离散数学课件 第二章 谓词逻辑-1

谓词公式的定义
原子公式：形如 A(x1,x2,…,xn)的公式 定义2-3.1满足下列条件的表达式，称为合式公式 (Wff)，简称公式(Formulae)。 （1）原子公式是合式公式； （2）若G，H是合式公式，则 (┐G)、(┐H)、(G∨H)、(G∧H)、(G→H)、(GH) 也是合式公式； （3）若G是合式公式，x是个体变量，则 (x)G、(x)G 也是合式公式； （4）仅仅由(1)-(3)产生的表达式才是合式公式。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
定义2-5.2，2-5.3，2-5.4 （1）公式G称为有效公式（或永真公式），如果G 在它所有的赋值下都为“真”。 （2）公式G称为矛盾公式（或不可满足的），如果 G在它所有的赋值下都为“假”。 （3）公式G称为可满足公式，如果至少有一种赋值 使得G取值为“真”。
本章内容
1 2
3 4 5 6
谓词逻辑中的基本概念 命题函数与量词 谓词公式与翻译 变元的约束
谓词演算的等价式
谓词的标准型-范式
7 谓词演算的推理理论
2-1 谓词的概念与表示
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析， 一个陈述句由主语和谓语两部分组成。 设 Ｐ：是计算机系的学生 则： P(陈华)表示“陈华是计算机系的学生”； P(张强)表示“张强是计算机系的学生”
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的 命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元 谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。 设：H(x):x是人 M(x):x是要死的 则前提：H(x)→M(x) H(Socrates) 结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
变元改名规则
约束变元的改名规则： 1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的 所有出现须一起更改。 2.改名时所选用变元必须是量词辖域内未出现的， 最好是公式中未出现的。 自由变元的代入规则： 1.将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个体 变元替换。 2.新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现。
量词和命题的关系
1.若论域是有限的，设论域是{1， 2…，N} 则(x)P(x) P(1) P(2) … P(N) (x)P(x) P(1) P(2) … P(N) 2.若论域是可数无限,设论域是{1， 2…，N … …} 则(x)P(x) 为P(1) P(2) … P(N) … (x)P(x) 为P(1) P(2) … P(N) …
定义
谓词(predicate)：用来刻划一个个体的性质或多 个个体之间关系的词，相当于句子中的谓语。常用 大写字母P, Q, R…来表示。 客体：可以独立存在的事物称为客体。 客体的取值范围称为个体域(或论域)，常用D表示。 宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称 为全总个体域(Universal Individual Field)。
约束变元和自由变元
定义：在量词(x)，(x)辖域内变元x的一切出现 叫约束出现，称这样的x为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变 元为自由变元。
变元的约束举例
例：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元, 并指明量词的辖域。 (x)(P(x) R(x) )→(x)P(x) Q(x) 解：表达式中的(x)(P(x)R(x))中x的辖域是 P(x)R(x),其中的x是约束变元, 表达式 (x)P(x)Q(x)中x的辖域是P(x)， P(x)中的x 是约束变元，Q(x)中的x是自由变元。 在一个公式中，一个变元既可以约束出现， 又可以自由出现。为避免混淆可用改名规则对 变元改名。
谓词逻辑符号化的两条规则
若个体域为全总个体域，而对每一个句子中个 体变量的变化范围必须用一元特性谓词刻划之。这 种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原 则：
（1）对于全称量词(x)，刻划其对应个体域的 特性谓词作为蕴涵式之前件加入。 （2）对于存在量词(x)，刻划其对应个体域的 特性谓词作为合取式之合取项加入。
命题演算公式的推广
命题演算中的等价式和蕴含式都可推广到谓词演算 中使用。
例：(x)P(x)┐(x)P(x) F
或:
(x)(y)((F(x)G(y))H(x,y))
命题符号化举例(续)
例: “有的汽车比有的火车快”。 解: 设: F(x): x是汽车; G(x): x是火车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
或:
(x)(y)(F(x)G(y)H(x,y))
解： (1) 设 P(x): x是动物, x∈{动物}，b: 熊猫，b 是个体常元, 则命题可符号化为P(b)或P(熊猫)。
(2) P(x, y, z)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x位于y与z之间。a: 上海, b:
南京, c: 杭州, 则命题可符号化为P(a, b, c)或 符号化为P(上海, 南京, 杭州)。 (3) P(x): x是偶数, Q(x): x是素数, a: 2, 则命 题可符号化为P(a)∧Q(a) 或 P(2)∧Q(2)。
谓词合式公式的基本等价关系
定义2-5.1 任何两个谓词公式A、B，设他们有共 同的个体域E，若对A和B的任一组变元进行赋值， 所得命题的真值相同，则称A和B在E上是等价的 (Equivalent)，记为A = B。 等价的另一定义 设A，B是一阶逻辑中任意两个公 式，若A B是永真式，则称A与B是等价（或等值） 的。记做A B（或A=B），称A B是等价式（等值 式）。
特性谓词的例子
为什么要这样规定特性谓词加入的原则呢？若 不遵循会出现什么样的问题？
例如，符号化“所有的老虎都要吃人”这个命题 若P(x)：x会吃人 U(x)：x是老虎 则符号化的正确形式应该是 若符号化为 (x)(U(x)∧P(x)) (x)(U(x)→P(x)) 它的含义是：“对于任意的x,x是老虎，并且 它的含义是：“对于任意的x,如果x是老虎，则x会 x会吃人”，与原命题“所有的老虎都要吃人”的 吃人”，符合原命题的逻辑含义。 逻辑含义不符。
有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准 确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之 间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量 关系的词为量词。 全称(universal)量词: “所有的”,“全部的”,“任意的”,“每一个”,… 存在(existential)量词: “有一些的”,“某些的”,“至少有一个”,“存 在”,…
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简 单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构 符号化为(p∧q)→r。由于上式不是重言式，所以 不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命 题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到 表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是 本章所研究的内容。
命题符号化举例
例: “存在最小的自然数”。 解1: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x<=y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 解2: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x<=y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y)
命题符号化举例(续)
例: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y
原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
2-4 变元的约束
定义:量词的辖域（作用域）是邻接量词之后的最 小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该 子公式的两端有括号。 量词辖域的确定方法： （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
变元改名举例
例1：(x)(P(x，y)→(y)R(x，y) ) 可改为 (x)(P(x，y)→(z)R(x，z)) 例2：(x)P(x) Q(x) 可改为 (y)P(y) Q(x) 例3：(x)(A(x)B(x，y))C(x)D(w) 可改为： (x)(A(x)B(x，y))C(z) D(w) 注意： (Z)(A(Z)B(Z，y))C(x) D(W)不可改为： (y)(A(y)B(y，y))C(x) D(W)
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人 若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x) 若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
命题符号化举例(续)
例: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x<y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(y,x)))
或:
(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
命题符号化举例(续)
例: “所有的火车比所有的汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
特性谓词举例
例：每一个被2整除的整数都是偶数，并且至少有 一个整数不是偶数。 解：设 I(x):x是整数 Q(x,y):x整除y O(x):x是偶数 (x)(I(x)∧Q(2,x)→O(x))∧(x)(I(x)∧O(x))
2-3 谓词公式与翻译
谓词公式中的符号约定： （1）常量符号：用带或不带下标的小写英文字母a, b, c, …, a1, b1, c1, …来表示。当个体域名称集 合D给出时，它可以是D中的某个元素； （2）变量符号：用带或不带下标的小写英文字母x, y, z, ..., x1, y1, z1,...来表示。当个体域名称 集合D给出时，它可以是D中的任意元素； （3）谓词符号：用带或不带下标的大写英文字母P, Q, R,..., P1, Q1, R1...来表示。
n元谓词：含有n个变元。
例如：
F(x):
x是人。
G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。
(3) 2是偶数且是素数。
第二章 谓词逻辑
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无 法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题， 但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
公式之间的关系
从上述定义可知三种特殊公式之间的关系： （1）有效公式G的否定G为矛盾公式；矛盾公式G 的否定G为有效公式。 （2）有效公式一定为可满足公式。
例：设 A（x） P（x）(x)P（x）, 论域为{3，4}， P（x）：x是质数。 判定A（x）是否为永真。 解： x P（x） (x)P（x） -------------------------------------3 1 1 1 4 0 1 0 从真值表可看出，A(x)不是永真式。 注:一般用真值表难以判定谓词公式是否为真;必须 使用推导方法。