广州市中考数学一模试卷
2024年广东省广州市九强校中考数学一模试卷(含解析)
2024年广东省广州市九强校中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−7的倒数是( )A. 7B. 17C. −7 D. −172.下列计算正确的是( )A. 3mn−2mn=1B. (m2n3)2=m4n6C. (−m)3⋅m=m4D. (m+n)2=m2+n23.2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米.数320000000用科学记数法表示为( )A. 32×107B. 3.2×108C. 3.2×109D. 0.32×1094.在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是( )A. (−4,2)B. (4,2)C. (−4,−2)D. (4,−2)5.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )A. 1B. 5C. 7D. 96.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数−x(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )甲乙丙丁−x9889S2 1.60.830.8A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )A. BE=DFB. ∠BAE=∠DAFC. AE=AFD. ∠AEB=∠AFD8.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y =3x和y =nx 的图象的四个分支上，则实数n 的值为( )A. −3B. −13C. 13D. 39.如图，在平面直角坐标系中，AB //DC ，AC ⊥BC ，CD =AD =5，AC =6，将四边形ABCD 向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是( )A. 11.4B. 11.6C. 12.4D. 12.610.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x =−2时，与其对应的函数值y >1.有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c−3=0有两个不等的实数根；③a +b +c >7．其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷及答案解析
2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）＝（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（3分）如图所示的几何体由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．均不是3．（3分）学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（）A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1 4．（3分）下列运算不正确的是（）A．B．C．（a2b）3＝a6b3D．5．（3分）等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．6．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形7．（3分）如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝（）A．200•tanα米B．200•sinα米C．200•cosα米D．米8．（3分）九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为（）A．50B．40C．30D．2010．（3分）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转90°的对应点P1（m，n）落在直线y＝﹣2x+1上，则代数式的值是（）A．B．C．﹣8D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为．12．（3分）已知A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+x+m上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）13．（3分）某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A，B，C，D共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B”学生约有人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D”对应扇形的圆心角度数为__________°．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为．16．（3分）如图，在△AOB中，，点O到线段AB的距离为．以点O为圆心，以2为半径作优弧DE，交AO于点D，交BO于点E，点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM，BM，则△ABM面积S 的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解不等式：3（2x+7）＞23．18．（4分）如图，AB⊥CF，DF⊥CF，AC∥DF，AB＝DE，求证：BF＝CE．19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，1），△ABC的三个顶点都在格点上．将△ABC在坐标系中平移，使得点A平移至图中点D（1，﹣1）的位置，点B对应点E，点C对应点F．（1）点B的坐标为，点F的坐标为；（2）在图中作出△DEF，并连接AD；（3）求在线段AB平移到线段DE的过程中扫过的面积．20．（6分）已知：．（1）化简A；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．21．（8分）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．（1）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；（2）双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？22．（10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；（2）问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点．（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交半圆AB于点E，交线段直径AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）点P是弧AE上一点，连接BP，CP，AC＝6，BF＝2．①求tan∠BPC的值；②若CP为∠ACB的角平分线，求CP的长．24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l 平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？25．（12分）如图，等边三角形ABC边长为2，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD 绕点A逆时针旋转120°后得到AE．连接DE，AC与DE交于点F．（1）若AD⊥BC，求线段EF的长；（2）连接CE．①记点E的运动路径为l．试判断l与AC的位置关系；②在点D在运动的过程中，CE是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据二次根式的性质：化简即可．【解答】解：，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．2．【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．【解答】解：如图所示：是轴对称图形的是左视图．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形，关键是得到该几何体的三视图．3．【分析】根据相关定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．【解答】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；B、，故该项描述正确，不符合题意；C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；D、方差为，故该项描述错误；符合题意，故选：D．【点评】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，熟练掌握众数，中位数，方差及平均数的求法是关键．4．【分析】根据立方根、二次根式的加减、积的乘方、分式的加减运算法则计算判断即可．【解答】解：A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、（a2b）3＝a6b3，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，整式的运算，立方根，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．5．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：解得：x≥3故选：B．【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．6．【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．【分析】已知AC＝200米，∠ACB＝α，根据正切定义可得AB．【解答】解：tan∠ACB＝tanα＝，AB＝200•tanα（米），故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切定义．8．【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系，即可列出方程．【解答】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，∵20分钟＝小时，∴，故选：C．【点评】本题考查了分式方程，理解题意建立等量关系是解答本题的关键．9．【分析】由AC＝BC，∠ACB＝100°，求得∠B＝∠A＝40°，由⊙O与AB，BC分别切于点D，C，根据切线长定理得BD＝BC，则∠BCD＝∠BDC，所以2∠BCD+40°＝180°，求得∠BCD＝70°，则∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，∴2∠BCD+40°＝180°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，故选：C．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线长定理等知识，求得∠B＝40°并且证明BD＝BC是解题的关键．10．【分析】过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，由题意可得出OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，2m+n＝1．易证△PQO≌△P1Q1O（AAS），即得出PQ＝OQ1＝n，PQ ＝P1Q1＝﹣m，即可求出P（﹣n，m），进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，∵P1（m，n），且在直线y＝﹣2x+1上，∴OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，n＝﹣2m+1，∴2m+n＝1．由旋转的性质可知∠POP1＝90°，PO＝P1O，∴∠POQ+∠P1OQ1＝90°．又∵∠POQ+∠OPQ＝90°，∴∠OPQ＝∠P1OQ1．∵∠PQO＝∠P1Q1O＝90°，∴△PQO≌△P1Q1O（AAS），∴PQ＝OQ1＝n，PQ＝P1Q1＝﹣m，∴P（﹣n，m）．∵P是双曲线上的一点，∴，即．∴．故选：A．【点评】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．【解答】解：4.23亿＝423000000＝4.23×108，故答案为：4.23×108．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法书写格式是关键．12．【分析】根据a＝1＞0，且，进而可求解．【解答】解：∵a＝1＞0，对称轴为，∴当x＝﹣2与x＝1时，函数值都都等于y2，∴当时函数值随自变量的增大而增大；∵，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．13．【分析】先根据抽取学生30名列方程求出a，再根据360°乘以等级为“D”占比求出对应的圆心角度数．【解答】解：由图得：13+3a+5+a＝30，解得a＝4，所以等级为“B”学生约有3a＝12人，等级为“D”对应扇形的圆心角度数为，故答案为：30，36．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH＝AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝AB＝×2＝，∴GH＝，即GH的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．15．【分析】根据EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，可求出∠BEG＝∠CEH＝60°，所以∠GEH＝60°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，∴EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，∴cos∠BEG＝cos∠CEH＝＝，∴∠BEG＝∠CEH＝60°，∴∠GEH＝60°，∴长为＝π．故答案为：π．【点评】此题考查了弧长公式、正方形的性质、解直角三角形，正确求出∠GEH＝60°是解题的关键．16．【分析】由勾股定理可求出AB＝12，再根据面积法可求出点O到线段AB的距离；由图易知△ABM的AB边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于AB的直线上，求出最小高和最大高，进而求出△ABM的面积为S的取值范围．【解答】解：在△AOB中，，∴，，∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，设点O到线段AB的距离为h，又，∴，∴点O到线段AB的距离为；如图：Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时，∵OD＝2，AO＝6，∴AD＝4，∴，∴△ABM的面积为S的最小值＝．Ⅱ．在过点O且垂直于AB的直线上时，△ABM的AB边的高最大，∴△ABM的AB边的高最大值为，∴△ABM的面积为S的最大值为＝．∴△ABM的面积为S取值范围为：．故答案为：；．【点评】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，正确作出图形是解决此题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向．先去括号、再移项，然后合并同类项，最后系数化1求得不等式的解集．【解答】解：3（2x+7）＞23，6x+21＞23，6x＞2，．【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键．18．【分析】运用AAS证明△ABC≌△DEF，得到EF＝BC，再根据等式的性质即可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．∵AC∥DF，∴∠C＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴EF＝BC．∴EF﹣BE＝BC﹣BE．即：BF＝CE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．19．【分析】（1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案．（2）运用平移的性质作出图形即可；（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，求出面积【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣2，4）；∵A（﹣4，1），D（1，﹣1），C（0，3）∴由平移得点F的坐标为：（5，1），故答案为：（﹣2，4）；（5，1）；（2）如图，△DEF和AD即为所作：（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，．【点评】本题考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移的性质及平行四边形面积求法．20．【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；（2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．【解答】解：（1）＝﹣＝；（2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键．21．【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可．【解答】解：（1）共有4张牌，正面是整数的情况有2种，所以摸到正面是整数的纸牌的概率是；（2）这个规定否公平，理由如下：画树状图如下：共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种，∴甲赢的概率为，乙赢的概率为，∴甲赢的概率＝乙赢的概率，故这个规定否公平．【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，掌握概率公式使解题的关键．22．【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用y＝2分别得出x的值，进而得出答案．【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，将（4，10）代入得：6＝4k，解得：k＝，故直线解析式为：y＝x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，将（4，10）代入得：10＝，解得：a＝40，故反比例函数解析式为：y＝；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．（2）当y＝5，则5＝x，解得：x＝2，当y＝5，则5＝，解得：x＝8，∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．【分析】（1）在半圆AB上取点E，使，根据垂径定理的推论可知AB⊥DE，由此即可完成作图；（2）①连接OD，证明△ACB∽△OFD，设的半径为r，利用相似三角形的性质得r＝5，AB＝2r＝10，由勾股定理求得BC，得到，即可得到；②过点B作BG⊥CP交CP于点G，证明△CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由CP＝CG+GP即可求解．【解答】解：（1）如图，在半圆AB上取点E，使，连接DE交AB于F，∴DE⊥AB，（2）解：①连接OD，∵D是BC的中点∴CD＝BD，∴∠CAB＝∠DOB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴，设⊙O的半径为r，则，解得r＝5，经检验，r＝5是方程的解，∴AB＝2r＝10，∴，∴，∵∠BPC＝∠CAB，∴；②如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，∴∠BGC＝∠BGP＝90°，∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴∠CBG＝45°，∴，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．∵抛物线经过点A（1，0），∴0＝1+b﹣3，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．∴a＝1，b＝﹣m﹣1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，∴AE＝＝﹣m，∵AE＝EF＝2，∴﹣m＝2，解得m＝﹣2．此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF＝＝．∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣．∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点D是BC的中点，，求得，得到，根据旋转的性质得到，∠DAE＝120°，得到∠FAE＝90°，由勾股定理求得EF＝2；（2）①将AB绕点A逆时针旋转120°后得到AM．将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE．证明△ABD≌AME（SAS），证明∠MEA＝∠CAE，得l∥AC；②点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．过A作AH⊥CD于H，根据全等三角形的性质得到AH＝CE，DH＝AC＝2，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴点D是BC的中点，，∵AB＝2，∴，∴∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，∴，∴∠ADE＝∠E＝30°，∴∠FAE＝90°，∵由勾股定理得，AE2+AF2＝EF2，∴解得，EF＝2；（2）①l∥AC，理由如下：如图，将AB绕点A逆时针旋转120°得到AM，连接ME，∴AB＝AM，∠BAM＝120°，∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAM，∴△ABD≌AME（SAS）∴∠AME＝∠ABD＝120°，∴∠MEA+∠MAE＝60°，∵∠DAE＝120°，∠BAC＝60°，∴∠DAB+∠CAE＝60°，∴∠MAE+∠CAE＝60°，∴∠MEA＝∠CAE，∴ME∥AC，即l∥AC；②∵点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．过A作AH⊥CD于H，∴∠AHD＝∠ACE＝90°，∵∠CAM＝120°﹣∠BAC＝60°，∴∠CAD＝60°﹣∠EAM，∵，∴∠ADH＝180°﹣∠AHD﹣∠BAH﹣∠DAB＝60°﹣∠DAB，∴∠ADH＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△ADH≌△EAC（AAS），∴AH＝CE，DH＝AC＝2，∵，∴BD＝1，∵，∴，∴．所以，CE的最小值为，．【点评】本题考查了三角形综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质勾股定理以及30°角所对直角边等于斜边的一半等知识．正确作出辅助线是解题的关键。
2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析
2024届初三毕业班综合测试数学本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）A. 3−B. 3C. 13−D. 13【答案】A【解析】【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）A. 41.08710×B. 410.8710×C. 310.8710×D. 31.08710× 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，∴410870 1.08710=×，故答案选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D ．4. 下列运算正确的是（ ）A. ()2211m m −=−B. ()3326m m =C. 734m m m ÷=D. 257m m m +=【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A. ()22121m m m −=−+，原运算错误，本选项不合题意；B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为3444545x ++++==，原方差为()()()()()2222223444444454255S −+−+−+−+− =； 去掉一个数据4后的中位数为4442+=，众数为4，平均数为344544x +++==，方差为()()()()2222234444454142S −+−+−+− =；∴统计量发生变化的是方差；故选D ．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505x x =+ 【答案】B【解析】【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x 吨，则小货车每辆运输()5x −吨，则75505x x =−． 故选B【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．.的7. 下列四个函数图象中，当x <0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A. B. C. D.A. 55.5mB. 【答案】D【解析】【详解】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项不符合题意；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项符合题意．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( )54m C. 19.5m D. 18m【答案】C【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，得到DE ，在Rt ADE △中，tan 30AE DE=o ，求出AE ，从而求出AB 【详解】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，DE BC ==Rt ADE △中，tan 30AE DE =o18m AE ∴= 18 1.519.5m AB ∴=+=在故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9. 如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=°，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）A. 60°B. 105°C. 75°D. 72°【答案】C【解析】 【分析】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠，结合AB AC =，30BAC ∠=°，得到180752−=°∠∠=°BAC ACB ，计算BAD ABD ∠+∠即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，30BAC ∠=°， ∴180752−=°∠∠=°BAC ACB ， ∴75BAD ABD BCD ACD ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°,故选C ．．10. 如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、E 两点，设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根的情况是（ ）A. 一定有两个相等的实数根B. 一定有两个不相等的实数根C. 有两个实数根，但无法确定是否相等D. 没有实数根【答案】B【解析】 【分析】M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，则得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠，即可得出DBM MBC ∽，再求出BMC MEC ∽，DBM EMC ∽，即可得出：214ac b =，即可求解． 【详解】AM 平分BAC ∠，DE AM ⊥， ADM AEM ∴∠=∠，1122MDME DE b ===， 1902BDM MEC BAC ∴∠=∠=°+∠， 1902BMC BAC ∴∠=°+∠， BDM MEC BMC ∴∠=∠=∠，M 是ABC 的内角平分线的交点，∴DBM MBC ∽，同理可得出：BMC MEC ∽，∴DBM EMC ∽， ∴BD MD ME CE=， BD EC MD ME ∴⋅=⋅，即：214ac b =， ∴222(1)421210b ac b b b b ∆=+−=++−=+>，∴关于x 的方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 方程420x +=的解为______．【答案】2x =−【解析】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】420x +=，24x =−，解得2x =−，故答案为：2x =−．12. 因式分解：x 2﹣3x=_____．【答案】x （x ﹣3）【解析】【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）． 考点：因式分解.13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.【答案】15【解析】【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．故答案为15.14. 已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =−+上，那么12x x +=________．【答案】3【解析】【分析】根据题意可得点P 和点Q 关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：33222b x a −=−=−=， ∵()1,1P x ，()2,1Q x ， ∴12322x x +=， ∴123x x +=． 故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解． 15. 如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200yx x=>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k 的几何意义可得20OB BC ⋅=，由切线的性质可得BC x ⊥轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C 在函数()200y x x=>的图象上， ∴20OB BC ⋅=，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x ⊥轴，∴BC y ∥轴， ∴111205244ACD S AC OB BC OB =???， 故答案为：5．16. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且90AFE ∠=°．（1）当5BF =时，tan FEC ∠=______； （2）当AED ∠最大时，DE 的长为_______．【答案】 ①.65 ②. 103##133 【解析】【分析】（1）证明90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，利用tan tan AFB FEC ∠=∠计算即可； （2）当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，利用三角形相似计算即可．【详解】（1）∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴6tan tan 5AB AFB FEC BF ∠=∠==， 故答案为：65． （2）如图，取AE 的中点O ，连接,,OD OF DF ．∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ∠=°，∵90AFE ∠=°，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴AED AFD ∠=，∴当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，∴OF BC ⊥，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ABF ∠=∠=°，∴OF AB EC ， ∴EO CF OA BF =， ∴142BF CF BC ===， ∵90AFE ∠=°，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴AFB FEC ∽△△， ∴BF AB EC FC =， ∴464EC =， ∴83EC =， ∴810633DE CD EC =−=−=， 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17. 解不等式：6327x x −>−．【答案】1x −＞【解析】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】6327x x −−＞，移项，得6237x x −−＞合并同类项，得44x −＞，系数化为1，得1x −＞．18. 如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．【详解】∵AB DC ，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中AB DC BAE DCF AE CF = ∠=∠ =∴ABE CDF △≌△．19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；（2）甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】（1）50 （2）29【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】∵4?8%50÷=(人)，故答案为：50．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，∴相同的概率为：29． 20. 已知关于x 的函数()31111m m y x m m m +=+≠−++图象经过点()1,A m n −． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）当m =k y x=的图象也经过点A ，求k 的值． 【答案】（1）1nm =+ （2）4【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；（2）当m =)1A +，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【小问1详解】 解：根据题意，得()()213111111m m m n m m m m m ++=×−+==++++． 【小问2详解】解：当m =时，此时点)1A −+，故)11514k =+=−=． 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，60A ∠=°，3AB =．（1）尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）1sin 2CBQ ∠= 【解析】【分析】（1）结合切线的判定与性质，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆即可．（2）由题意可得Rt Rt ABP AQP △≌△，则AB AQ =，可得ABQ 为等边三角形，即60ABQ ∠=°，则30CBQ ∠=°，进而可得答案．【小问1详解】解：如图，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆，交AC 于点Q ， 则P 即为所求．；【小问2详解】解：由（1）可得，BP PQ =，PQ AC ⊥，90AQP ∴∠=°，AP AP = ，()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，AB AQ ∴=，60BAC ∠=° ，ABQ ∴ 为等边三角形，60ABQ ∴∠=°，30CBQ ∴∠=°，1sin sin 302CBQ ∴∠=°=． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =−+−．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；（2）求一次函数y kx b =+解析式； （3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否的需要采取防霜措施，并说明理由．【答案】（1）5−℃（2）835y x =−+ （3）需要采取防霜措施，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当5x =时，函数最小值，代入解析式21660y x x =−+−计算即可．（2）把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中，计算即可； （3）令0y kx b =+=，216600y x x =−+−=，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x 轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【小问1详解】根据题意，当5x =时，函数有最小值，代入解析式21660y x x =−+−得，2580605y =−+−=−，故答案为：5−℃．【小问2详解】把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中， 得553k b b +=− = ， 解得853k b =− = ， ∴835y x =−+． 【小问3详解】 令0835y x =−+=， 解得158x =； 令216600y x x =−+−=，解得126,10x x ==（舍去）， 故()156 4.125h 8−=， ∵4.1254＞∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．（1）若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；（2）设OB x OF =，AB y CD=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．【答案】（1）2米 （2）1y x =−，说明见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平行四边形，可得2CD OE ==米；（2）由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE ==，则AB OB OF CD OF −=，据此可得1y x =−，当2OB OF>，即2x >时，11y x =−>，据此可得结论． 【小问1详解】解：由题意得，AB OE ∥，∴ABF EOF ∽， ∴AB BF OE OF =，即1644OE −=， ∴2OE =，∵OE CD CE OD ∥，∥，的∴四边形OECD 是平行四边形，∴2CD OE ==米，∴蜡烛的像CD 的长度为2米；【小问2详解】解：由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE == ∴AB BF OE OF =，即AB OB OF CD OF−=， ∴1y x =−， 当2OB OF >，即2x >时，11y x =−>， ∴1AB CD>，即AB CD >， ∴物高大于像高，即呈缩小的像．24. 矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．（1）如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．（2）如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对称，连接GD ，HD ，求GDH 面积的最小值．【答案】（1）①见解析；②485（2）8【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质，得到90ABC ∠=°，得到点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，根据矩形的性质，得OA OB OC OD ===，判定点D 在以O 为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；②过点E 作在EG AD ⊥于点D ，根据AE AB =，得到ADE ADB ∠=∠，结合4AE AB ==，8BC =，得到1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===，设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−，利用勾股定理计算x ，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°，根据CH CD DH ≤+，得到4DH CH CD −=≥，当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小． 【小问1详解】①∵矩形ABCD ，∴90ABC ∠=°，OA OB OC OD ===，∴点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，∵OA OB OC OD ===，∴点D 在以O 为圆心的同一个圆上，故A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②如图，过点E 作在EG AD ⊥于点D ，∵AE AB =，∴ADE ADB ∠=∠，∵4AE AB ==，8BC =， ∴1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===， 设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−， ∴()228216x x −+=， 解得12,45x x ==（舍去）， ∴AED △的面积112488255××=． 【小问2详解】根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°， ∵CH CD DH ≤+，∴4DH CH CD −=≥，∴当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．25. 已知抛物线()21:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >． （1）求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；（2）若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；（3）若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析 （2）()()1,1,2,1−−（3）4k ＞【解析】【分析】（1）联立()()211y a x h y k x h =−− =−− ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；（2）根据1a =时，()21:1C y x h =−−，结合抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，结合12x x <，则12,11x h x h ==+−，且121033x x <+<，求得11124h <<，确定h 的整数解有1,2两个，得证．（3）根据题意，得当2x h =+时，21y y ＞恒成立．建立不等式解答即可．本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【小问1详解】联立()()211y a x h y k x h =−− =−−， 解方程，得,ah k x h x a+==， 当x h =时，1y =−，即直线与抛物线恒过点(),1h −，故直线l 与抛物线C 至少有一个交点．【小问2详解】当1a =时，()21:1C y x h =−−，∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±，∵12x x <， ∴12,11x hx h ==+−， ∵121033x x <+<， ∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数，∴1,2h h ==， 故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−．【小问3详解】．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．故()()22121k h h a h h +−−+−−＞，整理得：2k a ＞．又∵2k a ＞，∴024a ＜＜，∴4k ＞．。
2023年广东省广州市荔湾区广雅中学中考一模数学试题
2023年广东省广州市荔湾区广雅中学中考一模数学试题一、单选题1．2022年11月20日第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开帷幕，这是历史上首次在中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．世界杯是一场足球盛宴，以下是4只参赛队伍的图标，其中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（ ）A ．a +2a =3a 2B ．（a 2）3=a 5C ．a 3·a 4=a 12D ．（-3a ）2= 9a 2 3．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．（5，4）B ．（4，5）C ．（4，﹣5）D ．（5，﹣4）4．已知点()13,y ，()22,y -，()32,y 都在反比例函数6y x=-的图象上，那么1y 、2y 与3y 的大小关系是（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．132y y y <<5．不等式组2561x x x ≤+⎧⎨<⎩ 解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．某工厂生产空气净化器，实际平均每天比原计划多生产100台空气净化器，实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同．若设原计划每天生产x 台空气净化器，则根据题意可列方程为（ ）A ．1200900100x x =+ B ．12009000100x x -=- C ．9001200100x x=+ D ．1200900100x x -= 7．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC ∠=︒，点B 是»AC 的中点，则D ∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 8．抛物线()221y x -+=的顶点坐标是（ ）A ．()21--，B ．()21-，C ．()21-，D ．()21，9．一次函数y kx b =+中，若kb <0，且y 随x 的增大而减小，则其图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，抛物线2()y x a h =-+（a ＞0）与y 轴交于点B ，直线y ＝13x 经过抛物线顶点D ，过点B 作BA ∥x 轴，与抛物线交于点C ，与直线y ＝13x 交于点A ，若点C 恰为线段AB 中点，则线段OA 长度为（ ）AB ．C D二、填空题11．因式分解：222x -=．12．已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为．13．函数y x 的取值范围是．14．如图，小明用长为3m 的竹竿CD 作测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB =12m ，则旗杆AB 的高为m ．15．如图，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，6），将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°后得到A 'B ，若反比例函数y ＝k x的图象经过A ′B 的中点D ，则k 的值为．三、解答题16．计算：201332-⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 17．解方程：2432x x -+=．18．先化简：222334442x x x x x x x x++-÷⋅-+-，然后x 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．19．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90︒，得到A B C ''△，连接AA '，2AC =．(1)求A A '的长；(2)若120∠=︒，求BAA '∠的度数．20．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A ．“北斗卫星”；B ．“5G 时代”；C ．“东风快递”；D ．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）九（1）班共有________名学生；（2）补全折线统计图；（3）D 所对应扇形圆心角的大小为________；（4）小明和小丽从A 、B 、C 、D 四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．21．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天多搬运20吨，并且3台A 型机器人和2台B 型机器人每天共搬运货物460吨．（1）求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A 型机器人售价3万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A 、B 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？22．如图，已知ABC V 是等边三角形，以AB 为直径作O e ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE AC ⊥于点E ．(1)求证：DE 是O e 的切线；(2)若ABC V 的边长为2，求EF 的长度．23．如图，二次函数2y ax bx c =++经过点 ()1,0A -，()5,0B ，()0,5C -，点D 是抛物线的顶点，过D 作x 轴垂线交直线BC 于E ．(1)求此二次函数解析式及点D 坐标(2)连接CD ，求三角形CDE 的面积(3)当2>0ax bx c ++时，x 的取值范围是___________。
2024年广东省广州市番禺区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市番禺区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中运算正确的是（ ）A ．321a a -=B ．()11a a --+=-C ．()22330-+-=D ．()3326a a -=【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，去括号，有理数的乘方和积的乘方，根据合并同类项，有理数的乘方，去括号和积的乘方运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】A 、32a a a -=，原选项计算错误，不符合题意；B 、()1121a a a a a --+=+-=-，原选项计算错误，不符合题意；C 、()2233990-+-=-+=，原选项计算正确，符合题意；D 、()3328a a -=-，原选项计算错误，不符合题意；故选：C ．2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．【详解】A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：B ．3．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）（1）0abc >；（2）c a b ->>-；（3）11b a> ；（4）c a >A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．93.210⨯B ．60.3210⨯C ．43210⨯D ．53.210⨯5．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）A ．点数的和为1B ．点数的和为6C ．点数的和大于12D ．点数的和小于13【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A 、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；B 、点数和为6，是随机事件，符合题意；C 、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；D 、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．如图， 在ABCD Y 中，4AB =，6BC =，将线段AB 水平向右平移a 个单位长度得到线段EF ，若四边形ECDF 为菱形，则a 的值可以为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．32【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．先证得四边形ECDF 为平行四边形，当4CD CE ==时，ECDF 为菱形，此时642a BE BC CE ==-=-=，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，即CE DF ∥，4CD AB ==，∵将线段AB 水平向右平移a 个单位长度得到线段EF ，∴AB EF CD ∥∥，∴四边形ECDF 为平行四边形，∴当4CD CE ==时，ECDF 为菱形，此时642a BE BC CE ==-=-=．故选：A7．下列命题中是真命题的是（ ）A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为60︒C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】D【分析】本题考查了命题与定理，根据多边形外角和、正多边形内角和，矩形的判定，等边三角形的判定，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】A 、正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒，原选项不符合题意；B 、正六边形的内角和为720︒， 则每一个内角为120︒，原选项不符合题意；C 、对角线相等的平行四边形是矩形，原选项不符合题意；D 、有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，原选项符合题意；故选：D ．8．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本为12.8 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x ，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．()213112.8x -=B ．()213112.8x -=C ．()212.8113x -=D ．()213112.8x +=【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为x ，由题意可列方程()213112.8x -=，根据题意列出方程是解题的关键．【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x ，由题意得：()213112.8x -=，故选：A ．9．如图，抛物线²y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A ，B ，C ， 点B 在y 轴上， 则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．3-D ．2-∵正方形OABC ，10．若关于x 的一个一元一次不等式组的解集为a x b <<(a b 、为常数且a b <)，则称2a b +为这个不等式组的“解集中点”．若关于x 的不等式组 24x x mx m >+⎧⎨-<⎩的解集中点大于方程13233x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解且小于方程264x x +=的解， 则 m 的取值范围是（ ）A ．01m <<B ．0m <C ．1m >D ．21m -<<二、填空题11．若分式32x-有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】2x ≠【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由分式有意义的条件可知：2-x≠0，∴x≠2，故答案为：2x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．12．分解因式：23x y y -= .【答案】()()y x y x y +-【详解】试题分析：原式提公因式得：y （x 2-y 2）=()()y x y x y +-考点：分解因式点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．13．方程31512x x=+的解为 ．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．14．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝ ．【答案】25°【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．【详解】解：如图，∵a ∥b ，∴∠4=∠2=55°，又∵∠4=∠1+∠3，∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．15．如图， 在ABC 中，AB AC =， 点 O 在边AC 上， 以O 为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交边BC 于点E ，则劣弧DE 的长是 (结果保留π ) ．∵AB 是切线，∴90ODB ∠=︒，∵AB AC =，OE OC =，∴B ACB OEC ∠=∠=∠，∴OE ∥A B ，16．如图，已知在直角三角形ABO 中，点 B 的坐标为(-，将ABO 绕点O 旋转至A B O ''△的位置，使点A '落在边OB 上，点B '落在反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为．三、解答题17．解不等式组： 23535x x x x +⎧≥⎪⎨⎪-<+18．如图， 点E F 、在线段BC 上， AB CD ∥，A D ∠=∠， BE CF =．求证：AB CD =．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质知识，根据平行线的性质可得B C ∠=∠，进而根据AAS 证明ABE DCE △≌△，再由全等三角形的性质即可求证，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【详解】∵AB CD ∥，∴B C ∠=∠，在ABE 和DCE △中A DB CBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABE DCE ≌，∴AB CD =．19．如图， 在ABCD Y 中， 30DCB ∠=︒．(1)操作：用尺规作图法过点D 作AB 边上的高DE ；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)计算∶在（1）的条件下， 若4=AD ， 6AB =， 求梯形EBCD 的面积．∴DE 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴6CD AB ==，由（1）得：DE AB ⊥，20．已知 221121x x A x x x x -⎛⎫=-÷ ⎪+++⎝⎭．(1)化简A ；(2)若已知 210x x --=，求A 的值．21．已知一次函数2y x m =+的图象与反比例函数 ()0k y k x=>的图象交于A ，B 两点．(1)当点A 的坐标为()2,1时．①求m ， k 的值；②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 2k x m x>+的解集；(2)若将函数2y x m =+的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，点A ，B 恰好关于原点对称，求m 的值．联立232y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩或124x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，根据图象可知：当12x <-或02x <<时2k x m x>+；（2）一次函数2y x m =+的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，可得联立24y x m k y x =+-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴()2240x m x k +--=，∵点A ，B 恰好关于原点对称，∴点A ，B 的横坐标之和为0，22．《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．(1)求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数；(2)据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.15万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为2000吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？(3)为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派2名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组3名男生和2名女生中随机抽取2名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．23．如图，以Rt ABC △的一边AB 为直径作ABC 的外接圆O ，B ∠的平分线BE 交AC 于D ，交O 于E ，过E 作EF AC ∥交BA 的延长线于F ．(1)判断EF 是否是O 切线，并证明你的结论；(2)连接AE ，若AE =10AB =，求点C 到直线AB 的距离．∵BE是ABC∠的平分线，∴12ABE CBE ABC∠=∠=∠，∴AE CE=，∴OE AC⊥，24．过点(B , (C-的抛物线2y bx c=++与y轴交于点A．(1)求b，c的值；(2)直线BC交y轴于点D，点E是抛物线2y bx c=++上位于直线AB下方的一动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②当12ABC FAE∠=∠时，求点E的坐标．∴90EFG BHG ∠=∠= ，∴FEG HBG ∠=∠，由2232222y x x =--得(D 又()0,2A - ，()4,2B ，C ∴4BD =，22AC =，25．如图，正方形ABCD 中，点E 在边AD 上(不与端点A ，D 重合)，点A 关于直线BE 的对称点为点F ， 连接CF ， 设ABE α∠=．(1)求BCF ∠的大小 (用含α的式子表示)；(2)过点C 作CG AF ⊥，垂足为G ， 连接DG ． 试判断DG 与CF 的位置关系， 并证明所得的结论；(3)将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒得到CBH ， 点E 的对应点为点H ， 连接BF HF ，． 当sin α=BFH △的形状，并说明理由．∵正方形ABCD ，点∴BC AB BF ==，∴CBF ABC ∠=∠-∴BCF BFC ∠=∠=∵90AGC ADC ∠=︒=∠∴A D G C 、、、四点共圆，∴45AGD ACD ∠=∠=∵FBE ABE α∠=∠=，α由旋转的性质可知，∴HBF EBH ∠=∠-∵90BEA α∠=︒-，∴HBN BEA ∠=∠，∵HBN BEA ∠=∠，。
2024年广东省广州市中考模拟数学试题
2024年广东省广州市中考模拟数学试题一、单选题1．如图，几何体由5个相同的小正方体搭成．它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各式中运算正确的是（ ） A ．321a a -= B ．()11a a --+=- C ．()22330-+-=D ．()3326a a -=3．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米0.000000001=米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A ．8310-⨯B ．90.310-⨯C ．9310-⨯D ．10310-⨯4．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ） A ．13B ．14C ．15D ．165．端午节，赛龙舟，小亮在点P 处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB 为东西方向，赛道起点A 位于点P 的北偏西30︒方向上，终点B 位于点P 的北偏东60︒方向上，400AB =米，则点P 到赛道AB 的距离为（ ）米.A ．B ．C ．87D ．1736．已知关于x 的一元二次方程()22110k k x x -++=有两个实数根1x ，2x ，且满足()()12112x x ++=，则k 的值是（ ）A ．1k =-B ．1k =C ．2k =-D ．1k =或2k =-7．若关于x 的一元一次不等式结3132x x x a-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．7 B ．－14 C ．28 D ．－568．如图，在等边ABC V 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕点B 按逆时针方向旋转60︒，得到BAE V ，连接ED ，若10BC =，9BD =，则四边形ADBE 的周长是（ ）A ．19B ．20C ．28D ．299．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1610．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC BC ，上，且BF CE =，AE 平分CAD ∠，连接DF ，分别交AE AC ，于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN AC ⊥，垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM PN +的最小值为③2CF GE AE =⋅；④ADM S =△ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．因式分解：29x y y -=．12．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝．13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l 为．14．若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第象限．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y x x=>的图象与半径为10的O e 交于,A B 两点，若60AOB ∠=︒，则k 的值是．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得HEF V ，若延长FH 交边BC 于点M ，则DH 的取值范围是．三、解答题17．计算：()11113tan303π-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭18．先化简，再求值：222211121x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中4x =．19．为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：(1)填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；(2)甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．20．某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． (1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？21．如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且4OA =，2OB =，反比例函数()0ky k x=≠在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．(1)求点C 的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点N 为直线OD 上的一动点（不与点O 重合），在y 轴上是否存在点M ，使以点A 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE 的延长线交地面AC 于点B ，点E 恰好在BD 的中点处，60CBD ∠=︒，坡面AE 的坡角为45°，山坡顶点D 与水平线AC 的距离，即CD 的长为．(1)求BE 的长度；(2)求AB 的长度．（结果保留根号）23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点P 是斜边AC 上一个动点，以BP 为直径作O e ，交BC 于点D ，与AC 的另一个交点为E ，连接DE ，BE ．(1)当»»DPEP =时，求证：AB AP =； (2)当3AB =，4BC =时．①是否存在点P ，使得BDE V 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP 的长；若不存在，请说明理由；②连接DP ，点H 在DP 的延长线上，若点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，求CP 的取值范围．24．已知抛物线22y x mx n =-++经过点(2,23)m -． (1)用含m 的式子表示n ；(2)当0m <时，设该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，ABC V 的外接圆与y 轴交于另一点D （点D 与点C 不重合），求点D 的坐标；(3)若点()13,E y -，()2,F t y ，()31,G m y -在该抛物线上，且当34t <≤时，总有123y y y <<，求3y 的取值范围．25．如图，在四边形ABCD 中，点N ，M 分别在边BC ，CD 上．连接AM ，AN ，MN ，45MAN ∠=︒．(1)【实践探究】如图①，四边形ABCD 是正方形． （ⅰ）若6CN =，10MN =，求CMN ∠的余弦值； （ⅱ）若1an 3t BAN =∠，求证：M 是CD 的中点；(2)【拓展】如图②，四边形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，90C ∠=︒，12CD =，16AD =，12CN =，求DM 的长．。
2024年广东省广州市花都区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市花都区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．-2的倒数是（）A．-2B．12-C．12D．22．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．3．数学上一般把n a a a a a ⋅⋅⋅⋅ 个记为（ ）A ．na B ．n a +C ．na D ．a n 【答案】A【分析】根据乘方的意义解答即可．【详解】解：数学上一般把n a a a a a ⋅⋅⋅⋅ 个记为n a ．故选A ．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n 个相同的因数a 相乘，即...a a a a ⋅⋅⋅计作n a ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．4．下列计算正确的是（ ）A ．()232639ab a b =B ．236a a a ⋅=C ．523a a -=D ．()222ab a b +=+【答案】A【分析】本题考查实数的运算，利用积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则及完全平方公式逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：A 、()232639ab a b =，则A 符合题意；B 、235a a a ⋅=，则B 不符合题意；C 、523a a a -=，则C 不符合题意；D 、()2222a b a b ab +=++，则D 不符合题意；故选：A ．5．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b>B ．0a b ->C ．0a b -<D ．0ab <6．如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点， 的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APBO∠等于（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒7．一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，∴k＜0．∵b<0，∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC；②∠BAD ＝∠BCD；③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.∵平行四边形ABCD∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°，但无法得到AC⊥BD故选C.考点：平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.AC=米，则坡面AB的长度是9．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i=30（）A．B．30米C．米D．10米10．已知关于x 的一元二次方程()22110k k x x -++=有两个实数根1x ，2x ，且满足()()12112x x ++=，则k 的值是（ ）A ．1k =-B ．1k =C ．2k =-D ．1k =或2k =-二、填空题11有意义，则a 的值可以是 ．（写出一个即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可知-≥a30a≤解得3故答案为：3（答案不唯一）12．因式分解：2218x-= ．【答案】2（x+3）（x﹣3）【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．【详解】2218x-=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．故答案为：2（x+3）（x﹣3）【点睛】考点：因式分解．13．某校九年级（1）班对全班50名学生进行了“一周（按7天计算）做家务劳动时间（单位：小时）”的统计，并整理成频率分布表如下：一周做家务劳动时间（单位：小时）012345频率0.10.10.20.30.20.1①该班学生一周做家务劳动时间为3小时的有名同学；②该班学生一周做家务劳动时间的中位数为小时．【答案】15 3【分析】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是能够读懂统计表并从中整理出进一步解题的有关信息．（1）根据频率=频数÷总数，可求出一周做家务劳动时间为3小时的学生数量；（2）根据中位数的定义把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．【详解】解：（1）0.35015÷=（名)，故答案为：15．（2）根据题意可知共50人，其中第25和第26人的平均数是中位数，将数据从小到大排列，第25个和第26个为3、3，+÷=，所以这组数据的中位数为：(33)23故答案为：3．14．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A 在数轴上表示的数是2-，则点B 在数轴上表示的数是 ．15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高A O ＝8米，母线AB 与底面半径O B 的夹角为α，tanα＝43，则圆锥的底面积是 平方米．(结果保留π)16．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，P 为ABC 形外一点，60BPC ∠=︒，①若2AC =，则OC = ；②若PB =PO =PC 的值为 ．∵AC BC =，ACB ∠∴222AB AC ==∵O 为斜边AB 的中点，∴OC AB ⊥，12OC =故答案为：2；（2）∵OC AB ⊥，OC则：63,BP CP OP OP '===∴2214PP OP OP ''=+=，∵90,60COB CPB ∠=︒∠=︒，∴36090OCP OBP ∠+∠=︒-︒∴36090OCP OCP '∠+∠=︒-︒三、解答题17．解不等式组：()31512x x x x ⎧-+≤⎪⎨>-⎪⎩【答案】23x -<≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．如图，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF ．若CE=10cm ，求DF 的长．【答案】10cm【分析】先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：∵CE ⊥DF ，∴∠CDF+∠DCE=90°，又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∴∠CDF=∠BCE ，在正方形ABCD 中又∵BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，∴△BCE ≌△CDF （ASA ），∴CE=DF ，∵CE=10cm ，∴DF=10cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形对的性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解．19．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率2 12 ==【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，20．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天．经检验：7x =是原方程的解，且符合题意，答：规定时间是7天．21．已知224442a a T a a ⎛⎫+-=-÷ ⎪+⎝⎭(1)化简T ．(2)若a 为二次函数2245y x x =-+的最小值，求此时的T 值．22．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰ABC 中，AB BC =．(1)尺规作图：作ABC 关于直线AC 对称的ADC △（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接BD ，交AC 于点O ，若2BD =，四边形ABCD 周长为ABCD 的面积．由作图可知：AD CD ==∵AB BC=∴AD CD AB BC===∴四边形ABCD 为菱形，∵ABC 与ADC △关于直线∴AC BD ⊥，OB OD =，∴112122OB BD ==⨯=，由（1）知四边形ABCD 为菱形，23．如图，Rt ABO △中，90∠=︒ABO ，2AB =，反比例函数8y x=-的图象经过点A ．(1)求点A 的坐标．(2)直线CD 垂直平分AO ，交AO 于点C ，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，求线段OE 的长．24．已知抛物线：()230y x bx a =+-≠的对称轴是直线1x =，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在线段BC 上，且CD =，求sin CAD ∠的值；(3)抛物线向右平移m 个单位（1m >），平移后A 、B 的对应点分别是1A 、1B ，点E 在y 轴的负半轴上，且以点O 、1A 、E 为顶点的三角形与OAC 相似．点F 是平移后的抛物线上的一点，若四边形11A EFB 是平行四边形，求m 的值．∴212DG CG CD ===， ∴()1,2D -，∴()231422BD =-+=，AD ∴222BD AD AB +=，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，25．【读一读】一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．【算一算】当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在ABC 中，AB AC =，点M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，连接MN ．(1)如图1，若90BAC ∠=︒，BC =BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A 、E 、F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF 、ME ．①填空：BMN ∠=______（填度数），BME 是______三角形（填类别）；②求CD 的长．(2)如图2，若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE 、CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒，点C 、E 、F 在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．∴∠=∠，设∠ABC ACB的中位线，是ABCMN∴ ，MN AC∴∠=∠=，MNB MBNθ将BMN绕点B顺时针旋转∠∴△≌△，MBEEBF MBN∴∠=∠=，EBF EFBθ1802BEF θ∴∠=︒-，点C ，E ，F 在同一直线上，2BEC θ∴∠=，180BEC BAC ∴∠+∠=︒，A ∴，B ，E ，C 在同一个圆上，EAC EBC αθ∴∠=∠=-，(1802)()180BAE BAC EAC θαθαθ∴∠=∠-∠=︒---=︒--，ABF αθ∠=+ ，180BAE ABF ∴∠+∠=︒，如图所示，当F 在EC 上时，BEF BAC ∠=∠ ，BC BC =，A ∴，B ，E ，C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，ABF θβ∴∠=-，BFE EBF θ∠=∠= ，EFB FBC FCB ∠=∠+∠，ECB FCB EFB FBC θβ∴∠=∠=∠-∠=-，EBEB =，EAB ECB θβ∴∠=∠=-，BAE ABF ∴∠=∠，综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2024年广东省广州市黄埔区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数为无理数的是（）A．3B．3.14C．D．23 72．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D【答案】B【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．3．12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这12位同学成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【答案】D【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.故选D.【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.4．下列运算正确的是（ ）A =B ．=C ．5=D =5．分式方程213x x =-的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．1x =D ．0x =∴分式方程的解为3x =-，故选：B ．6．在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若5AD =，10AC =，6BD =，BOC 的周长为（ ）A ．13B ．16C ．18D ．21【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出BO ，CO 的长，即可得出BOC 的周长．【详解】解：∵ABCD Y 的两条对角线交于点O ，10AC =，6BD =，5AD =，∴3BO DO ==，5AO CO ==，5BC AD ==，∴BOC 的周长为：35313BO CO BC ++=++=．故选：A ．7．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是AC 上的一点，ED AB ⊥，垂足为D ，若4=AD ，则BE 的长为（ ）A ．B ．C ．185D ．38．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，点D 的坐标为()4,3，将菱形ABCD 向右平移m 个单位，使点D 刚好落在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．203D ．323【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过D 作DF x ⊥轴于点F ，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出A 的坐标后，代入反比例函数解析式求出k 的值，利用平移的性质得到点D 的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．【详解】解：过D 作DF x ⊥轴于点F ，如图所示：∴90DFO ∠=︒，∵D 点的坐标为()4,3，∴3DF =，4OF =，∴222234OD DF OF =+=+9．如图，在塔前的平地上选择一点，由A 点看塔顶的仰角是α，在A 点和塔之间选择一点B ，由B 点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m ，9m AB =，45α=︒，50β=︒，则塔的高度大约为（ ）m ．（参考数据：sin 500.8︒≈，tan50 1.2︒≈）A ．55.5B ．54C ．46.5D ．45∴9CD AB ==，EF AC =∵45GCE α∠==︒，∴设GE EC x ==，则ED ∴tan tan GE GDE ED β∠=∠=解得：54x =，10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠，1c >），经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．则下列结论：①0abc <；②关于x 的方程2ax bx c a ++=无实数根；③当0x >时，y 随x 增大而减小；④0a b +=.其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题112x 应满足的条件是 ．【答案】4x ≥-【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的概念运算求解即可．【详解】解：∵40x +≥，∴4x ≥-，故答案为：4x ≥-．12．因式分解34a a -=．【答案】()()2121a a a +-【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【详解】解：()()()324412121a a a a a a a -=-=+-．故答案为：()()2121a a a +-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ADC ＝60°，∠B ＝30°，若CD ＝3cm ，则BD ＝ cm ．【答案】6【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD ．【详解】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝60°，∴∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ＝30°，∴AD ＝BD ，∵∠C ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∴BD ＝AC ＝2CD ＝6cm ，故答案为：6．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．14．关于x 的一元二次方程()21230k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是 ．15．如图，ABCD Y 绕点A 逆时针旋转30︒，得到AB C D ''' （点B '与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点，点D ¢与点D 是对应点），点B '恰好落在BC 边上，则C ∠的度数为 ︒．【答案】105【分析】由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到75B ∠=︒，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出C ∠的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，B AB B '∴∠=∠，180BAB B AB B ''∠+∠+∠=︒ ，75B ∴∠=︒，ABCD ，AB CD ∴∥，180B C ∠+∠=︒∴，105C ∴∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得HEF ，若延长FH 交边BC 于点M ，则DH 的取值范围 ．三、解答题17．解方程：x 2+6x+5=0．【答案】x 1=-1，x 2=-5【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【详解】x 2+6x+5=0 (x+1)(x+5)=0∴x+1=0或x+5=0∴x 1=-1．x 2=-5【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ADC ∠和ABC ∠．求证：AD CD =，AB CB =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，进而利用ASA 证明ABD CBD ≌△△，据此可证明AD CD =，AB CB =．【详解】证明：∵BD 平分ADC ∠和ABC ∠，∴ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，又∵BD BD =，∴()ASA ABD CBD △△≌，∴AD CD =，AB CB =．19．已知2111a T a a =--+．(1)化简T ；(2)已知反比例函数y =的图象经过点()1,1A a a -+，求T 的值．20．“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．(1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；(2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．21．某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：（1）设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x 、y 的二元一次方程组，求解即可；（2）设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m 的不等式，求解即可．【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据题意，得10303403050700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；（2）解：设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据题意，得()()()1510128100480m m -+--≥，解得80m ≥，答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．22．如图，二次函数()()()1304y x a x a a =-+->的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点E ．(1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x 轴于点D ，并标记抛物线的顶点C ，连接AE ，且AE 与对称轴相交于点F ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，若2AO OE =，求CAD ∠的大小及AF 的值．（2）解：把0x =代入∴234OE a =，把0y =代入(14y x =-+23．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D ．(1)求证：AO 平分BAC ∠；(2)若12BC =，3sin 5BAC ∠=，求AC 和CD 的长．∵AB AC =，OB OC =∴A ，O 在线段BC 的垂直平分线上，∴AH BC ⊥，又∵AB AC =，∴AO 平分BAC ∠；∴CE 是O 的直径，∴90EBC ∠=︒，BC ⊥∵ BCBC =∴E BAC ∠=∠，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．24．如图，在矩形ABCD 和矩形AGFE 中，4=AD ，2AE =，AB =,AG ．矩形AGFE 绕着点A 旋转，连接BG ，CF ，AC ，AF ．(1)求证：ABG ACF ∽；(2)当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②在ACF △内是否存在一点P ，使得CP AP ++的值最小?若存在，求CP AP +的最小值；若不存在，请说明理由．此时AC AE CE +=，90CEF ∠=︒①∵4=AD ，343AB AD ==，∴228AC AB BC =+=，BAC ∠=由旋转可得：30PAF KAL FAK ∠=∠=︒-∠，∴AKL APF ∽，∴3KL AK PF AP==，∴3KL PF =,过P 作PS AK ⊥于S ，则 12PS AP =，32AS AP =3PS25．已知二次函数22y ax ax c =++图象与x 轴交于点A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求点A 的坐标；(2)若点D 是直线BC 上方的抛物线上的一点，过点D 作DE y ∥轴交射线AC 于点E ，过点D作DF BC ⊥于点F ，求DE -的最大值及此时点D 坐标；(3)在（2）的条件下，若点P ，Q 为x 轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足90PBQ ∠=︒，试求点D 到直线PQ 的最大距离．（3）解：设()223P s s s Q --+，，设直线PB 解析式为y k x b ''=+，∴22330sk b s s k b ⎧+=--+⎨-+=''''⎩，∴()()2312333s s s s k s s -+---+==++'∴直线PB 解析式为()1y s x =-++【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（三角形得到2=，解（3）的关键是推出直线DH DF。
2024年广东省广州市白云区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2024-的相反数是（ ）A ．2024-B ．2024C ．12024-D ．12024【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：2024-的相反数是2024，故选：B ．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为．故选：D ．【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．3．下列运算正确的是（ ）A ．()326m m =B ．236m m m ⋅=C ．22m m -=-D ．222m m m ÷=4．某校举行“喜迎中国共产党建党105周年”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）A ．方差是0B ．中位数是95C ．众数是5D ．平均数是905．不等式组23322322x x x -≥⎧⎪⎨+->⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．3232x x ->--5x >-，∴不等式的解集为：51x -<≤-，故选：A ．6．已知一次函数y ax b =+经过点()2,3--，正比例函数1y ax =不经过第三象限，则反比例函数2b y x=的图象位于（ ）A ．第一、第二象限B ．第一、第三象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限7．端午节，赛龙舟，小亮在点P 处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB 为东西方向，赛道起点A 位于点P 的北偏西30︒方向上，终点B 位于点P 的北偏东60︒方向上，400AB =米，则点P 到赛道AB 的距离为（ ）米.A ．B ．C ．87D ．173 3ta n303AC PC x ∴=⋅︒=60CPB ∠=︒ta n603BC PC x∴=⋅︒=AB 8．某校组织540名学生去外地参观，现有A ，B 两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B 型客车比每辆A 型客车多坐15人，单独选择B 型客车比单独选择A 型客车少租6辆．设A 型客车每辆坐x 人，根据题意可列方程（ ）A ．54015x -﹣540x =6B ．540x ﹣54015x +=6C ．54015x +﹣540x =6D ．540x ﹣54015x -=6列出相应的方程．9．如图，ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若I 的半径为r ，FDE α∠=，则()AF CD AC +-的值和A ∠的大小分别为（ ）A ．0，1802α︒-B ．r ，180α︒-C ，90α︒-D ，902α︒-【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接,IF IE ．利用切线长定理，可得,,,AF AE CD CE IF AB IE AC =⊥⊥=，从而得到AF CD AC +-，再由圆周角定理，可得22EIF EDF α∠=∠=，即可．【详解】解：如图，连接,IF IE ．∵ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，∴,,,AF AE CD CE IF AB IE AC =⊥⊥=，∴090,C A C F CD A AE CE AC A A AFI AEI C =+︒+--=-=∠=∠=，∴22EIF EDF α∠=∠=，∴3601802A AFI AEI EIF α∠=︒-∠-∠-∠=︒-．故选：A1021-=-，则关于x 的方程()222210x k x k --+-=根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式．熟练掌握算术平方根的非二、填空题11．2023年10月26日上午，神州十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神州十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近21200个小时，其中，数字21200用科学记数法表为．12．若点()11A y -，，212B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()32C y ，在抛物线()22y x k =-+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 （用“>”连接）13．2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的折线图，若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为 ．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上，F 为对角线BD 上一动点，连接CF ，EF ，若CF EF +的最小值CE = ．∵正方形ABCD ，∴4AB BC ==∠，又∵BF BF =，15．如图，已知AD 是ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是ABD △和ACD 的高，四边形AEDF 的面积为60，5DF =，则ADE V 中AD 边上的高为 ．16．如图，矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点P 从A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A D C B A →→→→运动一周到点A 停止．当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，过点P 作直线PQ BC ⊥，与矩形的边的另一交点为Q ．若点P 的运动时间为t ，当810t <<时，CQ 长度的范围是．PC=-∴12421由勾股定理得t=时，点当10三、解答题17．解方程：x 2+4x ﹣12＝0．【答案】x 1=﹣6，x 2=2【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程变形为：（x +6）（x ,﹣2）=0，∴x +6=0或x ﹣2=0，∴x 1=﹣6，x 2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．18．已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．在射线CD 上截取CE CA =，过点E 作EF CE ⊥，交CB 的延长线于点F ．求证：BC FE =．【答案】见详解【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出E ACB ∠=∠，再用两角夹边判定即可．【详解】证明： CD AB⊥90A ACD ∴∠+∠=︒90ACB ∠=︒90ACD ECF ∴∠+∠=︒A ECF∴∠=∠ EF CE⊥90E ∴∠=︒E ACB∴∠=∠在ACB △和CEF △中A ECF CE CAE ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(AS A)ACB CEF ∴ ≌BC FE ∴=．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -， AB 所在圆的圆心为O ，60AOB ∠=︒，将 AB向右平移5个单位，得到 CD （点A 平移后的对应点为C ）．(1)点B 的坐标是___________， AB 所在圆的圆心坐标是___________．(2)在图中画出 CD，求 CD 的长．2OA OB ∴==1cos60212OE OB ∴=⋅︒=⨯=，BE由平移的性质知60CGD ∠=︒且GC OA =∴ CD 的长为602223603ππ⨯⨯=．20．给出6个整式：2x +，2x -，21x +，2，21x x +-，211--x x ．(1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；(2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程．21．甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．22．某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图象．(1)乙机器每天加工__________个零件，甲机器维修了__________天；(2)求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数y（个）乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式．【答案】(1)250；8(2)()()25077001018400104001826x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）设乙机器每天加工a 个零件，甲机器每天加工150个零件，根据前10天是两个机器一起工作，结合数量关系列方程求解即可；再由AB 段是乙单独工作，求出乙单独工作的时间即可求出甲维修的时间；（2）根据函数图像函数关系式为()0y kx b k =+≠，当1018x <≤时，图像过点()10,5200，()18,3200；当1826x <≤时，图像过点()18,3200，()26,0，运用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：设乙机器每天加工a 个零件，由题意得，()1015092005200a +=-，解得，250a =，根据题意，从点A 到点B 是乙单独完成的量，∴520032002000-=（个），∴20002508÷=（天），∴甲维修了8天，故答案为：250；8．（2）解：设未生产零件的个数y （个）与乙机器工作时间x （天）之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，由（1）可知，甲维修了8天，则点B 的坐标为()18,3200，∴当1018x <≤时，图像过点()10,5200，()18,3200，∴105200183200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2507700k b =-⎧⎨=⎩，∴2507700y x =-+；③当1826x <≤时，图像过点()18,3200，()26,0，∴183200260k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得40010400k b =-⎧⎨=⎩，∴40010400y x =-+；综上所述，未生产零件的个数y （个）与乙机器工作时间x （天）之间的函数关系式为()()25077001018400104001826x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．23．【问题探究】（1）如图①，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，在AB 边上作点E 为一点，连接CE ，DE ，使得CE DE ⊥（画出一个点E 即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，BC CD =，60C ∠=︒，点E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，60ABE ∠=︒，试判断AD 与CE 之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，四边形ABCD 是赵叔叔家的果园平面示意图，点E 为果园的一个出入口（点E 在边CD 上），AE ，BE 为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，AD BC ∥，AB AE =，45C ABE ∠=∠=︒，150AD =米，赵叔叔计划在BCE 区域内种植某种果树，并沿CE 修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出CE 的长度．理由：由作法得：OC OD OE ==，∴,ODE OED OCE OEC ∠=∠∠=∠，∴ODE OCE OED OEC DEC ∠+∠=∠+∠=∠，∵180ODE OCE DEC ∠+∠+∠=︒，∴90DEC ∠=︒，∴DE CE ⊥；（2）AD CE =，理由如下：如图，连接BD ，∵BC CD =，60C ∠=︒，∴BCD △是等边三角形，∴BC BD =，60CBD ∠=︒，∵60ABE ∠=︒，∴60ABE CBD ∠=∠=︒，∴ABD CBE ∠=∠，∵AD BC ∥，∴60ADB CBD C ∠=∠=︒=∠，在ABD △和EBC 中，∵ABD CBE ∠=∠，BC BD =，ADB C ∠=∠，∴()ASA ABD EBC ≌，∵AD BC ∥，45C ∠=︒，∴45ADF C ∠=∠=︒，∴ADF △是等腰直角三角形，∴150AF AD ==米，∵AB AE =，∴45AEB ABE ∠=∠=︒，24．已知直线():0l y kx b k =+>经过点()1,2P -．(1)用含有k 的式子表示b ；(2)若直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，AOB 面积为S ，求S 的取值范围；(3)过点P 的抛物线()2y x k n =-+与y 轴交点为E ，记抛物线的顶点为C ，该抛物线是否存在点F 使四边形BPEF 为平行四边形？若存在，求此时顶点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2b k =+25．如图，在四边形ABCD 中，点N ，M 分别在边BC ，CD 上．连接AM ，AN ，MN ，45MAN ∠=︒．(1)【实践探究】如图①，四边形ABCD 是正方形．（ⅰ）若6CN =，10MN =，求CMN ∠的余弦值；（ⅱ）若1an 3t BAN =∠，求证：M 是CD 的中点；(2)【拓展】如图②，四边形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，90C ∠=︒，12CD =，16AD =，12CN =，求DM 的长．∵四边形ABCD是正方形，AB CD AD BAD,∴==∠=∠由旋转的性质得：ABE≌BE DM ABE D,90∴=∠=∠=∵90C ∠=︒，12CD =，16AD =，CN ∴16,12====AD CE AE CD ，∴4==-=EP EN CE CN ，∴16=+==AP AE EP AD ，∴四边形APGD 是正方形，。
2024年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷及答案解析
2024年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列各式中运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1B．a﹣（﹣a+1）＝﹣1C．﹣32+（﹣3）2＝0D．（﹣2a）3＝6a32．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（）（1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a|．A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（）A．0.32×106B．3.2×105C．3.2×109D．32×1085．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A．点数的和为1B．点数的和为6C．点数的和大于12D．点数的和小于136．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形则a的值可以为（）A．2B．3C．D．7．（3分）下列命题中是真命题的是（）A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为60°C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形8．（3分）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（）A．13（1﹣x）2＝12.8B．13（1﹣x2）＝12.8C．12.8（1﹣x2）＝13D．13（1+x）2＝12.8 9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣410．（3分）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a＜x＜b（a、b为常数且a＜b），则称为这个不等式组的“解集中点”．若关于x的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程2x+6＝4x的解，则m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．m＜0C．m＞1D．﹣2＜m＜1二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝．13．（3分）方程的解为．14．（3分）如图，将三角尺直角顶点放在直尺一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3度数＝°．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交边BC于点E，则劣弧的长是（结果保留π）．16．（3分）如图，已知在直角三角形ABO中，点B的坐标为，将△ABO绕点O旋转至△A′B′O的位置，使点A′落在边OB上，点B′落在反比例函数的图象上，则k的值为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解不等式组：．18．（4分）如图，点E、F在线段BC上，AE∥DF，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AB＝DC．19．（6分）如图，在▱ABCD中，∠DCB＝30°．（1）操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）计算：在（1）的条件下，若AD＝4，AB＝6，求梯形EBCD的面积．20．（6分）已知．（1）化简A；（2）若已知x2﹣x﹣1＝0，求A的值．21．（8分）已知一次函数y＝2x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．（1）当点A的坐标为（2，1）时．①求m，k的值；②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象（不用列表），并依据图象，直接写出不等式的解集；（2）若将函数y＝2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，点A，B恰好关于原点对称，求m的值．22．（10分）《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．（1）求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.15万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为2000吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派2名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组3名男生和2名女生中随机抽取2名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．23．（10分）如图，以Rt△ABC的一边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）判断EF是否是⊙O切线，并证明你的结论；（2）连接AE，若，AB＝10，求点C到直线AB的距离．24．（12分）过点B（4，）、C（﹣1，）的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A．（1）求b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是抛物线y＝x2+bx+c上位于直线AB下方的一动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②当∠ABC＝∠FAE时，求点E的坐标．25．（12分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．试判断DG与CF的位置关系，并证明所得的结论；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当时，判断△BFH的形状，并说明理由．2024年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据合并同类项、整式的加减、有理数的混合运算、积的乘方法则分别计算判断即可．【解答】解：A 、3a ﹣2a ＝a ，故此选项不符合题意；B 、a ﹣（﹣a +1）＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，故此选项不符合题意；C 、﹣32+（﹣3）2＝﹣9+9＝0，故此选项符合题意；D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，故此选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了合并同类项、整式的加减、有理数的混合运算、积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．2．【分析】根据中心对称图形概念：一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心和轴对称图形概念：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；逐一判断即可．【解答】接：A 图是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意；B 图是中心对称图形，又是轴对称图形，故选项符合题意；C 图不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；D 图不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握轴对称图形与中心对称图形概念是关键．3．【分析】如图，c ＜﹣2＜﹣1＜b ＜0＜1＜a ，|c |＞|a |＞|b |，由此判断选项是否符合题意．【解答】解：如图，c ＜﹣2＜﹣1＜b ＜0＜1＜a ，|c |＞|a |＞|b |，∴abc ＞0，故（1）符合题意，﹣c ＞a ＞﹣b ，故（2）符合题意，＜，故（3）不符合题意，|c |＞|a |，故（4）符合题意，故选：C ．【点评】本题考查了实数与数轴，关键是从数轴中提取数学信息．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：320000＝3.2×105．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE ＝6﹣4＝2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，∵将线段AB水平向右平得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF 为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．7．【分析】利用正多边形的性质、矩形的判定方法及等边三角形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、正六边形的外角和等于正五边形的外角和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、正六边形的每个内角都是120°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．8．【分析】根据1月份一品牌的新能源车单台的生产成本×（1﹣下降率）2＝3月份的生产成本为12.8万元，进而列出方程即可．【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程：13（1﹣x）2＝12.8．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确掌握下降率基本公式模型是解题关键．9．【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．10．【分析】先求出不等式组的解集、方程的解和方程2x+6＝4x的解，再根据关于x的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程2x+6＝4x的解，即可得到m的取值范围．【解答】解：由可得：m＜x＜m+4，方程的解为x＝2，方程2x+6＝4x的解为x＝3，∵关于x的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程2x+6＝4x的解，∴2＜＜3，解得0＜m＜1，故选：A．【点评】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）11．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．12．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．13．【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，3×2x＝5x+1，∴x＝1．检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．∴原分式方程的解为x＝1．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．14．【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠4＝∠2＝55°，又∠4＝∠1+∠3，∴∠3＝∠4﹣∠1＝55°﹣30°＝25°，故答案为：25．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．15．【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠OEC，∴AB∥OE，∴∠BDO+∠DOE＝180°，∵AB是切线，∴∠BDO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，∴劣弧的长是＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．16．【分析】根据旋转性质得到OB＝OB′＝2，∠AOB＝∠BOB′＝60°，解直角三角形即可得到点B′坐标，继而得到k值．【解答】解：作B′C⊥x轴，垂足为点C，∵点B的坐标为，∴OB＝＝2，∵tan∠AOB＝，∴∠AOB＝60°，根据旋转性质可得，OB′＝2，∠BOB′＝60°，∴∠B′OC＝60，∴OC＝1，B′C＝，∴B′（1，），∵B′（1，）在反比例函数y＝图象上，∴k＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式是关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x＜2，∴该不等式组的解集为1≤x＜2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．18．【分析】先根据AE∥DF得∠AEF＝∠DFE，从而得∠AEB＝∠DFC，再根据AAS即可得证．【解答】证明：∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFE，∴180°﹣∠AEF＝180°﹣∠DFE，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝DC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．19．【分析】（1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可．（2）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝6，∠A＝∠DCB＝30°，在Rt△ADE中，可得DE＝＝2，AE＝AD•cos30°＝，则BE＝6﹣，利用梯形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，DE即为所求．（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝6，∠A＝∠DCB＝30°．在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝＝2，AE＝AD•cos30°＝＝，∴BE＝6﹣，∴梯形EBCD的面积为＝＝．【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的性质、梯形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；（2）根据等式的性质把x2﹣x﹣1＝0化为x2＝x+1，代入计算即可．【解答】解：（1）A＝（﹣）÷＝•＝•＝；（2）∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，则原式＝1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．21．【分析】（1）①将A（2，1）坐标分别代入两个函数解析式求出m、k即可；②画出图象，求出交点坐标，根据图像直接写出不等式的解集即可；（2）根据直线平移法则和直线上两点AB关于原点对称，可得平移前的解析式为y＝2x+4，即可得到m 值．【解答】解：（1）①∵一次函数y＝2x+m的图象与反比例函数的图象交于A（2，1），∴1＝2×2+m，1＝，∴m＝﹣3，k＝2．②一次函数解析式为y＝2x﹣3，反比例函数解析式为y＝，联立方程组，解得，，∴A（2，1），B（﹣，﹣4）．由图象可知不等式的解集为：x或0＜x＜2．（2）∵平移后的点A，B恰好关于原点对称，∴平移后的直线AB过原点，即平移后直线解析式为y＝2x，∴平移前直线AB解析式为：y＝2x+4，∴m＝4．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．【分析】（1）用360°乘以其所对应百分比即可；（2）利用样本估计总体思想求解即可；（3）列表可知，共有20种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）360°×20%＝72°，答：图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数为72°；（2）2000×20%×0.15＝60（万元），答：估计该月可回收物可创造的经济总价值是60万元；（3）列表如下：男男男女女男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有12种，∴被抽到的两名学生恰好是一男一女的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据角平分线的定义，圆周角定理以及垂径定理得出OE⊥AC，再根据平行线的性质得到EF⊥OE，由切线的判定方法即可得出结论；（2）根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出EF，OF，再由相似三角形的性质和勾股定理求出AC、BC，由三角形的面积公式进行计算即可．【解答】（1）证明：EF是⊙O切线，理由如下：如图，连接OE，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∴＝，∴OE⊥AC，∵EF∥AC，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，在Rt△AEB中，AB＝10，AE＝2，∴BE＝＝4，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵∠OEF＝90°，即∠AEF+∠AEO＝90°，∴∠AEF＝∠ABE，∵∠F＝∠F，∴△FAE∽△FEB，∴＝＝＝＝，设EF＝x，则BF＝2x，OF＝2x﹣5，在Rt△OEF中，EF＝x，OE＝5，OF＝2x﹣5，∵OE2+EF2＝OF2，即25+x2＝（2x﹣5）2，解得x＝或x＝0（舍去），即EF＝，OF＝2x﹣5＝，∵EF∥AC，∴∠F＝∠BAC，∵∠OEF＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△FOE，∴＝＝，在Rt△ABC中，AB＝10，＝，∴AC＝8，BC＝6，∴点C到AB的距离为＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是正确解答的关键．24．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；（2）①由EF＝EH，即可求解；②由（2）知，∠ABC＝45°，得到AE⊥AB，则AE的表达式为：y＝﹣x﹣，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，即b＝﹣，c＝﹣；（2）①由抛物线的表达式知，点A（0，﹣），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣，则EF＝EH，设点H（x，x﹣），则点E（x，x2﹣x﹣），则EH＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣2）2+2，∵﹣＜0，故EH有最大值，当x＝2时，EH的最大值为：2，则EF的最大值为：2；②过点F作FN∥CB交抛物线于点N，则∠ABC＝∠BFN，∵∠ABC＝∠FAE，则∠EFN＝∠ABC，而直线AB的表达式为：y＝x﹣，则AE的表达式为：y＝﹣x﹣，联立直线AE的表达式和抛物线的表达式得：﹣x﹣＝x2﹣x﹣，解得：x＝﹣2（舍去）或2，则点E的坐标为：（2，﹣2）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25．【分析】（1）由折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；（2）连接AC，理由正方形的性质得到AC＝CD，∠ACD＝45°，AB＝BC，利用（1）的结论计算得到∠AFC＝135°，则△CFG为等腰直角三角形，再利用相似三角形的判定与性质得到∠AFC＝∠DGC ＝135°，则∠DGA＝45°，利用内错角相等，两直线平行的性质解答即可得出结论；（3）过点H作HK⊥BF于点K，利用旋转的性质得到∠ABE＝∠CBH＝α，BH＝BE，AE＝CH，AB＝BC，利用直角三角形的边角关系定理得到＝，设AE＝CH＝a，则BE＝BH＝a，利用勾股定理得到BF＝AB＝2a；再利用直角三角形的边角关系定理求得BK＝a，则KH为BF的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质解答即可得出结论．【解答】解：（1）如图，由题意得：BA＝BF，∠FBE＝∠ABE＝α，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BF＝BC，∴∠BCF＝∠BFC，∠FBC＝90°﹣2α，∴∠BCF＝∠BFC＝＝45°+α；（2）DG与CF的位置关系为：DG∥CF．理由：连接AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝45°，AB＝BC，由（1）知：∠BFC＝45°+α，∵点A关于直线BE的对称点为点F，∴BE⊥AF，∠ABE＝∠FBE＝α，∴∠BFA＝90°﹣α，∴∠AFC＝∠BFA+∠BEC＝45°+α+90°﹣α＝135°，∴∠CFG＝45°，∵CG⊥AF，∴△CFG为等腰直角三角形，∴∠FCG＝45°，FC＝CG，∴，∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠FCA＝∠DCG，∴△AFC∽△DGC，∴∠AFC＝∠DGC＝135°，∵∠FGC＝90°，∴∠DGA＝45°，∴∠DGA＝∠CFG＝45°，∴DG∥CF．（3）△BFH的形状为等腰三角形，理由：过点H作HK⊥BF于点K，如图，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，∴△BAE≌△BCH，∴∠ABE＝∠CBH＝α，BH＝BE，AE＝CH，AB＝BC，∴∠FBC＝90°﹣2α．∵，∴＝，设AE＝CH＝a，则BE＝BH＝a，∴AB＝＝2a．∴BF＝AB＝2a．∴∠FBH＝∠FBC+∠CBH＝90°﹣α．∵HK⊥BF，∴∠KHB＝90°﹣∠FBH＝α，∴sin∠KHB＝，∴，∴，∴BK＝a，∴BK＝BF，∴BK＝BF，∴KH为BF的垂直平分线，∴HB＝HF，∴△BFH为等腰三角形．【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，连接正方形的对角线和作出三角形的高线是解决此类问题常添加的辅助线。
2024届广州市荔湾区中考一模数学试卷(含答案)
2024届广州市荔湾区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，几何体由5个相同的小正方体搭成．它的主视图是（ ）2．下列计算结果正确的是（ ） A ．()336a a =B ．632a a a ÷=C ．()243ab ab =D ．()()22422b a a b a b =−−+3．如图，直线m n ∥，ABC △是直角三角形，90B ∠=︒，点C 在直线n 上．若150∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．60° B ．50°C ．45°D ．40°4．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）A ．1B ．23C ．13D ．195．不等式组31220x x −≤⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示．这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A ．1.65，1.60B ．1.65，1.70C ．1.70，1.65D ．1.65，1.657．如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=>的图象交于点()1,2A ，()2,1B −−，则关于x 的不等式kax b x+>的解集是（ ）A ．2x <−或1x >B ．2x <−或01x <<C ．20x −<<或1x >D ．10x −<<或2x >8．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．60045050x x=+ B ．60045050x x=− C ．60045050x x =+ D ．60045050x x =−9．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，58B ∠=︒，40ACD ∠=︒．若O 的半径为5，则DC 的长为（ ）A ．13π3B ．10π9 C ．π D ．1π210．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF CE =，AE 平分CAD ∠，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN AC ⊥，垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM PN +的最小值为2CF GE AE =⋅；④ADM S =△中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达十亿三千万人．将1030000000用科学记数法表示为______．12．因式分解：29x y y −=______．13．若关于x 的方程240x mx −+=有两个相等的实数根，则m =______．14．如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得30ACB ∠=︒，D 点测得60ADB ∠=︒，又60m CD =，则河宽AB 为______m ．15．如图，在矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，连接P A ，将P A 绕点P 顺时针旋转90°得到PA '，连接CA '．若9AD =，5AB =，CA '=BP =______．16．如图，ABC △为等边三角形，点D 为ABC △外的一点，60ADC ∠=︒，8AD =，BD =，则BCD △的面积为______．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分4分） 解方程组：21323x y x y −=⎧⎨+=⎩．18．（本题满分4分）如图，点E ，C 在线段BF 上，BE FC =，A D ∠=∠，ACB DEF ∠=，求证：ABC DFE △≌△．19．（本题满分6分）先化简，再求值：211122x x x −⎛⎫−÷⎪++⎝⎭，其中sin30x =︒．20．（本题满分6分）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）（3048x ≤<）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：（1）试求出y 关于x 的函数表达式；（2）当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格． 21．（本题满分8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A （优秀），B （良好），C （一般），D （不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m =______；（2）将条形统计图补充完整．．．．，在扇形统计图中，求C 等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 22．（本题满分10分）如图，已知四边形ABCD 是矩形．延长BA 至E 使AE AD =．连接CE 分别交BD ，AD 于点G ，F ，且CE DB ⊥．（1）过点C 作CM EC ⊥，交AB 的延长线于点M ．求证：．四边形DBMC 是平行四边形；（2）连结AG ，求证：EG DG −=． 23．（本题满分10分）如图，已知()0,4A ，()3,0B −，()2,0C ．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B 关于直线AC 的对称点D ； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若反比例函数ky x=的图象过点D ，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，E 是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当ACE △的面积取最小值时，求点E 的坐标． 24．（本题满分12分）抛物线24y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点()3,0B ，对称轴为直线1x =，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式；（2）作直线BC ，点P 是抛物线上一动点，作直线PC ，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标； （3）点E 为线段OC 上一动点，当点E 坐标为何值时，35DE CE +有最小值，并求出最小值． 25．（本题满分12分）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点P 是斜边AC 上一个动点，以BP 为直径作O ，交BC 于点D ，与AC 的另一个交点为E ，连接DE ，BE ．（1）当DP EP =时，求证：AB AP =；（2）当3AB =，4BC =时，①是否存在点P ，使得BDE △是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP 的长；若不存在，请说明理由；②连接DP ，点H 在DP 的延长线上，若点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，求CP 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，满分30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. A2. D3. D4. B5. A6. D7. C8. A9. C 10. B二、填空题（本大题共6 小题，每小题 3 分，满分18 分.）11. 1.03x109 12. y(x+3)(x-3) 13. 414. 30 15. 2 16.三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分4分）18．（本题满分4分）略19. （本题满分6分）-220.（本题满分6分）（1）y=-10x+600 （2）40元21.（本题满分8分）（1）50 7 （2）108º（322．（本题满分10分）（1）略（2）略23. （本题满分10分）（1）提示：ABCD菱形（2）y=（3）E(24. （本题满分12分）（1） y=-2（2）P1(2,4) P2) （3）) 25. （本题满分12分）（1）证明：∵=∴∠DBP=∠EBP∵∠ABC=∠BEP ∴∠ABP=∠BPE ∴AB=BP （2）①CP=2或或②<CP。
2024年广东省广州市铁一中学初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市铁一中学中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180 后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键，根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；B中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A．2．鲁班锁鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据主视图是从正面看的，结合选项图形，即可作答．【详解】解：依题意，鲁班锁的主视图是故选：B3．近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm 芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm 0.0000007cm =，则0.0000007用科学记数法表示为（ ）A ．7710-⨯B ．6710-⨯C ．60.710-⨯D ．70.710-⨯4．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB CD ∥的是 （ ）A ．3=4∠∠B ．12∠=∠C ．D DCE∠=∠D ．180D ACD ∠∠+=【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵3=4∠∠，∴BD AC ∥，故A 选项不能判断AB CD ∥，不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD ∥，故B 选项能能判断AB CD ∥，符合题意；∵D DCE ∠=∠，∴BD AC ∥，故C 选项不能判断AB CD ∥，不合题意；∵180D ACD ∠∠+= ，∴BD AC ∥，故D 选项不能判断AB CD ∥，不合题意；故选：B ．5．如图，在扇形AOB 中，130AOB ∠=︒，3OA =，若弦BC AO ∥，则 AC 的长为（ ）A ．512πB ．23πC ．56πD ．43π【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与等边对等角的等腰三角形的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求得C AOC ∠=∠，50OBC ∠=︒，再由等腰三角形的性质50C OBC ==︒∠∠，即可求解．【详解】解：连接OC ，如图，∵BC AO ∥，∴180AOB OBC ∠+∠=︒，C AOC ∠=∠，∵130AOB ∠=︒，∴50OBC ∠=︒，∵OB OC =，6．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg ）分别为1210,,,x x x ⋯，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）A ．这组数据的平均数B ．这组数据的方差C ．这组数据的众数D ．这组数据的中位数【答案】B 【分析】根据题意，选择方差即可求解．【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，故选：B ．【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．7．下面计算中正确的是（ ）A ．23325x x x +=B =C =D ．()233a b ab b÷=-8．如图，O 是ABC 的外接圆，且,36AB AC BAC =∠=︒，在弧AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接,BD AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）A ．60°B ．62°C ．72°D ．73°则∠BAD =∠BCD ，∠ABD =∠ACD 9．如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=．已知y 与x 之间的函数图象如图②所示，点(,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，=，∴NA NC∴AN MN NC MN+=+，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．10．如图是由全等的含60︒角的小菱形组成的网格，每个小形的顶点叫做格点，其中点A ,B ,C 在格点上，则tan ACB ∠的值为（ ）A ．12B C D 由菱形的性质可得，BE ⊥设菱形的边长为a ，则AB ∴sin 2BE AB A a =⋅=，1二、填空题11．因式分解：2x xy -=.【答案】()x x y -【分析】根据观察可知公因式是x ，因此提出x 即可得出答案．【详解】解：x 2－xy = x (x －y ).故答案：()x x y -【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.12．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l 为 ．13．已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k = ．【答案】5-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出12123,x x x x k +==，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，∴12123,x x x x k+==∵1212221x x x x ++=，∴61k +=，解得：5k =-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线，E 为AC 的中点．若8AC =，5CD =，则DE = ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y x x=>的图象与半径为10的O 交于,A B 两点，若60AOB ∠=︒，则k 的值是 ．16．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =，AC =，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，则3AD DC +的最小值为 ．∵90BAC ∠=︒，2AB =，42AC =，∴226BC AB AC =+=，∴21sin 63AB C BC ===，∵90F FAC C ∠=︒-∠=∠，∴4222cos cos AC F C ====，三、解答题17．计算：11(4)2sin605π-⎛⎫---︒+ ⎪⎝⎭．18．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD 垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】见解析【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD 是△ABC的角平分线．【详解】证明：∵AD 垂直平分EF ，∴DE =DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是△ABC 的角平分线．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．19．先化简，再求值： 232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++，其中x 满足220240x x +-=．20．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()()2,1,1,2A B --，()3,3C -．(1)将ABC 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △．(2)请画出ABC 关于y 轴对称的222A B C △．(3)将222A B C △着原点O 顺时针旋转90︒，得到333A B C △，求线段22A C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．（2）如图所示，222A B C △即为所求；（3）将222A B C △着原点O 顺时针旋转90︒，得到设 23A A 所在圆交3OC 于点D ，交2OC 于点E 23OA OA =，23OC OC =，23C E C D ∴=，3290A OA ∠=︒ ，2390C OC ∠=︒，32A OD A OE ∴∠=∠，32A D A E ∴=，S S ∴=，21．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作画树状图可得：由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有故答案为：14．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．22．某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：x（场）31025p（万元）10.61214.2(2)求p与x之间满足的函数关系式；(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？23．如图，AB 为经过圆心O 的一条线段，且与O 交于E 点．(1)过B 在AB 的上方作O 的切线，切点为D ，过A 作AC BD ⊥，垂足为C ，AC 与O 交于F 点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．(2)求证：AD 平分BAC ∠；(3)若3BD =，1tan 2CAD ∠=，求O 的半径．（2）证明：如图，∵BC 是O 的切线，∴OD BC ⊥，∵AC BD ⊥，∴OD AC ∥，∴ODA CAD ∠=∠，∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠，∴OAD CAD ∠=∠，∴AD 平分BAC∠（3）解：连接DE ，∵AE 是O 直径，∴90ADE ∠=︒，∴90EDO ODA ∠+∠=︒，∵BD 是O 切线，∴OD BD ⊥，24．已知抛物线2()y ax a m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1)当(0,3)C -且 13a m =- ．①求抛物线的解析式．②若0≤<k x ，且1k <-，y 的最大值和最小值分别为p ，q ，且1p q +=，求k 的值．③若该抛物线经过1(34,)M n y +，2(21,)N n y -两点，且12y y >，求n 的取值范围．(2)当13AB =时，函数2()y ax a m x m =-++有最小值1m -，直接写出a 的值．25．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt ABC △中，90,C AC BC ∠=︒=，D 是AB 边上一点，且1AD BD n=（n 为正整数），E 是AC 边上的动点，过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1，当1n =时，兴趣小组探究得出结论：AE BF AB +=，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当2n =，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接EF ，设EF 的中点为M ．若AB =E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．当1n =时，1AD BD=，即AD BD =当2n =时，12AD DB =，即2AD = G 是DB 的中点，AD DG ∴=，23AG AB =， HG BC ∥，同①，可得22AE JG AG +=，1AD BD n =，AD DG =，1DG BD n∴=，21AG AB n =+，1JG DG同（1）中原理，可证明DHE △≌△DF为y轴，DB为如图，以点D为原点，1段，交AB于点G，过点2F作AB的垂线段，交。
2024年广东省广州市华南师范大学附属中学初三一模数学试题含答案解析
广东省广州市华南师范大学附属中学2023~2024学年中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2023-的倒数是（ ）A ．12023B ．12023-C ．2023D ．2023-2．奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米0.000000001=米）．“140纳米”用科学记数法表示为（ ）A ．111.410-⨯米B ．100.1410-⨯米C ．71.410-⨯米D ．60.1410-⨯米3．下列运算正确的是（ ）A ．()326a a -=-B ．336a a a +=C ．3=D ．62322a a a ÷=【答案】A4．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果130BOD ∠=︒，则BAD ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．115︒D ．125︒5．在反比例函数y ＝1kx-的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用反比例函数的增减性，y 随x 的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】∵反比例函数y=1−kx 图象的每一条曲线上，y 随x 的增大而减小，∴1−k>0，解得k<1.故选A.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k 的值.6．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．7．在ABC 中，90C ∠=︒，15AB =，3sin 5B =，则BC 等于（ ）A ．25B ．12C ．9D ．16【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为（ ）A ．()103530x x +-=B ．()310530x x +-=C ．305103x x -+=D ．305310x x-+=【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x 斗，则醑酒()5x -斗，根据题意正确列方程即可．【详解】解：设清酒x 斗，则醑酒()5x -斗，由题意可得：()103530x x +-=，故选：A ．9．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的角平分线交AD 于点E ，∠BCD 的角平分线交AD 于点F ，若AB =7，BC =10，则EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．5【答案】A【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC =∠FCB ，又因为CF 平分∠BCD ，所以∠DCF =∠FCB ，则∠DFC =∠DCF ，则DF =DC ，同理可证AE =AB ，那么EF 就可表示为AE +FD -BC =2AB -BC ，继而可得出答案．【详解】解：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DFC =∠FCB ，又CF 平分∠BCD ，∴∠DCF =∠FCB ，∴∠DFC =∠DCF ，∴DF =DC ，同理可证：AE =AB ，∵AB =7，AD =BC =10，∴EF =AE +FD -AD =2AB -BC =4．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．10．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，x 过点A 作x 轴的垂线，与函数(0)k y x x=->的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，3BC BD =，则点B 的横坐标为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B【分析】首先设出A 的坐标，根据题意得出C 的坐标，表示出CE 的长度，过点B 作BF 垂直x 轴，证明CED BFD V :V ，由题目条件3BC BD =得出相似比，代换出点B 的纵坐标，二、填空题11．计算：13tan30︒= ．12．分式方程123x x =+的解为 ．13．已知点2()1,M -和点N 都在抛物线22y x x c =-+上，如果MN x ∥轴，那么点N 的坐标为 ．【答案】(3,2)【分析】将2()1,M -代入抛物线22y x x c =-+中，可得1c =-，即抛物线解析式为：221y x x =--，根据MN x ∥轴，可得2N M y y ==，令2y =，解方程即可求解．【详解】将2()1,M -代入抛物线22y x x c =-+中，可得：()()22121c =--⨯-+，解得：1c =-，即抛物线解析式为：221y x x =--，∵MN x ∥轴，2()1,M -，∴2N M y y ==，当2y =时，2212x x --=，解得：3x =，或者=1x -，即(3,2)M ，故答案为：(3,2)．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据MN x ∥轴，得出2N M y y ==，是解答本题的关键．14．如图，直线AB 切O 于点A ，BO 交O 于点C ，点D 是 CmA 上异于点C 、A 的一点，若32ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数是 ．周角定理是解题的关键．15．若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第 象限．16．如图，在Rt ABC △中，斜边10AB =，4sin 5A =，点P 为边AB 上一动点（不与A ，B 重合），PQ 平分CPB ∠交边BC 于点Q ，QM AB ⊥于M ，⊥QN CP 于N ．（1）当AP CP =时，线段CQ 的长是 ．（2）当CP AB ⊥时，线段CQ 的长是．三、解答题17．解不等式组：3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨-<⎪．18．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE CF =．求证：AF CE =．【答案】见解析【分析】先得到AE ∥FC ，而AE =CF ，所以AFCE 是平行四边形，即可证明．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥CF ，又∵AE =CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AF =CE ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．19．已知：22222m n mn n P m m m mn ⎛⎫-+=÷+ ⎪-⎝⎭(1)化简P ；(2)若函数3m n y x +=为反比例函数，求P 的值．题关键．20．实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中C类女生有______名，D类男生有______名；将上面的条形统计图补充完整；（2）计算扇形统计图中D所占的圆心角是______；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．故答案为：2，1；（2）扇形统计图中D 所占的圆心角是360°×220=36°，故答案为：36°；（3）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、树状图分析求解概率，结合条形统计图与扇形统计图均已知的量求出总人数是解题关键．21．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数y =mx的图象相交于()2,3A ，()3,B n -两点．过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式kx b +>mx的解集；(3)一次函数y kx b =+的图像上是否存在一点P ，使得求2BCP ABC S S =△△．若存在，求出P 点坐标，若不存在说明理由．把0y =代入1y x =+可得：x =-即()1,0D -；()3,2B -- ，BC x ⊥轴，垂足为∴()3,0C -∴2CD =，2BC =,22．如图是一个山坡的纵向剖面图，坡面DE 的延长线交地面AC 于点B ，点E 恰好在BD 的中点处，60CBD ∠=︒，坡面AE 的坡角为45°，山坡顶点D 与水平线AC 的距离，即CD的长为．(1)求BE 的长度；(2)求AB 的长度．（结果保留根号）在FEB 中，500BE =，∴cos BF BE EBF =⨯∠=在Rt EFA △中，tan A ∠=23．如图所示，在ABC 中，AB AC ==30B ∠=︒，点O 为边BC 上一点，以O 为圆心的圆经过点A ，B ．(1)求作圆O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：AC 是O 的切线；(3)若点P 为圆O 上一点，且弧PA =弧PB ，连接PC ，求线段PC 的长．（2）证明：连接OA ，OA OB = ，30OAB B ∴∠=∠=︒，AB AC = ，'⊥于点E，作P E BC'⊥，OP AB根据垂径定理，得AF BF==1AB=3，224．已知点()1,0A 是抛物线2y ax bx m =++（,,a b m 为常数，0,0a m ≠<）与x 轴的一个交点．（1）当1,3a m ==-时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0M m ，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =①当点E 落在抛物线上（不与点C 重合），且AE EF =时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN25．如图①，在四边形ABCD 中，AB BC AD ==，90ABC ∠=︒，60BAD ∠=︒．(1)求ACD ∠的度数；(2)如图②，F 为线段CD 的中点，连接BF ，求证：2BF CD =；(3)如图③，若125OB AB ==，线段BC 上有一动点M ，连接OM ，将OBM 沿OM 所在直线翻折至OPM 的位置，P 为B 的对应点，连接PA ，PC ，请直接写出4PC PA +的最小值．ABD ∴ 是等边三角形，60ABD ∴∠=︒，BD AB =，AB BC = ，90ABC ∠=︒，906030DBC ∴∠=︒-︒=︒，ACB ∠=(1180302BCD BDC ∴∠=∠=⨯︒-︒7545ACD BCD BCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=（2）证明：如图2中，连接BD ，延长 BF CD ∴⊥，ED EC CD ∴==，EDC ∴ 是等边三角形，60ADB CDE ∴∠=∠=︒，125OB AB == ，10AB BC ∴==，8OA =，2OB OP == ，∴点P 在 BP上运动，设CK 交圆弧于点2OP = ，12OK =，8AO =，。
2024广东省广州市增城区中考一模数学试题含答案解析
秘密★启用前2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）九年级数学（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．5．考试时不可使用计算器．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在实数1−12，3.14中，无理数是（ ） A. 1− B.C. 12D. 3.14【答案】B【解析】【分析】根据无理数的特征，即可解答．【详解】解：在实数1−12，3.14故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解： A ，B ，C 选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．D 选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D ．3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）A. 80.24410×米B. 62.4410×米C. 72.4410×米D. 624.410×米 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是72.4410×米．故选：C ．4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）． A. 12 B. 14 C. 16 D. 112【答案】B【解析】【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解．【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是14, 故选：B ．5. 下列运算正确的是（ ）．A. 246x x x ⋅=B. 358x x x += C. ()325x x = D. 3=【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以上运算法则进行运算即可求解．【详解】解：A. 246x x x ⋅=，故该选项正确，符合题意；B. 358x x x +≠，故该选项不正确，不符合题意；C. ()326x x =，故该选项不正确，不符合题意；D. −，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．6. 如图，在ABCD Y 中，E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则:AF CF 等于（ ）A. 1︰3B. 2︰3C. 2︰5D. 1︰2【答案】D【解析】 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，证出△AEF ∽△CBF ，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AF ：CF=AE ：BC ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=12AD=12BC ，∴AF ：CF=1：2；故选D ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 7. 已知关于x 的方程()22210x m x m −−+=有实数根，则m 的取值范围是（ ）． A. 14m ≥ B. 14m ≤ C. 14m ≥− D. 14m ≤− 【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得()222140m m ∆=−−≥，解不等式，即可求解．【详解】解：依题意得，()222140m m ∆=−−≥ 即410m −+≥ 解得14m ≤ 故选：B ．8. 如图，在ABC 中，70CAB ∠=°．在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ′′△的位置，使得CC AB ′∥，则BAB ∠′等于（ ）A. 30B. 35°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】 【分析】旋转中心为点A ，B 与B ′，C 与C ′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BAB CAC ′′∠=∠，AC AC ′=，再利用平行线的性质得70C CA CAB ′∠=∠=°，把问题转化到等腰ACC ′△中，根据内角和定理求CAC ′∠．【详解】解：∵CC AB ′∥，70CAB ∠=°，∴70C CA CAB ′∠=∠=°，又∵C 、C ′为对应点，点A 为旋转中心，∴AC AC ′=，即ACC ′△为等腰三角形，∴180240BAB CAC C CA ′′′∠=∠=°−∠=°．故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．9. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，与过点A 的切线AM 相交于点P ，连接AC ．若O 的半径为5，8AC =，则AP 的长是（ ）．A. 323B. 13C. 403D. 14【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接BC ，勾股定理求得BC ，进而求得3tan 4CAB ∠=，根据切线的性质得出90BAP ∠=°，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出APB CAB ∠=∠，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图，连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=° ∵O 的半径为5，8AC =，则10AB =∴6BC = ∴3tan 4BC CAB AC ∠== ∵AP 是过点A 的切线，则AB AP ⊥∵ AD AD =∴ACD ABP ?∴APB CAB ∠=∠∴tan tan APB CAB ∠=∠，即34AB AP = ∴4104033AP ×== 故选：C ．10. 已知二次函数()210()y a x a a −−≠，当14x −≤≤时，y 的最小值为4−，则a 的值为（ ）． A. 12或4 B. 12−或43− C. 43−或4 D. 12−或4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数()()210y a x a a −−≠的对称轴为：直线1x =，（1）当0a >时，当11x −≤≤时，y 随x 的增大而减小，当14x ≤≤，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取得最小值，∴ ()2114y a a =−−=−，4a ∴=；（2）当0a <时，当11x −≤≤时，y 随x 的增大而增大，当14x ≤≤，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取得最小值，∴ ()2414y a a =−−=−，12a ∴=−．故选：D ．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 分解因式：22a a −=_______．【答案】()2a a −【解析】【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式a 即可求解．【详解】解：22a a −=()2a a −，故答案为：()2a a −．12. 已知点11()A x y ，，22()B x y ，在直线35y x =−+上，且12x x >，则1y _______2y ·（填“<”“>”或“=”）【答案】<【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当0k <时，y 随x 的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵30−<，∴y 随x 的增大而减小，∵12x x >，∴12y y <．故答案为：<．13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x ，则可列方程为______．【答案】()225136x +=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司营业额的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设该公司营业额的月平均增长率为x ，根据题意得，()225136x +=，故答案为：()225136x +=．14. 抛物线()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为()3,0−，对称轴为=1x −，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为是______．【答案】()1,0【解析】【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．【详解】解：抛物线()20y ax bx c a ++≠其与x 轴的一个交点坐标为()3,0−，对称轴为=1x −， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ()1,0，故答案为：()1,0．【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x 轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．15. 如图，数轴上点A 、B 表示的数分别为m 、n ，化简：m n −−=_______．【答案】n【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得0m n <<，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：根据数轴可得0m n <<，∴m =()n m m n m m n −−−=−+=， 故答案为：n ．16. 如图，在平行四边形ABCD 中，4cm AB =，8cm AD =，60ABC ∠=°，点P 为线段AD 的中点．动点E 从点A 开始沿边AD 以1cm/s 的速度运动至点P ，动点F 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度运动至点B ．点E 、F 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C 关于直线EF 的对称点C ′，在点E 从点A 运动到点P 的过程中，点C ′的运动路径长为______cm ．【解析】【分析】连接,AC BP ，延长,BA CP 交于点T ，设,AC EF 交于点O ，证明AEO CFO ∽得出2233CO AC ==×E 点运动到点P 时，点F 运动到点B ，此时EF 与BP 重合，则C ′与点T 重合，则C ′的运动轨迹为 CBT，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接,AC BP ，延长,BA CP 交于点T ，设,AC EF 交于点O∵在平行四边形ABCD 中，4cm AB =，8cm AD =，60ABC ∠=°，点P 为线段AD 中点． ∴4AB AP ==，4DPDC ==，60D ABC ∠=∠=° ∴4PC PA PD ===∴=90ACD ∠°，∵AB CD ∥，∴AC AB ⊥，∴sin 608AC BC ⋅==°，∵60PCD ∠=°∴60PCB ABC ∠=°=∠∴TBC 是等边三角形，∵动点E 从点A 开始沿边AD 以1cm/s 的速度运动至点P ，动点F 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度运动至点B ∴12AE CF = ∵AE CF ∥∴AEO CFO ∽ ∴12AOAE CO CF ==∴2233CO AC ==×∵AB AP =，120BAD ∠=°∴30ABP ∠=°∴30TBP CBP ∠=∠=°∴BP TC ⊥，BP 过点O ，∴点O 是TBC 的外心，的∴2120TOC TBC ∠=∠=°，∵点C 关于直线EF 的对称点C ′，∴OC OC ′== ∴当点E 点运动到点P 时，点F 运动到点B ，此时EF 与BP 重合，则C ′与点T 重合，则C ′的运动轨迹为 CBT∴点C ′的运动路径长为240ππ180． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 524x y x y +=−= ． 【答案】32x y = =． 【解析】【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解．【详解】解：524x y x y += −=上下两方程相加，得39x =，解得3x =．把3x =代入5x y +=中，得2y =． 32x y = =． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一次方程的形式．18. 如图，已知B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出BAD CAD ∠=∠，根据AAS 即可证出答案．【详解】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中B C BAD CAD AD AD ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD ACD ∴ ≌．19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：使用次数0 2 3 4 6 人数2 4 12 1（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．【答案】（1）2，2，2.5（2）3000【解析】【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；（2）用总人数乘以游客1天内使用共享电动车的次数的平均数，即可．【小问1详解】解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是2222+=，众数是2，平均数是()10224314261 2.510××+×+×+×+×= 故答案为：2，2，2.5．【小问2详解】 估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为1200 2.53000×=（次）20. 已知()()22=−−+−T a b a a b b ． （1）化简T ；（2）若a ，b 是方程260x x +−=的两个根，求T 的值．【答案】（1）3ab −（2）18【解析】【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出ab 的值，代入计算即可求出值．【小问1详解】解：()()22=−−+−T a b a a b b 22222a ab b a ab b =−+−−−3ab =−；【小问2详解】解：∵a ，b 是方程260x x +−=的两个根，∴6ab =−∴()3618T =−×−=21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元（2）购买吊兰的数量最多为17盆【解析】【分析】（1）设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为()5+x 元，然后可得方程为2003005x x =+，进而求解即可；（2）设购买吊兰的数量为m 盆，则购买绿萝的数量为2m 盆，然后可列不等式进行求解．【小问1详解】解：设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为()5+x 元，由题意得： 2003005x x =+， 解得：10x =，经检验：当10x =时，则()50x x +≠，∴10x =是原方程的解，∴515x +=，答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；【小问2详解】解：设购买吊兰数量为m 盆，则购买绿萝的数量为2m 盆，由（1）及题意得：10215600m m ×+≤， 解得：1207m ≤， ∵m 是整数，∴m 取最大值为17；答：购买吊兰的数量最多为17盆．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．22. 如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且4OA =，2OB =，反比例函数()0k y k x=≠，在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．的（1）求点C 的坐标和反比例函数的解析式：（2）若点N 为直线OD 上的一动点（不与点O 重合），在y 轴上是否存在点M ，使以点A 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为()6,2；12y x= （2）存在，()0,3M −或()0,11M −或()0,11M【解析】【分析】（1）过点C 作CE x ⊥轴于点E ，证明AOB BEC ≌，根据全等三角形的性质分别求出BE 、CE ，求出点C 的坐标，进而求出反比例函数解析式；（2）过点D 作DF y ⊥轴于点F ，同（1）得出点D 的坐标，进而求得OD 的解析式，设3,2N n n，()0,M m ，又()0,4A ，()6,2C ，根据,,AC AM AN 分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，则90BEC ∠=°，四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=°， 90OBA EBC ∴∠+∠=°，90OBA OAB ∠+∠=° ，OAB EBC ∴∠=∠，在AOB 和BEC 中，OAB EBC ∠=∠，AOB BEC ∠=∠，AB BC =，()AAS AOB BEC ∴ ≌，4BE OA ∴==，2CE OB ==，6OE OB BE ∴=+=，∴点C 的坐标为()6,2，将点C 的坐标为()6,2代入k y x =， 得12k =， ∴反比例函数的关系式为12y x=； 【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，同（1）可得ADF BAO ≌，∴4,2DFOA AF OB ==== ∴()4,6D设直线OD 的解析式为y kx =，则64k = 解得：32k =， ∵点N 为直线OD 上的一动点（不与点O 重合），点M 在y 轴 设3,2N n n，()0,M m ，又()0,4A ，()6,2C ①当AC 为对角线时，06022342222n n m ++ = + += 解得：3m =−， 则()0,3M −当AM 对角线时，602324222n n m + = + += 解得：11m =−， 则()0,11M −为当AN 为对角线时，06022342222n n m ++ = + += 解得：11m =，则()0,11M综上所述：以点A 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，()0,3M −或()0,11M −或()0,11M ．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．23. 如图，在ABC 中，C ∠是钝角．（1）尺规作图：在AB 上取一点O ，以O 为圆心，作出O ，使其过A 、C 两点，交AB 于点D ，连接CD ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若BCD A ∠=∠，1tan 3A =，9BC =． ①求证：BC 是O 的切线；②求弦AC 的长．【答案】（1）见解析 （2【解析】【分析】（1）作出线段AC 的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；（2）①连接OC ，得出OAC OCA ∠=∠，根据90ACO OCD ∠+∠=°，结合已知条件得出90BCD OCD ∠+∠=°，即可得证；②先证明BCD BAC ∽△△，得到13BC BD CD BA BC AC ===，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：点D 如图所示：【小问2详解】①证明：如图所示，连接OC ，∵AD 是直径，∴=90ACD ∠°，∴90ACO OCD ∠+∠=°，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵BCD A ∠=∠，∴BCD ACO ∠=∠，∴90BCD OCD ∠+∠=°，即90OCB ∠=°， 又OC 是半径，∴BC 是O 的切线；②如图，∵BCD A ∠=∠，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴BCBD CD BA BC AC==， ∵AD 是直径，∴=90ACD ∠° ∵tan 31CD A AC ∠==， ∴13BC BD CD BA BC AC === ∵9BC =，∴273BA BD ==，，∴24AD AB BD =−=，∵=90ACD ∠° ∴2221243AC AC +=，∴AC = 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题关键是正确作图并得出相似．24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2221y x mx m =+−+ （m 是常数），顶点为M ．（1）用含m 的式子表示抛物线的对称轴；（2）已知点()222−−，A m ，当点A 不在y 轴上时，点A 关于x 轴的对称点为点B ，分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为D 、C ，连接AB ，得到矩形ABCD ．①当1m >−时，点M 到边AB 所在直线的距离等于点M 到x 轴的距离，求m 的值；②当1m <−时，抛物线的一部分经过矩形ABCD 的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．【答案】（1）x m =−（2）①m =或；m =；②72m ≤−或322m −≤<− 【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用；（1）化顶点式，求解即可；（2）①分两种情况，顶点M 在x 上方或下方时，根据题意，列出关于m 的方程，求解即可； 为解：2②分为两种情况，当点A 分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可．【小问1详解】221y x mx m =+−+()2221x m m m =+−−+∴抛物线的对称轴为直线x m =−，【小问2详解】解：①2221y x mx m =+−+ ()2221x m m m =+−−+∴()2,21M m m m −−−+M 到x 轴的距离为221m m −−+ 点M 到边AB 所在直线的距离()222d m m m =−−−−=+ ∵1m >−∴20m +>，即2d m =+当2210m m −−+>时，2212m m m −−+=+解得m =或m =（舍去） 当2210m m −−+<时，2212m m m +−=+解得m =或m =（舍去）则m =m = ②由题意可得：()22,2B m −−−当22x m =−−时，()()2222222125y m m m m m =−−+−−−+=+ 当点A 分别在对称轴的左侧时，如下图：此时需要满足的条件为：()22252m m m −≥−− +< ，解得322m −≤<− 当点A 分别在对称轴的右侧时，如下图：此时需要满足的条件为：()22252m m m −<−− +≤− ，解得72m ≤− 综上：72m ≤−或322m −≤<− 25. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，6AC =，点D 在边BC 的延长线上，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ，连接BE ，P 为BE 的中点．（1）求BC 长；（2）连接AP ，PD ，请猜想AP 与PD 的数量和位置关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若点M 为AC 中点，连接MP ，PC ，求+MP PC 的最小值．【答案】（1）BC =（2）AP PD =，AP PD ⊥，证明见解析 （3）的【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；（2）连接CE ，,AP PD ，先证明,,A C E 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AP PD =，进而证明,,,A B E D 四点共圆，根据圆周角定理，即可得出AP PD ⊥；（3）过点A 作AT BC ⊥于点T ，先证明,,,A T P D 四点共圆，进而得出P 点的轨迹，得出TP AC ∥，作点M 关于TP 的对称点M ′，连接CM ′，当P 点在CM ′上时，PM PC PM PC M C ′′+=+=，此时取的最小值，进而勾股定理，即可求解．【小问1详解】解：∵在等腰直角三角形ABC 中，6AC =，∴BC =，【小问2详解】结论：AP PD =，AP PD ⊥证明：如图所示，连接CE ，,AP PD ，∵将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ，∴,90CD DE CDE =∠=°， ∴CDE 是等腰直角三角形，∴45DCE ∠=°又∵45ACB ∠=°∴,,A C E 三点共线，∵P 为BE 的中点．90BAE BDE ∠==° ∴12PA BE =，12PD PE = ∴PA PD =∵90BAE BDE ∠==°∴,,,A B E D 四点共圆，∵ AD AD =，∴290APD ABC ∠=∠=°，【小问3详解】如图所示，过点A 作AT BC ⊥于点T∴90ATD APD ∠=∠=°∴,,,A T P D 四点共圆，∴ PDPD = ∴45DTP DAP ∠=∠=°，∴点P 在射线TP 上运动，∵45DTP ACB ∠=∠=°∴TP AC ∥作点M 关于TP 的对称点M ′，连接CM ′，当P 点在CM ′上时，PM PC PM PC M C ′′+=+=，此时取的最小值，∵ATC 是等腰直角三角形，M 是AC 的中点，6AC =∴TM AC ⊥，132TM AC ==，132MC AC == ∴6MM ′=在Rt MM C ′ 中，M C ′=即+MP PC 的最小值为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，直角所对的弦是直径，轴对称的性质求线段和的最值问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2024年广东省广州市越秀区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2-的相反数是（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．【详解】解：2-的相反数是2．故选B ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．3．如图，将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，若4AB =，1AB '=，则平移距离为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知AB A B ''=，再由4AB =，1AB '=可得出AA '的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．【详解】解： 将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，4AB =，1AB '=，4AB A B ''∴==，413AA A B AB ''''∴=-=-=，∴平移距离为3．故选：B ．4．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米0.000000001=米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．A ．8310-⨯B ．90.310-⨯C ．9310-⨯D ．10310-⨯【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.3纳米0.30.000000001=⨯米10310-=⨯米．故选：D ．5．下列运算正确的是（ ）A =B ．()a b a b -+=-+C ．()325a a =D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】D【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．关于函数21y x =-+，下列结论成立的是（ ）．A ．函数图象经过点(1,1)B ．y 随x 的增大而增大C ．当0x <时，0y >D ．函数图象不经过第一象限7．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x y z -+的值为（ ）A ．0B ．2C ．12-D ．20-【答案】A【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：“y ”所在面与“3”所在面相对，“z ”所在面与“1-”所在面相对，“x ”所在面与“8”所在面相对，则()361686y z x +=+-=+=，，，解得：3y =，7z =，2x =-，()222370x y z ∴-+=⨯--+=，故选：A ．8．某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）．课外阅读物的数量2345678人数■■97932A ．平均数，方差B ．中位数，方差C ．平均数，众数D ．中位数，众数【答案】D【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：35979325-----=，则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；5972118++=>，第18个数据为7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关；故选：D ．9．如图，点E 为矩形ABCD 边CD 的中点，点F 为边BC 上一点，且FAE EAD ∠=∠，若8BF =，2FC =，则AF 的长为（ ）．A ．10B ．C ．12D ．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明()AAS ADE AGE ≌，得到ED EG =，10AD AG ==，再证明()Rt Rt HL ECF EGF ≌，得到2FG CF ==，即可求出AF 的长．【详解】解：如图，过点E 作EG AF ^于点G ，连接EF ，四边形ABCD 是矩形，8BF =，2FC =，90D C ∴∠=∠=︒，10AD BC BF CF ==+=，在ADE V 和AGE 中，90EAD FAE D AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AAS ADE AGE ∴ ≌，ED EG ∴=，10AD AG ==，点E 为CD 的中点，CE DE EG ∴==，在Rt ECF 和Rt EGF △中，CE EGEF EF =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL ECF EGF ∴ ≌，2FG CF ∴==，10212AF AG FG ∴=+=+=，故选：C10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x…1-0123…y…1m n 1p…若0m p ⋅<，则下列结论：①0a >；②若方程20ax bx c ++=的两个实数根为1x 、2x ，则121x x =+；③30a b c +-<；④n p ⋅的最大值为98．其中正确的结论是（ ）．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④根据抛物线的对称性可得，当0x =和1x =时的函数值相等，m n =∴，0m p ⋅< ，0n p ∴⋅<，④结论错误；即正确的结论是②③故选：B二、填空题11x 的取值范围是 ．【答案】3x ≥【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意知30x -≥，解得：3x ≥，故答案为：3x ≥．12．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 ．【答案】16【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解： 一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，∴布袋中红球的个数大约是400.416⨯=（个)；故答案为：16．13．分式方程121x x =-的解是 ．【答案】x =-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x -1=2x ，解得：x =-1，经检验x =-1是分式方程的解，故答案为：x =-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC ，其中AB AC =，27ABC ∠=︒，40cm BC =，则高AD 为cm ．（参考数据：sin 270.45︒≈，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）15．如图，点E 为菱形ABCD 的边AD 上一点，且3AE =，2DE =，点F 为对角线AC 上一动点，若DEF 的周长最小值为6，则sin BCD ∠= ．16．如图，在ABC 中，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，点D 为边AB 上一动点（点D 与点A 、B 不重合），过点D 作DE AC ⊥，连接CD ．外接圆的直径的最小值是；（1）CDE内切圆的半径的最大值是．（2）CDE（2）令DE a =，CE b =，CD DE AC ⊥ ，90ACB ∠=︒，DE BC ∴∥，ADE ABC ∴∠=∠，AED ∠=∠∵C E AC ¢^，C C AB '⊥，C DB '∠=∴A C '∠=∠，∴2cos cos 5AC C A AB '===，∵425AC BC CC AB ⋅'=⋅=，三、解答题17．解方程：3112x x --=．18．如图，线段AC 与BD 相交于点O ，AB CD ，CD AB =，求证：OC OA =．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得D B ∠=∠，再根据对顶角相等并结合已知条件可证()AAS OCD OAB ≌，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵AB CD ，∴D B ∠=∠，在OCD 和OAB 中，DOC AOB D BDC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS OCD OAB ≌，∴OC OA =．19．已知：2211(1)21a A a a a a -=÷+--+．(1)化简A ；(2)若关于x 的一元二次方程2220x ax a +++=有两个相等的实数根，求A 的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数(0)m y x x=>过点(1,3)C ，且与边AB 交于点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 为边AB 的中点，求直线CD 的解析式．21．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数020x ≤<152040x ≤<254060x ≤<406080x ≤<20(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．由树状图可知，共有12种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为61122=．22．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进A 、B 两种型号的芯片．已知购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元．(1)求购进1片A 型芯片和1片B 型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进A 、B 两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；(2)该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，根据“购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，根据“购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍”列不等式，求出a 的取值范围，令购买芯片所需资金为w ，根据题意得到w 关于a 的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，由题意得：29003950x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：350200x y =⎧⎨=⎩，答：购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；（2）解：设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，由题意得：()410a a ≥-，解得；8a ≥，令购买芯片所需资金为w ，则()350200101502000w a a a =+-=+，1500> ，w ∴随a 的增大而增大，∴当8a =时，w 最小，最小值为150820003200⨯+=万元，102a -=万片，答：该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元23．如图，ABCD 为O 内接四边形，AC 为O 的直径， AB BD =，点E 为 AD 上一点，且 EAEC =．(1)求作点E ，连接ED ，延长ED ，BC 交于点F （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接CE ．①求证：CEF △为等腰三角形；②若5FC =，15BC =，求弦DE 的长．（2）①如图，连BD ，AE∵ EAEC = ，AC 为直径，∴18090452ACE ︒-︒∠==︒，∴45ACE ADE ∠=∠=︒，∴135EDC F DCF ∠=︒=∠+∠∴135F DCF ∠=︒-∠，【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．24．已知抛物线22y x mx n =-++经过点(2,23)m -．(1)用含m 的式子表示n ；(2)当0m <时，设该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D （点D 与点C 不重合），求点D 的坐标；(3)若点()13,E y -，()2,F t y ，()31,G m y -在该抛物线上，且当34t <≤时，总有123y y y <<，求3y 的取值范围．【答案】(1)21n m =-+(2)()0,1D -(3)315y >或310y -≤≤【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；（1）把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，即可求解；（2）先求得,,A B C 的坐标，进而得出AOC 是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出45ABD ACD ∠=∠=︒得出OBD 是等腰直角三角形，即可求解；（3）根据()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，由当34t <≤时，总有123y y y <<，分点F 在,E G 之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，得，4423m n m -++=-，解得：21n m =-+；（2）解：∵21n m =-+，∴2221y x mx m =-+-+，当0y =时，则22210x mx m -+-+=，解得：1x =或21x m =-；又∵点A 在点B 的左侧，∴()21,0A m -，()1,0B ，当0x =时，则12y m =-，即()0,12C m -，∴当0m <时，OA OC =12m =-，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACD ∠=︒，∵ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D ，∴45ABD ACD ∠=∠=︒，即OBD 是等腰直角三角形，∵1OB =，则1OD =，根据圆的对称性可得：()0,1D -；（3）解：()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，∵()22222121y x mx m x m m m =-+-+=--+-+，∴抛物线对称轴为直线x m =，∴点G 的横坐标1m m -<，即点G 在对称轴的左侧，∵当34t <≤时，总有123y y y <<，∴图①不成立，当F 的位置满足图②时，41m <-，解得：5m >，∴()223211y m m m =-=--，则315y >，当F 的位置满足图③时，则13234m m +≤⎧⎨+>⎩，解得：12m <≤，此时310y -≤≤，25．如图，矩形ABCD 中，4AB =，B C =，点E ，F 分别为边AB ，BC 上的点，将线段EF 绕点F 顺时针旋转60︒，得到线段FG ．射线FG 与对角线AC 交于点M ，连接EM ，EG ．(1)求FGE ∠的度数；(2)若2FC BF =，求AM ME EB +-的值；(3)连接CG ，DG ，若=BF ，设CDG 和EFG 的面积分别为1S ，2S ，当点E 在边AB 上运动时，求12S S 的最大值．∵4AB =，43B C =，90ABC ∠=︒∴228AC AB BC =+=，∴1sin 2ACB ∠=，∴30ACB ∠=︒，∴FB FQ =，∵BN MQ =，90FBN FQM ∠==︒，∴(SAS)FQM FBN ≌，∴FM FN BFN QFM ==∠∠,，FMQ FNB =∠∠，又∵120BFQ FCQ FQC ∠=∠+∠=︒，60EFM ∠=︒，60QFM EFB BFQ EFM ︒∴∠+∠=∠-∠=，60EFN NFB EFB QFM EFB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=，又EF EF =，∴(SAS)EFN EFM ≌，∴NEF MEF =∠∠，ENF EMF EM EN ∠∠==，，∴PMF FMQ =∠∠，又90,FPM FQM PF PF ∠=∠=︒=，∴FPM FQM ≌，∴MP MQ BN ==，AM ME BE AM EN BE AM BN AM MQ AQ∴+-=+-=+=+=连接AF ，∵,AF AF FB FQ ==，∴()Rt Rt HL ABF AQF ≌，∴4AQ AB ==，∴4AM ME BE AM EN BE AQ +-=+-==；（3）如图，作FO EG ⊥，连接FO ， BO ，过点O 作OR AE ⊥于R ，过点G 作PQ AD ∥分别交AB 、CD 于P 、Q ，由（1）可得EFG 是等边三角形，∴点O 为EG 的中点，90EOF ∴∠=︒，30EFO ∠=︒，。
2024年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，将△ABC沿BA方向平移到△A′B′C′，若AB＝4，AB′＝1，则平移距离为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米＝0.000000001米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料.0.3纳米用科学记数法可以表示为（）米．A．3×10﹣8B．0.3×10﹣9C．3×10﹣9D．3×10﹣105．（3分）下列运算正确的是（）A．B．﹣a+b＝﹣（a+b）C．（a2）3＝a5D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b26．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论成立的是（）A．函数图象经过点（1，1）B．y随x的增大而增大C．当x＜0时，y＞0D．函数图象不经过第一象限7．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x﹣y+z的值为（）A．0B．2C．﹣12D．208．（3分）某班35位同学课外阅读物的数量统计如表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）课外阅读物的数量2345678人数■■97932 A．平均数，方差B．中位数，方差C．平均数，众数D．中位数，众数9．（3分）如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边BC上一点，且∠F AE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，则AF的长为（）A．10B．C．12D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…1m n1P…若m•p＜0，则下列结论：①a＞0；②若方程ax2+bx+c＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝1；③a+3b ﹣c＜0；④n•p的最大值为．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是．12．（3分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是．13．（3分）分式方程的解是．14．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，则高AD为cm．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）15．（3分）如图，点E为菱形ABCD的边AD上一点，且AE＝3，DE＝2，点F为对角线AC上一动点，若△DEF的周长最小值为6，则sin∠BCD＝．16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，点D为边AB上一动点（点D与点A，B不重合），过点D作DE⊥AC，连接CD．（1）△CDE外接圆的直径的最小值是；（2）△CDE内切圆的半径的最大值是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：．18．（4分）如图，线段AC与BD相交于点O，AB∥CD，CD＝AB，求证：OC＝OA．19．（6分）已知：．（1）化简A；（2）若关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2＝0有两个相等的实数根，求A的值．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，四边形OABC是平行四边形，反比例函数过点C（1，3），且与边AB交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D为边AB的中点，求直线CD的解析式．21．（8分）“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数0≤x＜201520≤x＜402540≤x＜604060≤x＜8020（1）参与义诊活动的市民平均年龄为岁；（2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．22．（10分）人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进A，B两种型号的芯片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需900元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需950元．（1）求购进1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？（2）若该科创公司计划购进A，B两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不低于B型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？23．（10分）如图，ABCD为⊙O内接四边形，AC为⊙O的直径，，点E为上一点，且．（1）求作点E，连接ED，延长ED，BC交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接CE．①求证：△CEF为等腰三角形；②若FC＝5，BC＝15，求弦DE的长．24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+2mx+n经过点（2，2m﹣3）．（1）用含m的式子表示n；（2）当m＜0时，设该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的外接圆与y轴交于另一点D（点D与点C不重合），求点D的坐标；（3）若点E（﹣3，y1），F（t，y2），G（m﹣1，y3）在该抛物线上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，求y3的取值范围．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，，点E，F分别为边AB，BC上的点，将线段EF绕点F顺时针旋转60°，得到线段FG．射线FG与对角线AC交于点M，连接EM，EG．（1）求∠FGE的度数；（2）若FC＝2BF，求AM+ME﹣EB的值；（3）连接CG，DG，若，设△CDG和△EFG的面积分别为S1，S2，当点E在边AB上运动时，求的最大值．。
2024年广东省广州市白云区初三数学一模试卷
2024年广东省广州市白云区初三数学一模试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
）1.下列各数中，与-2024互为相反数的是（ ）A.2024B.-2024 C .12024 D.- 120242.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）3.下列运算正确的是（ ）A. (m 2)3 =m 6B.m 2⋅m 3 =m 6C.m −2= - m 2D.m 2÷m 2=m 24.某校举行“喜迎中国共产党建党105周年”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩，对于这10名选手的成绩，下列说法正确的是（ ）A.方差是0B.中位数是95C.众数是5D.平均数是905.不等式组{2−x ≥3，3x+22＞2x−32的解集在数轴上表示为（ ）6.已知一次函数y=ax+b经过（-2，-3），正比例函数y1=ax不经过第三象限，则反比例函数y2=bx的图象位于（）A.第一、第二象限B.第一、第三象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限7.端午节，赛龙舟，小亮在点P处看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=400米，则点P到赛道AB的距离为（）A.50√3B.100√3C.87D.1738.清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠，现有A、B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B 型客车比单独选择A型客车少租6辆（每辆车刚好满座），设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（）A.540x−540x+15=6 B.540x+15−540x=6 C.540x−15−540x=6 D.540x−540x−15=69.如图，△ABC的内切圆☉I与BC、CA、AB分别相切于带点D、E、F，若☉I的半径为r，∠FDE=a,则（AF+CD-AC)的值和∠A的大小分别为（）A. 0，180-2aB.r,180-aC.√2r,90-aD.√3r,90-a210.若√(k−1)2-(√2−k)2= - 1 ,则关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0，根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个实数根D.有两个不相等的实数根二．填空题。
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广州市中考数学一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2019·黔东南) 下列四个数中,2019的相反数是（）
A . -2019
B .
C .
D . 20190
2. （2分）据中国新闻网报道，在2014年11月17日公布的全球超级计算机500强榜单中，中国国防科技大学研制的“天河”二号超级计算机，以峰值计算速度每秒5.49亿亿次、持续计算速度每秒
3.39亿亿次双精度浮点运算的优异性能位居榜首，第四次摘得全球运行速度最快的超级计算机桂冠．用科学记数法表示“5.49亿亿”，记作（）
A . 5.49×1018
B . 5.49×1016
C . 5.49×1015
D . 5.49×1014
3. （2分）已知2001xn+7y与-2002x2m+3y是同类项，则（2m-n）2的值是（）
A . 16
B . 4×2001
C . -4×2002
D . 5
4. （2分）(2019·平房模拟) 若不等式组有2个整数解，则a的取值范围为（）
A . ﹣1＜a＜0
B . ﹣1≤a＜0
C . ﹣1＜a≤0
D . ﹣1≤a≤0
5. （2分） (2020七下·沭阳月考) 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是（）
A . 120°
B . 130°
C . 75°
D . 150°
6. （2分）如图所示的几何体的主视图是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）下表是食品营养成分表的一部分（每100克食品中可食部分营养成分的含量）
蔬菜种类绿豆芽白菜油菜卷心菜菠菜韭菜胡萝卜(红)碳水化合物(克)4344247
在表中提供的碳水化合物的克数所组成的数据中，中位数是________，平均数是_________.（）
A . 3 ;5
B . 4 ;4
C . 2 ;3
D . 3;7
9. （2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于
A .
B .
C .
D .
10. （2分）⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）
A . 7
B . 17
C . 7或17
D . 4
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2020八上·大洼期末) 分式有意义，则x的取值范围是________。
12. （1分）(2017·合肥模拟) 因式分解： =________．
13. （1分） (2015九上·南山期末) 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=________
14. （1分）(2020·嘉定模拟) 定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为________．
三、综合题 (共9题；共79分)
15. （5分）计算：﹣15﹣+2cos30°+（π﹣3.14）0+|﹣ |．
16. （6分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为﹣3．
（1）根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为________ ；
（2）求一次函数的解析式．
18. （5分）随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3 200人，截止到2010年底报名人数已达到5 000人．
（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．
（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？
19. （5分）如图所示，太阳光与地面成60°角，一颗倾斜的大树在地面上所成的角为30°，这时测得大树在地面上的影长约为10m，试求此大树的长约是多少？（得数保留整数）
20. （8分）如图：
（1）如果∠1=∠D，那么________∥________；
（2）如果∠1=∠B，那么________∥________；
（3）如果∠A+∠B=180º，那么________∥________；
（4）如果∠A+∠D=180º，那么________∥________；
21. （10分）(2020·北京模拟) 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）在BC上截取CF＝CO，连接OF，若AC＝16，BD＝12，求四边形OFCD的面积．
22. （15分） (2016九上·牡丹江期中) 某服装店在销售中发现，进货价每件60元，销售价每件100元的服装平均每天可售出20件，为了迎接“国庆节”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，请解答下列问题：
（1）降价前服装店每天销售该服装可获利多少元？
（2）如果服装店每天销售这种服装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？
（3）每件服装降价多少元服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
23. （15分） (2016八上·吉安开学考) 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、综合题 (共9题；共79分)
15-1、
16-1、
16-2、18-1、
19-1、20-1、20-2、20-3、20-4、
21-1、
21-2、22-1、22-2、22-3、
23-1、23-2、
23-3、。