高数定积分习题

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2014工科题库（下）一、选择题积分：1.定积分⎰ba dx x f )(是（）.A 、)(x f 的一个原函数B 、)(x f 的全体原函数C 、任意常数D 、确定常数2.)(x f y =在区间[a,b]上连续，则定积分⎰ba dx x f )(的值（）A 、只与积分区间有关B 、只与被积函数有关C 、与积分变量有关D 、与积分区间和被积函数有关 3.)(x f y =在[a,b]上连续，x 是(a,b)内一点，则变上限积分⎰xa dx x f )(是（）A 、)(x f y =的全体原函数B 、)(x f y =的一个原函数C 、)(x f y =D 、)(x f ' 4.定积分⎰ba dx x f )(的值（）A 、是一个常数B 、)(x f 的一个原函数C 、一个函数族D 、一个负常数 5.柱面02=+z x 的母线平行（）A ：y 轴B ：x 轴C z 轴D ： zox 面6.在空间直角坐标系中，点A （2，3，4）在（）A ：第一卦限B ：第二卦限C ：第三卦限D ：第四卦限 7.函数Z=lg(22y x +)的间断点为( )A:(0,0) B:22y x +＞0 C:2x +2y ＜0 D:22y x +≠0 8.设f(x,y)=42332y y x x +-,则/'x f (x,y)=( )A:xy x 432- B:y x x 2223- C:x x 43- D:343+-xy x 9.改变积分顺序:⎰⎰-111),(dy y x f dx =( )A:⎰⎰-1110),(dx y x f dy B:⎰⎰-1011),(dx y x f dyC:⎰⎰-1110),(dy y x f dx D:⎰⎰101),(dx y x f dy10.下面方程中，可分离变量的方程为（）A ：=dxdy2x e B ：dx dy =sin （xy ） C ：x y x y =-'2 D ：xy y x y =-'2211.矩阵 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01321001（）A ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3021B ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2130C ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1203D ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130212.设}1,1,1{},1,1,1{--=-=→→b a ，则有( )A: →a ∥→b B ： →a ⊥→bC:3),ˆ(π=→→b a D: 32),ˆ(π=→→b a 13.已知M1 (2,4,7),M2(-4,0,0)两点 ,则向量21M M 的坐标为( )A:｛-6,4,7｝ B:｛-6,-4,-7｝ C:｛6,4,-7｝ D:｛-4,4,7｝ 14.二元函数的几何图形一般是( )A:一条曲线 B:一张曲面 C:一个平面区域 D:一个空间区域 15.设Z=yxy x -2,则x z ∂∂=( )A:2xy+y x B:2xy+y C:2xy-2y x D:2xy-y116.设D 是圆环域1≤22y x +≤4,则⎰⎰Ddxdy =( )A:π B:2π C:3π D:15π17.下面方程中,一阶线性齐次方程为( )A:x y x dx dy =+2 B:x xy dxdy 32-= C:y x e y -=' D:2xy y 3='18.设A 为m ×s 矩阵,B 为s ×n 矩阵,那么下列算式有意义的是( )A: AB B: BA C:A z D:AB T 19.曲面2242y x z +=称为（）A:椭球面 B: 圆锥面 C: 旋转抛物面 D:椭圆抛物面 20.在空间直角坐标系中,平行于y 轴的平面是( )A:y+D=0 B:Ax+By+D=0 C:Ax+Cz+D=0 D:By+Cz+D=0 21.函数Z=2211yx --的定义域为( )A:圆周22y x +=1 B:圆周22y x +=1的内部 C:圆周22y x +=1及内部 D:圆周22y x +=1的外部 22.设f(x,y)=ln(xy),则y f ' (1,2)=( )A:21 B:23C:2 D:ln223.改变积分顺序,则⎰⎰-110),(x dy y x f dx =( )A:⎰⎰110),(dx y x f dy B:⎰⎰-111),(y dx y x f dyC:⎰⎰-1010),(Ydx y x f dy D:⎰⎰11),(ydx y x f dy24.下面方程中,一阶线性非齐次方程为( )A:03=+y dx dy x B:011=+-y xdx dy C:)sin(3xy xy y =+' D:x y y =+'225.下列等式成立的是( )A:A A T = B: AB=T T B A C:(AB)B A T T = D:T T T A B AB =)(26．设向量{}{}z b a ,4,2,3,2,1==→→，若使→→b a ,垂直，则z=（） A 、310- B 、310 C 、311- D 、31127．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,存在，则它在0P 处（）A 、连续B 、可微C 、不一定连续D 、一定不连续28．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的闭区域，则σd xy y D)cos(⎰⎰=（）A 、2B 、2πC 、π+1D 、0 29、函数xe y 42=是86=+'-'y y y 的A 、通解B 、特解C 、不是解D 、是解，但既非特解，也非通解30、两个初等矩阵的乘积是（）A 、初等矩阵B 、单位矩阵C 、可逆矩阵D 、不可逆矩阵31、下列等式中错误的是（）A 、T T TB A AB =)( B 、A A T T =)(C 、11)()(--=T T A AD 、T T T A B AB =)(32、设向量→→→→-+=k j i m a 5和向量→→→→++=k n j i b 3共线，则m,n 是（）A 、m=15 n=-1/5B 、m=3 n=-1C 、m=-1/5 n=-15D 、m=-1 n=333、设D 是由1,2≤≤y x ，所围成的闭区域，则=⎰⎰Dd y x σ23（）A 、19/12B 、11/12C 、1/12D 、0 34、微分方程y y '=''的通解为（）A 、x e c x c y 21+=B 、x e c c y 21+=C 、x c c y 21+=D 、221x c x c y +=35、若A 、B 、C 皆为n 阶方阵，则下列关系式中（）非恒成立。

(完整版)定积分练习题

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析：由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

高数习题

1 n 2 n n n
定积分习题课
n
2 dx
x 0
1
= 右边
11
定积分习题课
例4. 估计下列积分值
1 解: 因为 4

1 4 x

1 0
2
,
1 dx
∴
即
0 2 dx
1 2
11
4 x
2
π 6
12
定积分习题课
例5. 证明
证: 令令得则
故
13
例6. 设
在
试证上是单调递减的连续函数，

4
4
sin 2 x dx x 1 e

4
1 1 ( )sin 2 xdx 1 e x 1 e x

4

4

4
1 sin xdx ( 2) 4
2
1 所以I ( 2) 8
27
例16 设f ( x), g ( x)在0,1 上有连续导数，且
f (0) 0, f ( x) 0, g ( x) 0. 证明 :

1 x ln( x 4 x 2 ) 2

2

2

2
ln 2
22
定积分习题课
解2
1 f ( x) [( f ( x) f ( x)) ( f ( x) f ( x))] 2

其中f ( x) f ( x)为偶函数，f ( x) f ( x)为奇函数
定积分习题课
明对于任何 q 0 ,1 都有不等式证明：显然 q 0 , q 1 时结论成立. 当 0 q 1 时,

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案

0
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0

高数第四章习题

习题4-11. 利用定义计算下列定积分：(1) d ();b ax x a b <⎰ 1(2)e d .x x ⎰解：(1)将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2) 将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i ix i n n==-记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i nnni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n n xn n n nn n i n nnnn n n nn x n n nnn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭； 221(2)lim ).n n n →+∞+解：(1)原式11011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n x nn n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰ (2)原式13200122lim ..33n n x x n n →+∞⎫====+⎪⎭⎰ 3. 用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰； 0(2)(0)x R >⎰.解：(1)由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2) 由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 4. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰； 210(2)1e d e.x x ≤≤⎰证明：(1)当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即2101e d e.xx ≤≤⎰5. 证明： (1) 12lim0;nn x →∞=⎰(2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明：(1) 当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：12lim 0.nn x →∞=⎰(2) 由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰习题4-21. 计算下列定积分：3(1)x ⎰； 221(2)d x x x --⎰；π(3)()d f x x ⎰，其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩；222(4)max{1,}d x x -⎰；(5)x .解：(1)原式43238233x ==-(2)原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰01232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= (3)原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ (4)原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5)原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=2. 计算下列导数：20d (1)d x t x ⎰；32d (2)d x x x ⎰解：(1)原式2=(2)原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 3. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x .解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 4. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.5. 求下列极限：2030ln(12)d (1)lim xx t t x →+⎰； 2220020e d (2)lim e d x t x x t t t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰.解： (1)原式21222300ln(12)22limlim ln(12).333x x x x x x →→+==+=(2)原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰6. a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.习题4-31. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰; 解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰. (8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx -⎛ ⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c -=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰ 解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.(15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x ⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 2. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程. 解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.3. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立. (1)()2(1)xdx d x =-；(2)()22x xx dx d e e =；(3)()(35ln )d xx x d -=； (4)()33(1)x x a a dx d =-；(5)()sin 3cos3xdx d x =； (6)()2cos 5tan 5dxxd x =； (7)()221ln 1x x d dxx =--；(8)()l 2552n d d xxx =--；()(1arcs 2in )1d x x -=-； (10)()2arcta 9n 13d dxx x =+；(11)()()2(3)(3)4d x dx x =---；(12)()22(1)x x x d e d e--+=.4. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰ 3(2)sin cos x x x-;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰2d (3)21xx -⎰; 解：原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)x x ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x x x c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e5xc --+.d (12)12xx -⎰; 解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰; 解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰arcsin .xa c a =⋅d (23)e ex x x-+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式.c =(27)⎰;d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) ;x 解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t所以sin t =,故上式c =+.(30)解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② 1t c =+ ② - ① 2 l n sin cos t t c =++ 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰5. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+6. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰3c =++. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 2d 1x x x x x x x ⎛=+-+- ⎝⎭⎰⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.习题4-4利用计分表，计算下列不定积分：（1）2sin3d x e x x -⎰；（2）x ；（3）arcsin d 2xx x ⎰；（4）；（5）()21d 1x x x -⎰；（6）x ；（7）x x ⎰；（8）x ；（9）x ；（10）4sin d x x ⎰.习题4-51. 利用被积函数奇偶性，计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数，故sin d 0.||a a xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln3xx+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2. 计算下列积分：(1)1x -⎰；2e 1(2)⎰；π40sin (3)d 1sin xx x+⎰；0(4)x ⎰；231(5)ln d x x x ⎰； π220(6)e cos d x x x ⎰；322d (7)2x x x +-⎰；21(8)x ⎰； ππ3π(9)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 2120(10)e d t t t -⎰；π22π6(11)cos d u u ⎰.解：(1)原式= (2)原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰(3)原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x x x x x x xx -=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ (4)原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02xx==(5)原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰(6)ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.(7)原式=3322111111d ln ln 2ln5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰ (8)原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+(9)原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ (10)原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰(11)原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰3. 证明：232001()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰令右所以，等式成立.4. 证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又 πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令5. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰习题4-61. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n xx n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解：原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰2. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kxx x +∞⎰; 解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散. 3. 已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰220sin (2) d .x x x +∞⎰ 解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰(2)222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题四1.填空题（1）设40ln sin d I x x π=⎰，40ln cot d J x x π=⎰，40ln cos d K x x π=⎰，则,,I J K 的大小关系是 I K J << . （2）设2x e-是函数()f x 的一个原函数，则(2)d f x x =⎰2412x e C -+ . （3）设[]x 表示不超过x 的最大整数，则定积分[]()20120d x x x -⎰的值是多少 1006 .（4）已知函数()f x ，则1()()d f x f x x '''⎰的值为14. （5）反常积分22d (1)x x x 的值为 12. 2.选择题（1）设函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内皆可导，且()()f x g x <，则必有（ A ）.A.0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< B.()()f x g x ''<C.d ()dg()f x x <D.()d ()d xxf t tg t t <⎰⎰（2）下列定积分中，积分值不等于零的是（ D ）. A.20ln(sin x x π⎰B. 2cos 0sin(sin )d x e x x π⎰C.cos 2d x x ππ-⎰ D.2222sin cos d cos 2sin x xx x x ππ-++⎰（3）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“⇔M N ”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（）. （05年全国考研题第（8）题）A.()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数B.()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 B.()F x 是周期函数()⇔f x 是周期函数 D.()F x 是单调函数()⇔f x 是单调函数（4）设ln xx 为()f x 的一个原函数，则()d xf x x '=⎰（ D ）. A.ln x C x + B.2ln 1x C x ++ C.1C x + D.12ln xC x x-+ （5）设函数1()sin()d ,()ln(1)d xf x x t tg x x xt t =-=+⎰⎰，则当0x →时，()f x 是()g x的（ C ）.A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量 3.利用定积分概念求下列极限：（1）lim n →∞；（2）1lim ln 1ln 1ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎛⎛+++++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎝⎣⎦.解：（1）（2）有定积分的定义可得(101lim ln 1ln 1ln 1ln 1n dx n →∞⎛⎫⎛⎛⎛+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎰ ()120ln 1u du =+⎰（令2x u =）2111200011ln(1)ln 2(1)011u u u du u du du u u =+-=---++⎰⎰⎰11ln 21ln 222=-+-=4*. 已知曲线在点(,)x y 处的斜率为2sin cos x x +，且曲线过点(,0)π，求该曲线的方程.解：由已知2sin cos ,(2sin cos )2cos sin y x x y x x dx x x C '=+=+=-++⎰，由于曲线过(,0)π，则有2C =-，因此所求曲线方程为2cos sin 2y x x =-+-.5*. 设函数()f x 连续，且满足0()()d (2)2xx x t f t t x x e x -=-+⎰.(1)求函数()f x 的表达式； (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 解：（1）0()()()()(2)2xxxx x t f t dt xf t dt tf t dt x x e x -=-=-+⎰⎰⎰，方程两边对x 求导数，则有20()(2)2xx f t dt e x =-+⎰，再对x 求导数得2()(22)x f x e x x =+-.（2）()(4)xf x x x e '=+，令()0f x '=得04x x ==-或.所以，函数()f x 的单调增加区间为(),4(0,)-∞-+∞与；单调减少区间为[]4,0-.函数()f x 的极大值为()446f e --=，极小值为()02f =-.6*.设函数2202(1)d ,0,(),0,x t e t x f x x A x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰问当A 取何值时，()f x 在0x =处可导，并求出(0)f '的值. （国防科大09-10年秋季第三大题第2小题）7*.设函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，且满足2222()cos ()d x f x x xe f t t ππ-=++⎰，求()f x 的表达式.解：设22()a f x dx ππ-=⎰，则有22()cos x f x x xe a =++，所以有222222(cos )2cos 2x a x xe a dx xdx a a ππππππ-=++=+=+⎰⎰，解得2(1)a ππ=-，因此所求函数的表达式为22()cos 2(1)x f x x xeππ=++-.8. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=+-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰.验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解：1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=++⎰验证：ln(x c '⎤-++⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tantan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sindcos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.9. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰10.计算下列积分：(1)1(2)1解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== (3)ln3ln 2d e ex xx--⎰; 解：原式=ln3ln32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x-==-+⎰(4)x ⎰;解：原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=(5)120ln(1)d (2)x x x +-⎰;解：原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰(6){}230max ,d x x x ⎰.11. 计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 12. 设1,0,1()1,0,1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)d x x -⎰.13. 设()f x 在[]0,1上连续，证明2201(cos )d (cos )d 4f x x f x x ππ=⎰⎰.14. 已知()d1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C x C xC --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.。

高数竞赛习题(不定积分、定积分)

省高数竞赛学生报名网址：/mathcpt/第一讲不定积分例1. 求下列不定积分（1）⎰+dx e x e x（2）⎰--dx e x x x 22)1(（3）⎰++⋅+dx e x x e x x x x )13()(22 例2.（1）dx e x x xx x ⎰⋅+-)cos 1(cos sin cos sin 2（2）⎰--dx x x x2)ln (ln 1例3. （1）⎰+)2(7x x dx（2）⎰++232)1(x x dx例4.（1）⎰++xx x dx4212（2）⎰+++6321x x x ee e dx例5. （1）dx e xx x⎰++cos 1sin 1 （2）⎰++dx x e x x2)2()1( （3）⎰+dx x e x x22)2( 例6. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=)(x f dx____________ 例7. （1）6532+-+x x x（2）2)1(1-x x（3）)1)(21(12x x ++例8. (1) dx x x x x x x ⎰++--++)22()1(3612332 (2) ⎰+dx x x 91例9.（1）⎰-+dx x x 1003)1(12 （2） ⎰++dx x x x 234811例10. ⎰+++dx x x 3111例11. ⎰++3cos sin 2x x dx例12.（1）⎰x x dx53cos sin（2）⎰+dx x sin 1例13. （1）⎰+dx x xsin 1sin （2）⎰++dx xxx cos 1sin例14. （1）dx x x x ⎰3cos 2cos 4sin （2）⎰xdx x 42cos sin例15. （1）⎰+xdx x x arctan 122（2）⎰dx ee arc xxcot例16. dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-')()()()()(32例17. ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121011)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(第二讲定积分例1. ],[)(b a C t g ∈，⎰=xa dt t g x f )()(，证明：至少],[b a ∈∃ξ，使)()(ξg ab b f =-. 例2. （1）⎰-aa dx xa x 2422 （2）⎰--2ln 021dx e x（3）⎰---201010cos sin 4cos sin πdx xx xx例3. 估值（1）⎰333arctan xdx x （2）⎰+--13224xx x dx例4. 求导数（1）由方程1sin 220=+⎰⎰x yt dt tt dt e ，确定y 为x 的函数，求dx dy（2）⎰-=x dt t x f x F 0)()(例5. 设当0>x 时，)(x f 可导，且满足)0()(11)(1>+=⎰x dt t f xx f x，求)(x f例6. )(x f 为连续函数，且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ____________例7. 求极限（1）⎰-+∞→x t xx dt et xe 0222lim（2）xdt t x x ⎰∞→0sin lim例8. 求积分（1）⎰-20)1(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=+0110)(11x e x x f x x ，例9.（1）⎰-10dt x t t ，（2）b a dx x ba <⎰,例10. ⎰--=x a y a y dy e x f 0)2()(，求⎰adx x f 0)(例11. （1）)(x f 在),(∞+-∞上连续，且x ∀，有)()()(y f x f y x f +=+，求⎰-+112)()1(dx x f x（2）⎰--+=4421sin ππdx e xI x例12. （1）⎰++--42)3ln()9ln()9ln(dx x x x（2）dx e e e I xx x⎰+=20cos sin sin π例13. （1） ⎰+=π023c o s 1s i n dx xxx I （2）⎰+40)tan 1ln(πdx x例14. 已知A dx x x =+⎰π02)2(cos ，求⎰+201cos sin πdx x x x例15. )(x f 是连续函数，证明：（1）⎰⎰=20023)(21)(a a dx x xf dx x f x（2）dx x f dx x f ⎰⎰=2020)cos (4)cos (ππ（3）⎰⎰⎰++=+1001)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x（4）设n 为正整数，证：⎰⎰=2020cos 21sin cos ππxdx xdx x n nnn例17. 若)(x f 连续，则⎰⎰⎰-=xxudu u f u x du dt t f 000)()(])([.例18. )(),(x g x f 在],[b a 上连续，证：至少),(b a ∈∃ξ，使得⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(例19. ],[)(b a C x f ∈，证明：⎰⎰-≤b a ba dx x f ab dx x f )()())((22例20. ],[)(b a C x f ∈，且严格单调增，证：⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a )(2)()(.例21. )(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：2)(2)(a b Mdx x f ba -≤⎰例22. 设)(x f 在],[b a 上不恒等于零，且其导数)(x f '连续，且有0)()(==b f a f ，证：],[b a ∈∃ξ，使⎰-≥'b adx x f a b f )()(4)(2ξ例23. 在],0[a 上，0)(>''x f ，证)2()(0aaf dx x f a ≥⎰例24. )(x f '在],0[a 连续，且0)0(=f ，证2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中，)(max 0x f M ax '=≤≤.反常积分例1. （1）⎰∞++02)1(1dx e x （2）⎰∞+∞-++942x x dx（3）⎰∞++022)1(ln dx x x x （4）⎰-e dx x x 12)(ln 11 例2. ⎰∞++03)1(x x dx定积分应用例1. 求由曲线x x y e x xx y axa 21)(,1lim)(221=-+=+∞→，及1=x 所围图形的面积。

高数习题课5-1

x → x0
使得
f ( x) > 0
x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ )[⊂ (a , b )]
- 11 -
习题课（一）习题课（
由闭区间连续函数的性质得：当由闭区间连续函数的性质得： x ∈ [ x0 − , x0 + ] 时， 2 2 恒有 f ( x ) ≥ m > 0, 因此
∫0
1
1 1 2 1 1 f ( x )dx ≤ ∫ [ f ( ) + f ′( )( x − )]dx = f ( ) 0 3 3 3 3
2 1
- 10 -
例6 1
b
上连续，证明：设f ( x ) 及 g ( x )在[ a , b ]上连续，证明： f 若在 [a , b]上， ( x ) ≥ 0, 且 f ( x )不恒等于 0, 则
原式
sin 3ξ n2 = lim ⋅ n→ ∞ n( n + 1) ξ n2 sin 3ξ = lim lim =3 n→ ∞ n( n + 1) ξ → 0 ξ
-8-
习题课（一）习题课（
上可导，且例4 设 f ( x ) 在 [0,1] 上可导， f (1) − 2 ∫ xf ( x )dx = 0 证明：证明：在区间 (0,1) 至少存在一点 ξ , 使得 f (ξ ) f ′(ξ ) = −
第五章定级分
dx , 求 g ′′(1) 1 设 g( x ) = ∫ 0 1 + x3 1 2x 2 ′( x ) = ( x )′ = 解 g 2 3 6 1+ (x ) 1+ x
(1 + x 6 ) − x ⋅ 6 x 5 1 − 5 x5 g′′( x ) = 2 =2 6 2 (1 + x 6 )2 (1 + x )

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

高数习题-定积分

2
2
故 sin x 1 0
2 2

例5
e 计算极限 lim
x 0
1
-t 2
cos x
dt
x2
0 0
练习
计算极限 lim
x 0
sin2 x
0
ln( 1 t )dt 0 4 0 1 x 1
解
原式 lim
x a
F ( x )
f ( x ) f (t ) f (t ) f ( x ) 2 dt 0
所以, F ( x ) 单调递增.
又 F (a ) 0,
即
F (b) F (a ) 0
b

b
a
f ( x )dx
a
dx (b a ) 2 . f ( x)
4 (cos x sin x )dx 2 (sin x cos x )dx
0
4 (sin x cos x ) 2 (sin x cos x ) 0 4

4

2 22
例4 估计 sin 2 x 1dx 的值.
3 2
解
1 f ( x ) 0
a x
x
b
则 F ( x ) 在[a, b]上连续, 且
F (a ) f ( x )dx 0, F (b) a f ( x )dx 0
a
b
b
利用零点定理, 即得所证命题.
例11 设 f ( x ) 在[0,1]上连续, 在 (0,1)内可导, 且
32 f ( x )dx f (0), 证明存在 (0,1), 使得

高数考研基础班第五章定积分

b−a 解 [ 理为f ( x)在 a, b]上平值. 的均
= f (ξ )
因故它是有限个数的平均值概念的推广. 故它是有限个数的平均值概念的推广
1 n = lim ∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
9
5.积分上限函数积分上限函数
Φ( x) = ∫ f (t)dt
a
x a
x
认识它吗？认识它吗？
x
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a a
x
+ lim
x →b
x →+∞
∫
x
x a
f ( t )dt
∫
b
a
f ( x )dx = lim− ∫ f ( t )dt
a
(b瑕点)
11
二、与概念有关的问题
定积分定义 ☆定积分定义
O
∫
b a
0 x
则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) = F (2) A. F (3) = − F ( − 2) 4 4 5 3 D. F (−3) = − F (−2) C. F ( − 3) = F (2) 4 4
3 F (3) = F ( − 3) = π 8
F (2) = F ( −2) =
λ → 0 i =1
n
∫
b
a
f ( x)dx.
T2
1
4
变速直线运动的路程
s = lim
∑ v (τ i ) ∆ t i = ∫T λ→0
i =1
n
v(t )dt.
2.存在定理存在定理
定理的证明省略,只要求记住结论定理的证明省略只要求记住结论. 只要求记住结论

高等数学习题及解答 (2)

普通班高数作业（下）第六章定积分1、根据定积分的几何意义，说明下列各式的正确性：（第二版P186:1；第三版P155:1）（1）0sin 20=⎰πxdx （4）⎰⎰=-11142xdxdx x2、不计算积分，比较下列各积分值的大小：（第二版P186:2；第三版P155:3）（4）⎰10dx e x与⎰102dx e x（5）⎰2sin πxdx 与⎰20πxdx（6）⎰-02cos πxdx 与⎰20cos πxdx3、利用定积分性质，估计下列积分值：（第二版P186:3；第三版P155:4）（1）⎰-=22dx eI xx （5）⎰--=2295dx xx I （6）⎰=20sin πdx x x I 4、求下列极限：（第二版P186:4；第三版P160:1）（2）211)1(1ln lim -+⎰→x dt t txx （3）⎰+→xt x dt t x 010)2sin 1(1lim （4）2210lim x x t x dt e ⎪⎭⎫⎝⎛⎰+∞→ （6）x x x dt e x xt x sin arctan lim 002⋅⋅-⎰-→5、求下列导数：（第二版P186:5；第三版P161:2）（1）⎰-32x x t dt e dx d （2）⎰-x tdt x t dxd 033sin )( 6、求证方程⎰--=π02cos 1ln dx x exx 在()∞+,0内有且仅有两个不同的实根。

（第二版P186:7；第三版P161:4）7、设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，令⎰⎰+=xbxadt t f dt t f x F )(1)()(。

求证：（1）2)(≥'x F ；（2）)(x F 在()b a ,内有且仅有一个零点。

（第二版P186:8；第三版P161:5）8、设)(x f 为连续函数，且存在常数a ，满足（1）⎰=+3)(15x adt t f x ，求)(x f及常数a 。

高数定积分习题

211第6章定积分§6. 1 定积分的概念与性质1．概念定积分表示一个和式的极限1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰[],1lim ()na b n i i n i f x ξ→∞=∆∑等分其中：{}n x x x ∆∆∆=,,,max 21 λ，1--=∆i i ix x x ；[]1,i i i x x ξ-∈；几何意义：表示()y f x =，0y =，x a =，x b =所围曲边梯形面积的代数和可积的必要条件：()f x 在区间[]b a ,上有界可积的充分条件：（可积函数类）（1）若()f x 在[]b a ,上连续，则()ba f x dx ⎰必存在；（2）若()f x 在[]b a ,上有界，且只有有限个第一类间断点，则()ba f x dx ⎰必存在；（3）若()f x 在[]b a ,上单调、有界，则()ba f x dx ⎰必存在。

2. 性质（1） (())0b af x dx '=⎰； ()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰（2） ()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰； ()0aaf x dx =⎰ （3） ()b a kdx k b a =-⎰； ba dxb a =-⎰（4） []()()()()bbba aaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰（5）()()()b cbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（6）若()()f x g x ≤，[]b a x ,∈，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰ 推论1：若()0f x ≥，[]b a x ,∈，则()0ba f x dx ≥⎰推论2： ()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰（7）若()m f x M ≤≤，[]b a x ,∈，则()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰（8）若()f x 在[]b a ,上连续，()g x 在[]b a ,上不变号，存在一点(,)a b ξ∈212()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，若()1g x =，则至少存在一点[],a b ξ∈，或(,)a b ξ∈，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰⇒ 1()()ba f f x dxb aξ=-⎰ （9）若()f x 在[]b a ,上连续，则其原函数()()xax f t dt ϕ=⎰可导，且()(())()xad x f t dt f x dx ϕ'==⎰ （10）若()f x 在[]b a ,上连续，且()()F x f x '=，则()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰§6. 2 定积分的计算1. 换元法[]()()()()b x t af x dxf t t dt βϕαϕϕ=⎰⎰2. 分部法 bb baaaudv uv vdu =-⎰⎰，或bbbaaauv dx uv vu dx ''=-⎰⎰3. 常用公式（1）[]002()()()()()0()a aaa f x dxf x f x dx f x f x dx f x -⎧⎪=+-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶函数为奇函数（2）0()()()a aa f x g x dx C g x dx -=⎰⎰，其中()()f x f x C +-=，()g x 为连续偶函数（3）000()()()()a T T anT Tf x dx f x dxf x dx n f x dx+⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰，其中()()f x T f x +=（4）22002200(sin )(cos )(sin ,cos )(cos ,sin )f x dx f x dx f x x dx f x x dxππππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ （5）0201cos 2cos sin 1sin 2n n n n n n xdx x xdx xdx πππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰213（6）2000(sin )(sin )(sin )2f x dx xf x dx f x dx πππππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰（7）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰为奇数为偶数n n dx x dx x n nsin 4sin 2020ππ （8）2200(1)!!!!2sin cos (1)!!!!n nn n n xdx xdx n n n πππ-⎧⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数（9）()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（10）222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰§6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分）（1）定义与性质()lim ()ba ab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()lim ()bba a f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；()a f x dx +∞⎰，()bf x dx +∞⎰，()akf x dx +∞⎰，具有相同敛散性；[]()()af xg x dx +∞±⎰()()aaf x dxg x dx +∞+∞=±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设0()()f x g x ≤≤，则()()()()a aaa g x dx f x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞+∞⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散比较法的极限形式：214设()lim ()x af x lg x +→=，则0()()0a a l g x dx f x dx l +∞+∞≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：设lim ()px x f x l →+∞=，则0,1()0,1a l p f x dx l p +∞≤<+∞>⎧=⎨<≤+∞≤⎩⎰收敛发散特别地，11pap dx x p +∞>⎧=⎨≤⎩⎰收敛发散绝对收敛与条件收敛：()()()aaa f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰收敛，则收敛，称绝对收敛发散，而收敛，称条件收敛2. 无界函数的积分（瑕积分）（1）定义与性质0()lim ()bb a a f x dx f x dx εε+-→=⎰⎰（lim ()x bf x -→→∞），若极限存在，则原积分收敛； 0()lim ()bba a f x dx f x dx εε++→=⎰⎰（lim ()x af x +→→∞），若极限存在，则原积分收敛； ()()()bcba acf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（lim ()x cf x →→∞），两积分都收敛，原积分才收敛；()ba f x dx ⎰，()bakf x dx ⎰，具有相同敛散性；[]()()ba f x g x dx ±⎰()()bbaaf x dxg x dx =±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设(),()f x g x 非负，且lim ()x af x +→=+∞，lim ()x ag x +→=+∞ 若0()()f x g x ≤≤，则()()()()b baa bb aag x dx f x dx f x dx g x dx ⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散比较法的极限形式：若()lim ()x af x lg x +→=，则 0()()0bba al g x dx f x dx l ≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：若lim()()px ax a f x l +→-=，或lim()()px bb x f x l -→-=，则 0,01()0,1bal p f x dx l p ≤<+∞<<⎧=⎨<≤+∞≥⎩⎰收敛发散215特别地，1()()1bb p p a a p dx dx x a b x p <⎧⎨--≥⎩⎰⎰收敛或发散§6. 5 典型例题解析1．变限积分的求导与应用解题思路（1）利用公式()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。

高数习题作业

第六章定积分的应用1．假设曲线21y x =-(01)x ≤≤，x 轴，y 轴所围区域被曲线2y ax =(0)a >分成面积相等的两部分，求a 的值．2．求双纽线2cos 2r θ=围成平面图形的面积．3．求圆22(2)1x y +-=围成的区域绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．4．圆柱形水桶高10米，底面半径为3米，桶内盛满了水，问要把桶内的水全部抽完需做多少功？（取重力加速度10g =）5．一底为b ，高为h 的对称抛物线拱形闸门，其底平行于水面，距水面为h （即顶与水面齐）。

闸门垂直放在水中，求闸门所受的压力。

若底与高之和为常数，即b h l +=（为常数），问高和底各为多少时，闸所受的压力最大？参考答案习题61．3a =． 2．1． 3． 24π． 4．81.41310⨯焦耳． 5．23l h =，3l b =．第七章常微分方程习题72- 一阶微分方程的常见类型及解法1．解下列微分方程的通解：（1）233d d 22d d y y xy x y x x-=；（2）2()d d 0xy x e x x y -+-=．2．若连续函数()f x 满足20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x ．3．设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A ，已知MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，求L 的方程．习题73- 二阶线性微分方程理论及解法设函数()f x 二阶可导，()f x '是()2()xf x f x e '++的一个原函数，且(0)0f =，(0)1f '=，求()f x ．习题74- 其它若干类型的高阶微分方程及解法1．求解下列初值问题：()20012,1, 3.x x x y xy y y ==⎧'''+=⎪⎨'==⎪⎩2．求微分方程22yy y '''=的通解．参考答案习题72-1．（1）22y x y Ce =；（2）()x y x e C -=-+.2．2()ln 2xf x e =． 3．2213y x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或23y x x =-()03x <<习题73-2121()632x x x f x e e e -=-+-．习题74-1．331y x x =++． 2．121y C x C =-+．第八章向量与空间解析几何习题81- 向量及其线性运算1．已知两点(B 和()1,3,0A ．求（1）AB 的模；（2）与AB 平行的单位向量；（3）AB 的方向角．2．已知向量α的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且α与z 轴的方向角为钝角，求cos γ．3．已知5xi j k α=+-，3i j zk β=++，且α∥β，求,x z ．习题82- 向量的乘积1．设32a i j k =--，2b i j k =+-，求（1）a b ⋅及a b ⨯；（2）(2)(3)a b -⋅及2a b ⨯；（3）a 与b 夹角的余弦；（4）以a ，b 为邻边的平行四边形面积；（5）既垂直于a 又垂直于b 的一个向量；（6）()a b a ⋅⨯．2．设,,a b c 均为单位向量，且满足0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．习题83- 空间曲面1．求以点(3,2,1)A 为球心，且与平面2318x y z +-=相切的球面方程．2．一平面过原点且平行于向量2i k α=+和3b i j k =-+，求此平面方程．3．已知曲线22,0,y z x ⎧=⎨=⎩求此曲线分别绕y 轴、z 轴旋转而成的旋转曲面方程．4．求平面2250x y z -++=与各坐标面间夹角的余弦．5．一平面过两点1(1,1,1)P 和2(0,1,1)P -且垂直于平面0x y z ++=，求它的方程．习题84- 空间曲线1．求过点(1,1,1)且平行于直线43,251x z x y z -=⎧⎨--=⎩的直线方程．2．求直线11111x y z --==-在平面210x y z -+-=上的投影直线方程．3．一直线L 过点(1,2,1)A ，与直线211z x y ==-相交，且垂直于直线11321x y z -+==，求直线L 的方程．解：设所求直线与211x y z==-的交点为000(2,,)B t t t -，则 {}{}00021,2,13,2,1AB t t t =----⊥则 0003(21)2(2)(1)0t t t -+-+--= 解得 087t =，所以直线L 的方向向量9615,,777AB ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭故直线L 的方程为：1219615777x y z ---==--，即 121325x y z ---==--4．求曲面2222x y z ++=和22z x y =+的交线在xOy 面上投影柱面和投影曲线的方程，并作图．参考答案习题81-1．（1）2; （2）11,,222⎧⎪±-⎨⎪⎪⎩⎭; （3）6πα=；23πβ=；4πγ=． 2．67-． 3． 115,5x z ==-．习题82-1．（1）3，57i j k ++；（2）18-，10214i j k ++；（3；（4）；（5）57i j k ++；（6）0． 2．32-．习题83-1．222(3)(2)(1)14x y z -+-+-=．2．250x y z +-=．3. 2y =4224()y x z =+，222x y z +=．4. 122,,333. 5．20x y z --=．习题84-1．111431x y z---==,或430,2540.x zx y z-+=⎧⎨--+=⎩2．3210210x y zx y z--+=⎧⎨-+-=⎩,或21421x y z--==-．3．121325x y z---==-,或{0,3280.x y zx y z-+=++-=4．221x y+=，221,0.x yz⎧+=⎨=⎩．第九章多元函数微分学习题92- 二元函数的极限与连续性1．求下列函数的极限：（1）00x y →→；（2）1tan()0lim(1)(0)xy x y a x a →→+≠．2．验证下列极限不存在：（1）24200lim x y x y x y →→+．（2）2222200lim .(2)x y x y x y x y →→+++3．下列函数在何处间断：（1）z = （2）212z y x=-．习题93,4- 偏导数与全微分1．求下列函数的偏导数：（1）z x y =+ （2）arctan()zu x y =-．2．已知2(,)(2)f x y y x =+-(2,)y f y ．3．设ln xz y =，求,.xx xy z z ''''4．验证函数y xz xy xe =+满足方程z zx y xy z x y∂∂+=+∂∂．5．求下列函数的全微分：（1）arctan x yz x y+=-；（2）()22ln z u x y e =-+．习题95- 多元复合函数的求导法则1. 设sin(23)z u v =+，u xy =，22v x y =+，求,z z x y∂∂∂∂．2. 设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，k 为常数，F 具有一阶连续的偏导数，证明： u u u x y z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂．3. 设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求22z x ∂∂．4．设()22yz f x y =-，其中f 可微，求 11x y z z x y ''+．5．设变换2,u x y v x ay =-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20z u v ∂=∂∂，其中z 的二阶偏导连续，求常数a ．习题96- 隐函数的微分法1．设z 是由方程zx y z e +-=所确定的x 与y 的隐函数，求2zx y∂∂∂．2．设F 是任意可微函数，证明：由方程()222ax by cz F x y z ++=++所确定的隐函数满足等式()()z zcy bz az cx bx ay x y∂∂-+-=-∂∂．3．设(,)z u v ϕ=，ϕ具有一阶连续的偏导数，且,u v 是由方程组cos ,sin u ux e v y e v ⎧=⎨=⎩确定的,x y 的函数，求zx∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩是由方程组220,0u v x u v y ⎧-+=⎨+-=⎩确定的,x y 的隐函数，求,u vx y ∂∂∂∂．5．设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=确定的,x y 的函数，其中,g f 一阶偏导连续，1220f x f g '''-≠，求d d z x．习题97- 方向导数和梯度1．求x yz xe =在0(2,0)M -点沿0M 到1(1,3)M -方向的方向导数．2．设(,)z f x y =在点0(2,0)P 可微，且在该点处指向1(2,2)P -的方向导数为1，指向原点的方向导数为3-，求指向2(4,2)P 的方向导数．3. 求函数(,)y xf x y e =在0(1,2)M 处的梯度．4．设222222(,,)x y z u x y z a b c=++，问(,,)u x y z 在点(,,)x y z 处朝何方向的方向导数最大？并求该方向的方向导数．习题99- 多元函数的极值1．求函数22(2)xz e x y y =++的极值．2．求函数(4)z xy x y =--在0x =，0y =及6x y +=围成的区域上的最大值及最小值．3．从斜边长为l 的直角三角形中求有最大周长的直角三角形．4．作一个长方体的箱子，其容积为39/2m ．箱子的盖及侧面造价均为每平方米8元，箱底造价均为每平方米1元，试求造价最低的箱子尺寸．5．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长及最短距离．习题910- 多元函数微分学的几何应用1．求曲线22223418,241x y z x y z ⎧++=⎨+-=⎩在点(1,2,1)处的切线及法平面方程．2．在曲面z xy =上求一点，使该点处的法线垂直于平面30x y z ++=，并写出这法线的方程．解：设(,,)x y z 为曲面z xy =上任一点，则曲面在该点的法向量{},,1y x =-n ，由题意13,1131y x x y -==⇒=-=-，故(,,)(3,1,3)x y z =--，{}1,3,1=---n 则所求法线的方程为313131x y z ++-==---3．证明：曲面3(0)xyz a a =>上任一点的切平面与三个坐标轴所围成的四面体的体积为一个定值．4. 设直线0,:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值．参考答案习题92-1．（1）2；（2）1ae ． 3．（1）(0,0)；（2）{}2(,)2x y y x =．习题93,4-1．（1）1z x ∂=∂，1z y ∂=∂；（2）12()1()z z u z x y x x y -∂-=∂+-，12()1()z z u z x y y x y -∂-=-∂+-，2ln ()1()zz x y x y u z x y -⋅-∂=∂+-． 2．(2,)2y f y y =． 3．()()ln ln 1211ln ln 1,ln ln 1xx xx xyz yy y z y x y x x-''''=⋅-=+． 5．（1）22ydx xdydz x y-+=+；（2）2222z z xdx ydy e dz du x y e -+=-+ ．习题95-1．2(3)cos(23)zy x u v x∂=++∂，2(3)cos(23)z x y u v y ∂=++∂．3．22111222234122y y y f f f g g y x x '''''''''++++． 4. 1yf. 5. 3习题96-1．3(+1)z z e e -． 3．(cos sin )u u v ze v v xϕϕ-∂=-∂． 4．241u vx uv ∂=-∂+，241u u y uv ∂=∂+． 5．1221122d d f yf xf g z x f x f g ''''++='''-．习题97-123．{}222,e e -． 4．梯度方向，习题99-1．极小值1,122e z ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 2．最大值为4464(,)3327f =，最小值为(3,3)18f =-． 34．长，宽，高分别为92,2,8． 5．d =习题910-1．切线方程为：1211661x y z ---==-，法平面方程为1665x y z -+=． 2．313131x y z ++-==. 4. 5, 2.a b =-=-第十章重积分习题102(1)- 利用直角坐标系计算二重积分1．计算下列二重积分：（1）sin()d Dx y σ+⎰⎰，D 是由0y =，y x =及x π=围成的三角形区域；（2）22d Dy x y σ+⎰⎰，D 是由2y x =，y x =及3y =围成的区域；（3）cos()d Dx y σ+⎰⎰，D 是由0x =，2x π=及0y =，2y π=围成的正方形区域．2．计算下列二重积分，必要时交换积分次序：（1）220d d y yxy x xππ⎰；（2）2d d a ay xx e y ⎰⎰．3．交换下列积分次序：（1）ln 1d (,)d ex x f x y y ⎰⎰；（2）222614d (,)d x x x f x y y ---⎰⎰．习题102(2)- 利用极坐标系计算二重积分1．利用极坐标系计算下列二重积分：（1）22d Dxy x y σ+⎰⎰，D ：y x ≥，2212x y ≤+≤；（2）d Dxy σ⎰⎰，D ：222x y x +≤．2．求由曲面22z x =-，222z x y =+所围成的立体的体积．3．求221d d Dxyx y x y --⎰⎰，D 是由221x y +≤，0x ≥及0y ≥围成的区域；习题103- 三重积分的计算1．计算下列三重积分：（1）d yz v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,,1z z x x ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域；（2）222d x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z z ++=所围成的立体区域；（3）d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由球面224z x y =--与抛物面()2213z x y =+所围成的立体区域．2．求曲面222x y ax +=，z x α=，z x β=（0αβ>>，0a >）所围成的立体体积．习题104- 重积分的应用1. 求由曲面222z x y =--，22z x y =+所围成的立体的表面积．2．设物体占有的空间区域为球面2221x y z ++=及三个坐标面在第一卦限内的部分，点(,,)x y z 处的体密度为(,,)x y z xyz ρ=，求物体的质量．3．在某一生产过程中，要在半径为R 半圆形均匀薄板的直径边上接一个边长与此直径等长的相同材料的均匀矩形薄板，使整个平板的重心落在圆心上，试求此矩形另一边的长度．4．求由292y x =和2x =围成的均匀薄片对x 轴及y 轴的转动惯量（设面密度为ρ）．参考答案习题102(1)-1（1）0；（21ln 22-；（3）2π-． 2．（1）1；（2）21(1)2a e -．3．（1）1(,)ye e dyf x y dx ⎰⎰；（2）0821(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ----+⎰⎰⎰⎰．习题102(2)-1．（1）0；（2）43． 2．π． 3．115．习题103-1．（1）0；（2）10π；（3）134π． 2．3()a παβ-．习题104-1．2(21)6ππ+． 2．148． 3 4. 725x I ρ=，967y I ρ=．。

高数定积分的分部积分法

1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解令 u arcsin x, dv dx,
则 du
dx , 1 x2
v x,
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
12
1 3
1 x2
2
0
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x
)dx
.
思考题解答
1
0
xf
(2
x
)dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 xf
2
(2
x )10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
1 2
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2. 3
例6 设 f ( x ) 连续证明
x
xt
( x t ) f (t )dt f (u)dudt
0
x
0 0
证一记 F ( x) ( x t) f (t)dt
0
xt
G( x) f (u)dudt 则

大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

高数之定积分 (1)

第五章定积分§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni i i x f A 10)(l i m ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(, 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(110ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) .取n i i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和∑∑∑===⋅=∆=∆ni ini i i n i i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61nn ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时,⎰⎰-=abba dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcc a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a b dx dx ba ba -==⎰⎰1. 性质5 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 则⎰≥b a dx x f 0)((a <b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。

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