离散余弦变换(DCT)及其应用分析

二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像 矩阵，则
F (u, v) 2 MN
M 1 N 1 x 0 y 0

f ( x, y )C (u)C (v ) cos
(2 x 1)u (2 y 1)v cos 2M 2N
(1-8)
离散余弦变换（DCT）及其应用
式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1 二维DCT逆变换定义如下：
FCT。
首先，将f(x)延拓为
f ( x) fe ( x) 0
x=0, 1, 2, …, N-1 x=N， N+1, …, 2N-1
(1-13)
离散余弦变换（DCT）及其应用
按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT
1 F (0) N
F (u ) 2 N 2 N 2 N 2 N
离散余弦变换（DCT）及其应用
2 N 1 (2 x 1)u F (u ) C (u ) f ( x) cos N x 0 2N
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1
(1-3)
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即 其中
F=Gf
(1-4)
1 / N 1 1 1 2/ N cos( / 2 N ) cos(3 / 2 N ) cos((2 N 1) / 2 N ) G 2/ N cos( / 2 N ) cos(6 / 2 N ) cos((2 N 1) / 2 N ) 2 / N cos((N 1) / 2 N ) cos((N 1)(3 / 2 N ) cos((N 1)(2 N 1) / 2 N )
f ( x, y ) 2 MN
M 1 N 1 u 0 v 0

C (u)C (v ) F (u, v ) cos
(2 x 1)u (2 y 1)v cos 2M 2N
(1-9)
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵 形式如下：
( 2 x 1) u 2N
0 cos
2 N 1 xN
( 2 x 1)u 2N ( 2 x 1)u 2N
f ( x)
x 0 e
N 1
(1-14)

x 0
N 1
f ( x ) cos
( 2 x 1)u 2N 2 N 2 N
2 N 1 xN

x 0
N 1
( 2 x 1)u f ( x ) cos 2N f e ( x ) cos ( 2 x 1)u 2N ( 2 x 1)u 2N
F=GfGT
(1-10)
离散余弦变换（DCT）及其应用
同时，由式(1-8)和式(1-9)可知二维DCT的逆变换核与 正变换核相同，且是可分离的，即
g ( x, y , u, v ) g1 ( x, u ) g 2 ( y , v ) 2 ( 2 x 1)u 2 ( 2 y 1)v C (u ) cos C ( v ) cos 2M 2N M N
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.2 二维离散余弦变换
考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广 到二维DCT。其正变换核为
g ( x , y , u, v ) 2 (2 x 1)u (2 y 1)v C (u)C (v ) cos cos 2M 2N MN
(1-7) 1,
式中， C(u) 和 C(v) 的定义同式（ 7-48 ）； x, u=0, 2, …, M－wenku.baidu.com； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
转置
F ( x, v) F列[ F ( x, v) ] F (u, v)
T T
T
(1-12)
转置
F (u, v)
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.3 快速离散余弦变换
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方 便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速 DCT （ FCT ）， 在此介绍一种由 FFT 的思路发展起来的
离散余弦变换（DCT）及其应用
• 1.1一维离散余弦变换
一维CT的变换核定义为 :
2 (2 x 1)u g ( x, u ) C ( u ) cos N 2N
(1-1)
式中，x, u=0, 1, 2, …, N－1；
1 u0 C (u ) 2 其他 1
(1-2)
一维DCT定义如下： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信 号列。




(1-5)
离散余弦变换（DCT）及其应用
一维DCT的逆变换IDCT定义为
f ( x)
2 N 1 (2 x 1)u C (u) F (u) cos N u 0 2N
(1-6)
式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。可见一维DCT的逆 变换核与正变换核是相同的。
离散余弦变换（DCT）及其应用
•
离 散 余 弦 变 换 （ Discrete Cosine Transform ， DCT ）的变换核为余弦函数。 DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的 变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号 和图像信号的相关特征。因此，在对语音信 号、图像信号的变换中， DCT 变换被认为是 一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压 缩编码的国际标准建议中，都把 DCT 作为其 中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还 是一种可分离的变换。
(1-11)
式中：C(u)和C(v)的定义同式（1-2）； x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
离散余弦变换（DCT）及其应用
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来 完成， 其算法流程与DFT类似， 即
f ( x, y ) F行 [ f ( x, y )] F ( x, v)