结构的刚度柔度系数(1)

结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
[例4] 图示桁架，E=206GPa , A=0.002m2 , mg=40KN , 计算自振频率。( g取10m/s2 )
1
m
4
4
解：（柔度法）
3
5 (Fn )i2li 243
i1 EA 18EA
1 87.35 S 1 m
[例5]求图示结构的自振圆频率。
h
Am
I→∞ EI
B l
1
h h
解：先求δ
C
1 lh 2h lh2
EI 2 3 3EI
1 3EI m11 mlh2
[例6]求图示结构的自振频率。
解：先求k11
k11
k
3EI l3
（刚度并联，两者叠加）
1
k11 m
k
EI
l
k11 3EI
k l3
k11 3EI l3 k
m
m
[例7]计算图示刚架的频率和周期。
k
my
（惯性力和弹力）
解：（刚度法）
由∑MA=0 得：
2m(2 y) l my 5l k(4 y) l 0
52
45
化简得：
33my 16ky 0
16k
33m
[例9]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A
m E1I1=∞ m
EA=∞
A
m E1I1=∞ m
k
（等效图）
EI
l /2
k21 k2 1 k11 k1 k2
k22 k2
k12 k2
k1、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力）
k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
kij —— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时，
在第i 个结点位移处产生的反力。
由图示可知： k11=k1+k2
48EI
48EI
ml 3
T 2 ml3
48EI
H
m
1
A,E,I
E,I
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
1
解：
V
H
1
m H
E,A
V
1
mV
其中
H
l3 3EI
其中
v
l EA
l
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ，
不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
m
m
m
l/2
P
1 k1
P
1 k2
P
1 k1
1 k2
k1 、k2 — 楼层刚度
k1
12i1 h12
k2
12i2 h22
总刚度： k P 1
1 k1
1 k2
串联一般公式：
1 1 1 1 n 1
k k1 k2
kn k j1 j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k2
EI∞
1 k1
第十三章 结构的动力计算
§13-1 动力计算的特点和动力自由度 §13-2 单自由度体系的自由振动
▲ 结构的刚、柔度系数复习 §13-3 单自由度体系的强迫振动 §13-4 阻尼对振动的影响 §13-5 两个自由度体系的自由振动 §13-7 两个自由度体系在简谐荷载下的
强迫振动 §13-11 近似法求自振频率
超静定结构，查表（形常数）
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
三、自由振动微分方程的解
静定结构，图乘法求δ
y(t) Asin( t )
四、结构的自振周期和频率
k 1 m m
T 2
五、例题
m EI
l /2
l /2
1
[例1] 计算图示结构的频率和周期。
解：（柔度法）
1 m
l3
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
求图示三层刚架的顶端侧移。
P
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
i3
i2
i1
i3
k1
12i1 h12
2
k2
12i2 h22
2
k3
12i3 h32
2
i2
（柱并联）
2）计算楼顶点（侧移）柔度
i1
1 1 1 1
k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
P
P
▲ 结构的刚、柔度系数 复习
补充内容
1. 刚、柔度概念
δ 1
柔度 —— 单位力引起的位移。 （力偶） （转角）
1 k
刚度 —— 单位位移所需施加的力。 （转角） （力偶）
两者的互逆关系： K δ1
单自由度时： k 1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 悬臂梁自由端：
1
l3
3EI
k
3EI l3
l/2
解：
1
3l/16
，先求δ
m
1
l3 48EI
l/2
l/2
l/2
P=1
2
7l53l/32 768PE=I1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
48EI ml 3
2
E1I2
l2 (2
6
7726lm8El1336Il
l 2
352l)37678l1E39mI2lE3 I
据此可得：ω1 ‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
i1
i2 h2
∞
h i1
i2
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
3 h
i1
2 1
3 i2
h
2 2
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
12 i1 h2
12 i2 h2
并联一般公式：
n
k kj j 1
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1
h1 k1
Δ2
1
P
1 P
1 k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
2
P
2
P
1 k2
1 2
l /2
l
解：（刚度法）
(2l)3 l3
48EI 6EI
k
1
6EI l3
由∑MA=0
得： m( y )
l
my l
ky l
0
22
化简得： 5my 4ky 0
4k 5m
24EI 5ml 3
1y 2
y
（位移几何关系）
ky
A
m(1 y) 2
my
（惯性力和弹力）
[例10] 建立图示结构的振动方程，并计算自振频率、周期。
i
两端固支梁侧移刚度：
1 k
k
12EI l3
12i l2
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁）
i
1
1
k
k
3EI l3
3i l2
简支梁中点柔度、刚度：
δ
l3
48EI
k
48EI l3
2. 柱的并联、串联刚度
（1）并联
h EI
EI
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
3EI h3
3EI h3
6EI h3
h1
m
EI1=
I
Ih
1
k
解：（刚度法） 由柱刚度并联 得：
k
2
12EI h3
24EI h3
k m
24EI mh3
T 2 2 mh3
2EI
[例8]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A
2m
EI=∞
m
k
l /2
l /2
l /4
2y 5
4y
yБайду номын сангаас
（位移几何关系） 5
k(4 y)
A
2m 5
m
2m(2 y) 5
1 k1
1 k2
1 k3
P
24
h12 i1
h22 i2
h32 i3
▲单自由度体系的自由振动要点回顾
一、自由振动
二、振动微分方程的建立 my ky 0
y 2y 0
（1）刚度法 —— 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。
（2）柔度法 —— 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。