图灵机

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4.1 图灵机模型
定义4-1 图灵机M = ( K, Σ, Γ, δ, q0, B,F)， 定义 其中 K是有穷的状态集合； Γ是所允许的带符号集合； Γ B ∈Γ，是空白符； Σ Γ，B ∈ Σ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 ，是终止状态集合。 q0∈K, 是初始状态； ∈ 是初始状态；
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4.1 图 灵 机 模 型
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4.1 图灵机模型
【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数 、n 】设计一个图灵机，计算二个自然数m、 的减法： 的减法： m-n 若m≥n m－ m－n= 0 否则 设计时，整数n用 表示。开始时， 设计时，整数 用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为 。每当在 的左边 结束时，带上符号为0。每当在1的左边 将一个0改变为 改变为B，就在1的右边将一个 改为1， 的右边将一个0改为 将一个 改变为 ，就在 的右边将一个 改为 ， 的右边无0时 再将左边改为B的 恢复回来 恢复回来。 若1的右边无 时，再将左边改为 的0恢复回来。 的右边无
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4.2.2 多带图灵机
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4.2.2 多带图灵机
【例4-6】设计一个二带图灵机，使得 】 T(M)= {ww | w∈ {0,1}*}。 这个问题的关键是比较字符串前后两个部 分，为此，首先要对带上字符串计数：每 二元素计数加1，按计数值将字符串分为前 后两个部分，并将它们分别存放于不同带 上，然后进行比较。
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4.2.2 多带图灵机
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4.2.2 多带图灵机
【例4-7】 设计二带图灵机，实现二进制到一进制 】 的转换。 设这个图灵机为M7，其第一带用作输入带，第二带 用作输出带。设计思路是从左到右扫描输入带上 的二进制字符，并使用公式r*2+b生成输出带上 一进制数，其中r是当前输出带上的一进制数，b 是当前输入带上扫描的字符，这里的r*2就是将原 输出带上的一进制数r复制一遍。例如：1001的一 进制数计算过程。
【例4-1】设计一个图灵机，使得 】设计一个图灵机， L(M) = {0 n1 n | n≥1}。 。 设计思路: 在带上每当将一个0变为 变为X， 设计思路 在带上每当将一个 变为 ，就把 一个1变为 变为Y。当将所有的0变为 变为X时 一个 变为 。当将所有的 变为 时，恰将 所有的1变为 变为Y，这个串就是合法的， 所有的 变为 ，这个串就是合法的，最后 分别还原为0、 。 将X、Y分别还原为 、1。 、 分别还原为
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4.2.5 多维图灵机
多维图灵机具有通常的有限控制器， 多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却 维单元阵列组成。 由k维单元阵列组成。这里，在所有 个方 维单元阵列组成 这里，在所有2k个方 向上（ 个轴 每轴正、负两个方向）， 个轴， ），都 向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都 是无限的，根据状态和扫视的符号， 是无限的，根据状态和扫视的符号，该装 置改变状态，打印一个新的符号， 置改变状态，打印一个新的符号，在2k个 个 方向上移动它的读头，开始时， 方向上移动它的读头，开始时，输入沿着 一个轴排列，读头在输入的左端。 一个轴排列，读头在输入的左端。
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4.1 图灵机模型
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4.2 图灵机的变化和组合
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.2.9 双向无穷带图灵机 多带图灵机 非确定图灵机 多头图灵机 多维图灵机 离线图灵机 图灵机的组合 枚举器 图灵机的组合
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4.2.1双向无穷带图灵机
产 生 式 形 式 α→β

限 制 条 件 α∈Ｖ+,β∈Ｖ* ∈ ∈
α1Aα2→α1βα2
1
|α1βα2|≥|α1Aα2| α1，α2∈Ｖ* A∈ＶＮ , β∈Ｖ+ ∈ ∈ A∈ＶＮ,α∈Ｖ* ∈ ∈
A→α
2
A→xB，C→y ， A→Bx，C→y ，
A,B,C∈ＶＮ ∈ x,y∈ＶT* ∈
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3
Overview
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4.2.2 多带图灵机
其中 （aik,bik)表示n带TM中第k带上第i格的情形 aik表示n带TM中第k带上第i格的字母， bik表示n带TM中第k带上第i格的读头， 0不是读头所在，1是读头单元格
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4.2.2 多带图灵机
用单带模拟
δ(q,(a1,a2,…,an))=(p, (b1,b2,…,bn), (c1,c2,…,cn)) S1 从左向右描述单带中各道读头所在符号是 否为(a1,a2,…,an)。 S2 从右向左扫描各读头所在符号，符号改为
b,读头按c移动。
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4.2.2 多带图灵机
其中 （aik,bik)表示n带TM中第k带上第i格的情形 aik表示n带TM中第k带上第i格的字母， bik表示n带TM中第k带上第i格的读头， 0不是读头所在，1是读头单元格
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4.2.2 多带图灵机
【例4-8】下面的图 】 灵机就是不确定图 灵机。无向图G中， 从a出发合法路径 判定的不确定型图 灵机。
第4章 图灵机
1
Overview
图灵机（Turing Machine，TM），是 计算机的一种简单的数学模型。 历史上，冯诺曼计算机的产生就是由 图灵机诱发的。 丘奇—图灵论题：一切合理的计算模 型都等同于图灵机.
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类型 0
文 法 结 构 短语结构文法 Phrase Structure 上下文有关文法 Context Sensitive （CSG ） 上下文无关文法 Context Free （CFG） ） 正 右线性文法 规 文 左线性文法 法
定义4-4 对于图灵机M = ( K, Σ, Γ, δ, q0, 定义 B, F)，定义图灵机接受的语言集 L(M) 为 L(M)={w|w∈Σ*∧ u0 u v q qf(u0∈Σ*∧u∈Σ*∧v∈Σ* ∧q∈K∧qf ∈F ∧q0w├*u0qB├*uqfv)} ├ ├
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4.1 图灵机模型
图灵机所定义的语言类---递归可枚举集合 图灵机所计算的整数函数类---部分递归函 数 以图灵机为模型,研究问题的可计算性，即 确定该问题是可计算的、部分可计算的， 还是不可计算的。
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Overview
4.1 4.2 4.3 4.4 图灵机模型 图灵机的变化和组合 通用图灵机 图灵机可计算性
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4.1 图灵机模型
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4.2.3 非确定图灵机
非确定图 灵机由一个有穷控制器、一条带和一个读头组 成。对于一个给定的状态和被读头扫描的带符号，机器的 下一个动作将有有穷个选择。 设一个非确定图灵机 M1=( K, Σ,Γ,δ,q0, B, F)，除转移函 F) 数δ外，其它同一般图灵机的定义。转移函数δ仍是从 K×Γ到K×Γ×{L,R,S}上的映射，但它可能有多个映射的 像,即存在q∈K, a∈Σ, δ(q,a)= (p1, b1, c1) δ(q,a)= (p2, b2, c2) …… δ(q,a)= (pr, br, cr)
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4.1 图灵机模型
定义4-3 定义 瞬时描述ID1经过一步变为瞬时描述ID2，称 ID1与ID2具有一步变化关系，表示为 ID1├ID2 若ID1经过n步变为ID2(n≥0)，即有 ID1├ID├… ├ ID2 ├ 称ID1与ID2具有多步变化关系，简记为 ID1 ├*ID2
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4.1 图灵机模型
0型语言 型语言 ———图灵机 ———图灵机 1型语言 型语言(CSL) ———线性界限自动机 ———线性界限自动机 型语言 2型语言 型语言(CFL) ———下推自动机 ———下推自动机 型语言 3型语言 正规集 ——有限自动机 型语言(正规集 ——有限自动机 型语言 正规集)——
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Overview
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4.1 图灵机模型
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4.1 图灵机模型
【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数 的 】设计一个图灵机，计算自然数n的 为底的对数。 以2为底的对数。 为底的对数 用一进制表示输入和输出值。 表示输入n, 用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m. 表示输出m. 设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划 设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的 划 掉一个，留一个，并将计数器加1。 掉一个，留一个，并将计数器加 。重复此 过程，直至a不复存在 这里，用字符c表 不复存在。 过程，直至 不复存在。这里，用字符 表 示划掉的字符。 示划掉的字符。
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4.2.2 多带图灵机
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4.2.2 多带图灵机
定理4-2 如果一个语言L被一个多带图灵机接受， 定理 它就能被一个单带图灵机接受。 证明思想：用单带TM模拟n带TM运行。单带的第i 格表示n带TM各带第i格的状态。 单带TM第i格中符号记为： ((ai1,bi1)(ai2,bi2) … (ain,bin)) 其中 （aik,bik)表示n带TM中第k带上第i格的情形
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4.1 图灵机模型
定义4-3 设当前的瞬时描述 定义 ID1= x1x2 … xi-1 q xi … xn 若有δ(q, x i) = (p, y, L)，则图灵机瞬时描述 变为 ID2 = x 1x 2 …x i-2p x i-1 y x i+1 … x n； 若有 δ(q, x i) = (p, y, R)，则图灵机瞬时描 述变为 ID2 = x1x2 … xi-1 y pxi+1 … xn。
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4.2.3 非确定图灵机
定理4-3 如果语言L被一个非确定图灵机M1 定理 接受，则L将被某个确定图灵机M2接受。
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4.2.4 多头图灵机
一个k头图灵机有k个读头，一个控制器和 一条带，读头由1到k编号，图录机的一个 动作由当前状态和被每个读头所扫描的符 号。在一个动作中，每个读头独立地左移、 右移或不动。 定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接 定理 受，则它能被一个单头图灵机接受。