例
平面波： i）振幅 A ( p ) 为常数，与场点无关 ii）位相 ϕ ( p ) 是空间（直角坐标）的线性函数
U 描述为： ( p , t ) = A cos[ ω t − k ⋅ r − ϕ 0 ]
其中：k 为波矢， r 为场点的位置 ϕ 0 为原点的初位相 球面波： i）振幅反比于场点到振源的距离（能量守恒） ii）位相是场点到振源距离的线性函数
a 描述为： U ( p , t ) = cos[ ω t − kr − ϕ 0 ] r 其中： k 为波矢的模， r 为场点到振源的距离
ϕ 0 为原点的初位相
例
定态电磁波（矢量波）：
⎧ E ( p , t ) = E 0 ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )] ⎨ ⎩ H ( p , t ) = H 0 ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )]
幅空间分布和位相空间分布于一身。其模量为振幅的 空间分布，辐角为位相的空间分布。
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.4 平面波和球面波的复振幅描述 平面波：
U ( p , t ) = A cos[ ω t − k ⋅ r − ϕ 0 ] ~ U ( p ) = Ae i ( k ⋅ r + ϕ 0 )
实际工作中，往往只需研究振动矢量中的某一分量， 这时，矢量波可简化为标量波处理，如在各向同性媒 质中满足傍轴条件时的干涉、衍射等问题。
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.3 复振幅描述
U ( p , t ) = A ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )] ~ U ( p , t ) = A ( p ) e − i [ ω t − ϕ ( p )] ~ U ( p , t ) = A ( p ) e iϕ ( p ) e − iω t ~ = U ( p ) e − iω t ——时空分离 ~ U ( p ) = A ( p ) e iϕ ( pp , t ) = cos[ ω t − kr − ϕ 0 ] r a i ( kr + ϕ 0 ) ~ U ( p) = e r
光学课程教学大纲
《光学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分课程名称：光学所属专业：材料物理课程性质：专业基础课学分：3.0（二）课程简介、目标与任务光学是自然科学中发展最早的学科之一，它与人类生活密不可分，与自然科学的发展密切相关。
光学是材料物理学本科专业的一门重要的专业必修基础课程，是研究光的本性、光的传播及光和物质的相互作用的基础学科，激光的出现和发展使光学的研究进入了一个崭新的阶段，更加扩大了光学在高科技领域、生产和国防上的应用。
通过本门课程的学习，使学生系统地掌握有关光学的基本概念，基本规律和基本的计算方法，掌握光学的基础理论，基础知识和基本技能，了解现代光学及光学与其他学科、技术相结合的发展状况，为学习后续课程以及今后的工作打下基础。
本课程的任务是使学生掌握光的干涉、衍射、偏振等基本现象、原理和规律，了解光学在科研、生产和实践上的应用；培养学生学习的兴趣；培养学生的学习能力、科学探究能力和分析解决问题的能力，培养学生实事求是、勇于探究的科学精神和辩证唯物主义世界观。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接学习光学，需要对电磁波理论和粒子理论有一定的了解，所以光学应滞后于高等数学、力学、电磁学等课程开设。
光学又是原子物理学、电动力学和量子物理学等课程的基础，应先于这些课程开设。
（四）教材与主要参考书。
教材：《现代光学基础》，钟锡华编著，北京大学出版社，2003年8月主要参考书：1.《高等物理光学》,羊国光,宋菲君编著,中国科学技术大学出版社,2008年9月2.《光学原理》,马科斯·玻恩著,电子工业出版社,2005年8月3.新概念物理教程《光学》,赵凯华编著, 高等教育出版社,2004年11月二、课程内容与安排按照光学的教学目的和要求，本大纲按54学时作安排，其内容及课时分配如下。
“*”号的内容作为了解，可以讲授，但是这些内容在考试时都不作统一要求。
2.1波动、复振幅的基本概念
(z
t T
)
0 ]
z 周期: z ~ z
t 周期: t ~ t T
( P)改变2，U(P,t)复原
一维平面波的时空双重周期性的比较
波的时间周期性
波的空间周期性
周期 T
空间周期
频率: 1
T
空间频率: f 1
角频率: 2 2
T
空间角频率: k 2 f 2
定态光波
条件：
（1）空间各点的扰动是同频率的简谐振荡 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间 形成一个稳定的振幅分布 满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的 单色波列。
当波列的持续时间比其扰动周期 长得多时，即可 将其当作无限长波列处理。
任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波 的迭加。
定态光波不是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。
定态光波的时空双重周期性
定态光波的描述
电磁波是矢量波，应该用矢量表达式描述。
但对符合上述条件的定态光波，通常用标量表 达式 描述：
U (P,t) A(P) cos[t (P)] A(P) cos[(P) t]
A(P) ：振幅的空间分布；(P) ：位相的空间分 布。
时空联系： v
Tk
平面波矢的方向角
波矢的方向可以用方向余弦角表示为 (, , )
在光学中，习惯用上述三个角的余角表示方向为
(1 ,2 ,3 )
平面波矢的数学表述
波矢
r
r
r
r
k k(cosi cos j cos k ) 0
方向余弦
位相 (x, y, z) k(x sin1 y sin2 z sin3) 0
光波场的描述
z
y
r [(x xs )2 ( y ys )2 (z zs )2 ]1/2
• 会聚球面波
k 方向指向球心的球面波 k r kr
E
E0 r
cos(kr
t
0)
§2.5 光的偏振态
1、自然光：
每一分子（原子）发光是随机的、无规
律的。①振动面取各方向的几率相等，
E0
cos[
2
(
cos
x cos
y cos
z
t T
)
0
]
空间周期
dx cos , d y cos , dz cos
三 空间频率
维
fx
1 dx
cos
,
fy
1 dy
cos
,
fz
1 dz
cos
空间角频率
kx 2fx , ky 2f y , kz 2fz
t T 时间周期
波的时间周期性 波的空间周期性
周期
T
空间周期
频率 1
T
空间频率 f 1
角频率
2
2
空间角频率
k 2f
2
T
时空量联系
Tk
光波场的复振幅描述
• 由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦或正 弦函数，所以可以用复数来描述光波的振动。
第二章 光波场的描述
第一节 简谐波的数学描述 第二节 波动方程和叠加原理 第三节 傅立叶分析 第四节 光波是电磁波 第五节 光的偏振态
现代光学(刘继芳)(第二版)1-3章 (1)
第1章 现代光学的数学物理基础 1. 平面波 平面波的特点是： 在各向同性介质中，光波场相位间
隔为2π的等相面是垂直于传播方向的一组等间距平面，场 中各点的振幅为一常量。
如图1.1-1所示，设平面光波沿z轴方向传播，观察点P 的矢径为r，坐标为(x,y,z)，光波在坐标原点的初相为jO,则 P点的初相为
3
第1章 现代光学的数学物理基础
式中: L为拉格朗日函数，它是广义坐标和广义速度的函数，
而积分是在时间上进行的。与之相比，费马原理是在空间变
量上进行积分的。注意到无限小弧长ds可写为
(1.13)
式中: “·”表示对z的微商。将s换成z，式(1.1-1)可改写
为
(1.1-
4)
4
第1章 现代光学的数学物理基础 由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的光学拉格朗
11
第1章 现代光学的数学物理基础 1.1.2 光波场的复振幅描述
为了数学运算方便，通常把光波场用复指数函数表示为
(1.1-15) 为简单起见，通常又把取其实部的符号Re{}略去，简写为
(1.1-16) 12
第1章 现代光学的数学物理基础
对于单色光波，式(1.1-16)中的时间因子
不随
空间位置变化，在研究光振动的空间分布时，可将其略去。
此外，在量子力学中，能量相当于算符
而在波动光学中，它对应为
应用光学哈密顿
量，可以写出相应的薛定谔方程:
即 (1.1-12)
9
第1章 现代光学的数学物理基础 应用式(1.1-11)， 式(1.1-12)变为
(1.1-13)
式中: Ψ为波函数。式(1.1-13)
比较，能够看出
《光学》课程教学大纲
《光学》课程教学大纲一、课程说明本课程总授课时数为64学,周学时4，学分4分，开课学期第三学期。
1.课程性质：专业必修课光学是物理学专业本科生必修的基础课程。
光学是物理学中最古老的一门基础学科，又是当前科学领域中最活跃的前沿阵地之一，具有强大的生命力和不可估量的发展前途。
学好光学，既能为物理学专业学生进一步学习原子物理学、量子力学、相对论、电动力学、现代光学、光电子技术、激光原理及应用、光电子学、光子学等课程准备必要的前提条件，又有助于进一步探讨微观和宏观世界的联系与规律。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
从兰州大学物理学院课程的整体设置出发，考虑到物理基地班与普通班的各自办学特点和人才培养的要求，对光学课程的教学内容进行适当的调整，适当压缩几何光学部分，删除原课程中与其他学科相重复的部分以及相对陈旧的内容，吸收利用最新科学研究成果，着重加强现代光学部分的讲授内容，并注意介绍光学研究前沿新动态，按照物理学近代发展的要求和便于学习的原则组织课程体系。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
2.课程教学目的与要求(1)了解光学发展的基本阶段，培养科学研究的素质，加深辩证唯物主义的理解。
(2)了解光学所研究的内容和光学前沿研究领域的概况，培养有现代意识、有远见的新一代大学生。
(3)掌握光学的基本原理、基本概念和基本规律。
培养掌握科学知识的方法。
(4)掌握处理光学现象及问题的手段和方法。
培养科学研究的方法。
(5)光学是当前科学领域中较活跃的前沿学科之一，它与科学和技术结合日益加强，在教学中要展现现代光学技术的成就。
(6)在教学中要注意培养学生严谨的治学态度，引导学生逐步掌握物理学的研究方法和培养浓厚的学习兴趣。
光波场的复振幅描述 (1)
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量 k.
等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg)
k 的方向余弦, 均为常量
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const. 故平面波复振幅表达式为:
第1章 现代光学的数学物理基础
Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction
§1-1 光波场的复振幅描述 1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]
振幅 频率 初位相
x-y 平面上等位相线方程为 : x x y y C
球面波中心 在原点:
U (x, y)
a0 exp( z
jk z)
exp
j
k 2z
(x2
y2
)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且 这些平面垂直于 光波传播矢量 k.
k 的方向余弦 均
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a U ( p , t ) = cos[ ω t − kr − ϕ 0 ] r a i ( kr + ϕ 0 ) ~ U ( p) = e r
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.5 强度的复振幅描述
~* ~ I ( p ) = U ( p ) ⋅U ( p )
作业
p.147: 1, 3, 6
幅空间分布和位相空间分布于一身。其模量为振幅的 空间分布，辐角为位相的空间分布。
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.4 平面波和球面波的复振幅描述 平面波：
U ( p , t ) = A cos[ ω t − k ⋅ r − ϕ 0 ] ~ U ( p ) = Ae i ( k ⋅ r + ϕ 0 )
其中： p 为场点， ( p ) 为振幅的空间分布 A ϕ ( p ) 为位相的空间分布
例
平面波： i）振幅 A ( p ) 为常数，与场点无关 ii）位相 ϕ ( p ) 是空间（直角坐标）的线性函数
U 描述为： ( p , t ) = A cos[ ω t − k ⋅ r − ϕ 0 ]
其中：k 为波矢， r 为场点的位置 ϕ 0 为原点的初位相 球面波： i）振幅反比于场点到振源的距离（能量守恒） ii）位相是场点到振源距离的线性函数
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.1 波动概述 1.2 定态光波的概念 1.3 复振幅描述 1.4 平面波和球面波的复振幅描述 1.5 强度的复振幅描述
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
光波的特点：i） 波长短（100nm），频率高（fs） ii）发射源是微观客体 1.1 波动概述 振动在空间的传播→振动场 i）基本特点：时空双重周期性 ii）分类： 标量波：温度、密度、…… 矢量波：电磁波、…… 张量波：固体中的声波、…… iii）几何描述： 波面：等相位面 波线：能量传播的方向 球面波→波面为球面→同心光束 平面波→波面为平面→平行光束（特殊的球面波）
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.2 定态光波的概念 定态波场：i）空间各点的扰动是同频率的简谐振动 ii）波场中各点扰动的振幅不随时间变化， 扰动在空间形成一个稳定的振幅分布 定态标量波的数学描述：
U ( p , t ) = A ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )]
a 描述为： U ( p , t ) = cos[ ω t − kr − ϕ 0 ] r 其中： k 为波矢的模， r 为场点到振源的距离
ϕ 0 为原点的初位相
例
定态电磁波（矢量波）：
⎧ E ( p , t ) = E 0 ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )] ⎨ ⎩ H ( p , t ) = H 0 ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )]
实际工作中，往往只需研究振动矢量中的某一分量， 这时，矢量波可简化为标量波处理，如在各向同性媒 质中满足傍轴条件时的干涉、衍射等问题。
第二章：波动光学基本原理 § 1 定态光波与复振幅描述
1.3 复振幅描述
U ( p , t ) = A ( p ) cos[ ω t − ϕ ( p )] ~ U ( p , t ) = A ( p ) e − i [ ω t − ϕ ( p )] ~ U ( p , t ) = A ( p ) e iϕ ( p ) e − iω t ~ = U ( p ) e − iω t ——时空分离 ~ U ( p ) = A ( p ) e iϕ ( p ) 为复振幅，集定态波场中的振