南海中学分校2016届高三数学(理)每周一测(1)
南海中学2016届高三理科数学每周一测10
南海中学2016届高三第一学期理科数学周测10考试时间:2015年11月15日18:30～20:30命题: 南海中学 刘学文★祝同学们考试顺利★本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+2.已知2{|{|lg }A x y B y y x a ====+，若A B ⊆则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)10+∞B ．1010a << C ．1a > D ．01a <≤3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内,直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( )A . 充要条件B . 充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分不必要条件4.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则()()21230a a a a -->D ．若120a a <<，则2a >5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）A ．232B ．252C ．472D ．4846.非零向量,a b 夹角为120，且1a b -= ，则a b + 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 7.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）A ．45B ．60C ．120D ．210第10题图8.函数sin xy x=,()(),00,x ππ∈- 的图像可能是下列图像中的（ ） A ． B ． C ． D ．9. 如图,111A B C ABC -是直三棱柱,90BCA ∠=︒,点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点,若1BC CA AA ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．101510．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数： sin()y A x b ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为（ ）A ．26CB ．27CC ．28CD ．29C11.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,21F PF ∆是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12B .23C ．45D ．3411.【解析】D ；因为21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有212F F F P =，因为01230PF F ∠=，所以0260PF D ∠=,0230DPF ∠=，所以22121122F D PF F F ==，即31222a c c c -=⨯=， 所以322a c =，即34c a =，所以椭圆的离心率为34e =，选D.12．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）第14题图A ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭ B ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ C ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ 12.【解析】B ；由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是B ，选项A 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11()1f k k>-，选项CD 无法判断，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．13．21n-14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 ． 14．12-15．在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是 ．15.【解析】124； 由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ，故三棱锥P －A 1MN 与 三棱锥P －AMN 体积相等，三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积 的14，高为1故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424⨯⨯=16．已知由不等式组00(0)240x y k y kx y x ≤⎧⎪≥⎪≤⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，点(,)M x y ∈Ω，则12z x y =+的最大值是 ．16.【解析】52； 联立直线240y kx y x -=⎧⎨--=⎩知242(,11k A k k ---，画出可行域知若要面积为7，则12212-1k ⨯⨯=解得1k =-，则(1,3)A -；由可行域知当目标函数通过点(1,3)A -时取得最大值52三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围．17.解（Ⅰ）由余弦定理可得：c a abc b a b -=-+⋅222222，即ac b c a =-+222， ∴212cos 222=-+=ac b c a B ，由),0(π∈B 得3π=B ． ………5分 （Ⅱ）由3π=B 得，A C -=32π，………6分 ∴ A A A A A C A 2s i n 21c o s s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-=π41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A ．………9分 ∵ )32,0(π∈A ，∴ )67,6(62πππ-∈-A ，………10分 ∴ 162sin(21≤-<-πA ，………11分∴ C A sin sin 的取值范围为43,0(．………12分18.(本小题满分12分)A 1AB C C 1 B 1MNP某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率． 18.【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2分通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．………… 6 分 (Ⅱ)记1A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，C A2与C B2独立，1B C 与2B C 互斥，1B C C =⋃1A C 2B C 2A C ， 所以P (C )＝P (1B C 1A C ∪2B C 2A C )＝P (1B C 1A C )＋P (2B C 2A C ) ＝P (1B C )P (1A C )＋P (2B C )P (2A C )．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为，，，2082010204,2016故P (1A C )＝1620，P (2A C )＝420，P (1B C )＝1020，P (2B C )＝820，所以P (C )＝1610480.48.20202020⨯+⨯=… 12 分19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：//PB 平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D AE C --为60，1,AP AD ==E ACD -的体积．PADCE19.【解析】(Ⅰ)证明：连接BD 交于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以//EO PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC . …………………………4分(Ⅱ)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，………………5分则1(0,0,0),)2A D E，1)2AE = . ………………6分设(,0,0)(0),((B m m C m AC m >=． ………………7分 设(,,)x y z =n 为平面AEC 的法向量，则由AE AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得00AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，所以0102mx y z ⎧+=+=.取=-n ………………9分 1(1,0,0)=n 为平面DAE的法向量，则111||1|cos ,|||||2⋅<>===⋅n n n n n n 解得32m =.………………10分因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12.三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=. ……………12分20.(本小题满分12分)设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切,记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . (Ⅰ) 求曲线W 的方程；(Ⅱ) 过点F 作互相垂直的直线1l 、2l ,分别交曲线W 于点A 、B 和点C 、D ,求四边形ACBD 面积的最小值.20.【解析】(Ⅰ)过点P 作PN 垂直于直线32y =-,垂足为N ,依题意得PF PN =,由抛物线的定义可知,动点P 的轨迹是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点,直线32y =-为准线的抛物线,所以曲线W 的方程是26x y =.…………………………4分(Ⅱ)依题意,直线1l 、2l 的斜率存在且不为零,设1l :32y kx =+,2l :132y x k =-+. ……………5分 设()11,A x y ,()22,B x y ,联立2326y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,消去y 整理得2690x kx --=,………………………6分所以126x x k +=,()21212363y y k x x k +=++=+,所以212123336622AB y y y y k ⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(说明:也可以用弦长公式AB =()261k +.)………………………8分同理可得CD 2161k ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ……………………………………………………………………………9分 因此,四边形ACBD 的面积12S AB CD =⋅=()2211811k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭221182k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭………10分≥182⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭72=,当且仅当221k k =,即1k =±时取得“=”号. 因此,四边形ACBD 的面积最小值是72.……………………………………………………………12分21.(本小题满分12分) 设函数21()ln 2f x x ax bx =--. (Ⅰ) 当12a b ==时,求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ) 令21()()2aF x f x ax bx x=+++(03x <≤)其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立,求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 当0a =,1b =-,方程22()mf x x =有唯一实数解,求正数m 的值.21．【解析】(Ⅰ) 依题意,知()f x 的定义域为()0,+∞,当12a b ==时,211()ln 42f x x x x =--,111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=……………………1分令()0f x '=,解得1x =(因为0x >),且当01x <<时,()0f x '>,()f x 单调递增；当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.所以()f x 的最大值为3(1)4f =-.……………………3分(Ⅱ)()ln ,(0,3]a F x x x x =+∈,则有00201()2x a k F x x -'==≤在0(0,3]x ∈上恒成立,所以a 200max12x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭,]3,0(0∈x ,当10=x 时,02021x x +-取得最大值21, 所以实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……………7分(Ⅲ) 因为方程2)(2x x mf =有唯一实数解,所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解,设2()2ln 2g x x m x mx =--,则2222()x mx m g x x--'=,令()0g x '=,20x mx m --=因为0,0m x >>,所以102m x =<(舍去),22m x =当2(0,)x x ∈时,()0g x '<,()g x 在2(0,)x 上单调递减,当2(,)x x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在2(,)x +∞上单调递增, 所以()g x 的最小值为2()g x .……………9分依题意22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩ 即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以222ln 0m x mx m +-=,因为0m >,所以222ln 10()x x +-=*……………11分 设函数()2ln 1h x x x =+-,因为当0x >时,()h x 是增函数,所以()0h x =至多有一解.又0)1(=h ,所以方程(*)的解为21x =,1=,解得21=m ………………12分请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请填涂所选题号. 22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(Ⅰ)写出C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 22．【解析】(Ⅰ)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=………………4分(Ⅱ)设132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，………………5分=，………………8分故当0t =时，PC 取得最小值，………………9分 此时P 点的坐标为(3,0).………………10分23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲 已知函数122)(--+=x x x f (Ⅰ)解不等式2)(-≥x f ；(Ⅱ)对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围. 23．【解析】(Ⅰ) ()f x ≥-2 当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ；当12<<-x 时，23-≥x ,即32-≥x ,∴213x -≤< 当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6综上，{x |23-≤x ≤6} ………5分(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<--≤-=1,412,32,4)(x x x x x x x f 函数()f x 的图像如图所示：令a x y -=，a -表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，-∴当-a≥2，即a ≤-2时成立； …………………8分当2<-a ，即2->a 时，令a x x -=+-4， 得22a x +=∴a ≥2+2a ,即a ≥4时成立，综上a ≤-2或a ≥4。
广东省佛山市第一中学2016届高三上学期周练数学理试题 精品
佛山市第一中学高三9月理数一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝；②错误！未找到引用源。
是周期函数；③错误！未找到引用源。
是单调函数；④错误！未找到引用源。
是偶函数；其中正确的结论个数为：A ．0B ．1C ．2D ．32、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A 、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线C ：错误！未找到引用源。
（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
3、错误！未找到引用源。
= ．4、错误！未找到引用源。
＝________．5、已知函数错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）是区间错误！未找到引用源。
上的单调函数，则错误！未找到引用源。
的取值范围是 ．6、若函数错误！未找到引用源。
恰有两个零点，则错误！未找到引用源。
的取值范围为 ；7、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是.8、已知真命题:“函数错误！未找到引用源。
的图像关于点错误！未找到引用源。
成中心对称图形”的充要条件为“函数错误！未找到引用源。
是奇函数”.则函数错误！未找到引用源。
图像的对称中心坐标为 .9.已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（6分）（2）若错误！未找到引用源。
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )－c ≤0，求实数c 的取值范围．（6分）10、如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.⑴求证：AC ⊥平面BDE ；（5分）⑵求二面角D BE F --的余弦值；（7分）11.某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为.（1）求图中错误！未找到引用源。
2016海南省高三压轴题数学试卷(理)含答案解析
2016届海南省高考压轴卷 数学（理） 含解析本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列命题中的说法正确的是（ ）A ．若向量//，则存在唯一的实数λ使得λ=；B ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”；C ．命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有012>++x x ”；D ．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的不充分也不必要条件； 2．如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．155i 2+ B ．2155i + C ．155i 2-- D ．2155i -- 3．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．154．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．145．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A ：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B ：“三次取到的球颜色都相同”，则(|)P B A =（ ）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 6、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A.314 B.4 C.310D.3 7．已知)(1123*∈-=N n n a n ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为（ ）A.13B.12C. 11D.108．方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解所在的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(13) B ．(3,22)C ．(1)+∞D ．(1,110．下列程序框图中，输出的A 的值A.128B.129C.131D.13411．函数()3sin ln(1)=⋅+f x x x 的部分图象大致为（ ）12．设()()2,,,f x ax bx c a b c R e =++∈为自然对数的底数.若()()'ln f x f x x x>，则（ ） A ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e <> B ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e << C ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >< D ．()()()()22ln 2,2f f e f e f e >>二、填空题（题型注释）13．如图正方形OABC 的边长为cm 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ．14．设204sin n xdx π=⎰，则n xx x x )2)(2(-+的展开式中各项系数和为_________.15．设实数x ，y 满足20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =-的取值范围是 ．16．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为_________________． 三、解答题（题型注释） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .18．如图，矩形1221A A A A ''，满足B C 、在12A A 上，11B C 、在12A A ''上，且1BB ∥1CC ∥11A A '，122A B CA ==，BC =11A A λ'=，沿1BB 、1CC 将矩形1221A A A A ''折起成为一个直三棱柱，使1A 与2A 、1A '与2A '重合后分别记为1D D 、，在直三棱柱111DBC D B C -中，点M N 、分别为1D B 和11B C 的中点．(I)证明：MN ∥平面11DD C C ；(Ⅱ)若二面角1D MN C --为直二面角，求λ的值．19．甲箱子里装有3个白球m 个黑球，乙箱子里装有m 个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖 （1） 当获奖概率最大时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则0ξ=，求ξ的分布列和E ξ．20．如图，抛物线24(0)y mx m =>的准线与x 轴交于点1F ，焦点为2F ．以12,F F 为焦点，离心率为12的椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长2PF 交抛物线于点Q ，M 是抛物线上位于,P Q 之间的动点．（1）当1m =时，求椭圆的方程；（2）当12PF F ∆的边长恰好是连续的三个自然数时，求MPQ ∆面积的最大值． 21．设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点 (),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立． （1）求函数()k x 的表达式；（2）求证：1112(1)(2)()2nk k k n n +++>+ ()n *∈N ． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若C C M =B ．（1）求证：∆APM ∽∆ABP ；（2）求证：四边形CD PM 是平行四边形． 23．选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点C B A ,,（1）求证：OB OC +； （2）当12πϕ=时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值24．（本题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知关于x 21x x m -+对于任意的[1,2]x ∈-恒成立 （Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数()21(2)f m m m =+-的最小值．2016海南省高考压轴卷数学理一、选择题1、试题分析：当0,0a b ≠=时，不存在实数λ使a b λ= ，所以A 错；否命题是将命题中的条件与结论同否定，所以B 错；命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有210x x ++≥”，所以C 错；命题“5≠a 且5-≠b ⇒0≠+b a ”的逆否命题为：“05a b a +=⇒=或5b =-”是假命题，故原命题为假命题，“0≠+b a ⇒5≠a 且5-≠b ”的逆否命题为：“5a =或5b =-⇒0a b +=或5b =-”是假命题，故原命题为假命题，所以“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的不充分也不必要条件． 2、试题分析：由图知，12z i =--，2z i =，所以21(2)122(2)(2)55z i i i i z i i i -+===-------+，故选C ． 考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算 3、试题分析：103)22cos(cos2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-=2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍 考点：齐次式．4、试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人 考点：系统抽样5、试题分析：由题意11111111122222422211111166666633()(|),()C C C C C C C C C P A B P A C C C C C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅⋅⋅，则()1()()3P AB P B A P A ==，故选B.考点：条件概率.6、试题分析：由三视图可知，截面如图所示，可知所求几何体的体积为正方体体积的一半，由823==正方体V ，故所求几何体体积为4.7、试题分析：由()3211n a n N n *=∈-，可得11029560a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，110a >，90S ∴<，10110,0S S =>，使0n S >的n 的最小值为11，故选C.考点：数列的通项及前n 项和.8、试题分析：由题设()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,111211333333111221210,033233234f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B ． 考点：幂函数性质；函数的零点9、试题分析：由题意24590BAF ︒<∠<︒，即2tan 1BAF ∠>，21b F A a =，122F F c =，所以221c ba>，22ac b >，即222c a ac -<，2210e e --<，解得11e <1e >，所以11e <<+选D ．考点：双曲线的几何性质．10、试题分析：根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.11、试题分析：由题意得()3sin ln(1)=⋅+f x x x ，知1x >-，当2x π=时，()3s i n l n (1)3l n (1)3l n 32222f e ππππ=+=+<=，因为()13c o s l n (1)3s i n 1f x x x x x '=++⋅+，令()0f x '=，即13cos ln(1)3sin 01x x x x ++⋅=+，当0x π<<时，1ln(1)0,sin 0,01x x x +>>>+，因为cos 0x <，所以2x ππ<<，所以函数的极值点在(,)2ππ，故选B ．考点：函数的图象及函数的零点问题．12、由不等式()()'ln f x f x x x >启发，可构造函数()()ln f x F x x=，则()()()()2ln ln f x f x x x F x x '-'=，又由()()'ln f x f x x x >，得()()ln 0f x f x x x'->，即()F x 在()0,+∞上为单调递增函数，因为22e e <<，所以()()()22F F e F e <<，即()()()222l n 2l n l n f e f f e e e <<，又2ln 1,ln 2e e ==，整理可得()()2ln 2f f e <，()()22f e f e <.故正确答案选B.二、 填空题13、试题分析：水平放置的平面图形的直观图是用斜二测画法，所以与x 轴平行的保持不变，与y 轴平行的变为原来的一半，所以将直观图还原如图所示的图形，11,OA=12OB OB ==113A B ∴=所以原图形的周长是cm 8．14、试题分析：因为2204sin 4cos 4cos4cos042n xdx xπππ==-=-+=⎰，则422()()x x x x +-，令1x =，则422()()x x x x+-的展开式中各项系数和为4(12)(12)3+-=.15、试题分析：作出可行域，令x y t =，则由xy的几何意义可知取点P 时，t 取得最大值2，取点Q 时，t 取得最小值31，则]2,31[∈t ，又t t z 1-=，由t y =及t y 1-=单调递增，可知tt t f 1)(-=单调递增，故38331min -=-=z ，23212max =-=z ，所以y x z x y =-的取值范围是83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．16、试题分析：在ABC ∆中，3cos cos 5a B b A c -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin C 5A B -B A = ()333sin sin cos cos sin 555=A +B =A B +A B ，即s i n c o s 4c o s s i n A B=A B ，则t a n 4t a n A B =；由t a n 4t a n AB=得tan 4tan 0A B =>，()2tan tan 3tan 3tan 11tan tan 14tan 4tan tan A -B B A -B ===+A B +B +B B34≤=，当且仅当14tan tan B B =，1tan 2B =，tan 2A =时，等号成立，故当tan 2A =，1tan 2B =，tan()A B -的最大值为34，故答案填34.三、解答题17、试题解析（1）由已知得23321+⨯=n n S ，所以31=a ，当1>n 时，02=-052=-+y02=1113)23321()23321(---=+⨯-+⨯=-=n n n n n n S S a 所以{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧>=-13131n n n（2）1=n 时将31=a 代入3log n n n a b a =中得，313log 3131=⇒=b b 1>n 时将13-=n n a 代入3log n n n a b a =中得n n n n n n b b ------=⇒=111311313log 3）（ 1=n 时，3111==b T 1>n 时，]3)1(3)2(......3231[31......12211321n n n n n n n b b b b b T -----⨯-+⨯-++⨯+⨯+=+++++= ]3)1(3)2(......3231[1......3323101321n n n n n n n b b b b b T ----⨯-+⨯-++⨯+⨯+=+++++=）（n n n n n T T ------+++++=-122103)1(3 (3333)23 ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 即n T 21363623nn +=-⨯，所以n n n T 34361213⨯+-= 将1=n 代入此时得311=T ,所以数列{}n b 的前n 项和为n n 34361213⨯+- 18、试题解析：（1）在第一个箱子中摸出一个球是白球的概率为133P m =+，在第二个箱子中摸出一个球是白球的概率为22m P m =+，所以获奖概率12336325m P PP m m m m==⋅=≤++++当且仅当6m m =，即m =时取等号，又因为m 为整数，当2m =时，333210m P m m =⋅=++，当3m =时，333210m P m m =⋅=++，所以2m =或3时，max 310P =…………4分（2）ξ的取值有0，1，2，3，4，由（1）可知班长摸奖一次中奖的概率为310，由n 次独立重复试验的恰好3000210021470310294157261.57261000010000E ξ+⨯+⨯+⨯===19、试题解析：（Ⅰ）证：连结DB 1 、DC 1 ∵四边形DBB 1D 1为矩形，M 为D 1B 的中点 2分∴M 是DB 1与D 1B 的交点，且M 为DB 1的中点∴MN ∥DC 1，∴MN ∥平面DD 1C 1C 4分 （Ⅱ）解：四边形1221A A A A ''为矩形，B.C 在A 1A 2上，B 1.C 1在12A A ''上， 且BB 1∥CC 1∥'11A A ，A 1B = CA 2 = 2，BC =∴∠BDC = 90° 6分以DB 、DC 、DD 1所在直线分别为x.y.z 轴建立直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，λ)，B 1(2，0，λ)，C 1(0，2，λ) 点M 、N 分别为D 1B 和B 1C 1的中点，∴(10)(11)2M N λλ，，，，，设平面D 1MN 的法向量为m = (x ，y ，z)，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=-⋅00220)11()(0)221()(z y x z y x z y x z y x λλλλ，，，，，，，，， 令x = 1得：21y z λ=-=，即2(11)λ=-，，m 8分设平面MNC 的法向量为n = (x ，y ，z)，则()(11)02022()(11)00z x y z x y x y z x y z λλλλ⎧⎧⋅-=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅-=-+=⎩⎩，，，，，，，，，令z = 1得：322x y λλ=-=-， 即3(1)22λλ=--，，n 10分 ∵二面角D 1－MN －C 为直二面角 ∴m ⊥n ，故32022λλλ⋅=-++=m n，解得：λ=∴二面角D 1－MN －C为直二面角时，λ= 12分20、（1）当1m =时，12(1,0),(1,0)F F -，1,2,c a b ===22143x y +=．（2）将24y mx =代入椭圆方程2222143x y m m+=得22316120x mx m +-=，即(6)(32)x m x m +-5m 7m 6m 2m 2 6m ,| PF1 | ,| F1 F2 | ．∵ PF1 F2 的边长恰好是连续的三个自然数，∴ , ) ，∴ | PF2 | 3 3 3 3 3 9 25 直线 PQ 的方程为 y 2 6( x 3) ， 代入抛物线方程 y 2 12 x 得 Q( , 3 6) ， ∴ | PQ | ． 设 m 3 ， P(2, 2 6) ， 2 2 0 ，得 P(t2 M ( ,) (3t6 1226 ) t，则点 M 到直线 PQ 的距离 d 6 6 2 75 6 5 6 时， d max ，∴ | (t ) | ，当 t 2 30 2 2 4125 6 . 16 考点：1、抛物线的几何性质；2、椭圆的几何性质.MPQ 面积的最大值为【方法点晴】 （1）当 m 1 时，求出焦点坐标，得 c 1, a 2, b 3 ，求出椭圆方程； （2）联立抛物线与椭圆 得到关于 x 的二次方程，求出点 P 的坐标， | PF2 |5m 7m 6m ,| PF1 | ,| F1F2 | ， PF1 F2 的边长恰好是连续的三 3 3 3个 自 然 数 ， m 3 . 此 时 P( 2 , 2 6 ) ， 求 出 直 线 PQ 的 方 程 ， 代 入 抛 物 线 方 程 得 Q 点 坐 标 及 | PQ | ． 设M(6 6 2 75 6 5 6 t2 ， 则点 M 到直线 PQ 的距离 d 当t 时， ， MPQ | (t ) |， d max ,t ) ( 3 6 t 2 6 ) 12 2 30 2 2 4 125 6 . 162面积的最大值为21、试题解析： （1）解：由已知得： k ( x) f ( x) ax bx c ．1 1 x 为偶函数，有 b ． 2 2 1 又 k (1) 0 ，所以 a b c 0 ，即 a c ． 2 1 2 1 1 2 1 1 因为 k ( x) x 对一切实数 x 恒成立，即对一切实数 x ，不等式 ( a ) x x c 0 恒成立．当 2 2 2 2 2 1 a 时，不符合题意． 22 由 g ( x) ax bx c 1 a 0, 1 2 当 a 时， 1 2 4(a 1 )(c 1 ) 0. 4 2 2所以 k ( x ) ac 1 1 ，得 a c ． 2 41 2 1 1 x x ． 4 2 4n2 2n 1 (n 1) 2 1 4 （2）证明： k (n) ，所以 ． 4 4 k (n) (n 1)2因为1 1 1 1 ， 2 (n 1) (n 1)(n 2) n 1 n 2所以 4 1 1 1 1 1 4n 1 1 1 1 4 „11 分 2 2 2 2 3 2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 4 n 1 所以1 1 1 2n 成立 k (1) k (2) k ( n) n 2考点：1．函数的奇偶性；2．二次函数的性质；3．裂项相消法求和；4．不等式的证明．22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 试题解析：证明： （1） 是圆 的切线， 是圆 的割线， 是 的中点， ， ，2 2又 ， ∽ ， ，即 ． C C ， C C ， ， ∽ （2） CD ， CD ，即 CD C ， //CD ， ∽ ， ， 是圆 的切线， C ， C ，即 DC C ， C//D ， 四边形 CD 是平行四边形．考点：1、圆的内接四边形的判定定理；2、圆周角定理；3、同弧或等弧所对的圆周角相等；4、割线定理． 23．选修 4—4：坐标系与参数方程 试题解析： （1）依题意 OA 4 cos , OB 4 cos , OC 4 cos 则 4 4 OB OC 4 cos + 4cos 4 4 = 2 2 cos sin + 2 2 cos sin = 4 2 cos = 2 OA （2） 当 12时，B,C 两点的极坐标分别为 2, , 2 3, 6 3 化为直角坐标为 B 1, 3 ，C 3, 3 程为 y 3x 2 所以 m 2, C 2 是经过点 m,0 且倾斜角为 的直线，又因为经过点 B,C 的直线方2 3考点：极坐标的意义，极坐标与直角坐标的互化 试题解析： （Ⅰ）∵关于 x 的不等式 2 x x 1 m 对于任意的 x [1, 2] 恒成立 m ( 2 x x 1)max 3 分根据柯西不等式，有 ( 2 x x 1)2 (1 2 x 1 x 1)2 [12 12 ] [( 2 x )2 ( x 1)2 ] 61 时等号成立，故 m 6 ．5 分 2 1 1 1 1 (m 2) (m 2) 2 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 m 2 0 ，则 f m m (m 2) 2 2 2 (m 2) 2所以 2 x x 1 6 ，当且仅当 x ∴ f m 331 1 1 3 (m 2) (m 2) 2 3 22 6 分 2 2 (m 2)2 21 1 当且仅当 (m 2) ，即 m 3 2 2 6 时取等号， 8 分 2 (m 2)2所以函数 f m m 考点：柯西不等式1 3 的最小值为 3 2 2 ．10 分 2 2 (m 2)。
2016届海南省华侨中学高三考前模拟数学(理)试题
数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,2A =-，{}2,x x a a B ==+∈A ，集合A B 为（ ） A ．{}0 B ．{}2 C ．{}0,2 D ．{}0,2,4 2.i 是虚数单位，若21ia bi i+=++（a ，R b ∈），则()2log a b -的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．123.设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则24x yz -=的最大值为（ ）AB ．2C ．4D ．164.在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示C ∆AB 的面积，若cos cos sin C a b c B +A =，()22214S b c a =+-，则∠B=（ ） A ．90B ．60C ．45D ．305.若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）A ．2 BC ．1 D6.2cos10sin 20sin 70-的值是（ ）A ．12 B ．2C D 7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6364，则输入的a 为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 8. 设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是()1,0,0，()0,1,0，()0,0,1，()1,1,1，画该四面体三视图中的正视图时，以x z O 平面为投影面，则得到正视图可为（ ）A ．B ．C ．D ．10.设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则∆OAB 的面积为（ ）A B C ．6332D ．9411.若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数()32f x x ax bx c =+++在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-．有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()f x 在[],s t 内递减，则t s -的最大值为4；③若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则0m M +=；④若对[]2,2x ∀∈-，()k f x '≤恒成立，则k 的最大值为2．其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图象的面积为 ．14.已知单位向量a ，b ，c ，且a b ⊥ ，若()1c t a t b =+-，则实数t 的值为 ．15.如图，半球内有一内接正四棱锥CD S -AB 面积为 ．16.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11,16π⎛⎫⎪⎝⎭，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移1个单位长度可以得到()y f x =的图象，则()f x = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（n *∈N ）． （I ）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式； （II ）若112n n a a +<对一切n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111C C A B -AB 中，C AB ⊥A ，C 2AB =A =，14A A =，点D 是C B 的中点．（I ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（II ）求平面1DC A 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．19.（本小题满分12分）2015年10月青岛大排档宰客一只大虾卖38元，被网友称为“天价大虾”，为了弄清楚大虾的实际价格与利润，记者调查了某虾类养殖户，在一个虾池中养殖一种虾，每季养殖成本为10000元，此虾的市场价格和虾池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这个虾池养殖1季这种虾的利润，求X 的分布列和期望；（2）若在这个虾池中连续3季养殖这种虾，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．20.（本小题满分12分）设椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，上顶点为()0,2A （I ）求该椭圆的标准方程；（II ）设()12,0B -，()22,0B ，过1B 作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22Q PB ⊥B ，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()()21xf x mx x e =+-，其中e 是自然对数的底数，R a ∈．（I ）若1m =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）若0m <，求()f x 的单调区间；（III ）若1m =-，函数()f x 的图象与函数()321132g x x x k =++的图象有3个不同的交点，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲C ∆AB 中，C AB =A ，C 90∠BA = ，1C 3AE =A ，1D 3B =AB ，点F 在C B 上，且1CF C 3=B ．求证：（I ）F C E ⊥B ； （II ）D C ∠A E =∠EB ．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为α（0α≠）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（I ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA =MB ，求直线l 的斜率k ．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()21f x x x =--，记()1f x >-的解集为M ． （I ）求集合M ；（II ）已知a ∈M ，比较21a a -+与1a的大小．华侨中学2016年高考考前模拟卷数学答案一、选择题1.C 【解析】当2a =-时，220x =-+=，当0a =时，022x =+=，当2a =时，224x =+=，∴{}0,2,4B =，∴{}0,2A B =2.B 【解析】因为()()()()212331111222i i i i i i i i +-+-===-++-，所以由复数相等的定义可知32a =，12b =-，所以()22log log 21a b -==．()()22222111244S ab b c a b b ==+-=+，解得a b =，因此45∠B = ．选择C ． 5.C 【解析】二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为()7772177C 2C 2rr r r r r rr a x a x x ---+⎛⎫T == ⎪⎝⎭，令723r -=-，得5r =．故展开式中31x的系数是5257C 2a ，解得1a =． 6.C7.B 【解析】依题意得，执行题中程序框图，最后输出的S 值是数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n （n *∈N ）项之和，注意到数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项和等于6111632216412⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，因此6a =，故选B ． 8.D 【解析】易知2log 31>，3log 2，()5log 20,1∈．在同一平面直角坐标系中画出函数3log y x =与5log y x =的图象，观察可知35log 2log 2>．所以c a b >>．比较a ，b的其它解法：331log 2log 2>=，551log 2log 2<=，得a b >；220log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，结合换底公式即得35log 2log 2>． 9.B 【解析】点()1,0,0，()0,1,0，()0,0,1，()1,1,1，此四点恰为正方体上的四个点，x z O 上的正视图为正方形，故选B ．10.D 【解析】由题意可知：直线AB的方程为334y x ⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设()11,x y A 、()22,x y B ，则所求三角形的面积为139244⨯=，故选D ． 11.B 【解析】因为()f x 的定义域为()0,+∞，122y x x '=-，由()0f x '=，得12x =．利用图象可知，根据题意得，111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得312k ≤<，故选B ． 12.B 【解析】由题意得函数过原点，则0c =．又()232f x x ax b '=++．则必有()()13211321f a b f a b '=++=-⎧⎪⎨'-=-+=-⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=-⎩，所以()34f x x x =-．令()2340f x x '=-=得3x =±．则函数在[]2,2-上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B ．二、填空题13.4ln 3- 【解析】画出草图，根据定积分的几何意义把平面图象的面积转化为定积分，3231111ln 4ln32y dy y y y ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 14.1或0 【解析】()()22221110c ta t b c t t c t =+-⇒=+-==⇒= 或1t =15.6π 【解析】设所给半球的半径为R ，则四棱锥的高R h =，则C CD D AB =B ==A =，由四棱锥的体积)21R R 33=⇒=表面积为：23R 6ππ=16.()1sin 3c x c π-+ 【解析】()sin cos y a x b x c x c α=++=++，其中α满足tan b a α=，由于11,16π⎛⎫⎪⎝⎭是图象上的最低点，所以11262k ππαπ+=-（k ∈Z ）且1c =，则723k παπ=-1c =-，所以()7sin cos 1sin 23y a x b x c c x k c ππ⎛⎫=++=-+-+ ⎪⎝⎭()1sin 3c x c π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，将上述函数图象上的点横坐标缩短到原来的3π（纵坐标不变），得()1sin 33y c x c ππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，再向左平移1个单位，得()()()1sin 11sin 333y c x c c x c πππ⎡⎤=-+-+=-+⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（I ）0λ=时，111n n n n na S S a a +++=+． 又11n n n a S S ++=-，∴1n n n na S S a +=． 0n a >，∴0n S >．∴1n n a a +=． 11a =，∴1n a =．（II ） ()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+，0n a >，∴1131n n n n nS Sa a λ++-=⋅+． 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+，⋅⋅⋅，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+（2n ≥）． 相加，得()2113331n nnS n a λ--=⋅++⋅⋅⋅++-． 则332n n n S n a λ⎛⎫-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭（2n ≥）． 上式对1n =也成立，∴332n n n S n a λ⎛⎫-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭（n *∈N ）． ① ∴1113312n n n S n a λ+++⎛⎫-=⋅++⋅ ⎪⎝⎭（n *∈N ）． ② ②-①，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=⋅++⋅-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11332n n n a λ++⎛⎫-⋅+⋅= ⎪⎝⎭332n n n a λ⎛⎫-⋅+⋅ ⎪⎝⎭．0λ≥，∴3302n n λ-⋅+>，13302n n λ+-⋅+>．112n n a a +<对一切n *∈N 恒成立， ∴133133222n n n n λλ+⎛⎫--⋅+<⋅+ ⎪⎝⎭对一切n *∈N 恒成立．即233n n λ>+对一切n *∈N 恒成立．记233n n n b =+，则()()()11142362233333333n n n n n n n n b b +++---=-=++++．当1n =时，10n n b b +-=； 当2n ≥时，10n n b b +->；∴1213b b ==是一切n b 中的最大项． 综上所述，λ的取值范围是13λ>．18.（I ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()C 0,2,0，()D 1,1,0，()10,0,4A ，()1C 0,2,4，所以()12,0,4A B =- ，()1C D 1,1,4=--．因为111111C D cos ,C D 10C DA B⋅AB ===A B， 所以异面直线1A B 与1C D所成角的余弦值为10．（II ）设平面1DC A 的法向量为()1,,n x y z =， 因为()D 1,1,0A = ，()1C 0,2,4A =，所以1D 0n ⋅A = ，11C 0n ⋅A =，即0x y +=且20y z +=，取1z =，得2x =，2y =-，所以，()12,2,1n =-是平面1DC A 的一个法向量．取平面1AA B 的一个法向量为()20,1,0n =，设平面1DC A 与平面1ABA 所成二面角的大小为θ．由12122cos 3n n n n θ⋅===，得sin θ=． 因此，平面1DC A 与平面1ABA19.（1）因为利润=产量⨯市场价格-成本，所以X 所有可能的取值为5001001000040000⨯-=，500601000020000⨯-=，3001001000020000⨯-=，30060100008000⨯-=()400000.50.60.3P X ==⨯=，()200000.50.40.50.60.5P X ==⨯+⨯=， ()80000.50.40.2P X ==⨯=所以X 的分布列为则()400000.3200000.580000.223600E X =⨯+⨯+⨯=（2）设C i 表示事件“第i 季利润不少于20000元”（1i =，2，3）， 由题意知1C ，2C ，3C 相互独立，由（1）知，()()()C 40000200000.30.50.8i P =P X =+P X ==+=（1i =，2，3）3季的利润均不少于20000元的概率为()()()()3123123C C C C C C 0.80.512P =P P P ==，3季中有2季利润不少于20000元的概率为()223C 0.80.20.384⨯⨯=， 所以3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率为0.5120.3840.896+=20.解：（I ）设所给椭圆的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>）c a =∴22415b a -=，即2215b a =，又 24b =，∴220a =，∴221204x y +=（II ）由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：2x my =-．代入椭圆方程得()2254160my my +--=，设()11,x y P ，()22Q ,x y ，则12245m y y m +=+，122165y y m ⋅=-+，又()2112,x y B P =- ，()222Q 2,x y B =- ，所以 ()()()()()()222121212121212Q 22441416x x y y my my y y m y y m y y B P ⋅B =--+=--+=+-++()22222216116166416555m m m m m m +-=--+=-+++，由22Q PB ⊥B 得22Q 0B P⋅B = ，即216640m -=解得2m =±，∴直线l 的方程为22x y =±-，即220x y ±+=．21.（I ）1m =时，()()21xf x x x e =+-，所以()()()()222113x x xf x x e x x e x x e '=+++-=+，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为()14k f e '==．又因为()1f e =，所以所求切线方程为()41y e e x -=-，即430ex y e --=．（II ）()()()()2221121x x xf x mx e mx x e mx m x e '⎡⎤=+++-=++⎣⎦，①若102m -<<，则当0x <或21m x m+>-时，()0f x '<； 当210m x m+<<-时，()0f x '>．所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，21,m m +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； 单调递增区间为210,m m +⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②若12m =-，则()2102xf x x e '=-≤，所以()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞． ③若12m <-，则当21m x m+<-或0x >时，()0f x '<；当210m x m+-<<时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为21,m m +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞；单调递增区间为21,0m m +⎛⎫- ⎪⎝⎭． （III ）1m =-时，()()21xf x x x e =-+-，由（II ）知，()()21f x x x =-+-在(),1-∞-上是减函数，在()1,0-上是增函数，在()0,+∞上是减函数．所以()f x 在1x =-处取得极小值()31f e-=-，在0x =处取得极大值()01f =-． 由()321132g x x x k =++，得()2g x x x '=+． 当1x <-或0x >时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<．所以()g x 在(),1-∞-上是增函数，在()1,0-上是减函数，在()0,+∞上是增函数． 故()g x 在1x =-处取得极大值()116g k -=+，在0x =处取得极小值()0g k =． 因为函数()f x 与()g x 的图象有3个不同的交点，所以()()()()1100f g f g -<-⎧⎪⎨>⎪⎩，即3161ke k ⎧-<+⎪⎨⎪->⎩，所以3116k e --<<-．故实数k 的取值范围是31,16e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．22.证明：设C 3a AB =A =，则D a AE =B =，CF =．（I）C C E ==B，CF C 33a ==A ． 又C ∠为公共角，故C FC ∆BA ∆E ∽，由C 90∠BA =，∴FC 90∠E =，∴F C E ⊥B ．（II ）由（I）得F E =，故F AE ==ED F A ==B ，∴D F F AE A =E B ． D F 90∠AE =∠B E = ，∴D F ∆A E ∆BE ∽，∴D C ∠A E =∠EB ．23.解：（I ）直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（II ）把2cos x t α=+，sin y t α=代入24y x =得()()22sin 4cos 80t t αα--=．设A ，B 两点对应的参数分别为1t 与2t ，则1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α=-， 易知1t 与2t 异号，又 2MA =MB ，∴122t t =-．消去1t 与2t 得tan 2α=±，即2k =±24.（I ）()1,012131,0211,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩由()1f x >-，得011x x ≤⎧⎨->-⎩或102311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或1211x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>-⎩ 解得：02x << 故{}02x x M =<< （II ）由(I)知02a <<因为()()232211111a a a a a a a a a a-+-+--+-==当01a <<时，()()2110a a a-+<，所以211a a a-+<当1a =时，()()2110a a a-+=，所以211a a a-+=当12a <<时，()()2110a a a-+>，所以211a a a-+>综上所述：当01a <<时，211a a a-+<当1a =时，211a a a-+=当12a <<时，211a a a-+>。
高考专题高三理科数学模拟卷(一)参考答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作海南侨中三亚学校2016届高考数学（理）模拟卷（一）参考答案（命题人： ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答题 ADACDACBCCDA第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13、 6 14. 1 ． 15． 3 16. 2652 （用数字做答）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）【邢老师考点分析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、超几何分布列、数学期望等。
【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种饺子各吃到1个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101()4C C C P A C == （Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2，且383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===.综上知，X 的分布列为X 0 1 2P715 715115故7713()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）18.（本小题满分12分）【邢老师考点分析】本题主要考查三角函数． 【解析】（Ⅰ）2()sin()sin 3cos 2f x x x x π=--姓名 考号 座位号…装………………………………………订………………………………………线…………………………………………………… …………线………………内………………不………………要………………答………………题……………………………………3cos sin (1cos 2)2x x x =-+ 13sin 2cos 222x x =- 3sin(2)32x π=--（Ⅱ）当2[,]63x ππ∈时，023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤，即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤，即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减.综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减.19.（本小题满分12分）【邢老师考点分析】本题主要考立体几何、二面角、空间向量等． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF121B B ，从而EF DA 。
南海区2016届普通高中高三摸底考试 理科数学
x x 1
x x2
x≥12? 是 输出x 否
x 2是 x 3否 x 5否 x 6是 x 7否 x 9否 x 10 是 x 11 否 x 13 是 输出x 13
结束
6． 8名学生和2位老师站成一排合影, 2位老师不相邻的 排法种数为( A ) A. A A
D E A B
C
10. 已知S、A、B、C 是球O表面上的点, SA 平面ABC , AB BC , SA AB 1, BC 2, 则球O的表面积为( D ) A. B. 2 C . 3 D. 4
将三棱锥S ABC 还原成长方体 , 则长方体的长、宽、高分别为 1,1, 2, 其外接球的直径d 就是 体对角线l , d 2 l 2 12 12 ( 2)2 4,
2
4 A. 3
7 B. 5
Hale Waihona Puke 8 C. 5D. 3
在抛物线y x 2上任取一点P ( t , t 2 ), 则点P 到直线 4 x 3 y 8 0的距离为 4t 3t 2 8 4 3
2 3
d
3t 2 4t 8 5
2 20 3 t 3 3 5
1 0.5
4 A. 3
7 B. 5
8 C. 5
D. 3
直线4 x 3 y 8 0的距离
3
d
2 4 4 3 8 3 9
2 1
1
2
42 32
4 3
0.5
1
9. 已知平行四边形ABCD中, 点E 是对角线AC 上靠近点A 的一个三等分点, 设 EA a , EB b, 则向量 BC等于( D ) A. 2a b B . 2a b C . b 2a D. b 2a BC BE EC , 而BE b, EC 2a, BC b 2a
海南省海南中学2016届高三考前高考模拟(十)数学(理)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.如果复数212bii++（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23 C ．23- D ．2 2.已知集合{}{}2,3,4,5,|sin 0M N x x ==>，则M N ⋂为（ ） A ．{}2,3,4,5 B ．{}2,3,4 C ．{}3,4,5 D ．{}2,33.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，则实数a 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．4 4.设,a b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.若向量()()3,1,2,1AB n =-=，且7,n AC ⋅=那么n BC ⋅等于（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．26.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．(86π+ B ．(826π+ C ．(66π+ D ．(926π+7.如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的 y 值恰好是-1，则“？”处应填的关系式可能是（ ）A ．21y x =+B ．3x y -=C ．y x =D ．13log y x =8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,31n n a a S n +==≥，则6a =（ ）A ．434⨯B ．4341⨯+ C ．44 D ．441+9.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点,,A B C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = D ．24y x = 10.若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．110 C ．1或 110D ．1或10 11.已知函数()()()12,1x f x a g x bf x -=+=-，其中,a b R ∈.若满足不等式()()f x g x ≥的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <B ．14a >-C ．2a ≤-D ．14a >-或2a ≤- 12.定义在()0,+∞上的单调函数()()(),0,,ln 1f x x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，则方程()()'1f x f x -=的解所在区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是222,,,2a b c a b c +=，则角C 的最大值是 .14.定义在R 上的函数()()()211311x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()12f x <-的解集为 .15.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴的交点为,A P 为直线340x y a +-=上一点，过P 作圆O 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则a 的最大值为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,33n n n a a a n N ++=-=∈，数列{}n b 满足3n n n b a -=.（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3123452n n a a a a S n =+++++，求满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值. 18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为点E 在侧棱1AA上，点F 在侧棱1BB 上，且AE BF ==（1）求证：1CF C E ⊥；（2）求二面角1E CF C --的大小.19.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值； （2）从[)40,50岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[)40,50岁的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X .20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2（1）求,a b 的值；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点. ①若1k =，求OAB ∆面积的最大值；②若22PA PB +的值与P 的位置无关，求k 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()2xe f x ax bx c=++，其中,,a b c R ∈.（1）若1,1,1a b c ===，求()f x 的单调区间；（2）若1b c ==，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围； （3）若0,0,1a b c >==，若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()21212e f x f x +<+<. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：FG AC .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求PA PB +的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若()27,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立，求实数t 的取值范围.新课标模拟卷 数学试题（十）答案1.B()()()()()()2122242,2241212125bi i b b ibi b b i i i +-++-+==∴+=-++-，解得23b =.选B.6.A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为()(281111223236V ππ+⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯==⎪⎝⎭.选A. 7.A 依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为-1，这时，如果输出的y 值恰好是-1，则函数关系式可能为21y x =+.故应填A.8.A 由13n n a S +=，得()132n n a S n -=≥，所以()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即()142n n a a n +=≥，又2133a S ==，所以数列21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，因此4634a =⨯.选A.9.C 设()()1122,,,A x y B x y ，作,AM BN 垂直准线于点,M N ，则BN BF =，又2BC BF =，得2BC BN =，所以30NCB ∠=︒，有26AC AM ==.设BC x =，则2361x x x ++=∴=，而123,122p p x x +=+=，且2124p x x =，所以231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =，所以抛物线的方程为23y x =.选C. 10.C ()2tan tan lg10lg tan 11lg lg 01tan tan 1lg10lg a aa a a aαβαβαβ---=⇒==⇒+=-+，所以lg 0a =或lg 1a =-，即1a =或110.选C. 11.D 由()()f x g x ≥得()122x x a b a --+≥+，即()212212x x x a b a -+⋅≥+⋅，令2x t =，则()21102t a b t b +--≥，由题意知14t =是方程()21102t a b t b +--=的解.()8410a b b ∴+--=，得4841a b a +=+，又1222,02b t t b t ⋅=-∴=-≤，即4841a b a +=≥+，解得14a >-或2a ≤-.选D.12.C 令()ln f x x t -=，由函数()f x 单调可知t 为正常数，则()ln f x t x =+，且()1f t =，即ln 1t t +=，设()()'1ln ,10g t t t g t t =+=+>，所以()g t 在()0,+∞上是增函数，又()11g =，所1t =，()1ln f x x ∴=+，而()'1f x x =，所以方程可化为1ln 0x x-=，记()()1ln 0h x x x x =->，而()'2110h x x x=+>，所以()h x 在()0,+∞上是增函数，又()()10,20h h <>，所以方程的解在区间()1,2内.选C.13.3π 2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，又因为()0,C π∠∈，得0,3C π⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦.14.57|122x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或当1x ≤时，()1121,2122x x f x x =-<-∴<⇒<-；当1x >时，()15731222f x x x =--<-⇒<<，∴不等式()12f x <-的解集为57|122x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或.15.235设(),P x y ，由2PA PT =可得()()2222141x y x y ++=+-，化简得2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可转化为直线340x y a +-=与圆2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有公共点，所以1453a d -=≤，解得172333a -≤≤.16.34 过(),2k k 时取最大值，43k =，34k =. 17.证明：（1）由3n n n b a -=，得3n n n a b =，则1113n n n a b +++=，代入133n n n a a +-=中，得111333n n n n n b b +++-=，即得113n n b b +-=.所以数列{}n b 是等差数列；（2）因为数列{}n b 是首项为11131b a -==，公差为13的等差数列，则()121133n n b n +=+-=，则()1323n n n n a b n -==+⨯.从而132n n a n -=+，故21312133113333452132n n n n n a aa a S n ---=++++=++++==+- 则223113131n n n nn S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111128314n <<+，即33127n <<，得14n <≤故满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值为2,3,4. 18.解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则由已知可得())()((10,0,0,,0,2,0,,,A BC C E F（1）证明：()(10,2,2,3,C E CF =--=-10220C E CF⋅=+-=，所以1CF C E ⊥.（2）(0,2,CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由,m CE m CF ⊥⊥，得00mCE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200yy ⎧-+=⎪-=，解得0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取()m =设侧面1BC 的一个法向量为n ，由1,n BC n CC ⊥⊥，及()(13,1,0,CB CC =-=可取()1,3,0n =.设二面角1E CF C --的大小为θ，于是由θ为锐角可得6cos 23m n m nθ⋅===⨯⋅ 所以45θ=︒.即所求二面角1E CF C --的大小为45︒.19.解（1）第二组的频率为10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=（），所以0.30.065= 频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n == 第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p == 第四组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=.（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[)40,45岁中有12人，[)45,50岁中有6人.随机变量X 服从超几何分布.()()0312********18185150,120468C C C C P X P X C C ====== ()()213012612633181833552,368204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量X 的分布列为所以数学期望55012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由题设可知2,c a e a ===c =1b =，因此，2,1a b ==； （2）由（1）可得，椭圆C 的方程为2214x y += 设点()(),022P m m -≤≤，点()11,A x y ，点()22,B x y ①若1k =，则直线l 的方程为y x m =-联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x mx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩.消去y ，化简得2252104x mx m -+-=.解之得(1225m x =，(2225m x +=从而()21212418,55m mx x x x -+=⋅=，而112y x m x m =-=-，又AB ====点O 到直线l 的距离d =，所以，12OAB S AB d m ∆=⨯⨯= 因此()2222224455125252OABm m Sm m ∆⎛⎫-+=-⨯≤⋅= ⎪⎝⎭又22m -≤≤，即[]20,4m ∈.所以，当252m =，即2m =±时，OAB S ∆取得最大值1. ②设直线l 的方程为()y k x m =-.将直线l 与椭圆C 的方程联立，即()2214y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，化简得()()22222148410k x mk x k m +-+-=解此方程可得，、()222121222418,1414k m mk x x x x k k -+=⋅=++，所以，()()()()2222222221122121232224PA PB x m y x m y x x m x x m +=-++-+=+-+++ ()()()()()2422222862148814m k k k k k ⋅--++++=*+，因此22PA PB +的值与点P 的位置无关，即()*式取值与m 无关，故有428620k k --+=，解得12k =±. 21.解：（1）()()2,1xe f x f x x x =++的定义域为R ，()()()2'221x e x x f x x x -=++ 增区间为()(),0,1,-∞+∞，减区间为()0,1；（2）()21xe f x ax x =++因为()f x 在[)0,+∞有意义，所以0a ≥ 若0a =，则()()()'2,011x xe xef x f x x x ==≥++，所以()()min 01f x f == 若0a >，则()()()()2'2222121211x x a e ax x e ax a x a f x ax x ax x -⎛⎫⨯⨯+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭==++++ 当102a <≤时，()()min 01f x f == 当12a ≥时，()f x 在210,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在21,a a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，()()min 01f x f <=，不成立，综上，102a ≤≤；（3）()()()()2'22221,11x xe ax ax ef x f x ax ax -+==++，因为()f x 有两个极值点，所以2440a a ->，因此1a >令()'0f x =，因此极值点12,x x 为方程2210ax ax -+=的两个根，又()()12122212,11x x e e f x f x ax ax ==++ 注意到2210,1,2ii ax ax i -+==，()()121212121,,22x x e e f x f x x x ax ax a ===， 所以()()()12121221121122x x x x e e f x f x x e x e a x x ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ 注意到()122112x x x e x e +>()()12f x f x +> 又()()()12122122111242x x x x x x e e e x e x e ++++<<因此()()21212e f x f x +<+<. 22.解：（1）由题意可得：,,,G E D F 四点共圆，,CGF CDE CFG CED ∴∠=∠∠=∠.DE CD CGF CDE GF CG ∴∆∆∴=，又1,4,4DE CG CD GF==∴=； （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅= 所以AD AC AC AE =，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ACE ∆∆所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以FG AC .23.解（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=；（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--= 由()22cos 2sin 470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎪⎨⋅=-⎪⎩，又直线过点()1,2，故结合t 的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-===所以PA PB+的最小值为24.解（1）()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩当1,42,6,6;x x x x <---><-∴<-当2212,32,,233x x x x -≤<<>∴<< 当2x ≥，42,2,2x x x +>>-∴≥ 综上所述2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 （2）易得()()min 13f x f =-=-，若()27,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤ 综上所述322t ≤≤。
2016届海南省海南中学高三考前模拟(十二)数学(理)试题(解析版)
2016届海南省海南中学高三考前模拟（十二）数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}2,1,1,2,2,1,0,1A B =--=--，则A B = （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2,1,1-- C ．{}1,2 D ．{}1,1,2- 【答案】B 【解析】试题分析：根据交集的定义可知{}{}{}2,1,1,22,1,0,12,1,1,A B =----=-- 故选B.【考点】集合运算.2．命题“0400,20x x R x ∃∈+≤” 的否定为（ ）A ．4,20x x R x ∀∈+≤B ．4,20x x R x ∀∈+≥C ．4,20x x R x ∀∈+<D ．4,20x x R x ∀∈+>【答案】D【解析】试题分析：因为存在性命题的否定是全称命题，所以否定时一同否定量词和结论，因此命题“0400,20x x R x ∃∈+≤” 的否定为“4,20xx R x ∀∈+>”，故选D. 【考点】存在性命题及命题的否定. 3．i 是虚数单位，若11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则z =（ ） A ．1 B．2 C．5D【答案】C【解析】试题分析：11114111222211154255111222i i i z i i i i i ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-+=-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z == C.【考点】复数的运算与复数的模.4．已知双曲线()22:1025x y C m m -=>的离心率与一条斜率为正的渐近线的斜率之和为m =（ ）A ．9B ．16C ．9或16D ．4或15 【答案】A【解析】试题分析：由题意可得双曲线的离心率为c e a ==b y x x a =±=，所以5c b b c a a ++===，解得9m =，故选A.【考点】双曲线的简单几何性质.5．直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【解析】试题分析：因为直线10x ay ++=经过定点()1,0-，而点()1,0-在()2214x y +-=的内部，所以直线与圆相交，故选A.【考点】直线与圆的位置关系.6．从1,3,5,7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12【答案】C【解析】试题分析：从1,3,5,7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数共有2412A =种不同的方法，其中组成的两位数是5的倍数的有11133C C =种，所以其概率为14，故选C.【考点】古典概型中某事件发生的概率．7．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF等于（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD +C ．1132AB DA +D ．1223AB AD -【答案】D【解析】试题分析：根据向量加法、减法的三角形法则可知()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+11123223AB AD AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D.【考点】平面向量的线性运算.8．将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．3π D ．23π【答案】B【解析】试题分析：将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位，所得到的函数解析式为()()()sin 2sin 23f x x x ϕϕϕ=++=+⎡⎤⎣⎦，因为其图象关于y 轴对称，所以()0sin 31f ϕ==±，所以3,2k k z πϕπ=+∈，即,36k k z ππϕ=+∈，所以当1k =-时，可得6πϕ=-，故选B.【考点】正弦函数的图象变换与性质.9．如图所示，程序框图的输出结果0S <，那么判断框中应填入的关于n 的判断条件可能是（ ）A ．9n <B ．9n ≤C ．8n <D ．8n ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：运行程序可得111113,S ;5,S ;7,S ;9,S 0;112412128n n n n n ========-<=，此时应输出S ，也就是说9满足判断框内的条件，但11不满足，所以应填9n ≤，故选B.【考点】程序框图中的循环结构.10．68232111x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的61x 项的系数是（ ）A ． 132-B ． 132C ． 160-D ． 28【答案】A【解析】试题分析：68232111x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的61x 项的系数是由第一个二项展开式中的61x 乘以第二个二项展开式中的常数项()()33838682211C C x ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭及第一个二项展开式中的常数项乘以第二个二项展开式中的61x 项()()26666683111C C x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭共两部分组成，所以其系数为36688132C C -+=-,故选A.【考点】二项式定理.【方法点晴】本题主要考查了利用二项式定理求两个二项式的积中某项系数的问题，属于中档题.本题给出了两个二项式的乘积，解答时应分别展开再逐项相乘，由此可知特征项61x 项由两个二项式展开式的项相乘得到，分别分析两个二项式展开式中x 的指数特征可以发现第一个二项展开式中x 的指数都是负偶数，而第二个二项展开式中x 的指数都是3-的整数倍，由此可知61x项只有两种情况，即上文所述，这样问题就容易解决了.11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．36πB ．8πC ．92πD ．278π【答案】B【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体为底面为等腰直角三角形，一条长为2的侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图，可把该几何体还原为直三棱柱（或长方体），从而得到几何体的外接球的半径R ==的表面积为248S R ππ==,故选B.【考点】三视图与几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查了几何体的三视图与几何体的表面积，考查考生的空间想象能力，属于基础题.解答本题的关键根据给出的三视图还原出几何体，再由三视图的特征得到几何体的结构特征，同时本题考查了几何体外接球的表面积，需要把几何体补形为三棱柱或长方体，从而得到外接球的直径于几何体棱长之间的关系. 12．已知函数()sin 2xf x x a=-的零点个数为11，则实数a 的取值范围是（ ） A ．913,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．7557,,2222ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．139913,,4444ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．139913,,4444ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：由()sin 20x f x x a =-=得sin 2xx a=，在同一坐标系中分别作出函数,sin 2xy y x a==的图象，下图作出了当0a >时，两个函数图象，如下图所示，要使函数()sin 2x f x x a =-有11个零点即图象有11个交点，直线xy a =应与s i n 2y x =在913,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间有一个交点，即直线x y a =在913,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的函数值应当满足01x y a <=<，解得913,44a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为两个函数都是奇函数，所以当0a <时，可解得139,44a ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，所以139913,,4444ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【考点】函数的零点.【方法点睛】本题主要考查了函数的零点问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.本题解答的关键是把函数的零点问题转化为方程的根，进一步转化为两个基本初等函数图象的交点，通过做两个函数的图象，找到它们交点的个数满足条件时，一次函数斜率的范围，同时解答时应注意,sin 2xy y x a==都是奇函数，所以只需要研究0a >时图象即可.13．在 ABC ∆中，cos 12sin b c A a C =+，则tan C = ． 【答案】112【解析】试题分析：由正弦定理可把c o s 12s i b c A a C =+化为s i n s i nc o s12s B C A A C =+,因为()B AB π=-+,所以()s i ns i n s i n c o s c o s s i nB AC A C A C =+=+,所以sin cos 12sin sin .A C A C =又因为sin 0A ≠，所以1cosC 12sin ,tan .12C C =∴=【考点】正弦定理解三角形. 【方法点晴】本题主要考查了利用正弦定理解三角形及两角和的正弦公式，属于中档题.解三角形时，经常遇到边、角混合式这样的条件，解答时首先考虑利用正弦定理或余弦定理统一化成边的关系（往往是因式分解）或角的关系，通过三角恒等变换来解决，解答时还要注意三角形的基本性质，如三内角和为180 ，大边对大角，小边对小角等.二、填空题14．设()()26,03,0x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2016f 的值为 ．【答案】3-【解析】试题分析：因为当0x ≥时，()()3fx f x =-，所以()()()()220160363 3.f f f ==-=--=-【考点】分段函数.15．若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值为 ．【答案】4-【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图，设2z x y =+，则2y x z =-+，由图可知当直线过点()1,2A --时，()min 2124z =⨯--=-.【考点】简单的线性规划.16．已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：()xf x e m '=-，因为曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线，所以方程1xe m e -=-无解，即1x m e e =+无解，设()1x g x e e=+，则()0xg x e '=>，所以()g x 单调递增，所以()1g x e >，所以实数m 的取值范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【考点】导数的几何意义.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，转化的数学思想，属于中档题.本题解答的关键是根据导数的几何意义把条件“曲线C 不存在与直线1y x e=-平行的切线”转化为导函数的方程1xe m e-=-无解，从而通过分类参数m ，构造新函数()1x g x e e=+，通过研究新函数的单调性和值域得到参数m 的范围.17．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且34115,,2a a a +成等比数列.()n N *∈ （1）求n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）312n n a -=；（2）232n nT n =+. 【解析】试题分析：（1）由于34115,,2a a a +成等比数列，所以2431152a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此求出数列的公差，即得其通项公式；（2）把（1）的结果代入11n n n b a a =+可得()()43132n b n n =-+，利用裂项法可求得其前n 项和n T ．试题解析：（1）设公差为d ，由题意知0d >.34115,,2a a a + 成等比数列，2431152a a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.()()273121102d d d ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭，即24436450d d --=， 解得315(222d d ==-舍去）. ()312n n a n N *-∴=∈. （2）()()114411313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,()41111112 (32558313232)n n T n N n n n *⎛⎫∴=-+-++-=∈ ⎪-++⎝⎭ 【考点】等差数列额通项公式及数列求和.18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选举组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：^1122211()()()()nniiiii i nniii i x ynx yx x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑^^^a yb x =-）【答案】（1）183077y x =-；（2）该小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】试题分析：（1）根据2至5月份的数据，求出回归系数公式ˆb及样本中心点(),x y ， 由^^^a yb x =-求出a 的值，即得回归直线方程；（2）利用（1）中的回归方程和1月份，6月份的数据分别求出观测值，看是否满足误差均不超过2，从而判断回归直线方程是否是理想的.试题解析：（1）由数据求得11,24x y ==,由公式求得187b =,307a y bx ∴=-=-. 所以回归方程是183077y x =-. （2）当10x =时， 150150,22277y =-<；同样，当6x =时， 7878,12277y =-<，所以，该小组所得线性回归方程是理想的. 【考点】回归直线方程及回归分析. 19．已知函数()222xf x ex ax =+--.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()()22g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值；（2）(]0,2e .【解析】试题分析：（1）当2a =时，()()2222,'222x x f x e x x f x e x =+--=+-，通过二次求导可知函数()2'222xf x ex =+-在R 上单调递增，且()'00f =，所以当0x <时()'0f x <，当0x >时，()'0f x >因此函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，所以()f x 的极小值点为()0f ，无极大值点；（2）对函数()g x 求导可得()2'2xg x e a =-，分0a ≤和0a >讨论，显然0a ≤时，()'0g x >，函数()g x 在R 上单调递增，研究图象可知一定存在某个00x <，使得在区间()0,x -∞上函数2x y e =的图象在函数y ax =的图象的下方，即2xeax <不恒成立，舍去；当0a >时，函数()g x 在区间1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()m i n 1l n 022a g x g ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得02a e <≤.试题解析：（1）函数()222xf x ex ax =+--的定义域是R ,当2a =时，()()2222'222x x f x e x x f x e x =+--=+-,易知函数()2'222xf x e x =+-的定义域是R 上单调递增函数，且()'00f =,所以令()'0f x <，得0x <；令()'0f x >，得0x >，所以函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增.所以函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值. （2）()()22222222x x g x f x x e x ax x e ax=-+=+---+=-，则()2'2x g x e a =-.①当0a ≤时，()'0g x >恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增， 且数形结合易知，一定存在某个00x <，使得在区间()0,x -∞上，函数2xy e =的图象在函数y ax =的图象的下方，即满足2x e ax <的图象即()0g x <.所以()0g x ≥不恒成立，故当0a ≤时，不符合题意，舍去； ②当0a >时，令()'0g x <，得1ln 22a x <；()'0g x >，得1ln 22a x >； 所以函数()g x 在区间1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以函数()g x 定义域R 上的最小值为1ln 22a g ⎛⎫⎪⎝⎭. 若()0g x ≥恒成立，则需满足1ln 022a g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即ln 21ln 022a a e a -⋅≥，即1ln 0222a a a -⋅≥，即1ln 022a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 又因为0a >，所以1ln002a-≥，解得2a e ≤，所以02a e <≤. 综上，实数a 的取值范围是(]0,2e .【考点】利用导数研究函数的单调性及极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明()f x 的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把()0g x ≥恒成立转化为求函数()g x 的最小值，按照a 的符号进行讨论，来判断()g x 的单调性，当0a ≤时，()g x 单调递增，通过找反例排除，当0a >时，求出函数()g x '零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解. 20．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围. 【答案】（1）相离；（2）⎡⎣.【解析】试题分析：（1）把直线l 的参数方程化成普通方程，把曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程可知曲线C 表示圆，求出圆心到直线的距离与半径比较即得它们的位置关系；（2）利用圆的参数方程设出其上一点M 的坐标，根据三角函数的知识易得x y +的取值范围.试题解析：（1）证明：直线l 的普通方程为0x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为22122x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为圆心⎝⎭到直线0x y -+=的距离为51d ==>,所以直线l 与曲线C 的的位置关系为相离.（2）设点cos ,sin 22M θθ⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 4x y πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 【考点】直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.三、解答题21．如图，四面体ABCD 中，O是BD 的中点，2,2C A C B C D B D A B A D=====（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】试题分析：（1）连接OC ，分析各棱的长度可得22AC AO OC =+所以AO OC ⊥.又,0AO BD BD OC ⊥= ，可证得AO ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定定理即可证得平面ABD ⊥平面BC D ；（2）由（1）可知以O 为坐标原点，{},,OB OC OA 为基底建立空间直角坐系O xyz -，求得直线AB 与CD的坐标，根据向量的夹角公式即可求得异面直线AB 与CD 所成角的余弦值. 试题解析：（1）证明：连接OC .由2CA CB CD BD ====，AB AD ==知1CO AO ==.在AOC ∆中，22AC AO OC =+，则AO OC ⊥.又,0AO BD BD OC ⊥= ，因此AO ⊥平面BCD . 又AO ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD . （2）解：如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()0,01,1,0,0,,1,0,0A B C D -,则()()1,0,1,1,AB CD =-=-,所以cos ,4AB CD AB CD AB CD⋅==. 即异面直线 AB 与CD所成角的余弦值为4.【考点】空间中的垂直关系及异面直线所成的角.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的左、右焦点分别为())12,F F ，直线0x +=与椭圆C的—个交点为()，点A 是椭圆C 上的任意—点，延长1AF 交椭圆C 于点B ，连接22,BF AF . （1）求C 椭圆的方程；（2）求2ABF ∆的内切圆的最大周长.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】试题分析：（1）由焦点坐标求出c，根据椭圆的定义和点()求出a ，根据222b a c =-求出2b ，从而求得椭圆C 的方程；（2）求2ABF ∆的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求2ABF ∆的最大面积，()22212ABF S AB AF BF r ∆=++⨯，根据椭圆的定义求出2248AB AF BF a ++==.显然，当AB x ⊥轴时，2ABF ∆取最大面积，此时，点()(),1A B -，由此可得周长的最大值.试题解析：（1）由题意，椭圆C 的半焦距c =因为椭圆C 过点()，所以214a =+=,解得2a =.222222 2.b a c ∴=-=-=所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）设2ABF ∆的内切圆的半径为r .则()22212ABF AB AF BF r S ∆++⨯=.由椭圆的定义，得121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2212128AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=.所以2182ABF r S ∆⨯⨯=.即24ABF r S ∆=. 为此，求2ABF ∆的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求2ABF ∆的最大面积.显然，当AB x ⊥轴时，2ABF ∆取最大面积，此时，点()(),1A B -，2ABF ∆取最大面积是()212max122ABF SF F ∆=⨯⨯=故()2max max142ABF r S ∆==.故2ABF ∆的内切圆的最大周长为max 22r ππ== 【考点】椭圆的定义与标准方程.【方法点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及标准方程的求法，属于中档题.求椭圆的方程时，对直线和椭圆的交点()的应用应首选定义，这样可以减少运算量；第（2）问解答时要注意对问题的转化，把周长的最大值转化为半径的最大值进一步转化为2ABF ∆内切圆面积的最大值，利用椭圆的定义集合图形求出,A B 两点的坐标，使问题得以解决.23．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10AB =,P 是AB 延长线上一点，2BP =，割线PCD 交圆O 于点,C D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .（1）求证：PEC PDF ∠=∠； （2）求PE PF ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】试题分析：（1）根据题意可知,,,B P E C 及,,,B P E C 均满足四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得PEC CBA ∠=∠，CBA PDF ∠=∠，所以PEC PDF ∠=∠；（2）根已知条件和割线的性质定理即可求得PE PF ⋅的值.试题解析：（1）连结BC ，则90ACB APE ∠=∠=︒，即,,,B P E C 四点共圆，PEC CBA ∴∠=∠.又,,,B P E C 四点共圆四点共圆，.CBA PDF PEC PDF ∴∠=∠∴∠=∠. （2）,,,,PEC PDF F E C D ∠=∠∴ 四点共圆，PE PF PC PD ∴= , 又()221024PC PD PB PA ⋅=⋅=⋅+=，24PE PF ∴⋅=.【考点】圆内接四边形的性质、圆的割线性质. 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若存在实数x ，使得()f x x a ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),31,-∞-+∞ ；（2）3a ≥-. 【解析】试题分析：（1）按照12x ≤-，102x -<<，0x ≥三种情况分别讨论去掉绝对值符号，求出不等式的解，最后取三种情况的并集即得原不等式的解集；（2）把不等式()f x x a ≤+转化为2122x x a +-≤+，根据绝对值的几何意义即可求出实数a 的取值范围.试题解析：（1）①当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤-； ②102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为∅；③当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥.综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-+∞ .（2）由()f x x a ≤+，得2122x x a +-≤+, 所以11.22ax x +-≤+由绝对值的几何意义，只需113 22aa-≤+⇒≥-.【考点】绝对值不等式性质和解法.。
广东省佛山市普通高中2016届高三数学教学质量检测试题(一)文(含解析)
......【解析】〔 1〕连结AC 1,∵ACC1 为正三角形,H 为棱CC1的中点 ,∴AH CC 1,从而 AH AA 1,又面AAC 1 1C平面ABB 1 A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 11 11, AH1 1∴AH 平面ABB 1A1.又A 1D平面ABB 1A1,∴AHA 1D①,设 AB 2a ,由AC AA12AB ,∴AC AA 12a ,DB 1a,DB 1 1 A 1B 1B 1 A 12AA1 ,又 DB 1 A 1B 1A 1A 90 ,∴ A 1DB 1∽ AB 1A 1,∴B 1AA 1B 1A 1D,又B 1 A 1DAA 1D 90 , ∴ B 1 AA 1AA 1D90,设AB 1A 1D O,那么A 1D AB1,②,由①②及 AB 1AH A ,可得 A 1D 平面 AB 1H .〔2〕方法一 : 取AA1中点M ,连结C 1M,那么C 1M // AH,∴C 1M面ABB 1A1.VC ABA 1 SABA12 36C 1 M1113113 3 , ∴∴三棱柱 ABCA B C的体积为3V CAB A 6.1 1 11 1 1,,2 分C H C 1AMA 1BDB1,, 5 分 ,,6 分,, 7 分,, 10 分,,12 分10【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分【解析】〔 1〕连结AC1 ,∵ACC1 为正三角形, H为棱CC1的中点 ,∴AH CC1,从而 AH AA1,又面AAC11C平面ABB1A1 ,面AAC C平面ABB A AA平面AAC C,1 1 1 11, AH1 1∴AH 平面ABB1A1.又A1D平面ABB1A1 ,∴AHA1D①,设 AB2a ,由AC AA12AB ,∴ACAA12a,DB1a,DB11A1B1B1 A12AA1 ,又 DB1 A1B1A1A 90 ,∴ A1DB1∽ AB1A1,∴B1AA1B1A1D,又B1 A1DAA1D 90 ,∴B1 AA1AA1D90,设AB1A1D O,那么A1D AB1,②,由①②及 AB1AH A ,可得 A1D 平面 AB1H .〔2〕方法一 :取AA1中点M,连结C1M,那么C1M // AH,∴C1M面ABB1A1.VC ABA1SABA12 36C1 M1113113 3 ,∴∴三棱柱ABC A B C的体积为3V C AB A6.1 1 11 1 1,, 2 分CHC1AMA1B D B1,, 5 分,, 6 分,,7 分,,10 分,,12 分。
2016年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科参考答案
2015～2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 10- 14. 311- 16. 120 16. 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(Ⅰ)当1n =时,1113232a S a =-=-,解得11a =；……………………1分 当2n ≥时,32n n a S =-,1132n n a S --=-,两式相减得13n n n a a a --=,…………………3分 化简得112n n a a -=-,所以数列{}n a 是首项为1,公比为12-的等比数列. 所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得112n n na n -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭,所以112n n n b na n -⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭,………6分[错位相减法]12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n T -= ()12111111212222n nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………8分两式相减得12131111122222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………9分11121212nnn ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭221332n n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,…………………11分 所以数列{}n na 的前n 项和42419392nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………12分[裂项相消法]因为1111221241+2392392n n nn n n n n b n c c --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-=-⋅--⋅- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分C所以()()1223n T c c c c =-+-+()1n n c c ++-42419392nn ⎛⎫⎛⎫=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………12分18.【解析】(Ⅰ)97979810210510710810911311410510μ+++++++++==m μ …………3分()()()()2222222222288730234893610σ-+-+-+-++++++== ……5分所以6σ=m μ ……6分(Ⅱ)结论:需要进一步调试. ……………………8分[方法1]理由如下:如果机器正常工作,则Z 服从正态分布()2105,6N ,……………………9分()()33871230.9974P Z P Z μσμσ-<<+=<<=零件内径在()87,123之外的概率只有0.0026,……………………………………11分 而()8687,123∉,根据3σ原则,知机器异常,需要进一步调试. …………………………12分 [方法2]理由如下:如果机器正常工作,则Z 服从正态分布()2105,6N , ……9分()()33871230.9974P Z P Z μσμσ-<<+=<<=正常情况下5个零件中恰有一件内径在()87,123外的概率为:1450.00260.997450.00260.990.001287P C =⨯⨯=⨯⨯=, ……11分为小概率事件,而()8687,123∉,小概率事件发生,说明机器异常,需要进一步调试. ……12分 [方法3]理由如下:如果机器正常工作,则Z 服从正态分布()2105,6N , ……9分()()22931170.9544P Z P Z μσμσ-<<+=<<=正常情况下5件零件中恰有2件内径在()93,117外的概率为:22350.004560.9544100.0020.870.0174P C =⨯⨯=⨯⨯=,…11分此为小概率事件,而()8693,117∉,()11893,117∉,小概率事件发生,说明机器异常,需要进一步调试.………………………………12分若有下面两种理由之一可得2分试验结果5件中有1件在()87,123之外,概率为0.2,远大于正常概率0.0026. 试验结果5件中有2件在()93,117之外,概率为0.4,远大于正常概率0.0456. 19.【解析】[向量法](Ⅰ)连结1AC ,因为1ACC ∆为正三角形,H 为棱1CC 的中点, 所以1AH CC ⊥,从而1AH AA ⊥,又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C面11ABB A 1AA =,AH ⊂面11AAC C ,所以AH ⊥面11ABB A .………………………………1分 以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -如图所示,………2分NMHDC 1B 1A 1CBA不妨设AB =,则12AA =,()10,2,0A,)12,0B ,设),0Dt ,则()12,2,0AB =,()12,2,0A D t =-,………3分因为1A D ⊥平面1AB H ,1AB ⊂平面1AB H ,所以11A D AB ⊥, 所以()112220AB A D t ⋅=+-=,解得1t =,即)D ,所以D 为1BB 的中点.………5分(Ⅱ)(1C ,()12,1,0AD =-,(110,AC =-,设平面11C A D 的法向量为(),,x y z =n ,则11100A D A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00y y -=-+=⎪⎩,解得y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,令3x =,得(=n ,…………………………………9分显然平面1AA D 的一个法向量为(AH =,……………………10分所以cos ,1133AH AH AH⋅<>===n n n , 所以二面角11C A D A --的余弦值为11.…………………12分 [传统法](Ⅰ)设AB =,由1AC AA ==,所以12AC AA a ==,因为1A D ⊥平面1AB H ,1AB ⊂平面1AB H ,所以11A D AB ⊥, 从而111190DA B A B A ∠+∠=︒,所以1111A DB AB A ∆∆,所以111111DB A B B A AA =, 故1DB a =,所以D 为1BB 的中点.…………………5分 (Ⅱ)连结1AC ,由1160AAC ∠=︒可得11AA C ∆为正三角形, 取1AA 中点M ,连结1C M ,则11C MAA ⊥, 因为面11AAC C ⊥面11ABB A ,面11AACC 面11ABB A 1AA =,1C M ⊂面11AAC C ,所以1C M ⊥面11ABB A .…………………7分作1MN A D ⊥于N ,连结1C N ,则11C N A D ⊥,所以1MNC ∠是二面角11C A D A --的平面角.………………………………9分 经计算得1CM =,3MN a=,13C N a =,1cos 11MNC ∠=, 所以二面角11C A D A --的余弦值为11.…………………………………12分 20.【解析】(Ⅰ)依题意,2a =,22c =,则1c = …………………1分解得23b =,所以椭圆Γ的标准方程为22143x y +=.…………………3分 (Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=,解得27x =或2,此时2,07P ⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为0；………………5分. 当直线l 不垂直于x 轴时,设()()1122,,,E x y F x y ,直线l :y kx t =+(2t k ≠-), 由223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=,………………6分依题意()()2222644344120k t k t∆=-+->,即22430k t -+>(*),且122834ktx x k+=-+,212241234t x x k -=+,…………………7分 又AE AF ⊥,所以()()()()()()121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++2227416034t k ktk ++==+, 所以2274160t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27kt =-满足(*),………………8分 所以2OP OE OF =+()1212,x x y y =++=2286,3434kt t k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,…9分 故直线AP 的斜率22233344846234APttk k kt k kt k +==-=++--+217878k k k k =++,………………10分 当0k <时,78k k+≤-,此时056AP k -≤<； 当0k >时,78k k+≥此时056AP k <≤； 综上,直线AP的斜率的取值范围为,5656⎡-⎢⎣⎦.………………………………………12分 21.【解析】()()()222x x x a f x x x λλ+-'=-=+()222x x a xx λλ+-+………………1分 ()()()2222x x a x x x λλλ+-+=+()()322222x a x ax a x x λλλλ+---=+将34a λ=代入得()()()()()23322322493456344x x x x x x f x x x x x λλλλλλλλ-+++--'==++,………………3分DCBAP图5由()0f x '=,得x λ=,且当()0,x λ∈时,()0f x '<,()f x 递减；………………4分(),x λ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增；故当x λ=时,()f x 取极小值()13ln 24f λλλλ=-,因此()f x 最小值为()13ln 24f λλλλ=-,令()0f λ=,解得23e λ=.………………6分(Ⅱ)因为()22ln ln ln x f x a x x a x x a x x xλλλλλ=-=-+->--++,………………7分 记()ln h x x a x λ=--,故只需证明:存在实数0x ,当0x x >时,()0h x >, [方法1] ())ln ln h x x a x x a x λλ=--=-+,………………8分设ln y x =,0x >,则122y x x'== 易知当4x =时,min 22ln 20y =->,故ln 0y x =-> ………………10分又由0x λ-≥解得≥即22a x ⎛≥⎪⎝⎭取20x =⎝⎭,则当0x x >时, 恒有()0h x >. 即当0x x >时, 恒有()0f x >成立.………………12分 [方法2] 由()ln h x x a x λ=--,得:()1a x ah x x x-'=-=,………………8分 故()h x 是区间(),a +∞上的增函数.令2nx =,n ∈N ,2n ≥, 则()()22ln 2nn h x h an λ==--,因为()()211211122nn n n n n -=+≥++>,………………10分 故有()()()2122ln 2ln 22nnh x h an n a n λλ==-->-- 令()21ln 202n a n λ--≥,解得:n ≥,设0n 是满足上述条件的最小正整数,取002nx =,则当0x x >时, 恒有()0h x >, 即()0f x >成立.………………12分22.【解析】(Ⅰ)因为四边形ABCD 是圆内接四边形, 所以PAD PCB ∠=∠,…………1分 又APD CPB ∠=∠,所以APDCPB ∆∆,PD ADPB CB=,…3分 而2BP BC =,所以2PD AD =,又AB AD =,所以2PD AB =.……………5分(Ⅱ)依题意24BP BC ==,设AB t =,由割线定理得PD PC PA PB ⋅=⋅,……………7分 即()2544t t ⨯=-⨯,解得87t =,即AB 的长为87.……………10分 23.【解析】(Ⅰ)直线l :4y x =+,圆C :()2224x y +-=,……………………1分联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩,……………………3分对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………5分 (Ⅱ)[方法1]设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2……………………………………10分 [方法2]圆心()0,2C 到直线l=,圆的半径为2,所以P 到直线l 的距离d的最大值为2+……………………………………10分 24.【解析】(Ⅰ)不等式()()f x g x a <+即24x x -<+,………………………2分 两边平方得2244816x x x x -+<++,解得1x >-, 所以原不等式的解集为()1,-+∞.………………………5分(Ⅱ)不等式()()2f xg x a +>可化为224a a x x -<-++,………………………7分又()()24246x x x x -++≥--+=,所以26a a -<,解得23a -<<,所以a 的取值范围为()2,3-.………………………10分。
2016届深圳一模理科数学(逐题详解)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 A = x y = A． x -3 £ x £ 1
{
(1 - x )( x + 3 )
} , B = { x log x £ 1} ,则 A I B = (
1 3 3 1 ´ 6sin 60° = < 3.10 ；第二次: n = 12 , S = ´ 12 sin 30 ° = 6 ´ 2 2 2 1 1 = 3 < 3.10 ；第三次: n = 24 , S = ´ 24 sin15° = 12 ´ 0.2588 = 3.1056 > 3.10 ,输出 n = 24 . 2 2 y A 2 p 2 15.过抛物线 y = 2 px ( p > 0 )的焦点 F ,且倾斜角为 的直线与抛物线交于 4
2
)
D．170
2 【解析】C；依题意得 a3 = a1a6 ,即 ( a1 + 2 ) = a1 ( a1 + 5 ) ,解得 a1 = 4 ,所以 S10 = 40 +
10 ´ 9 ´ 1 = 85 . 2
)
6．若函数 f ( x ) = 2 sin ( 2 x + j ) ( j < A． x =
O
1 2
1 2
2 1 O 1 S 1 2 H
【解析】B；设 DABC 的中心为 O 1 ,球心为 O ,则 O1 A =
1 3 × = 1 (即 DABC 外接圆 2 sin 60°
半径 r ), OO1 = R 2 - r 2 = 1 ,作 SH ^ 面 ABC ,画出示意图如图所示,显然 SO1 = 11.过点 ( 0, 2b ) 的直线 l 与双曲线 C :
广东省佛山市2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足z （l ﹣i ）=﹣1﹣i ，则|z+1|=（ ）A ．0B ．1C ．D ．22．已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（ ） A ．M ∩N=N B ．M ∩（∁U N ）=∅C ．M ∪N=UD ．M ⊆（∁U N ）3．已知a ，b 都是实数，那么“＞”是“lna ＞lnb ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．555．己知x 0=是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极大值点，则f （x ）的一个单调递减区间是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，π）D ．（，π）6．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）A ． +1B ．2C ．D ．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知tanx=，则sin 2（+x ）=（ ）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A．+1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z==6故输出结果为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为﹣10（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在△ABM 和△ABC 中分别使用余弦定理得出bc 的关系，求出cosA ，sinA ，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM 中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC 中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b 2+c 2=4bc ﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S 取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc 的关系是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n =3S n ﹣2与a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n ≥2）作差、整理可知a n =﹣a n ﹣1（n ≥2），进而可知数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n =3S n ﹣2， ∴a n ﹣1=3S n ﹣1﹣2（n ≥2）， 两式相减得：a n ﹣a n ﹣1=3a n ，整理得：a n =﹣a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=3S 1﹣2，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式a n =（﹣1）n ﹣1•；（2）由（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1•，∴T n =1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n ﹣2•（n ﹣1）•+（﹣1）n ﹣1•，∴﹣T n =1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n ﹣1•（n ﹣1）•+（﹣1）n •n •，错位相减得： T n =1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n ﹣1•]﹣（﹣1）n •n •=1+﹣（﹣1）n •n •=+（﹣1）n ﹣1••，∴T n = [+（﹣1）n ﹣1••]=+（﹣1）n ﹣1••．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm ）．（Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．标准差σ==6．（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0.95443×0.04562≈0.0017．P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0.99744×0.0026≈0.0026．由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x ﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A 1DA 的法向量为==（0，0，），则cos ＜，＞===，即二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2，0），且焦距为2，直线l 交椭圆于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E 的坐标，由两直线垂直可得F 的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∴∠APD=∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴=，∵BP=2BC∴PD=2AD，∴AB=AD，∴PD=2AB；（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，∴2t×5=（4﹣t）×4∴t=，即AB=．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．。
广东省2016届高三上学期理科数学周测试卷1 Word版含答案
2016届高三数学(理科)每周一测（1）一、选择题（共12小题。
每小题5分，共60分）。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<，则 ( ) A.A ∩B=∅ B.A ∪B=R C.B ⊆A D.A ⊆B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为()A .4-B .45-C .4D .453．下列命题正确的是（ ）A ．2000,230x R x x ∃∈++= B ．32,x N x x ∀∈> C ．1x >是21x >的充分不必要条件 D ．若a b >,则22a b >4.为了解增城区的中小学生视力情况，拟从增城区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样5.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A.14y x =±B.13y x =± C.12y x =± D.y x =± 6.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计 容器的厚度，则球的体积为 ( )A .35003cm π B . 38663cm πC. 313723cm πD. 320483cm π8.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A .3B .4C.5D.69.设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m = ( ) A .5 B.6 C.7 D.8 10．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
南海中学高三理科数学综合训练（三）
南海中学高三理科数学综合训练（三）1、数列{}2*:()n n a a n n n N λ=+∈是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是 （ ）A ．()3,-+∞B ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()0,+∞ 2、CD 是△ABC 的边AB 上的高，且22221CD CD AC BC+=，则( ) A ．2A B π+=B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=3、已知A ，B ，C是平面上不共线上三点，动点P满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A 内心B 垂心C 重心D AB 边的中点4、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10，…，则a 21的值为 （A ）A ．66B ．220C ．78D ．2865、已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞6、设2()65f x x x =-+，若实数x 、y 满足条件()()015f x f y y -≤⎧⎨≤≤⎩，则yx的最大值是（ ）A ．945-B ．3C ．4D ．57、曲线21)4cos()4sin(2=-+=y x x y 与直线ππ在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π48、已知定义在R 上的奇函数()满足()2y f x y f x π==+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述，（1）()y f x =是周期函数 （2）x π=是它的一条对称轴 （3）(,0)π-是它图象的一个对称中心 （4）当2x π=时，它一定取最大值其中描述正确的是 （ ）A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（2）（4）D 、（2）（3）9、在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m t m a a =+ 对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
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南海中学分校2016届高三数学（理）每周一测（1）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={}2|2x x ≤－＜ ，则A B =A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2、已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；则B 中所含元素的个数为（ ）A 、3B .6C .8D .103、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为()A .4-B .45-C .4D .454、已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<，则( )A 、AB φ= B 、A B R =C 、B A ⊆D 、A B ⊆5、32(1)(1)i i +-=（ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --6、已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） A 7 B 5 C -5 D -77、不等式2210x x -->的解集是A .1(,1)2-B .（1，+∞）C .（-∞，1）∪（2，+∞）D .1(,)(1,)2-∞-+∞8、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+10、若不等式210mx mx --<对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（ ）A .(4,0)-B .(4,0]-C .(,4)(0,)-∞-+∞D . (,4][0,)-∞-+∞11、执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .15812、已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b =14、设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的最大值为15、若数列{n a }的前n 项和为3132+=n n a S ，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 16、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .班级： 学号： 姓名： 二、填空题（每小题5分，共20分）13、 14、 15、 16、 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知bc a c b +=+222． （1）求角A 的大小； （2，试判断ABC ∆的形状．18、等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（I ）求数列{}n a 的通项公式;（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．19、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=︒. (Ⅰ) 证明:1AB AC ⊥； (Ⅱ) 若平面ABC ⊥平面11AA B B ,2AB CB ==,求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.20（本小题满分10分）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，BD 垂直BE 交圆于B 。
（Ⅰ）证明：DC DB =； （Ⅱ）设圆的半径为1，3=BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
南海中学分校2016届高三数学（理）每周一测（1）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、23 14、3 15、n n a )2(-= 16、A 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知bc a c b +=+222． （1）求角A 的大小； （2，试判断ABC ∆的形状． （1）bc a c b +=+222，所以),0(π∈A…………4分 （2∵1cos 1cos 1=-+-C B ∴1cos cos =+C B ， …………6分…………8分∴ABC ∆为等边三角形 …………12分18.（本题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式;（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．18.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =，得22349a a =所以219q =． 由条件可知0q >，故13q =． 1故数列{}n a 的通项式为13n na =． …………6分 （Ⅱ ）因为31323n log log ...log nb a a a =+++ =-（1+2+ ...n +）(1)=2n n +-，所以12112()(1)1n b n n n n =-=--++. 12111111112...2[(1)()...()]22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++. 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+. ………………12分 19、（本题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=︒. (Ⅰ) 证明:1AB AC ⊥； (Ⅱ) 若平面ABC ⊥平面11AA B B ,2AB CB ==,求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)取AB 中点O ,连结CO ,1A B ,1AO ,因为1AB AA =,160BAA ∠=︒,故1BAA ∆是正三角形, 所以1AO AB ⊥,因为CA CB =,所以CO AB ⊥,又1CO AO O = ,所以AB ⊥面1COA , 而1AC ⊂面1COA ,所以1AB AC ⊥. ………………4分 (Ⅱ)向量法：因为平面ABC ⊥平面11AA B B ,面ABC 面11BBC C AB =，CO ⊂面ABC ， 而CO AB ⊥，所以OC ⊥面11ABB A ,所以1OC OA ⊥, ………………5分 又1AO AB ⊥，所以1,,OA OC OA 两两相互垂直,以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -…7分则()1,0,0A,()1A,(C ,()1,0,0B -,则(BC =,()11BB AA ==-, (10,AC = ,设(),,n x y z = 是平面11BB C C 的法向量, 则100BC n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即0x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得x y z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，令1z =-,可得)1n =- ,…………9分设直线1AC 与平面11BB C C 所成的角为θ,则111sin |cos ,|n AC n AC n AC θ⋅=<>== …11分 所以直线1AC 与平面11BB C C………………12分20（本小题满分10分）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，BD 垂直BE 交圆于B 。
（1）证明：DC DB =； （2）设圆的半径为1，3=BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
22．【解析】（1）连结DE 交BC 与点G .由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE ，∵∠ABE =∠CBE ，∴∠CBE =∠BCE ，CE BE =，又∵BE DB ⊥，∴DE 是直径，∠DCE =090，由勾股定理可得DC DB =. …………5分 （2）由（1）知，∠=CDE ∠BDE ，DC BD =，故DG 是BC 的中垂线，∴23=BG . 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG =o60，∠ABE =∠BCE =∠CBE =o30，∴BF CF ⊥， ∴BCF Rt ∆. …………10分。