选修2-3第一章计数原理归纳整合

别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
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【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
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解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
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要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
解 法一 在每个车队抽调 1 辆车的基础上， 还需抽调 3 辆车， 可分为三类： 1 从一个车队中抽调，有 C7 种； 从两个车队中抽调， 一个车队中抽 1 辆， 另一个车队中抽 2 辆， 2 有 C7 · C1 2＝ 42 种； 从三个车队中抽调，每个车队中抽调 1 辆，有 C3 7＝ 35 种．故 由分类加法计数原理知，共有 7＋ 42＋ 35＝ 84 种抽调方法． 法二 (隔板法) 由于每个车队的车均多于 4 辆， 只需将 10 个份额分成 7 份． 可 将 10 个元素排成一排，在相互之间的 9 个空档(除去两端)中 插入 6 个档板，即可将元素分成了 7 份，因而有 C6 9＝ 84 种抽 调方法．
寄信方法？
解 (1)分3步完成寄出3封信的任务；第一步，寄出1封 信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第
三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务，根据分步
乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄பைடு நூலகம்方法．
(2)典型的排列问题，共有 A3 4＝24 种寄信方法．
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(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x 的某次幂等，此时要特别注意二项式展开式中第 k＋1 项的通项 n－k k k 公式是 Tk＋1＝Ck b (k＝0，1，„n)，其二项式系数是 Cn ，而 na ＋1 不是 Ck n ，这是一个极易错点．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的 项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二 项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法 是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关 系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式 子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项 或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，
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2．排列与组合 主要是排列数与组合数计算公式、性质的应用以及排列组合 应用题．
排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其
中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式， 在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本 遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组
再由方程组求出结果，在求各项系数的绝对值的和时，则要
先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
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专题一
两个计数原理
选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取
的方式而定，确定是分类还是分步要抓住两个原理的本质．分
类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首选要根据问题的特 点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其 次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一 类，并且分别属于不同类的两种方法必须属于某一类，并且分
⑥不相邻问题插空处理的策略；
⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略； ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略．
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【例2】 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现 从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1 辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？
合问题．
有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：(1)元素 分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)位置 分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
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组合应用题的难点是与几何图形有关的问题，此时一般要与
两个原理结合应用，还要结合图形的实际意义． 排列与组合综合应用题中也有很多重点和难点，比如分配问
题，一般方法是先分组，后分配，分组问题又要注意均匀分
组和不均匀分组的区别，均匀分组在各组逐一满足后还要除 以均匀分组组数的全排列；而有公共元素的分配问题，则可 以利用图示法求组数，这样可以避免分组中的重复． 3．二项式定理
这部分常考知识、题型、主要方法以及注意点大体如下：
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题 型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式 等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；