数学建模-整数规划
整数规划和动态规划-数学建模
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数 的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
西安理工大学理学院
王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
一、0—1型整数规划的典型应用问题例1：背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量和重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备重量/Kg55261224重要性系数201518148410解：引入0—1变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品i上述问题就是一个标准的0-1整数规划问题，解得： X*=(1,1,1,1,0,1,1)’ Z*=81例2：集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解效率。
数学建模——混合整数规划
实验四 混合整数规划一、问题重述某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。
根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。
这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。
请帮该公司解决以下问题：(1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？(2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。
公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。
(3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。
投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。
专家预测出各项目的风险率，如表2所示。
二、符号说明i A :：投资额；i b ：i A 个项目所获得的年利润；i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润；i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量；i p ：投资第i A 个项目的投资风险；三、模型的建立 对于问题一目标函数：81max i i i c x ==∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题二 设定0—1变量131130...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ⎧⎨⎩,项目不同时投资,项目同时投资 目标函数：''''11133111332445524455''''322667788322667788max ()(1)()()(1)()()(1)()y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++++++-+++s.t. 11313124545232678267831500001000i i i i i ib x k y x xx x y ky x x x x y k y x x x x x x x x y kb x m ⎧≤⎪⎪=⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎩∑对于问题三：目标函数：max min max()i iii i i c x b x p =∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题三模型的简化固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。
数学建模整数规划PPT学习教案
已知三工厂每月的经营费用 di (与 产量无关)分别为 100、90、120 .问如 何选址使每月经营和运输费用最低 .
x11 x21 x31 40
x12 x22 x32 60
x13 x23 x33 45
y1 y2 y3 2
Solution:
1、 先检查最大上界（极大化问题）的活问题
优点：检 查子问 题较其 他规则 为少；
缺点：计算机储存量较大 .
2、 先检查最新产生的最大上界的活问题 优点：计算机储存量较少 ；
缺点：需要更多的分支运算 .
选择的不 同，提 供了发 挥的余 地
第13页/共30页
第五章去掉整数约整束数为3＜规x 划＜4 之间无整数解P Example4
0123456789
x1第14页/共30页
P6 (x2≥5)
x1=0、x2=5 Z6=40
*
§2 整 数 规 划 的解 法 Example 5 （投资方案的最优选择）
投资 年度
项目
A1 A2 A3
投资 额度
1 042 5
某公司欲对三个项目进行投资， 根据预算 四年内 的投资 额、三 个项目 每年所需投资额以及所创利润如表. 问应对哪 几个项 目进行 投资， 可获利 最大？
整数规划
物品 重量 aj
1
3
2
4
3
3
4
3
5
15
6
13
7
16
价值 cj 12 12 9 15 90 26 112
Solution: 这是一个 0-1 规划问题.
1 x j 0
如果带第 j 件物品 否则 j = 1~7
整数规划建模方法及应用
整数规划建模方法及应用
整数规划是一种数学优化方法，其任务是找到满足特定限制条
件的整数决策变量的最优值。
整数规划被广泛应用于制造、物流、
金融、计算机科学、工程和其他领域。
以下是整数规划建模方法及
其应用。
整数规划建模方法：
1. 确定决策变量：将需要做出的决策表示为一个整数变量，如
产品数量、员工数量等。
2. 给出目标函数：目标函数表示要最大化或最小化的优化目标，如利润、销售额等。
3. 设置限制条件：限制条件是指需要遵守的约束条件，如生产
能力、市场需求等。
4. 决策变量的整数要求：由于整数规划的特殊性质，需要规定
决策变量为整数。
应用：
1. 生产问题：整数规划可以优化生产计划，包括最佳的生产数量、产品组合和生产时间。
例如，在制造业中，整数规划可以帮助
确定要生产的产品数量，以最大化收益和最小化成本。
2. 库存问题：整数规划可以应用于零售商和批发商的库存管理，以确保及时补货和避免库存过量。
例如，在食品行业中，整数规划
可以帮助决定购买多少食材以达到最大利润。
3. 作业调度问题：整数规划可以帮助确定作业完成的时间，并确保资源分配最有效。
例如，在工厂中可以使用整数规划分配机器的使用时间以达到最大的生产效率。
4. 资源分配问题：整数规划可以帮助分配资源，如资金、人力资源和物资，以最大化效益。
例如，在政府基金分配方面，整数规划可以帮助确定资金分配的最佳方式，以支持社区发展、教育等。
总之，整数规划是一种非常有用的数学工具，可以帮助优化决策和资源分配的过程，应用广泛。
数学建模(整数规划)
整数规划模型实际问题中x x x x f z Max Min Tn "),(),()(1==或的优化模型mi x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件多元函数决策变量个数n 和数线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学规非线性规划解的边界上取得划整数规划Programming+Integer所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。
型整数规划+整数线性规划max(min) nz c x =1j jj n=∑1s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m=≤=≥=∑"12 ,,,0 ()n x x x ≥"且为整数或部分为整数+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？m1⎧1max j jj c y =∑ 1 0j j y =⎨被装载 s.t. mj j v y V≤∑0j ⎩没被装载1j m=1j j j w y W=≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m=="(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：I）网址htt//li dLINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
数学建模 -整数规划
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
数学建模整数规划
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。
整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。
一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用
图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2
产量 制药厂 (箱/周) A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5 B3 3 8 10 3
解：建立数学模型
设：制药厂Ai 每周运到销售店Bj 的药品为xij 箱（i =1,2，3，4； j =1，2，3）；
第三步
主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大 值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称 为界的枝，称为界枝。 完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝 的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是 原整数规划的最优解。
第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。 若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计 算过程便告结束；否则，回到第二步。
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 1 1 x1 , x 2 0
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 2 1 x1 , x 2 0
例2 某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出
数学建模整数规划详解
vlb = zeros(2,1);
vub=[9;15];
%调用linprog函数：
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果为： x=
9.0000 0.0000 fval =360
即只需聘用9个一级检验员。
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它
钢材（吨） 劳动时间（小时） 利润（万元）
小型 1.5 280 2
中型 3
250 3
大型 5 400 4
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3 0
线性 规划 模型
(LP)
模型 求解
x= 64.5161
结果为小数， 怎么办？
注意：当决策变量变化范围较大时，运行速度较慢
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
qiche2.m qiche2.c
IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632
78
70
67.4
j=2
数学建模整数规划
整数规划前面介绍的线性规划问题中，只要求决策变量非负，也就是说决策变量可以取小数，然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有取非负的整数才有实际意义。
如果一个线性规划问题要求全部的决策变量都取整数，那么这样的线性规划问题称为全整数规划或纯整数规划问题。
如果只要求一部分决策变量取整数，那么这样的线性规划问题称为混合整数规划问题。
如果决策变量只能取0或者1，那么就称为0-1规划问题 整数规划在实际中的应用: 1. 指派问题：某公司人事部门欲安排四个人去做四项不同的工作，每个人只能完成一项工作，一项工作只能由一个人完成。
每个人完成各项工作所消耗的时间（单位：分钟）如下表所示，（2） 如果把（1）中的消耗时间数据看成创造效益的数据，那么应该如何指派，可以使得总的效益最大？（3） 如果在（1）中再增加一项工作E ，甲 、乙、丙、丁四人完成工作E 的时间分别为17，20，15，16分钟，那么应该指派这四个人干哪四项工作，可使得这四个总的消耗时间为最少？解：（1） 引入0-1变量ij x ，并令⎩⎨⎧=项工作时个人不做第当第项工作时个人去做第当第j i j i x ij 01，于是这个分派问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=++++++++++++++++++=4,3,2,1,4,3,2,1101111111119242017181516262027241828201920min 443424144333231342322212413121114443424134333231242322211413121144434241343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x Z ij ，或 用管理运筹学2.0软件求解结果如下：**********************最优解如下*************************目标函数最优值为 : 71变量 最优解 ------- --------x1 0 x2 1 x3 0 x4 0 x5 1 x6 0 x7 0 x8 0 x9 0 x10 0 x11 1 x12 0 x13 0 x14 0 x15 0 x16 1 约束 松弛/剩余 ------- ---------1 02 03 04 05 06 07 08 0 这就说明112=x ，121=x ，133=x ，144=x所以应该让甲去做B 工作，让乙去做A 工作，让丙去做C 工作，让丁去做D 工作，这时总的消耗时间为71分钟。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，其中最常用的有三种，分别是线性规划、整数规划和动态规划。
一、线性规划线性规划是一种优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找目标函数最大或最小值的一种方法。
它的数学形式是以线性约束条件为基础的最优化问题。
线性规划的基本假设是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划通常分为单目标线性规划和多目标线性规划，其中单目标线性规划是指在一个目标函数下找到最优解，而多目标线性规划则是在多个目标函数下找到一组最优解。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是最常用的求解线性规划问题的方法，它的核心思想是通过不断迭代改进当前解来达到最优解。
内点法是一种相对较新的求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过从可行域的内部最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在线性规划的基础上增加了变量必须取整数的限制条件。
整数规划具有很强的实际应用性，它能够用于解决很多实际问题，如资源分配、生产优化等。
整数规划的求解方法通常有两种：分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的基本思想是通过将问题划分为若干个子问题，并通过求解子问题来逐步缩小解空间，最终找到最优解。
割平面法也是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的主要思想是通过不断添加线性割平面来修剪解空间，从而找到最优解。
三、动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的数学方法。
多阶段决策问题是指问题的求解过程可以分为若干个阶段，并且每个阶段的决策都受到之前决策的影响。
动态规划的核心思想是将问题划分为若干个相互关联的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
动态规划通常分为两种形式：无后效性和最优子结构。
无后效性是指一个阶段的决策只与之前的状态有关，与之后的状态无关。
最优子结构是指问题的最优解能够由子问题的最优解推导而来。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
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算例
max 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500
s.t.32xx12
4x3 2x2
800 5x3
2000
x1
,
x2
,
x3
0,
x1 , x3为整数
max 3 x1+5 x2+4 x3 subject to 2 x1+3 x2<=1500 2 x2+4 x3<=800 3 x1+2 x2 +5 x3<=2000 end gin x1 gin x3
注解
该问题本质上是个整数规划问题， 放松的线性规划的最优解是个整数 解，所以两规划等价。
定义整数变量用函数@gin(x1)…… @gin(x7); 0-1整数变量为@bin(x1)
应急选址问题
某城市要在市区设置k个应急服务中心, 经过初步筛选确定了m个备选地，现已 知共有n个居民小区，各小区到个备选地 的距离为 d ij , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,为了使 得各小区能及时得到应急服务，要求各 小区到最近的服务中心的距离尽可能的 短，试给出中心选址方案。
问题分析
为了便于说明问题引入间接变量，第i 小区是否由第j个中心服务
yij 0,1, i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
以及最远的距离 z,
约束条件
小区服务约束
yij x j , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
m
yij 1, i 1,2,..., n,
方案 确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每 个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定 每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而 求出每天工作的人数。
变量 每天开始休息的人数 xi ,i 1,2,...,7 约束条件
1.每人休息时间2天，自然满足。
2. 每天工作人数不低于需求量，i 第 天工作的人数就是 从第i 2 天往前数 5 天内开始工作的人数，所以有约束：
x2 x3 x4 x5 x6 12 x3 x4 x5 x6 x7 15 x4 x5 x6 x7 x1 12 x5 x6 x7 x1 x2 14 x6 x7 x1 x2 x3 16 x7 x1 x2 x3 x4 18 x1 x2 x3 x4 x5 19
问题分析
该问题与传统的选址问题的主要区别在 于其目标不再是要求费用最小，而是要 求最长距离最短。也就是离服务中心距 离最远的小区离最近的服务中心距离最 小。 变量：当中心的位置确定下来后，各小 区对应的最近中心也就确定，所以真正 的变量也就是小区的位置。设
x j 0,1, j 1,2,..., m,
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
i0
避免出现断裂
每个点给个位势 前点比后点大
除了初始点外要求
目标—总费用最小
nn
cij xij
i0 j0
nn
min
cij xij
i0 j0
n
xij 1; i 1,2,..., n j0
p
算法
分支定界算法 割平面算法
计算软件
整数变量定义 LinDo
一般整数变量:GIN <Variable> 0-1整数变量: INT <Variable>
LinGo
一般整数变量: @GIN( variable_name); 0-1整数变量：@BIN( variable_name);
算例
3
1 xij ;i 8,2...,17 j 1
17
3
pi (1 xij )
i 8
j 1
模型
17
3
min pi (1 xij )
i8
j 1
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
案例
有一旅行团从 v0 出发要遍游城市 v1, v2 ,..., vn，已知从vi 到v j的旅费 为 cij，问应如何安排行程使总费 用最小？
模型
变量—是否从i第个城市到第j个城市
约束
xij 1,0;
每个城市只能到达一次、离开一次
n
xij 1; i 1,2,...n
3.变量非负约束：
xi 0,i 1,2,...,7
目标函数：总费用最小，总费用与使用的总
人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一
天开始休息，所以总人数等于
7
xi
i 1
模型
7
min 200 xi i 1
x2 x3 x4 x5 x6 12
x3
x4
x5
j 1
问题分析
最远距离约束
d ij yij z, i 1,2,..., n, j 1,2,.., m
中心个数约束
m
xj k,
j1
目标函数：最远距离 z 最小
模型
min z
y
ij
x j ,i
1,2,...,n,
j
1,2,...,m,
m
yij
1,i 1,2,...,n,
应用案例分析
旅行商问题（TSP） 人力资源分配问题 应急设施选址问题
1 2
3
4 5
1 2
3 4 5
1
23
5
23
45
1 3 4 5
23
1
3
3
5
人力资源分配问题
某个中型百货商场对售货人员（周工 资200元）的需求经统计如下表
星期 一 二 三 四 五 六 七
人数 12 15 12 14 16 18 19
旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
实例
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫 升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为 400、300、150、250、450、760、190、 （单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如 果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得 知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品 的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的 安排方案把物品放在三个旅行包里。
为了保证销售人员充分休息，销售人 员每周工作5天，休息2天。问应如何 安排销售人员的工作时间，使得所配 售货人员的总费用最小？
模型假设
每天工作8小时，不考虑夜班的情况； 每个人的休息时间为连续的两天时
间； 每天安排的人员数不得低于需求量，
但可以超过需求量
问题分析
因素 不可变因素：需求量、休息时间、单位费用； 可变因素：安排的人数、每人工作的时间、总费用；
整数规划
整数规划问题与模型 整数规划算法 计算软件 应用案例
整数规划问题
实例 特点 模型分类
应用案例
旅游售货员问题 背包问题
旅游售货员问题
背景 案例 模型
背景
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
s.t.dji1j yij z,i 1,2,...,n, j 1,2,...,m,
m
j 1
x
j
k
x j , yij 0,1,i 1,2,...,n, j 1,2,...,m, z 0
x6
x7
15
x
4
x5
x6
x7
x1
12
s.t.
x1 x1
x2 x2Fra bibliotek x5 x3
x6 x6
x7 x7
14 16
x1
x2
x3
x4
x7
18
x1 x2 x3 x4 x5 19
xi 0,i 1,2,...,7
一般整数规划模型
min c x
Ax b
s.t
.
x
0,
x为 整 数
0-1整数规划模型
min c x
Ax b
s.t
.
x
i
0,1; i
1,2,..., n
混合整数规划模型
min c x
Ax b
s.t.x 0
xi为整数
,
i
1,2,...,
s.t. n xij 1; j 1,2,..., n i0 ui u j nxij n 1;1 i j n xij 1,0, i 1,2,..., n, j 1,2,..., n
背包问题
背景 案例 模型
背景
邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走
3
xij 1;i 8,2...,17
j 1
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
线性整数规划模型
一般整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型