一元多项式因式分解方法归纳

一元多项式因式分解方法归纳摘要：给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，拆项补项法等等。

解释了这些方法的理论来源，给出具体实例，并指出每种方法的具体做法.关键词：一元多项式因式分解提公因式法运用公式法分组分解法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必须的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察,思维发展性，运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.一提公因式法1 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式分解的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2 具体做法：⑴确定公因式的方法①定系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应该取各项系数的最大公约数；②定字母：字母取各项的相同的字母；③定指数：各字母的指数取次数最低的.⑵如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时，多项式的各项都要变号.3 提公因式法基本步骤：⑴找出公因式；⑵提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.4 注意：①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致；②提公因式后，另一个因式不能再含有公因式.二运用公式法1 定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.2 因式分解常用公式：⑴代数中常用的乘法公式有：平方差公式：()()b a b a -+ 22b a -=完全平方公式：()2b a ± 222b ab a +±=将上述乘法公式反过来就得到用公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：两根法： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=++a ac b b x a ac b b x a c bx ax 2424222平方差公式：22b a -=()()b a b a -+完全平方公式： ⑵其他公式立方和公式： ()()2233bab a b a b a +-+=+立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-完全立方公式：()3322333b a b ab b a a ±=±+±例1 因式分解1646-x 分析 664x 可变形为()238x ，或变形为()324x ，而1既可看作21，也可看作31，这样，本题可先用平方差公式分解. 解 方法一1646-x=()238x 1- （把664x 变形为()238x ）()()181833-+=x x （利用平方差公式）=()183+x()()()()124121241222++-+-+=x x x x x x方法二 1646-x ()1432-=x （把664x 变形为()324x ）（运用立方差公式） ()()()224418161212xx x x x -++-+= （把24x拆为2248x x -）()()()()[]2222141212x x x x -+-+= （利用完全平方公式）()()()()124124121222+-++-+=x x x x x x （运用平方差公式）点评:在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的,本题的两种解法,显然第一种方法比较简单.例2 已知()()()()495432+-+-+=x x x x (x 为整数),求证: A 为一个完全平方数. 证明：因为()()()()495432+-+-+=x x x x ()()4920622+----=x x x x()()()222221316926--=+---=x x x x x x所以A 是一个完全平方数.三 分组分解法1 定义：把各项适当分组，先把因式分组，再使分解因式在各组之间进行.2 注意：在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取”，若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解. 3分组分解法的实质是分组后能直接提公因式或运用公式法. 4 具体方法：5 总结利用分组的手段为提公因式法创造条件，因此分组分解法是转化的数学思想在因式分解中的集中体现，分组的目的是经过适当的分组以后，将原来不显现的条件通过分组显现出来，将其转化为用已学过的提公因式法或运用公式法来进行因式分解。

通过分组分解法的学习，我们可以体会到数学思想方法对数学学习的重要意义.分析：因式分解一般思路是：“一提,二代,三分组,其次考虑规律式(十字相乘法)”,即:首先考虑是否有公因式可提,若有公因式,先提取公因式;其次考虑可否套用公式,用公式法分解;再考虑是否可以分组分解;对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用”规律式”(或十字相乘法)分解,按照这样的思路,本题首应考虑用分组分解法来尝试. 解: 673+-x x()()()()()()()()()()()()32161711171177171722233+--=-+-=-++-=--++-=---=+--=x x x x xx x x x x x x x x x x x说明:当1=x 时,多项式673+-x x 值为0,因而()1-x 是673+-x x 的一个因式,因此,可从”凑因子” ()1-x 的角度考虑,把6拆成71+-,使分组可行,分解成功.四 十字相乘法1 定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.2 具体做法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，其实就是运用乘法公式()()b x a x ++=2x +()ab x b a ++的逆运算来进行因式分解，一般地，对于二次三项式，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121,,,c c a a ，排列如下：1a 1c 2a 2c按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式的一 次项系数b ，即1221c a c a +b =，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即.3 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中4 基本式子：()()()q x p x pq x q p x ++=+++25 规律：⑴二次三项式的常数项为正，所分解成的两个一次因式的常数项必定同号. ⑵二次三项式的常数项为负，所分解成的两个一次因式的常数项必定异号.分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数,因为取负因数的结果与正因数的结果相同) ;12212⨯=⨯= 分解常数项:用画十字交叉方法表示下列四种情况:1 12 3751231-≠=⨯+⨯1 32 1⨯+⨯211773-≠=1 -12 -3()()751231-≠-=-⨯+-⨯1 -32 -1()()73211-=-⨯+-⨯经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数. 解: 3722+-x x ()()123--=x x五 配方法1 定义：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，这种解一元二次方程的方法为配方法，配方的依据是完全平方公式.2 配方法准备方法：完全平方公式的逆运用.()ab b a ab b ab a b a 22222222-+=-++=+配方法能继续进行的前提是：ab 2是一个完全平方式. 3配方法的步骤：⑴若二次项系数不是1，把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）； ⑵把常数项移到方程右边；⑶在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；⑷如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根.例1 用配方法解方程0622=-+x x 解：化二次项系数为1，得：03212=-+x x 移项，得：3212=+x x 配方，得：2224134121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x即1649412=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 开平方，得：4741±=+x 所以原方程的解为：1x 23,22=-=x 例2 用配方法解下列方程0762=-+x x 解：移项，得762=+x x两边同时加上“一次项系数一半的平方”，得97962+=++x x即()1632=+x利用开平方，得43±=+x所以，原方程的根是：7,121-==x x ． 例3 用配方法解下列方程05822=-+x x 解：移项并且两边同除以2，得2542=+x x 两边同时加上“一次项系数一半的平方”，得()21322=+x利用开平方法，得2262±=+x 所以，原方程的根是2226,222621--=-=x x ．六 拆项补项法1 定义：因式分解是多项式乘法的逆运算，在多项式乘法运算时，整理，化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.2 拆项添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例1 分解因式： 893+-x x解法1 将常数项8拆成-1+9原式=9193+--x x （将常数项8拆成-1+9） ()9913+--=x x()()()19112--++-=x x x x （运用立方差公式）()()812-+-=x x x （提取公因式）解法2 将一次项x 9-拆成x x 8--原式＝883+--x x x （将一次项x 9-拆成x x 8--） ＝()()883+-+-x x x＝＝()()812-+-x x x （提取公因式）解法3 将一次项3x 拆成3389x x -原式＝898933+--x x x （将一次项3x 拆成3389x x -） ＝()()889933+-+-x x x＝()()()()1181192++---+x x x x x x＝()()812-+-x x x （提取公因式）解法4 添加两项22x x +- 原式＝893+-x x ＝89223+-+-x x x x （添加两项22x x +-）＝()()()1812--+-x x x x＝()()812-+-x x x （提取公因式）例2 分解因式： 4323-+x x 解法1 可将4-拆成3,1--原式＝33123-+-x x （将4-拆成3,1--） ＝()()()()113112+-+++-x x x x x （运用立方差，平方差公式）＝()()33112++++-x x x x （提取公因式）＝()()4412++-x x x （合并同类项）＝()()221+-x x （平方差公式）解法2 添4x ，再减4x原式＝432443x x x x -+-+ （添4x ，再减4x ） ＝()()()x x x x -++-141322（运用十字相乘法）＝()()()()141132--++-x x x x x （运用平方差公式）＝()()4412++-x x x （提取公因式）＝()()221+-x x （运用完全平方公式）解法3 添x 4，再减x 4原式＝444323-+-+x x x x （添x 4，再减x 4） ＝()()14432-+-+x x x x＝()()()1441-++-x x x x （运用十字相乘法） ＝()()4412++-x x x （提取公因式）＝()()221+-x x （运用完全平方公式）解法4 把23x 拆成224x x -原式＝44223-+-x x x （把23x 拆成224x x -） ＝()()()11412+-+-x x x x （运用平方差公式）＝()()4412++-x x x （提取公因式）＝()()221+-x x解法5 把3x 拆成3334x x -原式＝2333344x x x +-- （把3x 拆成3334x x -） ＝()()131423---x xx＝()()()1311422--++-x xx x x （运用立方差公式）＝()()2234441xx x x -++- （提取公因式）＝()()4412++-x x x （合并同类项）＝()()221+-x x七 换元法1定义：换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子.运用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果. 2整体换元例1 分解因式： ()()16432322-++-+x x x x 解：设m x x =-+232，则 原式＝()166-+m m ＝1662-+m m ＝()()28-+m m＝()()436322-+++x x x x ＝()()()14632-+++x x x x评注：此题还可以设m x x =+32，或,432m x x =++或m x x =++1323均值换元例2 分解因式：()()()()157531+++++x x x x 解：原式＝()()[]()()[]155371+++++x x x x ＝()()151587822+++++x x x x 取“均值”，设()()[]158782122+++++=x x x x m =1182++x x 原式()()1544++-=m m （把m 代入原式） =15162+-m =12-m()()11-+=m m （运用平方差公式） =()()10812822++++x x x x()()()108622++++=x x x x （运用十字相乘法）4倒数换元例3 分解因式17147234++++x x x x 解：原式=⎪⎭⎫⎝⎛++++22217147x x x x x （提取公因式2x ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=14171222x x x x x （另m x x =+1） ()[]147222++-=m mx（其中21222-=+m xx ） ()12722++=m m x ()()432++=m m x⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=41312x x x x x （将m x x =+1代入）()()141322++++=x x x x注：上题设m xx =+1八 求根法1定义：令多项式()0=x f ，求出其根为n x x x x Λ321,,，则该多项式可分解为()()()()()n x x x x x x x x x f ----=Λ3212把二次多项式c bx ax ++2分解可得c bx ax ++2()()21x x x x a --=，其中的21,x x 要用一元二次方程求根公式解出，这样使二次三项式得到分解的方法，叫求根公式法分解因式.3任何一个一元二次方程都可写成一般形式c bx ax ++2()00≠=a 移项，得c bx ax -=+2二次项系数化为1，得ac x a b x -=+2 配方，得 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 即，222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 因为04,02>≠a a 当042≥-ac b 时，2244a ac b -0≥ 由上式得aac b a b x 2422-±=+ aac b b x 242-±-= aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---= 所以求根法即一元二次方程()002≠=++a bx ax ，当042≥-ac b 时， aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---= 所以对于一元二次方程()002≠=++a bx ax 的求根公式是aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---= ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--=++a ac b b x a ac b b x a x x x x a cbx ax 2424222124如果()x f 含有因式a x -，那么()0=a f ，则多项式()x f 必定含有因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式()x f 的一次因式的关键是求多项式()x f 的根.例1 分解因式： 46423-+-x x x分析：这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是4-的约数，逐个检验4-的约数：4,2,1±±±，只有 ()0426242223=-⨯+⨯-=f即2=x 是原式的一个根，所以原式必有因式2-x原式()()()42422223-+---=x x x x x ()()()222222-+---=x x x x x()()2222+--=x x x九 待定系数法1定义：在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数，由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，获取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫做待定系数法.例1 求多项式()4152010235----=x x x x x f 的标准分解式 很显然，可以看出1-和4是()x f 的有理根，不妨设()()()()14123+++-+=bx ax x x x x f利用多项式乘法法则，将右式展开并且合并同类项，得()()()()()4434313432345---+--+--+-+=x b x a b x a b x a x x f与()4152010235----=x x x x x f 进行逐项比较，得． 所以()()()()1334123+++-+=x x x x x x f()()414+-=x x 例2 分解因式32234+-++x x x x分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是7,1±±（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式，如果原式能分解，只能分解为()()d cx x b ax x ++++22的形式.解：32234+-++x x x x 可以分为两个整系数的二次因式的乘积，可以假设 32234+-++x x x x =()()d cx x b ax x ++++22（*）（其中d c b a ,,,为待定系数）利用（*）式两边多项式的恒等性，根据对应系数的相等性，可得到如下方程组： 由对称性可知d b ,的次序可以互换取1,3b d == （1）或3,1-=-=d b (2)将(1)式代入上述方程组，得：1321-=+-==+a c ac c a解得2,1=-=c a将（2）代入上述方程组，得 1361====+a c ac c a此方程组无解综上，原方程组的解为：2,1=-=c a故，原式()()32122+++-=x x x x ．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式，但利用待定系数法，使我们找到了二次因式，由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.本文对一元多项式因式分解方法进项归纳，使我们对因式分解得到系统的认识，帮助我们在以后学习中更快更准确解答数学题，在数学学习中有非常重要的意义，解题时，首先要判断所给多项式类型，然后根据其特点采用不同的方法，有时一道题要综合使用，才能使问题得到解决.参考文献：[1] 《数理化解题研究》2012年06期《谈谈初中因式分解的解题技巧》蒋秀云[2] 《考试周刊》2010年04期《整系数多项式因式分解的方法归纳》刘亚婷[3] 《西藏科技》2002年12期.《巧解因式分解题》张东晓[4] 《思茅师范高等专科学校学报》2001年03期.《由一道因式分解例题想到的——谈一元多项式因式分解的一般方法》施红星[5]《大庆师范学院学报》2006年02期.《一元多项式因式分解一般方法》李颖[6] 《天府数学》1999年06期.《因式分解教与学》胡运凤[7] 《中学生数理化（八年级数学）（配合人教版教材）》2011年11期.《谈整式乘除、因式分解的学习》秦占全[8] “Test”(the research)2012,05 introduction to middle school methods of factoring “WengShiLin”[9] "Neijiang science and technology" in 2006 08 "Five" the Li Haiyang factorization method[10] 《赤风教育学院学报》2001年02期.《因式分解中的常见错误》王玉娥[11] 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Keywords: univariate polynomial factorization to common factor method using the formula packet decomposition method。