高数定积分习题

第6章 定 积 分

§6. 1 定积分的概念与性质1．概念 定积分表示一个和式的极限

其中：，；；

几何意义：表示，，，所围曲边梯形面积的代数和

可积的必要条件：在区间上有界

可积的充分条件：（可积函数类）

（1）若在上连续，则必存在；

（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在；

（3）若在上单调、有界，则必存在。

2. 性质

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4）

（5）

（6）若，， 则

推论1：若，， 则

推论2：

（7）若，， 则

（8）若在上连续，在上不变号，存在一点

特别地，若，则至少存在一点，或，使得

（9）若在上连续，则其原函数可导，且

（10）若在上连续，且，则

§6. 2 定积分的计算

1. 换元法

2. 分部法 ，或

3. 常用公式

（1）

（2），其中，为连续偶函数

（3），其中

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

§6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分）

（1）定义与性质

，若极限存在，则原积分收敛；

，若极限存在，则原积分收敛；

，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；，，，具有相同敛散性；

，即收敛积分和仍收敛

（2）审敛法

比较审敛法：

设，则

比较法的极限形式：

设，则

柯西审敛法：

设，则

特别地，

绝对收敛与条件收敛：

2. 无界函数的积分（瑕积分）

（1）定义与性质

（），若极限存在，则原积分收敛；（），若极限存在，则原积分收敛；（），两积分都收敛，原积分才收敛；，，具有相同敛散性；

，即收敛积分和仍收敛

（2）审敛法

比较审敛法：设非负，且，

若，则

比较法的极限形式：若，则

柯西审敛法：若，或，则

特别地，

§6. 5 典型例题解析

1．变限积分的求导与应用

解题思路

（1）利用公式

（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；

（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。

例1 求下列函数的导数

（1）； （2）；

（5），求；

（6）设，其中具有二阶导数，且，求

（1）解 令，当时，；当时，.

,

（2）解 令，当时，；当时，.

;

（5）解

（6）解，

习题（3）；（4）

例2 设，求

（1）将的极大值用表示出来；

（2）将（1）的看作的函数，求为极小值时的值。

解（1），，令，得

当时，，极大值为

当时，，极大值为

（2）当时，令，得，，故时，为极小值；当时，，单调下降，无极值。

2．利用定积分定义求和式的极限

解题思路 若将积分区间等分，，取，则

例3 求下列极限

（1）

解法1

其中，将等分，，

解法2

其中：将等分，，

（2）

解法1

由于

且 ；

故由夹逼定理知 原式

解法2 由于，则

（4），其中连续，并求

解 原式

习题（3）

3. 利用定积分的性质求极限

解题思路

（1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；

（2）若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。

例4 求下列极限

（1）

解法1 ，

解法2 由定积分的第一中值定理有

，

（2）

解 由于，则

例5 设在上连续，且，求

解法1由于在上连续，必有，则

解法2由定积分的第一中值定理有

，

例6 确定常数的值，使

解 由于

，

例7 设，，求

解

5．利用换元法求定积分

解题思路

（1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。

（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；

（3）若被积函数含，，，分别令，，；

（4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为，令；积分区间为，令。

（5）被积函数为，或型积分变量代换条件：积分上下限不变或换位，变换前后形式为；或

例12 求下列定积分

（1）； （2）；

（5）；（6）

（1）解

（2）解令，，，；，

（5）解法1 令，，；，

解法2利用公式求解

（6）解令，，；，

例13 求下列定积分

（1）；（2）

（1）解法1 令，，；，

解法2 利用公式

（2）解令，，；，

习题（3）（4）

（4）解令，则

6．利用分部法求定积分

解题思路一般计算方法与不定积分分部法类似。

（1）若被积函数含，，将，取作，其余部分取作；

（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作，其余部分取作；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。

例14 求下列定积分

（1）；（2）；

（5）设在上二阶连续可微，求

（1）解

（2）解

因为

所以