1999年考研数学一试题答案与解析
考研(数学一)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=-4．正确答案：C解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选C．2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．B．(-1)n(n-1)!．C．(-1)n-1n!．D．(-1)nn!．正确答案：A解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选C．4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．B．P(A∪B)＞P(B)．C．P(A∪B)=P(A)．D．P(A∪B)=-P(B)．正确答案：C解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选C．6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极大值点．D．三个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选C．7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选C．8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X-Y≤0}=D．P{X-Y≤1}=正确答案：B解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选B．10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取，因为排除A、C、D．故应选B．11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除D．故应选C．12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．正确答案：D解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选D．13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选B．14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选D．15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选B．16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除C．故应选D．17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线性方程组(AB)X=0有非零解，故应选D．18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除D．故应选A．填空题19．(2000)=_____，正确答案：解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．正确答案：解析：21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.正确答案：-π解析：22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．正确答案：解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.正确答案：解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.正确答案：解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。
【考研数学】1999-数一真题、标准答案及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题 ⎛ 11 ⎞ ⎟ = （ 1）lim ⎜ − .2 x tan x ⎠x → 0 ⎝ x 1 【 【 答】3详解 1】⎛⎜ 1 1 ⎞ ⎟ tan x − x tan x − x lim − = lim = lim 2 x tan x ⎠ x 2 tan xx −1 3x tan x 3 x → 0 ⎝ x x → 0 x → 0 sec 2 = = = lim 2x → 0 2 x lim 2 x → 0 3x 1 3【 详解 2】⎛⎜ 1 1 ⎞ sin x − x cos x sin x − x cos x lim − = lim = lim ⎟ 2 x tan x ⎠ x 2 sin x x 3 x → 0 ⎝ x x → 0x → 0 cos x − cos x + x sin x = = lim 2x → 0 3x sin x 3x 1 lim = x → 0 3d∫ x( −) 2（ 2）sin x t dt = .dx【 答】 sin x 2 . 【 详解】dd∫x( − ) 2∫ 0(−)sin u dusin x t dtx t u − = 2dxdx0 xd x ∫ = sin u du2dx 0 = sin x 2故本题应填sin x2(3) y ' − 4y = e 2x的通解为.⎛ 1 ⎞ 4 ⎠ = −2x+ C + x e 2x ,其中C ,C 为任意常数.1 2 【 答】y C e⎜ ⎝⎟ 1 2 λ 2 − 4 = 0,解得 λ = 2,λ = −2 【 故 详解】 特征方程为： 1 2 ' − 4y = 0 的通解为 y 1C e = −2x+ C e 2x , 由于非齐次项为 f (x ) = e 2x ， a = 2 为特征方程2y 11y * = Axe 2x , 代入原方程可求得 A = ， 的单根，因此原方程的特解可设为 故所求通解为414y = y 1 + y * = C e −2xC e 2x+ + xe 2x12 ⎛ ⎝1 ⎞ 4 ⎠ 故本题应填y C e −2x= + ⎜ C + 2 x e 2x ⎟ , 1 （ 4）设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 .n −1【 答】n , 0,",0 【 详解】 因为λ −1 −1 " −1 λ − n −1 " −1 − # − 1 λ −1 " −1λ − n λ −1 "−1 λE − A = = # # # # # # # 1 −1 " λ −1 λ − n −1 " λ−1−1 " −1 1 0 # λ # " # " 0= λ − n#λ故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重）n −1因此本题应填 n , 0,",0 .12 （ 5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,9( ∪ ∪ ) = ( ) =,则 P A且 P A B C .16 1【 答】. 4【 详解】 根据加法公式有( ∪ ∪ ) = ( )+ ( )+ ( )− ( )− ( )− ( )+ ()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC 1 由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC= , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,因此有2( )= ( )= ( ) = 2 ( ) P AB P AC P BC P A , ( )= (φ) = P ABC P 0,9( ∪ ∪ )= ( )− 2( ) = 从而P A B C 3P A 3P A 163 1( ) =解得 P A( ) = , P A 4 4 1 2 1 4 ( ) < 又根据题设 P A( ) =,故 P A 二、选择题( ) ( )1）设 f x 是连续函数，F x 是其原函数，则 （ （ （ （ （ ( ) ( ) A ） 当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数. ( ) ( ) B ） 当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数. ( ) ( ) C ） 当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数. ( ) ( )D ） 当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数. 【 】【 【 答】 应选（A ）∫ x( )+f t dt C ,于是( ) ( )( ) = 详解】 f x 的原函数F x 可以表示为F x− x x(− )= ∫0 ( ) + = − ∫(− ) (− )+F x f t dt Cu t f u d u C . 0 ( ) (− )= −( )u f u ，从而有当 f x 为奇函数时， f x (− )= ∫ ( ) F x f u du C + 0∫ x( ) + = ( ) f t dt C F x= 0( )F x 为偶函数.即故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：1 ( ) = f x2() = x 3 +1不是奇函数，可排除（B ）； x 是偶函数，但其原函数F x 3 1 2 14( ) = 2 ( ) = + f x cos x 是周期函数，但其原函数F x x sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；1 ( )= x 在区间(−∞ + ∞)f x( ) = 2x 在区间 (−∞ + ∞)内非内是单调增函数，但其原函数F x 2 单调增函数，可排除（D ）.⎧ ⎪ ⎨ 1− cos x, x > 0 ( ) = 2）设 f x( ) ( ) = （ x其中 g x 是有界函数，则 f x 在 x 0 处 ⎪ x 2g (x ), x ≤ 0⎩（ （ A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续 （D ）可导.C ）连续，但不可导 【 】【 【 答】 应选（D ） 详解】 因为( )− ( ) f x f 0 1− cos x(0 + 0)= lim= lim = 0, f ' 32→ 0 +xx →0 − x x ( )− ( )2 ( ) f x f 0 x g x f '(0 − 0)= lim= lim lim g (x )x = 0, x − x −x → 0 −x → 0 x →0 ( ) = ( ) = 可见， f x 在 x 0 处左、右导数相等，因此， f x 在 x 0 处可导， 故正确选项为(D).⎧1 2 x ,0 ≤ x ≤ ⎪ ⎪a ∞ ∑( ) = (3)设 f x( ) = ， S x + π −∞ < < +∞, ⎨ ⎪ 0 a cos n x , x n 1 2 n =1 2 − 2x , < x <1 ⎪ ⎩ 2⎛ ⎝ 5 ⎞2 ⎠ 1" ∫( ) ( = ) 则 S − 其中 a n = 2 f x cos n xdx , n 0,1, 2, π , 等于 ⎜ ⎟ 0 1 1 3 3 4(A)(B) −(C)(D) −2 24【 】【 答】 应选（C ）.( ) [ ) [− ] 【 详解】 由题设知，应先将 f x 从 0,1 作偶延拓，使之成为区间 1, 1 上的偶函数，然后 再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有⎛ ⎝ 5 ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝1 ⎞2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎝ 2 ⎠ S − = S −2 − = S − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎠ ⎛ 1 ⎝ 2 ⎞f − 0 + f + 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎠⎝ 2 = S = ⎜ ⎝ ⎟2 3 = . 4（ 4）设 A 是 m ×n 矩阵， B 是 n ×m 矩阵，则 （ A ）当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0（B ）当 m > n 时，必有行列式 AB = 0（ C ））当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D ）当 n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且( ) ≤ ⎡ ( ) ( )⎤ ≤ ( )秩 r AB min⎣r A ,r B ⎦ min m ,n 当 m > n 时，由上式可知， r (AB 因此，正确选项为（B ）.)≤ < n m ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB 0. =( ) ( ) 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N 0,1 和 N 1, 1 ，则（ （ （ 1 12 { + ≤ } = { +≤ } = A ） P X Y 0 . .(B) P X Y 1 . 2 11{ − ≤ } = {−≤ } = C ） P X Y 0 (D) P X Y 1 . 22【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( + ) ( ) ( −) (−1, 2)X Y ~ N 1, 2 , X Y ~ N 1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，（B ）为正确选项.2三、设 y = y (x ), z = z (x )是由方程 z = xf (x + y )和 F (x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和dz dxF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. ( + )和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得 详解】 分别在 z xf x y【 = ⎧ dz dx⎛ ⎝ dy ⎞ dx ⎠= f + x 1+ f '⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎨ ⎪ dy dz F ' x + F ' y + F ' z = 0 ⎪ ⎩dx dx 整理后得⎧ dy dz + − xf ' = f + xf '⎪ ⎪dx dx ⎨ ⎪ dy dx dz F ' y + F ' z = −F ' x ⎪⎩ dx解此方程组，得( ) F y − xf f + xf ' ' ' 'F z dz dx (z ≠ 0)= , F ' y + xf ' F ' F ' y +xf ' ' F z∫(e x ( ))( ) I =sin y −b x + y dx + e x cos y − ax dy 其 中 a ,b 为 正 常 数 ， L 为 从 点 , 四 、 求 L ( ) = ax − x 到点O (0, 0)的弧.2 A 2a ,0 沿曲线 y ( ) = ( )【 详解】 添加从点O 0,0 沿 y 0到点 A 2a ,0 的有向直线段 L , 则 1∫ ⎡y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dyI = − e xsin − + + xcos − ⎣ ⎦ L +L 1∫ ⎡ y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dye xsin − + + x cos − ⎣ ⎦ L 1利用格林公式，前一积分⎛ ∂ ∂ ⎞ Q P ∫ ∫ dxdy b a dxdy = ( − )∫∫ I 1 = − ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ x y ⎠ D D π =2 (b − a ) a2 其中 D 为 L + L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L : 11⎧ ⎨ ⎩x = xy = 0 ( ≤ ≤ ) , 0 x 2a , 可直接积分∫ 2a(− ) = − I 2 = bx dx 2a b 2 0⎛ π ⎞ ⎠ π 故I = I − I = ⎜ ⎝+ 2 a ⎟ 2 b −3 a . 1 2 2 2 ( )( ≥ )( )> ( )= = ( )设函数 y x x 0 二阶可导且 y x 0, y 0 1, 过曲线 y y x 上任意一点'五、( ) P x , y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区 1 [ ] = ( ) − 12间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S ，并设 2S S 恒为1，求此曲线 2yy x = ( )的方程.( )上点 P (x , y )处的切线方程为 详解】 曲线 y y x【 = ( ) =y x'( )( − )y x X xY −⎛⎞ y 它与 x 轴的交点为⎜ x − ,0⎟ 由于 '(x ) > 0, y (0) =1,因此 y (x )(x > 0) yy '⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 1y y 于是 S = y x −⎜ x − ⎟ = .1 ' 2y '2 ⎝ y ⎠ ∫ x( ) y t dt 又S 2 = 0y 2∫ x ( ) = y t dt 1,根据题设2S − S =1，有− 1 2 y ' 2 0 '(0) =1，两边对 x 求导并化简得y并且( )2yy ' = y ' 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ' ，则上述方程可化为dpyp= p 2 ，分离变量得 dydp dy = p ydy解得 p = C y ，即= C y , 1 1 dxy = C e + C 2x从而有 1 根据 y 0 1, y 0 1, 可得 C 1 =1,C 20,( ) = '( ) = =故所求曲线得方程为y = e x.六、试证：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 1】 ( )= ( − ) x 2 1 ln x x 1 . 易知 f (1)= 0−( − ) 2令 f x 又1 (x )= 2x ln x − x +2 − , f '(1)= 0f f ' x1' (x )= 2ln x +1+ , f ' (1)= 2 > 0 x2 2(x−1)2'' (x ) =f x 3可见，当 0 < x <1时，f '' (x )< 0;当1< x < +∞ 时， '' (x ) > 0;f因此，有当1< x < +∞ 时，' (x )≥ f ' (1)= 2 > 0(x ) 是单调增函数推知，当 0 < x <1时，f (1)= 0 及(x )> 0;因此进一步有 f x ''(x )< 0; 当1< x < +∞ 时，f又由 f ' f f '( )≥ ( )= ( < < +∞) f 1 0 0 x ，即证之：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，(x 2−1 ln x ≥ x −1 .等价于当 0 < x <1时，) ( ) 2ln x ≤x−1;当1< x < +∞ 时， ln x ≥x−1;于是令x +1x +1x −1 x +1 ( ) =f x ln x− 1 2 x +1 2 (x ) = − = > 0(x > 0) 2则 f 'x ( + ) 2( + ) x x 1x 1 ( ) = 又因为 f 1 0，可见有当 0 < x <1时， f x 0 ，( ) < 当1< x < +∞ 时， f x 0 ，从而当 x 0 时，有( ) > > (x 2 )( ) ( −1 f x = x −1)ln x −(x −1) ≥ 0,22x > 0 时，(x 2) ( ) 2即当 −1 ln x ≥ x −1 .七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 N ,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m =1J ;m , N ,s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【 详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W =W +W +W 31 2其中W 是克服抓斗自重所作的功；W 是克服缆绳重力作的功；W 为提出污泥所作的功.由题 1 2 3 意知W = 400×30 =12000.1将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为( − )dW 2 50 30 x dx , = 3 0∫ ( −) =50 0 x dx 22500.从而 W 2 =[ + ]在时间间隔 t ,t dt 内提升污泥需作功为 ( − ) dW 3 3 2000 20t dt. = 3 0将污泥从井底提升至井口共需时间=10 ，所以 31 0∫ 3(2000 − 20t )dt = 57000.W 3 = 0因此，共需作功= + + = ( )W 12000 22500 57000 91500 J【 详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 ( ) ( − )( ) 力 f x 包 括 抓 斗 的 自 重 400 N , 缆 绳 的 重 力 50 30 x N ， 污 泥 的 重 力12000 −⋅ ( )，即 x 20 N32 0 1703 ( )=+( − )+f x400 50 30 x2000− x = 3900 − x ,3于是⎛ 170 ⎞85 3∫ 302|30 0=117000 − 24500 = 91500(J )W = 3900 − x dx = 3900x − x ⎜ ⎝⎟ 3 ⎠ 0 x 2 y 2八、设 S 为椭球面 ++ z 2 =1的上半部分，点 P (x , y , z )∈S ,π 为 S 在点 P 处的切平面， 2 2 zρ (x , y , z)为点O (0, 0, 0)到平面π 的距离，求 ∫∫ ρ (x , y , z )dS .Sx 2 y 2 ( ) = + + z 21,设 X ,Y ,Z 为π 上任意一点，则π 的方程为− () 【 详解】 令 F x , y , z 2 2(X − x )+ F' (Y − y )+ F (Z − z )= 0,z' F ' x y xX yY即 + + zZ =1 2 2从而知−1Ax + By + Cz⎛ x ⎞ ⎟ ⎠ 2y22ρ (x , y , z ) = = ⎜+ + z 2 + B 2 + C 2 ⎝ 4 4 A 2 x y这里 A = , B = ,C = z ,2 2 ⎛ 2 2 ⎞x y 由曲面方程知 z = 1−⎜ + ⎟,⎝2 2 ⎠ 于是∂z−x∂z∂y−y= , = ,∂x⎛ 22 ⎞ ⎟⎛ ⎜ 22⎞ ⎟xy x y 2 1−⎜ + 2 1− + ⎝ 22 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠因此2⎛ ∂⎞ 2− 4 x 2 − y 2⎛ ∂ ⎞ z z dS = 1+ + d σ =d σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎛ 22⎞ xy 2 1− + ⎜⎝ ⎟ 22 ⎠故有z x 2 y 2 ∫ ∫ ∫∫ ρ (x , y , z )dS =z 4 + 4 + z dS 2S S 11 4 2π2 ∫∫(4 − x 2 )d σ = ∫ ∫ (4 − r )rdr = − y 2d θ 2 40 D32= ππ ∫ 九、设 a =n4 tan nxdx,∞1∑ (+ a n a n +2 )的值；（ 1） 求n n =1∞ann λ∑（ 【 2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数 收敛n =1详解】 （1）因为ππ1 1 )= ∫ n1 ( + n ( +2 )= ∫n 2 a n a n +2 4tan x 1 tan x dx 4tan x sec xdx n n 0 0 1 11 ∫ tan x = t tn dt = ( + )n n 1n 0 又由部分和数列n1 n1 1n +1 ∑ ∑ ( + ) = =1− S n = a a i +2 ,i ( + )i i 1i i =1 i =1 有lim S =1, n n →∞ ∞1 ∑ (a n a n +2)=1.+ 因此n n =1 （ 2）先估计a 的值，因为 nπ nt 1n +1 11 ∫ x = t ∫∫ 0a =ntan n xdx tandt <nt dt = , 41+ t 2 00 a nnλ1 1所以< <, n n 1 n λ+1 ( + ) λ ∞1nλ+ ∑ 由λ +1>1知 收敛 1 n =1 ∞a n λ ∑ n 也收敛.从而n =1⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤⎥ 十、设矩阵A = 5 b 3 − ⎥a，其行列式 A = −1，又A 的伴随矩阵A * 有一个特征值λ ， ⎥ 0 ⎢ 1− c 0 ⎣ ⎦ 属于λ 的一个特征向量为 1, 1, 1 α = (− − )T ，求a ,b ,c 和λ 的值.0 0【 详解】A α = λ α, * 根据题设有 0 AA * = A E = −E , 于是 AA *α = A λ α = λ A α,又 即0 0 −α = λ A α 0⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤ ⎡−1⎤ ⎡−1⎤⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 也即λ 0 5 b 3 −1 = − −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− a − ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ c 0 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦由此，可得⎧ a 1 c λ ( + + ) = 1 0 ⎪ ⎨ 5 b 3 λ (− − + ) = 1 0⎪ ⎩1 c a λ (− + − )= − 1 0 解此方程组，得 λ =1,b = −3,a = c又由A = −1和 a = c ，有a −1 −3 3 = a −3 = −1 −aa51 − a 0 故 a = c = 2,因此 a = 2,b = −3,c = 2,λ =1. 0十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m ×n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：( ) =n .B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r B 详解】 必要性. 设 B AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有T【 (B T AB x > 0, )即 (Bx ) BA (Bx )> 0, TxT 于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r B ( ) = n(B T AB)T= B A TB = B AB 故 B , AB 为实对称矩阵.若 r B = nT T T ()充分性. 因则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A 为正定 矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有 Bx BA Bx 0, ( ) T() >(B T ( ) AB x = Bx A Bx > ，故B AB 为正定矩阵. ) ( ) T 0 于是当 x ≠ 0 ，有 x T T( ) 十二、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X ,Y 联合分布律及关于X 和 关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.{ P X= } = y 1y 2 y 3x p ii 1 8x 1 x 218 1 { P Y= } = 1y ip j6【 详解】{ P X= } = y 1y 2 y 3 x p ii 11 1 1 x 1 x 224 8 3 12 1 4 3 1 8 1 8 1 4 1 4{ P Y= } =pj1y i623十三、设总体X 的概率密度为⎧ 6x(θ − ) < <θ x ，0 x⎪ ( )= θ f x ⎨ 3 ⎪ ⎩ 0, 其他 X , X ,", X 是取自总体X 的简单随机样本. 1 2 n ^（ 1） 求θ 的矩估计量θ ；^⎛ ⎞ ^（ 2） 求θ 的方差D ⎜θ ⎟. ⎝ ⎠6 θ xθ + ∞θ()= ∫ ( ) = ∫ 0(θ −) 【 详解】 (1) E X xf x dx x dx = 3 2 −∞ 1 nθ ^ ∑ 记 X = X , 令 = X ,得θ 的矩估计量θ = 2X ；i n 2i =1 （ 2）由于6 θ x 2 6x 2+ ∞( ) ∫ ( ) ∫ (θ − x )dx =E X2= x 2f x dx = 3 20−∞6θ 2 ⎛θ ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 θ 2 ( )= (D xE x)− ⎡( )⎤ 22E x = − = ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ 2 0 20^因此 θ = 2X 的方差为⎛ ⎞ ^ ( ) ( )D ⎜θ ⎟ = D 2X = 4D X ⎝ ⎠4θ 2 = ( ) = D X n 5n。
1999年考研数学试题详解及评分参考
X - Y +1 ~ N (0,1). 2
于是有
P(
X
+Y 2
-1
£
0)
=
1 2
,
P(
X
-Y 2
+1
£
0)
=
1 2
.
即
P( X
+Y
£
1)
=
1 2
，
P(
X
-
Y
£
-1)
=
1 2
，故选
(B).
三、(本题满分 5 分)
设 y = y(x) , z = z(x) 是方程 z = xf (x + y) 和 F (x, y, z) = 0 所确定的函数，其中 f 和
(A)
P( X
+Y
£
0)
=
1 2
(B)
P( X
+Y
£ 1)
=
1 2
(C)
P( X
-Y
£
0)
=
1 2
(D)
P( X
-Y
£ 1)
=
1 2
【答】 应选 (B).
【解】 由于服从正态分布的相互独立的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因此
X + Y ~ N (1,
2 2 ), X - Y ~ N (-1,
2 2 ). 即 X + Y -1 ~ N (0,1), 2
=
2 ln
x
+1+
1 x2
,
j¢¢(1)
=
2
>
0
.
j ¢¢¢( x)
=
2(x3 -1) x3
历年考研数学一真题及答案解析1989~1999
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则00222222()(cos sin )(sin )cos 1Lx y ds t t t tdt dt πππ--+=+-+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解析】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z =++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解析】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以12,有 10010010010010010011120010020110010022001001001001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而知 110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,本题亦可很容易求出110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x tx+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中22(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.S 在(,,)P x y z 处的法向量{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭,若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2222(,)(1,1)44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为1132233()()y C y y C y y y =-+-+,即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是11()()22S S -=-.当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111()()()2224S f ===.因此, 11()24S -=-.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx∂∂,也可以先求z y ∂∂.方法一：先求zx∂∂,由复合函数求导法,1212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x∂∂∂∂''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得212(2)2(2)z f g yg f x y x y y y∂∂∂'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦111222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 212222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求zy∂∂, 122(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y∂∂∂∂'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得222()z z f xg x y y x x∂∂∂''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x∂∂∂'''''''=--+++∂∂∂221222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,LPdx Qdy +⎰与路径无关,则在D 上有Q P x y∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得0C =,即2()x x ϕ=,因此(1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰ (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：11222001LI xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰1201122y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则(1,1)2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰11011(0)022y dy xdx ϕ=+=+=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4π的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,所以 2cos sin I zdV d d d ρϕρϕρϕθΩΩ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2113344000001cos sin 2sin 22d d d d d πππθϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰1440011cos 2248πππϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分6分.)【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,2222211(1)(1)21()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x--+⋅-'=⋅==+--++++-. 由2011(1)(1),(||1)1n nn n n t t t t t t∞==-+-+-+=-<+∑,令2t x =得242222111(1)(1),(1)11nnn n n x x x x x t x ∞===-+-+-+=-<++∑即 221()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞='==-<+∑ 所以()()(0)xf x f u du f '=+⎰,22000010(1)arctan(1)104x x nnnn n n u du u du π∞∞==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421n nn x n π+∞==+-+∑,(||1)x <当1x =±时,式210(1)21n nn x n +∞=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1xf x x +=-在1x =处无定义.因此 2101(1)()arctan,[1,1)1421n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++,又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰,其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组 1323 1,21,x x x x +=⎧⎨-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解1231,21,,x t x t x t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.(2)由于逆矩阵的定义1||A A A *-=,据第(1)问有1||||A A A A ααααλλ**=⇒=,按特征值定义,即||A λ为伴随矩阵A *的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2222()x y z a R ++-=.先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：2222222222(),22,x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程 422224R x y R a+=-.它在平面xOy 上的投影曲线4222222,(02),40,R x y b b R R a az ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积22()1xyx y D S R z z dxdy ''=++⎰⎰.将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得,z x z y x z a y z a∂∂=-=-∂-∂-, 所以 2222()11()()xyxyx y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z''=++=++--⎰⎰⎰⎰ 222221()()xyxyD D x y dxdy dxdy a z a z R x y =++=----⎰⎰⎰⎰.利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有222222()xybD S R dxdy d R x yR πθρρ=---⎰⎰⎰⎰极坐标变换2222200()2b R d R R πθρρ=---⎰⎰ 222202()2()b R R R R b R πρπ=--=--代入42224R b R a =-,化简得32()2R S R R aππ=-.这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43aR =. 且 4()0,034()0,23S R R a S R a R a ⎧'><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩,故43aR =时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43aR =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P AB P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,A 与B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.因此,有 ()()()()P AB P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()(|)0.75()()P A A B P A P A AB P A B P A B ===.(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程210x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式240ξ∆=-≥,即{}{}22404A ξξ=-≥=≥.随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.x x F x x x <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=所以由概率的可加性,有{}{}{}2()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.【相关知识点】广义加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-.条件概率：()(|)()P BA P B A P A =,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,得 ~(5,9)Z N .代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2(5)18()32z Z f z π--=.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩则22d y dx =__________.(2) 由方程2222xyz x y z ++=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268x y u +=P 处沿方向n 的方向导数.(3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆202y ax x <<-(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt -【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='.所以 sin 2dydy tdt dx dx tdt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】2dx dy -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222222()02d xyz x y z+=++,再由全微分四则运算法则得222()()xy dz ydx xdy z x y z++=++,令1,0,1x y z ===-,得2dy =,即2dz dx dy =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.1(cos 1)cos 1lim (cos )lim (1(cos 1))x xx x x x x x ππ++-⋅-→→=+-令1x t =,则0x +→时0t -→,所以1cos 100lim(11))lim(1)x tx t x t e +--→→+=+=, 所以 01(cos 1)(cos 1)(cos 1)limcos 1lim (1lim x x x x xx x x x e e πππ→++---⋅-→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故 0(cos 1)lim2lim )x x xx x e eπππ→+--→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}222,3,12,3,1cos ,cos ,cos .14231n αβγ===++ 又 222222222222226614686888146868686814P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ⎧∂⎪===⎪∂++⎪⎪∂⎪===⎨∂++⎪⎪⎪++∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 62831111471414141414=⋅+⋅-⋅=. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰ 42220()zdz d r z rdr πθ=+⎰⎰⎰24240242r z r r r z dz π==⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰3[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰, 1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑.又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有1111111*********11212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)TTiA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而12222||()(1)PQ yy y y y ''=+=+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+. 即21y P =+C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即2211y P y '=+=+所以21y y '=-分离变量得21dx y =±-.令sec y t =,并积分,则上式左端变为2sec tan ln sec tan tan 1t tdtt t C ty ==++-⎰22ln sec sec 1ln 1t t C y y C =-+=+-.因曲线在上半平面,所以210y y +->,即(2ln 1y y C x -=±.故 21x y y Ce ±-=.当1x =时,1,y = 当x 前取+时,1C e -=,211x y y e --=, 2211222111(1)(1)1x x y y y y e e y y y y y y -----====+---+-；当x 前取-时,C e =,211x y y e -+-=, 2211222111(1)(1)1x xy y y y e e y y y y y y ------====+---+-；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆,yOABDC故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0. z zz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________.(3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.yO20x y +=zD(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 211x x x→--.。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
(
)
(
)
2 x + y′ = 3 x 2 y + x3 y′ + cos x ， 2 x +y
(B) 2.
为 f ( x ) ，则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为(
)
(A) 1. 三、(本题满分5分) 求
(C) 3.
(D) 4.
lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x . x ln (1 + x ) − x 2
+∞
四、(本题满分6分) 计算
∫
1
五、(本题满分7分) 求初值问题
( x − 1)
x3
2
，求
(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、(本题满分 8 分)
0 ， f (1) = 1 ， 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ −1,1] 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 f ( −1) =
f ′ ( 0 ) = 0 ，证明：在开区间 ( −1,1) 内至少存在一点 ξ ，使 f ′′′ (ξ ) = 3 .
总存在正整数 N ， 当 n ≥ N 时， 恒有 xn − a ≤ 2ε ”是数列 { xn } (4) “对任意给定的 ε ∈ ( 0,1) ，
收敛于 a 的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (C)充分必要条件.
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y1y2y3y()i i P X x p ∙==1x182x18 ()i j P Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】31 【详解1】 302020t a n l i m t a n t a n l i m t a n 11l i m x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020c o s s i n lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x x du u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202sin sin x du u dxd x ==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ. 故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填x xe x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数.(4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλn n n A E λλλ00111)(---=n 故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n ∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y1y2y 3y()i i P X x p ∙==1x182x18 ()i j P Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1) 【答】31 【详解1】 302020t a n l i m t a n t a n l i m t a n 11l i m x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313t a n l i m l i m22031s e c 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020c o s s i n lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x x du u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202s i n s i n x du u dx d x==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 xx e x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数. 【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ.故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填xx e x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数. (4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλn n n A E λλλ00111)(---=n 故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。
1999年数学一考研真题解答
P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC
由题 A, B 和 C 两两相互独立， ABC I, P A P B P C 1 , 因此有
2
P AB P AC P BC P2 A , P ABC P I 0,
tan2 x
lim
xo0
3x2
1
3
tan x x
lim
xo0
x3
§
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
· ¸¹
sin x x cos x
sin x x cos x
lim
lim
xo0 x2 sin x
xo0
x3
cos x cos x x sin x
lim
xo0
3x2
sin x 1 lim xo0 3x 3
1999 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析
一、填空题
§
（1）
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
·¸¹
.
【答】 1 3
【详解 1】
【详解 2】
§
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
· ¸¹
tan x x
lim
xo0
x2 tan x
sec2 x 1
lim
xo0
3x2
³d
（2）
x sin x t 2dt
dx 0
.
【答】 sin x2 .
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1999年数学考研真题
1999年数学考研真题1999年数学考研真题解析数学考研真题是研究生入学考试中的一部分，对考生的数学基础和解题能力有着较高的要求。
本文将对1999年数学考研真题进行解析，以帮助考生更好地理解和掌握考试内容。
一、选择题1999年数学考研真题中的选择题主要涵盖了数学的各个分支，包括代数、几何、数论等。
以下是本次考试的选择题示例：1. 题目：设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，g(x) = (a - 1)x^2 + (b - 1)x + c，则对于全体实数x，当a, b, c满足什么条件时，f(g(x)) = g(f(x))成立？解析：首先，分别计算f(g(x))和g(f(x))，然后令它们相等，通过解方程得到a、b、c的取值范围，即满足f(g(x)) = g(f(x))的条件。
2. 题目：已知实数集合A = {x | 1 ≤ x ≤ 3}，实数集合B = {y | y = |x - 2| + 1}，求集合B的取值范围。
解析：首先，将|x - 2| + 1进行分段讨论，然后通过求导和考察函数在取值范围边界处的数值，得出集合B的取值范围。
通过对以上选择题的解析，考生可以了解到实际解题过程和方法，从而更好地进行备考。
二、解答题1999年数学考研真题的解答题主要涵盖了代数、几何、概率等方面的内容。
以下是本次考试的解答题示例：1. 题目：对于方程组x - 3y + 2z = 1，2x + 5y + 4z = 4，3x - 4y - z = 11，求其系数矩阵的秩、增广矩阵的秩以及方程组的解。
解析：通过高斯消元法或矩阵的初等行变换，将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，求出其秩。
然后，将增广矩阵化为行最简形矩阵，求出其秩。
最后，通过解方程组的方法，得出方程组的解。
2. 题目：求抛物线y = ax^2 + bx + c与直线y = kx + p的交点坐标，其中a ≠ 0。
解析：将抛物线和直线的表达式相等，得到一个二次方程，然后用二次方程的求根公式计算交点的横坐标。
考研数学一(行列式,矩阵,向量)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1999年试题，二)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m>n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m>n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n>m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n>m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：结合题设，应分析矩阵的秩，从而可判断其行列式是否为0．由已知，AB是m×m矩阵，则r(AB)≤m，又由r(AB)≤min(rA，rB)，知r(AB)≤min(n，m)，由此，当m>n时，r(AB)≤n<m，从而｜AB｜=0，因而B正确；当n>m 时，r(AB)≤m，不能确定等式是否成立，综上，选B．对于未知矩阵AB的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2)行或列向量组的线性相关性；(3)方程组解的判定；(4)特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明．知识模块：行列式2．(2012年试题，一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α2)，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)因此应选B．知识模块：矩阵3．(2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=0可得E—A3=(E一A)(E+A+A2)=E和E+A3=(E+A)(E一A+A2)=E显然｜E—A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E一A和E+A均可逆．故应选C．解析二由A3=0知，A的任意特征值满足λ3=0，即λ=0是A的n重特征值，从而λ=是E一A和E+A的n重特征值，即二者的特征值均不为0．故E 一A和E+A均可逆。
考研数学一解答题专项强化真题试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一解答题专项强化真题试卷22(题后含答案及解析)题型有：1.1．(1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底．抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000N．提升速度为3 m/s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：①l N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)正确答案：解1 作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功ω=ω1+ω2+ω3 其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量所作的功；ω3是提出污泥所作的功．由题设可知ω1=400×30=12 000 dω2=50(30—x)dx从而在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为dω3=3(2 000—20t)dt将污泥从井底提升到井口共需时间所以则共需作功ω=1 2 000+22 500+57 000=91 500 (J) △解2 以时间t为积分变量，在时间间隔[t，t+dt]内克服重力所作的功为dω=[400+(30—3t)50+(2 000—20t)=3dt 涉及知识点：一元函数积分学2．(2002年试题。
八)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y){x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式；(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．正确答案：(1)由题设，结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质，则因此h(x，y)沿方向(y0—2x0)i+(x0一2y0)j方向导数为最大值，且此最大值为(2)令f(x，y)=g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2，由题意只需求f(x，y)在约束条件φ(x，y)=75一x2一y2+xy=0下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记F(x，y，λ)=f(x，y)+Aλφ(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2+λ(75一x2一y2+xy)则由可解得λ=2或x+y=0．当λ=2时，可解出可能条件极值点为当x+y=0时，可解出可能条件极值点为(5，一5)，(一5，5)．由于，而f(x，y)｜(5,-5)=f(x，y)｜(-5,5)=450所以点(5，一5)和点(一5，5)可作为攀登的起点．解析：许多求极值和最值的问题中，需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件，然后再求极，最值．本题中因｜gradh｜为方向导数的最大值，故而将代为求｜gradh｜在条件x2+y2一xy=75F的条件极值，用拉格朗日乘数法求该条件极值．知识模块：多元函数微分学3．(07年)求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．正确答案：(1)求f(x，y)在D内的驻点，由得f(x，y)在D内的驻点为(2)考察边界y=0(一2≤x≤2)f(x，0)=x2 一2≤x≤2最大值f(±2，0)=4，最小值f(0，0)=0(3)考察边界x2+y2=4，y＞0由x2+y2=4知，y2=4一x2f(x，y)=x2+2y2一x 涉及知识点：高等数学4．(2001年试题，十二)设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为求统计量的数学期望E(Y)．正确答案：由题设所给统计量的结构特点，可视(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2n)为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则该样本均值为且有样本方差为由于已知，因此E(Y)=(n—1)(2σ2)=2(n一1)σ2解析二设则，因此解析三设Z=Xi+Xn+i，i=1，2，…，n．因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互独立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以Z1，Z2，…，Zn也相互独立且服从正态分布．E(Zi)=E(Xi+Xn+i)=E(Xi)+E(Xn+i)=2μ，D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)=2σ2，即有Zi一N(2μ，2σ2)，i=1，2，…，n．从而Zn，Z2，…，Zn可视为取从总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，进而有：故又则即有E(Y)=2(n一1)σ2[解析四]因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以有：g(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=σ2+μ2，i=1，2，…，2n；又故而解析：解析中的几种解法包括直接计算的(解析四)、利用样本方差性质的(解析一)、利用随机变量的独立性的(解析二)和利用x2分布的构成与性质的(解析三)．总体来讲，直接计算的计算量最大，也最容易出错，也是最容易想到的而其他几种解法则要求考生熟练掌握相关的知识点，会灵活运用．知识模块：数理统计的基本概念5．求幂级数的收敛域及和函数．正确答案：涉及知识点：高等数学6．(89年)假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1)为A-1的特征值；(2)为A的伴随矩阵A*的特征值．正确答案：(1)由已知，有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘A-1，得ξ=λA-1ξ．因ξ≠0，故λ≠0，于是有A-1ξ=为A-1的一个特征值(ξ为对应的一个特征向量)．(2)由于为A*的特征值．涉及知识点：线性代数7．设，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：(Ⅰ)用初等行变换化A为简单阶梯形矩阵：得Ax=0的同解方程组：求得一个非零解a=(-1，2，3，1)T，它构成Ax=0的基础解系．(Ⅱ)所求矩阵B应该是4×3矩阵．一种做法是把B的3个列向量分别作为3个线性方程组AX=(1，0，0)T，AX=(0，1，0)T和AX=(0，0，1)T的解来计算．下面的方法比较简单．思路：满足AB=E的任何两个解的差都是AB=0的解．先求出AB=0的所有解，再求AB=E的一个特解，就可以得到满足AB=E的所有矩阵．①AB=0的解是一个4×3矩阵，他的每一列都是Ax=0的解，因此是a 的倍数，通解为(c1a，c2a，c3a)，c1，c2，c3为任意常数．②求AB=E 的一个特解．用初等行变换化(A｜E)为简单阶梯形矩阵：③AB=E的通解为B0+(c1a，c2a，c3a)，c1，c2，c3为任意常数．8．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2／5．设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布函数、数学期望．正确答案：当x＜0时，F(x)==0；当0≤x＜1时，F(x)=P(X=0)=27／125；当1≤x＜2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=27／125+54／125=81／125；当2≤x＜3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=117／125；当X≥3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1．综上所述，因此，X的数学期望为E(X)=np=3×(2／5)=6／5，或E(X)=0×(2／125)+1×(54／125)+2×(36／125)+3×(8／125)=6／5．涉及知识点：一维随机变量及其分布[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=9．求P{Y≤E(Y)}；正确答案：因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫01 y·2ydy=，故涉及知识点：二维随机变量及其分布10．求Z=X+Y的概率密度．正确答案：Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2}=P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为涉及知识点：二维随机变量及其分布。
1999考研数一真题解析
ex sin ydx ex cos ydy b(x y)dx axdy
L
L
前一积分与路径无关，所以
ex sin ydx ex cos ydy ex sin y (0,0) 0
L
(2a,0)
x0
x0 x x
lim x0
1 x2 2 xx
0,
f(0)
lim
x 0
f (x) f (0) x0
lim x0
x2g(x) x
lim xg(x) 0, x0
从而， f (0) 存在，且 f (0) 0 ，故正确选项为(D).
(3)【答案】( C )
【详解】由题设知，应先将 f (x) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作
...
1
1 ... 1
两边取行列式，
1 1 ... 1
n 1 ... 1
E A 1 1 ... 1 把第2，，n列 n 1 ... 1
... ... ... ... 加到第1列
... ... ... ...
1 1 ... 1
n 1 ... 1
1 1 ... 1 2行 1行
F z , (Fy
xf
F z
0)
四【详解】 方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.
添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A2a,0 的有向直
线段 L1 , 如图，则
I ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L L1 ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L1
组 Bx 0 必有非零解，即存在 x0 0 ，使得 Bx0 0 ，两边左乘 A ，得 ABx0 0 ，即 ABx 0 有非零解，从而 AB 0 ，故选(B).
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx -⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XY1y 2y 3y ()i i P X x p ∙==1x 182x 18()i jP Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313sin lim 3sin cos cos lim020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 22sin sin xdu u dx d x ==⎰故本题应填2sin x(3)【答】 ，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C 【详解】 特征方程为：，解得.042=-λ2-,22,1==λλ故的通解为，由于非齐次项为为04"=-y y x xe C eC y 22211+=-2,)(2==a e x f x 特征方程的单根，因此原方程的特解可设为，代入原方程求得,xAxey 2=*41=A故所求解为 xx x xe e C e C y y y 22221141++=+=-*故本题应填，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C (4)【答】10,,0,-n n 【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλnn n A Eλλλ0111)(---=n故矩阵的n 个特征值是n 和0（n-1重）A因此本题应填10,,0,-n n (5)【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，,因此有21)()()(,<===C P B P A P ABC φ ),()()()(2A P BC P AC P AB P === ,0)()(==φP ABC P 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 的原函数可以表示为，于是)(x f )(x F C dt t f x F x+=⎰)()( .)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰- 当为奇函数时，从而有)(x f ),()(u f u f -=-)()()()(00x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 为偶函数.)(x F 故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除（B ）；2)(x x f =131)(3+=x x F 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除x x f 2cos )(=x x x F 2sin 4121)(+=（C ）；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非x x f =)(()∞∞-,221)(x x F =()∞∞-,单调增函数，可排除（D ）。
1999年1月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题
垂直,则������等于( )
（A）-1
（B）1
（C）±1
（D）−
3 2
（E）0
7.设������件产品中������件是不合格品,从这������件产品中任取 2 件,则恰有－件不合格的概率是
（）
（A） ������������
������(����
������������,
������������
=
2√2,且������������,������������ 的长分别是方程������2
3
−
√2������������
+
3������−1 = 0的两个根,则△ ������������������的面积为（ ）
4
（A）√5
9
（B）2√5
9
（C）5√5
2
（B）3(1−3������) + 3������+1
4
2
（C）3(1−3������) + (������+2)3������
4
2
（D）3(3������−1) + 3������
4
2
（E）3(1−3������) + ������∗3������+1
4
2
13.在 等 腰 三 角 形������������������ 中 , ������������
2 只,白球 2 只,从这三个盒子的任意一个中任取一只球,它是红球的概率是（ ）
（A）0.5625 （B）0.5
（C）0.45
（D）0.375 （E）0.225
10.图 1 中的字母代表元件种类,字母相同但下标不同的为同一类元件,已知������, ������, ������, ������各
2020考研数学一真题参考1999答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭ (2) 20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
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dx
dx
dx
0
x
0
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注 必须将被积函数中的x设法变换到上限活着能方便的提到积分号外 边，才能对x求导。
∫ 解法二： 计算形如 F (x) = a(x) f (x,t)dt 的函数导数时，首先应借助变量代换等 0
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
lim
x→0
tan x − x x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x −1 3x2
= lim tan2 x = 1
x→0 3x2
3
解法二：
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
0
即 F (x)为偶函数。
故(A) 为正确选项。 至于(B) ，(C)，(D)可以分别举反例如下：
f (x) = x2 是偶函数，但其原函数 f (x) = 1 x3 +1 不是齐函数，可排除(B) ；
3
f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数 f (x) = 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数，
λ 1
=
2
，λ 2
=
−2
故 y* − 4 y = 0 的通解为 y1 = C1 −2x + C2 2x ，由于非齐次项为 f (x) = 2x
a = 2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y* = Axe2x ，带入原
方程可求得 A = 1 ，故所求通解为 4
y = y1 + y* = C1
从而 P ( A ∪ B ∪ C ) = 3P ( A) − 3P2 ( A) = 9
16
解得 P ( A) < 1 故 P ( A) = 1
2
4
实际上，题中即使不给出 P ( A) < 1 这一条件，也能判定 P ( A) = 3 是不正确
2
4
的 ，因为，若 P ( A) = 3 ，则 3 = P ( A) ≤ P ( A ∪ B ∪ C ) = 9 是茅盾的
x→0 x2 tan x x→0 x3
x→0 3x2
3 x→0 x2
3
∫ （2） d x sin(x −t)2dt =
.
dx 0
解法一： 分析 考查要点定积分变量变换、积分变上限函数求导数。
∫ ∫ ∫ d
x
sin(x −t)2dt x −t = u
d
0 (−sin u2 )du = d
x
sin u2du = sin x2
将ｘ移到积分限中或移到积分号外，然后再求导数。
（3） y'' − 4 y = e2x 的通解为 y =
.
解法一： 分析 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。要求
考生熟知通解求法的方法和步骤，特别是注意特解的设置于特殊方程根及 f (x)
形式之间的关系（本题 f (x) = e2x ）
特征方程为：λ2 − 4 = 0 ，解得
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B) + P (C ) − P ( AC ) − P ( AB) − P ( BC ) + P ( ABC )
由题 A, B 和 C 两两相互独立， ABC = Φ, P( A) = P(B) = P(C)< 1 ,
2
P ( AB) = P ( AC ) = P ( BC ) = P2 ( A) ， P ( ABC ) = P (φ ) = 0
(x)在x
=0
处
（A）极限不存在. （C）连续，但不可导. 答 应选D
（B）极限存在，但不连续. （D）可导.
解法一：[详解] 分析 根据一元函数性质，若能首先 f ( x) 在 x = 0 判定处可导，
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−
1 2
⎞ ⎟⎠
=
f
⎛ ⎜⎝
1 2
−
0
⎞ ⎟⎠
+
2
f
⎛ ⎜⎝
1 2
+
0
⎞ ⎟⎠
=
3 4
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用荻利雷定理写出傅里叶级数的和时，应注意；（1）奇偶性；（2）周期 将
欲求和的 S ( x1 ) 转化为 S ( x0 ) ，其中在所给的函数f（x）的 定义域内，然后再用
(B)− 1 2
答 应选C
解法一：[详解]
(C) 3 4
(D)− 3 4
有题设知，应先将从 f (x) 从[0,1) 做偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函
数，然后再做周期（周期2）延拓，进一步展开为博星叶级数，根据收敛定理有
S
⎛ ⎜⎝
−
5 2
⎞ ⎟⎠
=
S
⎛ ⎜⎝
−2
−
1 2
⎞ ⎟⎠
=
S
⎛ ⎜⎝
当ｆ(x)为奇函数 ，任何原函数都是偶函数；而 当ｆ(x)为奇函数 ，仅当Ｃ＝０时亦
即只有过原点（0,0）的 F (x) = ∫ x f (t)dt + c 这一个原函数是奇函数，应选（Ａ） 0
（2）设
f
(x)
=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1x−2 gcox( sx)x,
,x>0 x≤0
,
其中g(x)是有界函数，则f
则（A）（B）（C）被排除。
f (0 + 0) = lim f (x)− f (0) = lim 1−cos x = 0
x→0+
x
x→0+
3
x2
f (0−0) =
lim
f (x)− f (0) =
lim
x2 g (x)
lim
g(x)x = 0
x→0−
x
x→0−
x
x→0−
可见， f(x) 在x=0处左、右导数相等，因此，f (x)在x =0 处可导
−2x + C2
2x + 1 xe2x 4
故本题应填
y = C1
−2 x
+ ⎛⎜⎜⎜⎝C2
+
1 4
x⎞⎠⎟⎟⎟
2x
解法二： 评注 求解系数线性微分方程（右端函数
Pn (x)eαx , eαx[Q(x)cos β x + Rm (x)sin β x] 或它们的线性组合，其中 Pn (x)，Q(x) ，
∑ （3）设
f
(x)
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩2
x,0 ≤ x ≤ 1 2
− 2x, 1 < x < 2
, 1
S
(x) =
a0 2
+
∞ n=1
an
cos
nπ x, −∞
<
x
<
+∞,
其中
∫ an = 2
1 0
f
(x)
cos
nπxdx,(n
=
0,1,
2,⋅⋅⋅),
则
S
⎛⎜⎜⎜⎝−
52⎞⎠⎟⎟⎟
=
(A) 1 2
−
1 2
⎞ ⎟⎠
=
f
⎛ ⎜⎝
1 2
−
0
⎞ ⎟⎠
+
2
f
⎛ ⎜⎝
1 2
+
0
⎞ ⎟⎠
=
3 4
因此本题选（Ｃ）
∑ 评注（Ｉ）在这里要注意的是
a0 2
+
∞ n=1
an
cos π
x
是f(x)作偶延拓至 [−1,1] ，并作
周期为２的周期延拓后所得的函数f(x)的傅里叶级数，y=f(x)的图形如图９９－ １（ａ）
0
0
当 f (x) 为齐函数时， f (−u) = − f (u)，从而有
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F (−x) = ∫ x f (u)d (u)+ C = ∫ x f (t)d (t)+ C = F (x)
（C） 当 f (x) 是周期函数时， F (x)必是周期函数.
（D） 当 f (x) 是单调增函数时， F (x)必是单调增函数.
答 应选A， 解法一：[详解]
f (x) 的原函数 F (x)可以表示为 F (x) = ∫ x f (x)dt + C 于是 0
F (−x) = ∫ −x f (t)dt + C u = −t ∫ x f (−u)d (−u)+ C .
−1
det(A−λE) = | λE − A |= −1 λ −1
−1 = λ − n λ −1
−1
−1 −1
λ −1 λ − n −1
λ −1
1 −1
−1
=λ−n 0 λ
0
00
λ
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解