离散数学课件 第七章 树trees

第7章树trees

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§7.1 树

定义1：

T是集合A上一个二元关系，T称为树tree，

如果存在v0∈A，任意v∈A，v≠v0，到v0都有唯一一条路径，（v0, v0） T. T叫做根树，记做（T，v0）。

A中元素称为T的顶点vertex，T中元素称为边，v0称为根root。

定理1. 设（T，v0）是树，则

(a)T中没有回路。

(b)只有一个根v0。

(c)任意v∈A，v≠v0，v有入度1，v0入度是0。

证明：

定义2

层次level

v0的层次为0，v0的子女offspring层次为1，v0是子女的父母parent。

v i的层次为k，v i的子女offspring层次为k ＋1，v i是子女的父母parent，

T的最大层次称为高度height。

无子女的顶点叫叶leaf。

v i的子女叫同胞sibling，同胞如有长幼，从左到右，老大，老二，老三等，组成线性序，T称为有序树，ordered tree

定理2. 设（T，v0）是根树，则

(a)T反自反。

(b)T反对称。

(c)(a,b)∈T，(b，c)∈T ⇒ (a，c)∉T。

定义3：

n－树：每个顶点至多n个子女。

二叉树：2－树。

完全n－树：每个非叶顶点恰有n个子女。定义4

A rooted binary tree is a rooted tree in which every node has at most two children.

A full binary tree (sometimes proper binary tree or 2-tree) is a tree in which

every node other than the leaves has two children.

A perfect binary tree is a full binary tree in which all leaves are at the same depth or same level.[1] (This is ambiguously also called a complete binary tree.)

A complete binary tree is a binary tree in which every level, except possibly the last, is completely filled, and all nodes are as far left as possible.[2]

An infinite complete binary tree is a tree with levels, where for each level d the

number of existing nodes at level d is equal to 2d. The cardinal number of the set of all nodes is . The cardinal number of the set

of all paths is .

A balanced binary tree is a tree where the depth of all the sub-trees differs by at most 1.

定理3. 设（T，v0）是根树，v∈T，则T(v)是T的子树，T(v)的根是v。

Homework P248－249

18，19，20，21，26，28

§7.2标识树labeled trees

中缀表达式central operator expression（3－2×x）＋（（x－2））＋（3＋x））

定位树positional tree

定义

Positional n-tree is a n-tree whose vertex potentially has exactly n offspring ordered by1,2,…,n, but some of the offsprings may be missing.

定位3－树

每个顶点的子女都有一定位置。

定位2－树左右子树普通二叉树。

问题7.2.1

1）n个节点的定位二叉树有多少个？

2）如何枚举？

定位二叉树的计算机表示

Computer Representation of Binary Positional Trees

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Homework PP253－254

10，11，12，16，18，

§7.3 树的遍历tree searching（自学）二叉树的遍历

中序遍历的递归算法定义

(1)遍历左子树；

(2)访问根结点；

(3)遍历右子树。

先序遍历的递归算法定义

(1) 访问根结点；

(2) 遍历左子树；

(3) 遍历右子树。

后序遍历得递归算法定义

(1)遍历左子树；

(2)遍历右子树；

(3)访问根结点

树的搜索

深度优先搜索

广度优先搜索

启发式搜索

博弈树搜索

§7.4无向树undirected trees

无向图连通不含回路的图叫无向树例