河北省唐山市开滦一中2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析.doc

河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1. 在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ）A. tan tan A C <B. tan tan A C >C. sin sin <A CD.sin sin A C >【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用正弦定理证明正确选项 【详解】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误.若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题. 2. 不等式112x <的解集为（ ） A. (,2)-∞B. (2,)+∞C. (0,2)D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】移项通分后转为一元二次不等式即可求其解集. 【详解】112x <等价于202x x-<即()20x x ->， 故不等式的解为0x <或2x >，故解集为()(),02,-∞+∞，选D.【点睛】本题考查分式不等式的解，属于基础题.3. 若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于（ ） A. ()0,3- B. ()0,1C. ()1,2-D. ()2,3-【答案】A 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标运算求得AB .【详解】依题意()()()1,11,20,3AB OB OA =-=--=-. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 已知{}n a 是等差数列，且1415a a +=，则23a a +的值是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】{}n a 是等差数列，且1423，231415a a a a ∴+==+.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 5. 下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但220a b +=；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温． 其中为随机事件的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件概念逐一判断，即可选择.【详解】任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件； 从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件； 因为当实数a ，b 都不为0时220a b +≠，所以③为不可能事件；明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件； 故选C ．【点睛】本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 6. 不等式22120x ax a --<（其中0a >）的解集为（ ） A ()3,4a a - B. ()4,3a a -C. ()3,4-D. ()2,6a a【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解，再根据解的大小写出不等式解集. 【详解】22120(3)(4)034,(0)x ax a x a x a a x a a --<∴+-<∴-<<>故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 对于0,0a b >>，下列不等式中不正确的是（ ）A. 22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 222a b ab +C. 22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭11a b<+【解析】 【分析】举例可确定不正确的选项，其它选项可利用作差法证明成立.【详解】当9a b ==时，满足0,0a b >>，但9211229a b=>=+，即D 不正确； 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭222()024a ba b +---=≤∴22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即A 正确； 22222()0222a b a b a b ab ab +--+-=≤∴≤，即B 正确； 2222)042(a b a b a b ab ab --=≤∴++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确；故选：D【点睛】本题考查作差法判断不等式，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为（ ） A.710B.67C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求得所有的可能，结合古典概型概率计算，计算出所求的概率.【详解】依题意从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的可能事件有：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），（懒羊羊、暖羊羊），（懒羊羊、沸羊羊），（暖羊羊、沸羊羊），共10种.其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），共7种.所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为710.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9. 已知向量31,cos ,cos ,26a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若//a b ，则锐角α为（ ） A. 30 B. 60︒ C. 45︒ D. 75︒【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果. 【详解】因为//a b ，所以22311cos cos 264αα=⨯∴= 因为α为锐角，所以1cos 602αα=∴= 故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 10. 已知ABC的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若1sin 4a A =，则sin sin sinbc aB C A+-+-等于（ ）A.14B. 4C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，代入即可得结果.【详解】由正弦定理,1sin 4a A =sin sin b cB C==，即sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，则sin sin sin b c aB C A +-+- 14444b c a b c a +-==+-， 故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，实现边角互化是解题的关键，属于基础题.11. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数25n =，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10m =个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==， 故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.12. 已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ） A. 1411n ⎛⎫-⎪+⎝⎭B. 11421n ⎛⎫-⎪+⎝⎭C. 111n -+ D.1121n -+ 【答案】C 【解析】 【分析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++，然后用裂项相消法即可求出{}n b 的前n 项和.【详解】因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++， 所以1111114(1)1n n n b a a n n n n +=⋅==-++，所以{}n b 的前n 项和为11111111112233411n n n -+-+-++-=-++ 故选：C.【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】分层抽样的抽取比例为样本容量总体个数，抽取的女生人数为抽取比例⨯女生人数．【详解】由题意知：分层抽样的抽取比例为6136189=+，∴抽取的女生人数为11829⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的定义是关键，属于基础题．14. 在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________．【答案】45n - 【解析】 【分析】首先利用1n n n a S S -=-得出2n ≥时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，()()12223213145n n n n n a S S n n n -=---+-=--=，1n =时，上式也成立，∴45n a n =-，故答案为：45n -.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，属于基础题．15. 为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[)25,30内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为________． （2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为________． 【答案】 (1). 0.04 (2). 680人 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立方程，即求得年龄分组[)25,30对应小长方形的高度； （2）先利用频率分布直方图求得[)25,40内的频率，进而求得年龄在[)25,40内的人数. 【详解】（1）设年龄年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为x ， 则(0.010.070.060.02)51x ++++⨯=，解得0.04x =， 即年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为0.04.（2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的频率为(0.040.070.06)50.85++⨯=， 所以这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为8000.85680⨯=人.故答案为：0.04，680人.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中频率、频数的计算，着重考查了识图能力，以及运算与求解能力.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为ABCABDBDCS SS=+,所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c=⨯⨯+⨯⨯∴+=因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16 故答案为：16【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(31)2n- 【解析】 【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可； （2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ， 因为1124351,10,a b a a b a ==+==， 所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴=因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132nn n S -==--【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分． 【答案】（1）75m =，73.3n =；（2）优秀率30%，平均分71分. 【解析】 【分析】（1）根据众数是最高小矩形中点的横坐标，中位数要平分直方图的面积可得,m n 的值； （2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的优秀率为右边两个小矩形面积之和，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和. 【详解】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为75m =（分） 前三个小矩形面积为0.01100.015100.015100.4⨯+⨯+⨯=， ∵中位数要平分直方图的面积， ∴0.50.47073.30.03n -=+=.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和()0.0250.005100.3+⨯=，所以，抽样学生成绩的合格率是30%， 利用组中值估算抽样学生的平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计这次考试的平均分是71分.【点睛】本题考查频率分步直方图，解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率，众数是最高小矩形中点的横坐标，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和，属于基础题. 19. 在ABC 中，120A =︒，37c a =． （1）求sin C 的值； （2）若7a =，求b 的长．【答案】（1）14；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求得sin C 的值； （2）根据余弦定理列方程解得b 的值. 【详解】（1）因为37c a =，所以由正弦定理得3333sin sin sin12077C A ===； （2）因为37c a =，7a =，所以3c = 由余弦定理得2222222cos 7323cos120a b c bc A b b =+-∴=+-⋅2340005b b b b ∴+-=>∴=【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？ 【答案】（1）1000(20)(8),(0)S x x x=++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【解析】 【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽. 【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x=++>， （2）10002000020000(20)(8)116081160281960S x x x x x x=++=++≥+⋅= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 21.已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =--.（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）见解析（2）3 【解析】 【详解】⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a ba b R R=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形. ⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去） 所以11sin 4sin 3223S ab C π==⨯⨯=22. 某市2020年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2020年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2020年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．112a =211.5a = 3a =____…12b =2b =______3b =_____…（2）从2020年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？【答案】（1）32311,3, 4.5a b b ===，0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）；132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）；（2）2026年【解析】 【分析】（1）利用列表法，结合等差、等比数列的通项公式，求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）根据（1）中表格数据得出结论. 【详解】（1）依题意列表如下：根据表格数据可知，112,0.5a d ==-，311a =， 令()110n a a n d =+-=，即()()1210.50.512.50n n +-⨯-=-+=，解得25n =. 所以0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）.由表格数据可知，132,2b q ==，233, 4.5b b ==， 所以132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）.（2）由（1）表格可知2026年超过100万.【点睛】本小题主要考查等差、等比数列在实际生活中的应用，属于中档题.。