高中数学必修5知识点汇总

- 1 -

高中数学必修五知识点汇总

第一章 解三角形

一、知识点总结 正弦定理:

1．正弦定理:2sin sin sin a b c

R A B C

=== (R 为三角形外接圆的半径).

步骤1.

证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA

得到b b

a a sin sin =

同理，在△ABC 中， b

b

c c sin sin =

步骤2.

证明：2sin sin sin a b c

R A B C

===

如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.

所以C R

c

D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C ===

2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b

ii A B C R R

==2c R =；

()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；

（4）R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算

解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解

- 2 -

余弦定理:

1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪

=+-⎨⎪=+-⎩

2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

.

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）

2.设)(2

1

c b a p ++=

,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(2

1

c b a p ++=，求证：

（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则p

c p b p a p r )

)()((---=

（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p a

h a ---=

))()((2

c p b p a p p b h b ---=

))()((2

c p b p a p p c

h c ---=

证明：（1）根据余弦定理的推论：222

cos 2a b c C ab

+-=

由同角三角函数之间的关系，sin C==

代入

1

sin

2

S ab C

=，得

1

2

S=

=

=

=

记

1

()

2

p a b c

=++，则可得到

1

()

2

b c a p a

+-=-，

1

()

2

c a b p b

+-=-，

1

()

2

a b c p c

+-=-代入可证得公式

（2）三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式

1

2

2

S p r pr

=⨯⨯=

其中

1

()

2

p a b c

=++

，所以S

r

p

==

注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：pr

cr

br

ar

S=

+

+

=

2

1

2

1

2

1

（3）根据三角形面积公式

1

2a

S a h

=⨯⨯

所以，2

a

S

h

a

=

a

h=

同理

b

h

c

h

【三角形中的常见结论】

（1）π

=

+

+C

B

A(2) sin()sin,

A B C

+=cos()cos,

A B C

+=-tan()tan,

A B C

+=-

2

cos

2

sin

C

B

A

=

+

,

2

sin

2

cos

C

B

A

=

+

;A

A

A cos

sin

2

2

sin⋅

=,

（3）若⇒

>

>C

B

A c

b

a>

>⇒C

B

A sin

sin

sin>

>

若C

B

A sin

sin

sin>

>⇒c

b

a>

>⇒C

B

A>

>

（大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（5）三角形中最大角大于等于

60，最小角小于等于

60

(6)锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

- 3 -